第一篇：數(shù)學(xué)史論文三角恒等變換論文

數(shù)學(xué)史論文三角恒等變換論文：數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟發(fā)意

義

摘 要：數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的積極作用，已經(jīng)得到國內(nèi)外的普遍認(rèn)可，也提出了許多可操作的方法，可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，做出適當(dāng)?shù)倪x擇。新課改的北師大版高中數(shù)學(xué)教材中三角恒等變換開始用解析幾何的方法推導(dǎo)出三角恒等式，教材安排的非常簡練、嚴(yán)密，但是為了更好地幫助學(xué)生理解和記憶，可以參考數(shù)學(xué)史上不同時(shí)期的數(shù)學(xué)家探索三角變換的過程，會(huì)對(duì)教學(xué)提供一些有益的啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；三角恒等變換

一、研究的背景

數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的和思辨的，而且數(shù)學(xué)的思想和方法也是抽象和思辨的（亞歷山大洛夫，1988），數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決問題，更要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)中所用到的思想和方法，這是數(shù)學(xué)的靈魂。

歷史上許多大數(shù)學(xué)家都很重視數(shù)學(xué)史知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所起的積極作用，但真正開始系統(tǒng)地研究他們之間的關(guān)系卻是在1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，簡稱hpm），該小組成立近30年來，對(duì)于如何

將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育作聯(lián)結(jié)，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的改善和數(shù)學(xué)課程的發(fā)展有所幫助，提供數(shù)學(xué)教師多種可以使用的資源提出了許多建議，受到國界數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注。

我國的數(shù)學(xué)課程改革為我們的hpm研究提供了現(xiàn)實(shí)的背景和實(shí)踐的空間，事實(shí)上新課程標(biāo)準(zhǔn)有對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的要求“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢(shì)，??應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀”，因此，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注并引領(lǐng)實(shí)踐的重要內(nèi)容。我國的李儼、錢寶琮、沈康身、汪曉勤、韓祥林幾位前輩在數(shù)學(xué)史的研究過程中著作頗豐，尤其是汪曉琴、韓祥林兩位教授在hpm研究方面取得了很多成果。對(duì)于怎樣在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史他們介紹了一種注入歷史的教學(xué)法——發(fā)生教學(xué)法（genetic approach to teaching and learning）。該方法需要：（1）數(shù)學(xué)教師了解所教主題的歷史；（2）確定該主題發(fā)展的關(guān)鍵步驟；（3）重新構(gòu)建關(guān)鍵步驟，使之適用于課堂教學(xué)；（4）重構(gòu)步驟按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面問題的基礎(chǔ)上。（如圖1）

二、數(shù)學(xué)史作用于數(shù)學(xué)教學(xué)的案例

如北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變換中的內(nèi)容，從教材內(nèi)容來看，主要是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及簡單的恒等變換。但是對(duì)很多學(xué)生來說，三角變

換成了大堆的公式，成了符號(hào)和文字的組合，學(xué)生對(duì)它的理解也是機(jī)械的記憶，不利于學(xué)生對(duì)三角變換的理解。

為了更好地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容，我們可以參照古希臘天文學(xué)家托勒密為了制作弦表而提出的托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線乘積等于兩對(duì)邊乘積之和。（如圖2）

設(shè)abcd是直徑為1的圓o的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線bd為圓的直徑，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（證明略），差角公式也可以用類似的證明，但是這個(gè)證明的幾何推理相對(duì)比較繁瑣，讓學(xué)生感覺好像是在學(xué)習(xí)習(xí)近平面幾何，有喧賓奪主的感覺，有人參照該證明方法和勾股定理的幾何證明給出了如下的幾何證明差角公式的方法。（如圖3）oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由該圖容易證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常簡明直觀的給出了和角公式的幾何意義，雖然這里的角都是銳角的形式，還沒有進(jìn)行角的推廣，如直角、鈍角甚至任意角的情況的證明，但是有助于學(xué)生運(yùn)用先前的平面幾何的知識(shí)迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用類似的方法證明，這里不再贅述。

三、數(shù)學(xué)史支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

我們可以將數(shù)學(xué)史上的類似知識(shí)同教材中的內(nèi)容相互結(jié)合，更好地促進(jìn)教學(xué)，讓代數(shù)與具體的圖形連接起來，可

以讓代數(shù)證明不再是抽象的文字游戲，讓代數(shù)結(jié)論展現(xiàn)在直觀的幾何圖形之上，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與抽象公式的具體化。而在數(shù)學(xué)史上還有大量類似的知識(shí)，對(duì)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的支持，其中所體現(xiàn)的思想方法對(duì)學(xué)生也有重要的啟發(fā)意義。另外，現(xiàn)代的信息技術(shù)也可為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供了技術(shù)支持，如何在技術(shù)的支持下實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)效果的最優(yōu)化，也是一個(gè)值得探索的問題。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)［m］．北京：人民教育出版社，2003．

［2］汪曉勤，韓祥林.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史.科學(xué)出版社，2002.

第二篇：三角恒等變換與解三角形

一、選擇題

1．已知sin(α＋)＝，<α<，則cos

2α的值為()

A．－　　B．－

C．－

D．－

2．(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin

A－bsin

B＝4csin

C，cos

A＝－，則＝()

A．6

B．5

C．4

D．3

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin

B－asin

A＝asin

C，則sin

B為()

A．

B．

C．

D．

4．(一題多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于()

A．1

B．

C．

D．2

5.如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos

A等于()

A．

B．

C．

D．

6．(多選)下列命題中，正確的是()

A．在△ABC中，若A>B，則sin

A>sin

B

B．在銳角三角形ABC中，不等式sin

A>cos

B恒成立

C．在△ABC中，若acos

A－bcos

B＝0，則△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形

二、填空題

7．(2019·濟(jì)南聯(lián)考改編)若tan(α＋2β)＝2，tan

β＝－3，則tan(α＋β)＝________，tan

α＝________．

8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，b∈(4，6)，sin

2A＝sin

C，則c的取值范圍為________．

9．(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)檢測(cè))設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(A－C)－cos

B＝，延長BC至點(diǎn)D，若BD＝2，則△ACD面積的最大值為________．

三、解答題

10．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos

A＋a2cos

B.(1)求角B；

(2)若b＝2，tan

C＝，求△ABC的面積．

11．(2019·武漢模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝2B，cos

B＝.(1)求sin

C的值；

(2)若角A的平分線AD的長為，求b的值．

12．(2019·高考天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin

B＝4asin

C.(1)求cos

B的值；

(2)求sin的值．

能力提升專練

1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(sin

A－sin

B)＝(c－b)(sin

C＋sin

B)．

(1)求角C；

(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．

2．(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.(1)求∠B的大?。?/p>

(2)若AM＝，求△AMC的面積．

3．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2(c－acos

B)＝b.(1)求角A；

(2)若a＝2，求△ABC面積的取值范圍．

第三篇：簡單的三角恒等變換教案

簡單的三角恒等變換教案

（一）一．教學(xué)目標(biāo)

1、通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

3、通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力．

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力．

教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．

三、教學(xué)設(shè)想：

（一）復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的和（差）公式，倍角公式

（二）新課講授：

1、由二倍角公式引導(dǎo)學(xué)生思考：?與?2有什么樣的關(guān)系？

學(xué)習(xí)和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運(yùn)算能力提供了新的平臺(tái)．

例

1、試以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．

解：我們可以通過二倍角cos??2cos因?yàn)閏os??1?2sin因?yàn)閏os??2cos22?22?1和cos??1?2sin2?1?cos?； 2?2來做此題．

?2，可以得到sin?2?2?1，可以得到cos2?2?1?cos?． 2又因?yàn)閠an2?2?2?1?cos?． ?1?cos?cos22sin2?思考：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？

代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)． 例2．已知sin??例

3、求證：（１）、sin?cos??5?，且?在第三象限，求tan的值。

2131sin??????sin???????； ??2（２）、sin??sin??2sin???2cos???2．

證明：（１）因?yàn)閟in?????和sin?????是我們所學(xué)習(xí)過的知識(shí)，因此我們從等式右邊著手．

sin??????sin?cos??cos?sin?sin??????sin?cos??cos?sin?．

兩式相加得2sin?cos??sin??????sin?????； 即sin?cos??；

1?sin??????sin???????； 2?（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；設(shè)?????,?????，那么?????2,?????2．

把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin思考：在例3證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？

???2cos???2．

例3證明中用到換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公式．

三．練習(xí)：P142面1、2、3題。

四．小結(jié)：要對(duì)變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用．

五．作業(yè)：《習(xí)案》三十三。

第四篇：數(shù)學(xué)史論文

數(shù)學(xué)史論文 ——中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)

院系：數(shù)信學(xué)院

班級(jí)：數(shù)教一班 姓名：韓軍香

學(xué)號(hào)：20120503031 摘要：從公元476年西羅馬帝國滅亡到14世紀(jì)文藝復(fù)興長達(dá)1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀(jì)。與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，特別是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括。算法本來是古代河谷文明的傳統(tǒng)，但在中世紀(jì)卻有了質(zhì)的提高，它很難再僅僅被看作是簡單的經(jīng)驗(yàn)法則，而是一種歸納思維能力的產(chǎn)物。從公元前后至公元14世紀(jì)，前后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，其中宋元時(shí)期達(dá)到了中國古典數(shù)學(xué)的頂峰。

關(guān)鍵字：中世紀(jì)、中國數(shù)學(xué)、算法

牙牙學(xué)語的時(shí)候，我們就開始接觸到數(shù)學(xué)。從簡單的加減乘除再到現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，貫穿了我們的整個(gè)學(xué)習(xí)過程。那數(shù)學(xué)又有怎樣一段歷史呢？下面是對(duì)中世紀(jì)的數(shù)學(xué)的簡單介紹：

一、《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》

（一）、《周髀算經(jīng)》：編纂于西漢末年，天文學(xué)著作。西漢末年﹝公元前一世紀(jì)﹞編纂的《周髀算經(jīng)》，盡管是談?wù)撋w天說宇宙論的天文學(xué)著作，但包含許多數(shù)學(xué)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測(cè)太陽高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法，為后來重差術(shù)（勾股測(cè)量法）的先驅(qū)。此外，還有較復(fù)雜的開方問題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。

（二）、《九章算術(shù)》：中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，全書246個(gè)問題，分成九章。它完整地?cái)⑹隽水?dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)成就，在長達(dá)一千多年間，一直作為中國的數(shù)學(xué)教科書，并被公認(rèn)為世界數(shù)學(xué)古典名著之一?！毒耪滤阈g(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系正式形成?！毒耪滤阈g(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年﹝公元前一世紀(jì)﹞。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個(gè)問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等。在代數(shù)方面，《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則，在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載；書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來說，它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí)際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對(duì)中國古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展

二、劉徽與祖沖之

（一 劉徽公元263年撰《九章算術(shù)注》，系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。

劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”，他運(yùn)用“割圓術(shù)”得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構(gòu)造了“牟合方蓋”的幾何模型，為祖暅獲得正確結(jié)果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運(yùn)用極限方法成功地證明了陽馬術(shù)；他還撰著《海島算經(jīng)》，發(fā)揚(yáng)了古代勾股測(cè)量術(shù)----重差術(shù)。

（二）祖沖之（公元429年─公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。祖沖之從小接受家傳的科學(xué)知識(shí)。青年時(shí)進(jìn)入華林學(xué)省，從事學(xué)術(shù)活動(dòng)。一生先后任過南徐州（今鎮(zhèn)江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械三方面。

著作《綴術(shù)》取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之算出圓周率在3．1415926與3．1415927之間，并以355/113（=3．1415929?）為密率，22/7（=3．1428?）為約率，他計(jì)算圓周率，取得當(dāng)時(shí)世界最先進(jìn)成就，900多年之后，其精度方被人超過?！毒Y術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理 ：冪勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實(shí)意義，適應(yīng)了當(dāng)時(shí)生產(chǎn)實(shí)踐的需要。他親自研究過度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計(jì)算。隋唐時(shí)期以后，人們制造量器時(shí)就采用了祖沖之的“祖率”數(shù)值。

（三）《算經(jīng)十書》：隋唐時(shí)期是中國封建官僚制度建立時(shí)期，隨著科舉制度與國子監(jiān)制度的確立，數(shù)學(xué)教育有了長足的發(fā)展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》﹝包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》﹞，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對(duì)保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。它們是唐代以前的主要數(shù)學(xué)著作，代表了中國古代數(shù)學(xué)的光輝成就。傳本《周髀算經(jīng)》，有趙爽注、甄鸞注等，當(dāng)時(shí)被稱為“算經(jīng)”。

三、宋元數(shù)學(xué)

宋元時(shí)期是中國數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰，這一時(shí)期重新統(tǒng)一了的中國社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。還涌現(xiàn)了許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù)，是數(shù)學(xué)全盛時(shí)期，其印刷出版、記載著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產(chǎn)。

(一)賈憲三角與秦九韶“正負(fù)開方術(shù)”

1、賈憲（約公元11世紀(jì)）約1050年完成《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》，發(fā)明了“增乘開方法”，創(chuàng)造了“開方作法本源圖”。楊輝《詳解九章算法》（1261）載有“開方作法本源”圖，注明“賈憲用此術(shù)”。這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角”?！对斀饩耪滤惴ā吠瑫r(shí)錄有賈憲進(jìn)行高次冪開方的“增乘開方法”。

他的一些獨(dú)到的數(shù)學(xué)思想和方法，主要有以下兩點(diǎn)。

（1）、抽象分析法：在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題是更為突出，他首先提出了“勾股生變十三圖”。他完備了勾股弦及其和差的所有關(guān)系，說這些關(guān)系“有用而取，無用不取，立圖而驗(yàn)之”，說明他已經(jīng)拋開《九章》算題本身而對(duì)勾股問題進(jìn)行抽象分析了。

（2）、程序化方法：主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟.適用于同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的“增乘開方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現(xiàn)了這一方法，2、秦九韶（約1202－1261年）1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》，推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數(shù)值解法，他列舉了二十多個(gè)來自實(shí)踐的高次方程的解法，最高為十次方程。其中兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。一是創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”（中國剩余定理），二是提出了“正負(fù)開方術(shù)”?！扒鼐派厮惴ā?，一般地，一元n次多項(xiàng)式的求值需要經(jīng)過[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工計(jì)算時(shí)，一次大大簡化了運(yùn)算過程。特別是在現(xiàn)代，在使用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)于計(jì)算機(jī)程序算法而言秦九韶算法可以以更快的速度得到結(jié)果，減少了CPU運(yùn)算時(shí)間。

（二）內(nèi)插法與垛積術(shù)

1、郭守敬（1231－1316年）1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時(shí)歷》，列出了三次差的內(nèi)插公式。郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。郭守敬建造的河南登封觀星臺(tái)（1276）留存至今。

2、楊輝（公元13世紀(jì)）1261年完成《詳解九章算法》，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)”，另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”，其實(shí)是記載了賈憲的工作。楊輝在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級(jí)數(shù)之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。他署名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。他是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。

楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”。

(三)天元術(shù)與四元術(shù)

1李冶（1192－1279年）1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》，該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”的著作，是符號(hào)代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。李冶在數(shù)學(xué)上的主要成就是總結(jié)并完善了天元術(shù)，使之成為中國獨(dú)特的半符號(hào)代數(shù)。這種半符號(hào)代數(shù)的產(chǎn)生，要比歐洲早三百年左右。他的《測(cè)圓海鏡》是天元術(shù)的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術(shù)的著作。

所謂天元術(shù)，就是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法，“立天元一為某某”相當(dāng)于今“設(shè)x為某某”是一致的。李冶則在前人的基礎(chǔ)上，將天元術(shù)改進(jìn)成一種更簡便而實(shí)用的方法。他討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問題，寫成《測(cè)圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

2、公元1303年，元代朱世杰著《四元玉鑒》，它是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”（四元高次聯(lián)立方程）,并提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱才提出同樣的解法。朱世杰還對(duì)各有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問題進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利和公元1676一1678年間牛頓才提出內(nèi)插法的一般公式。

“四元術(shù)”，也就是列出四元高次多項(xiàng)式方程，以及消元求解的方法。他的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法。主要著作是《算學(xué)啟蒙》與《四元玉鑒》，《四元玉鑒》中還有兩項(xiàng)重要成就，即創(chuàng)立了一般的高階等差級(jí)數(shù)求和公式及等間距四次內(nèi)插法公式，后者通常稱為招差術(shù)。

中國中世紀(jì)的數(shù)學(xué)家的學(xué)習(xí)探索精神值得我們借鑒和學(xué)習(xí)，但是，我們也要看到時(shí)間數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程，有其實(shí)近代數(shù)學(xué)史，中國已經(jīng)被甩在后頭，這需要我們清醒的認(rèn)識(shí)!“取其精華去其糟粕”這是千古名言，需要我們牢記。

參考文獻(xiàn)：

1、張維忠.數(shù)學(xué), 文化與數(shù)學(xué)課程[ M].上海: 上海教育出版 社, 1999

2、斯科特，數(shù)學(xué)史 中國人民出版社

3、費(fèi)泰生.算法及其特征[ J].數(shù)學(xué)通訊, 2004, 7

4、李文林，數(shù)學(xué)史教程 高等教育出版社 斯普林格出版社

5、張奠宙.算法[ J].科學(xué), 2003, 55(2)

第五篇：數(shù)學(xué)史論文

數(shù) 學(xué) 史 論 文

:課程論文 班級(jí)：09數(shù)學(xué)2班

內(nèi)容

古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展史初探

【摘要】： “古希臘數(shù)學(xué)”只是一個(gè)習(xí)慣用語，它并不等同于希臘這個(gè)國家或地區(qū)所創(chuàng)造的數(shù)學(xué)，而是指包括希臘半島，整個(gè)愛琴海區(qū)域和北面的馬其頓褐色雷斯，意大利半島和小亞西亞，以及非洲北部等地。從時(shí)間上看，是始于BC600年左右，到641年為止，一共持續(xù)了1300年的數(shù)學(xué)的統(tǒng)稱。本文，我就這一時(shí)間段的數(shù)學(xué)發(fā)展，也就是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)行初探。

【關(guān)鍵詞】：古希臘數(shù)學(xué)

發(fā)展史

學(xué)派

數(shù)學(xué)家

地中海的燦爛陽光——古希臘文明著稱于世。擁有特殊的地里環(huán)境的克里特島是希臘文明的發(fā)端，同時(shí)，政治和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展造就了希臘文化。希臘文化汲取了各種各樣的優(yōu)秀東方文化。其中，希臘數(shù)學(xué)就是希臘文化中的一個(gè)主要分支。希臘數(shù)學(xué)匯集了巴比倫精湛的算術(shù)和埃及神奇的幾何學(xué)。我們將希臘數(shù)學(xué)的賣力發(fā)展史分為下列三大歷史時(shí)期;一． 第一時(shí)期： BC600—BC323 這一時(shí)期又可以希波戰(zhàn)爭為界限劃分為前后2個(gè)歷史時(shí)期。希波戰(zhàn)爭前的希臘數(shù)學(xué)就是以愛奧尼亞學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為主要代表的。希波戰(zhàn)爭之后，則以巧辯學(xué)派，埃利亞學(xué)派，原子論學(xué)派柏拉圖學(xué)派的成就為代表。尤其是從BC480年到BC336年，數(shù)學(xué)史上又

稱為雅典時(shí)期。雅典時(shí)期哲學(xué)和經(jīng)濟(jì)的空前繁榮誕生了像亞里斯多德這樣的百科全書般的杰出人物。BC4世紀(jì)以后的希臘數(shù)學(xué)慢慢成為了獨(dú)立的學(xué)科。數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)入了一個(gè)新的階段——初等數(shù)學(xué)時(shí)期。在這一個(gè)時(shí)期里，初等幾何，算術(shù)，初等代數(shù)大體已經(jīng)分化出來。同17世紀(jì)出現(xiàn)的解析幾何學(xué)，微積分學(xué)相比，這一時(shí)期的研究內(nèi)容可以用“初等數(shù)學(xué)”來概括，因此叫做初等數(shù)學(xué)時(shí)期。

在這一大時(shí)期里，希臘各地涌現(xiàn)了許許多多的學(xué)派，他們共同作用于希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展。在這些學(xué)派中最有影響力的主要有三大流派;

（一）愛奧尼亞學(xué)派——古希臘歷史上的第一個(gè)學(xué)派

愛奧尼亞學(xué)派是由彼賦盛名的“希臘科學(xué)之父”泰勒斯創(chuàng)立。泰勒斯是一個(gè)精明的商人，他流轉(zhuǎn)于各地經(jīng)商，并從巴比倫河埃及等地帶回了數(shù)學(xué)知識(shí)，故而創(chuàng)立了愛奧尼亞學(xué)派。他在數(shù)學(xué)上的最著名的業(yè)績是測(cè)量金字塔的高度，而劃時(shí)代的貢獻(xiàn)是開始引入了命題證明的思想，因而被認(rèn)為是希臘幾何的先驅(qū)。關(guān)于泰勒斯，希臘史詩并無明確的記載，但據(jù)可靠的材料我們可以推斷出下列五大命題的發(fā)現(xiàn)時(shí)歸功于泰勒斯：

（1）圓的直徑將圓平分。（2）等腰三角形兩底角相等。（3）兩條直線相交，對(duì)頂角相等。

（4）有兩角夾一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（5）對(duì)半圓的圓周角是直角。

其中，第五個(gè)命題還被人們稱為“泰勒斯定理”。泰勒斯證明了或視

圖證明這些命題，使得數(shù)學(xué)從具體的，實(shí)驗(yàn)的階段開始向抽象的，理論的階段過渡，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重大創(chuàng)舉。也就是說，泰勒斯對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展的貢獻(xiàn)并比僅是存在于他發(fā)現(xiàn)了這些定理，更重要的是泰勒斯為它們提供了某種的邏輯證明。從泰勒斯開始，人們已經(jīng)不再只是利用直觀和實(shí)驗(yàn)解答數(shù)學(xué)問題，而是將邏輯學(xué)中的演繹推理引入了數(shù)學(xué)，奠定了演繹數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這使得他榮獲了“第一位數(shù)學(xué)家”和“論證幾何學(xué)鼻祖”的美譽(yù)，還被尊稱為“希臘七賢之首”。

愛奧尼亞學(xué)派的其他成員有安納西曼德，安納西尼斯，安納薩戈拉斯等人，學(xué)術(shù)思想綿延百年。以客觀的角度看來，以泰勒斯為首的愛奧尼亞學(xué)派并不出色，但他們?cè)谡軐W(xué)特別是自然哲學(xué)方面的工作卻是無與倫比的。他們具有理性的思維觀念，并用這一觀念解釋數(shù)學(xué)問題的奧妙之所在。

（二）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派——西方古代美學(xué)的開端

畢達(dá)哥拉斯與泰勒斯一樣也是撲朔迷離的傳說人物，二者都沒有著作留世，我們甚至不知道他們是否寫過著作。如今我們對(duì)于畢達(dá)哥拉斯的了解也只是通過一些其他的著作提及的相關(guān)信息。根據(jù)這些間接的資料，我們知道畢達(dá)哥拉斯于BC570年生于薩摩斯島，是古希臘哲學(xué)家，天文學(xué)家和音樂理論學(xué)家，他愛好游學(xué)。他游歷各地，最后定居于意大利半島南部的克羅多內(nèi)（古：大希臘），還廣收門徒，秘密組織了一個(gè)集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位于一體的組織——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派主要是研究“哲學(xué)”和“數(shù)學(xué)”。相傳，創(chuàng)造了“哲學(xué)”和“數(shù)學(xué)”這2個(gè)詞。

在幾何學(xué)方面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主要有2大幾何學(xué)成就，一就是發(fā)現(xiàn)和證明了“勾股定理”，后來被歐幾里得編入了《幾何原本》之中。至今，西方人仍然把“勾股定理”叫做“畢達(dá)哥拉斯定理”。這個(gè)偉大的定理導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的另外一項(xiàng)幾何成就就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。盡管人們將許多的集合成就歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，但這個(gè)學(xué)派適中的及基本信條是“萬物皆數(shù)”。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派崇拜的數(shù)主要有整數(shù)和兩個(gè)整數(shù)形成的比，即有理數(shù)。他們對(duì)這些數(shù)做出過深入的研究，發(fā)現(xiàn)了完全和親和數(shù)，即將抽象的數(shù)作為萬物的本源，通過揭露數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理。該學(xué)派宣稱宇宙的萬物主宰者也就是上帝是用數(shù)來統(tǒng)御宇宙的，認(rèn)為萬物含數(shù)。一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員曾經(jīng)說過：“人們所知道的一切事物都包含數(shù)，因此，沒有數(shù)即不可能來表達(dá)也不可能來理解任何事物?！倍磺袛?shù)中最神圣的是10，10在他們的眼中是最完美和最和諧的標(biāo)志，這種“萬物皆數(shù)”的概念從另一個(gè)角度強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)作用于客觀世界，這也是數(shù)學(xué)化思想的最初表述形式。該學(xué)派的初步數(shù)學(xué)化思想促進(jìn)了對(duì)自然數(shù)的分類研究，他們定義了很多的概念。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還從數(shù)與形的關(guān)系出發(fā)，研究了二者的結(jié)合物——“行數(shù)”，且由此得出了一些數(shù)列的重要公式，這一系列的數(shù)列現(xiàn)在已經(jīng)成為高階等差數(shù)列的范圍。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)字神秘主義的外殼，包含著理性的內(nèi)核。首先，它加強(qiáng)了數(shù)的概念中的理論傾向。其次，“萬物皆數(shù)”的信念，使畢

達(dá)哥拉斯成為相信自然現(xiàn)象可以通過數(shù)字來理解的先驅(qū)。他們認(rèn)為宇宙萬物依賴于整數(shù)的信條，由于不可公度量的發(fā)現(xiàn)而收到了動(dòng)搖。據(jù)柏拉圖記載，后來又發(fā)現(xiàn)了一些無理數(shù)。這些“怪物”深深地困惑著古希臘啦的數(shù)學(xué)家，希臘數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這一個(gè)邏輯難題被史稱為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。約1世紀(jì)之后，這一危機(jī)才由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員啊切塔斯的學(xué)生歐多克斯提出的新比例理論二暫時(shí)得到了消除。畢達(dá)哥拉斯在政治中被殺害之后，該學(xué)派還存在了2世紀(jì)之久。阿爾·西塔斯則是這個(gè)學(xué)派的晚期的代表人物。他繼承和發(fā)展了畢達(dá)哥拉斯學(xué)說。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有這么一個(gè)教規(guī)，就是一切的發(fā)明都?xì)w功于學(xué)派的領(lǐng)袖，而且還對(duì)外保密，因此早期的學(xué)派成員幾乎沒有留下名字。直到BC480年，畢達(dá)哥拉斯遇害，組織被破壞，他們的研究才公諸于世。

（三）巧辯學(xué)派，埃利亞學(xué)派，原子論學(xué)派

巧辯學(xué)派是古代希臘的一個(gè)學(xué)派，開始以“智者學(xué)派”自稱，后來因?yàn)檫^于偏重于利用言辭雄辯，純粹是為了解釋二解釋，逐漸變得很虛偽。后變成了巧辯學(xué)派。

埃利亞學(xué)派是古希臘最早的唯心主義哲學(xué)派別之一，宣揚(yáng)唯心主義和形而上學(xué)，以善辯而著稱。克塞諾芬尼是克塞諾芬尼的創(chuàng)始人。該學(xué)派成員巴門尼德提出的“存在”是對(duì)宇宙萬物共同本質(zhì)的抽象概括，使哲學(xué)從而擺脫了用具體物質(zhì)形態(tài)說明世界本原的原始樸素形式，是認(rèn)識(shí)史的重要進(jìn)步?！按嬖凇备拍畛蔀橐院笳軐W(xué)討論的中心概念。

他們提出的存在與非存在、一與多、運(yùn)動(dòng)與靜止等范疇，對(duì)以后的辯證法研究有一定啟示。

原子論學(xué)派是古希臘BC5世紀(jì)至BC4世紀(jì)活躍于色雷斯地區(qū)的學(xué)派。創(chuàng)始人是勒西普斯。其基本觀點(diǎn)是認(rèn)為萬物的本原是“原子”與虛空。原子是一種最小的、不可再分的、看不見的物質(zhì)微粒，而虛空是原子運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)所。這種看法已孕育著近代積分論的萌芽。原子論在邏輯上是不嚴(yán)密的，卻是古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的重要線索。原子論學(xué)派的思想影響到近現(xiàn)代，今天計(jì)算積分常用的微元法也是原子論的思想。

二． 第二時(shí)期：BC336-----BC30（亞歷山大里亞前期）

這個(gè)時(shí)期，亦稱為黃金時(shí)代，科學(xué)文化的中心也從雅典轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大里亞。亞歷山大里亞城市東南海路交通的樞紐，又經(jīng)過托勒密王狄加意的經(jīng)營，慢慢地成為了新的希臘文化的中心，取代了希臘本土的主要要地位。BC146年，古希臘滅亡，希臘數(shù)學(xué)以羅馬為中心，達(dá)到了一個(gè)巔峰時(shí)期，史稱“希臘化的科學(xué)時(shí)代”。在這一時(shí)期，以歐幾里得.阿基米德和阿波羅尼奧斯的研究為主要代表。同時(shí)，他們也成為了希臘數(shù)學(xué)史上最有影響力的數(shù)學(xué)家。正是他們讓數(shù)學(xué)開始了相對(duì)獨(dú)立的發(fā)展。

（一）歐幾里得及其《原本》

歐幾里得是希臘論證幾何學(xué)的集大成者。關(guān)于他的生平，我們知之甚少。歐幾里得寫過不好的數(shù)學(xué)，天文，光學(xué)和音樂方面的著作，現(xiàn)存的有《原本》，《論剖分》，《現(xiàn)象》，《光學(xué)》和《鏡

面反射》。其中，最出名的莫過于《原本》。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作?！稁缀卧尽肥枪畔ＥD數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書。既是數(shù)學(xué)巨著，也是哲學(xué)巨著，還是第一次完成了人類對(duì)空間的認(rèn)識(shí)。除《圣經(jīng)》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相提并論。

《幾何原本》，共13卷，含有23條定義，5條公理，5條公設(shè)，在此基礎(chǔ)上，演繹了467個(gè)命題?！稁缀卧尽返奶攸c(diǎn)和歷史地位：

（1）抽象化的內(nèi)容。它主要體現(xiàn)在藥酒的對(duì)象都是抽象的概念和命題。撇開研究對(duì)象的具體內(nèi)容來講，它僅僅保留了空間形式和數(shù)量關(guān)系，這些形式和關(guān)系是一種形式化的思想。同時(shí)，它獨(dú)立地創(chuàng)造出了思想成果，一邏輯為鏈條的形式化符號(hào)系統(tǒng)，數(shù)字的形式化方法決定了數(shù)學(xué)能對(duì)純粹的量進(jìn)行獨(dú)立地，理想化地，系統(tǒng)性地進(jìn)行研究。從抽象程度上看，《幾何原本》每一次抽象都是理性思維的結(jié)晶，體現(xiàn)了當(dāng)時(shí)人類思維的最高級(jí)形態(tài)。（2）公理化的方法

《幾何原本》是實(shí)質(zhì)公理學(xué)的典范。公理學(xué)研究的對(duì)象，性質(zhì)和關(guān)系是由初始的概念來表示的。該書把亞里斯多德初步總結(jié)出來的公理化思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)，整理，總和發(fā)展了希臘古典時(shí)期的大量數(shù)學(xué)知識(shí)。它在數(shù)學(xué)史上是一座不朽的里

程碑。

（3）封閉式的演繹

它以一些原始概念和不證明的公設(shè)和公理為基礎(chǔ)，運(yùn)用邏輯原則，演繹出幾何學(xué)中的所有定理。與此同時(shí)，《原本》的理論體系回避了社會(huì)中的任何實(shí)際性問題，所以說，它對(duì)于整個(gè)社會(huì)而言也是封閉的。

（二）阿基米德——數(shù)學(xué)之神

阿基米德是歷史上的偉大數(shù)學(xué)家和偉大力學(xué)學(xué)者，享有“力學(xué)之父”的美稱。他有這么一句名言眾所周知“給我一個(gè)支點(diǎn)，我將翹起整個(gè)地球”。作為數(shù)學(xué)家，他寫出了《論球和圓柱》、《圓的度量》、《拋物線求積》、《論螺線》、《論錐體和球體》、《沙的計(jì)算》數(shù)學(xué)著作。作為力學(xué)家，他著有《論圖形的平衡》、《論浮體》、《論杠桿》、《原理》等力學(xué)著作。阿基米德因創(chuàng)造性的成果受到了后人的高度贊揚(yáng)，與牛頓，高斯并列為有史以來三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家，他們和歐拉一起并稱為四個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家。除了偉大的牛頓和愛因斯坦，再?zèng)]有一個(gè)人可以像阿基米德那樣為人類的進(jìn)步做出過這樣大的貢獻(xiàn)。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實(shí)驗(yàn)天才合于一人的理想化身”。

阿基米德還制作過天文儀器，發(fā)明了螺旋水漿。他的獨(dú)創(chuàng)與論證相結(jié)合，計(jì)算技巧與邏輯分析相結(jié)合，注意理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)獨(dú)步千年，留芳百世。

對(duì)于阿基米德來說，機(jī)械和物理的研究發(fā)明還只是次要的，他比較有興趣而且還投注許多時(shí)間的是純理論上的研究，尤其是在數(shù)學(xué)和天文方面。在數(shù)學(xué)方面，他利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，使得后世的數(shù)學(xué)家可以依據(jù)這樣的“逼近法”加以發(fā)展成近代的“微積分”。在推演這些公式的過程中，他進(jìn)一步發(fā)展了歐多克斯發(fā)明的“窮竭法”，就是用內(nèi)接和外切的直邊圖形不斷地逼近曲邊形以用來解決曲面面積問題,即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認(rèn)為微積分計(jì)算的鼻祖。他用圓內(nèi)接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法，比較精確的求出了圓周率。他甚至還研究出螺旋形曲線的性質(zhì)，現(xiàn)今的“阿基米德螺線”曲線，就是為紀(jì)念他而命名。另外他在《恒河沙數(shù)》一書中，他創(chuàng)造了一套記大數(shù)的方法，簡化了記數(shù)的方式，避免了冗長的希臘數(shù)字。

（三）阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線輪》

阿波羅尼奧斯約BC262年生于佩爾格,在BC190年卒，是一位數(shù)學(xué)家。它的主要貢獻(xiàn)是在前人工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了圓錐曲線理論。他注意圖形的幾何性質(zhì)，把前輩們的所得到的圓錐曲線知識(shí)，予以嚴(yán)格的系統(tǒng)化，可以收是代表了希臘幾何的最高水平，直到17世紀(jì)，希臘幾何學(xué)并無實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步。下面我就來說所《圓錐曲線論》的意義?！秷A錐曲線輪》是一部經(jīng)典巨著，此書集前人之大成，且提出很多新的性質(zhì)。書中首先證明三種圓

錐曲線都可以由同一個(gè)圓錐體截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱，取代了過去的一些叫法。此書可以是把圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，其他人毫無插足之地。三． 第三時(shí)期：BC30-----AD641 這個(gè)時(shí)期，亞歷山大里亞被阿拉伯人占領(lǐng)。從此，希臘數(shù)學(xué)開始走向了滅亡之路了，史稱亞歷山大里亞后期。雖然這一時(shí)期，希臘數(shù)學(xué)慢慢隱沒，但是也涌現(xiàn)了一批的杰出數(shù)學(xué)家。這一時(shí)期以海倫，帕波斯，丟番圖，海帕西婭等人為主要代表。

（一）海倫——測(cè)量大師

海倫海倫生于埃及，是古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、機(jī)械學(xué)家和測(cè)量家。海倫以解決幾何測(cè)量問題而聞名。著名的“海倫公式”就是由他證明得出的。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使用某些經(jīng)驗(yàn)性的近似公式，注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。他的主要著作右《量度論》一書。他的成就還有：正3到正12邊形面積計(jì)算法；長方臺(tái)體積公式；求立方根的近似公式等。

（二）丟番圖及其丟番圖問題

丟番圖是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一。他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，對(duì)算術(shù)理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式擺脫了幾何的羈絆，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟，被后世人叫做“代數(shù)學(xué)之父”。以下就是著名的丟番圖問題，它就是丟番圖的墓志銘:

“過路人！這里安葬著丟番圖，下面的題目可以告訴你他的壽命多長。他生命的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年，再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數(shù)的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風(fēng)燭殘年，也走完了人生的旅程。請(qǐng)問，丟番圖活了多大的年紀(jì)？”這段碑文散發(fā)著文學(xué)的芳香，是歷史留給我們唯一的有關(guān)他的訊息。它相當(dāng)于方程：設(shè)：丟番圖X歲。

x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

x=25/28x+9

3/28x=9

x=84

現(xiàn)在人們所說的丟番圖方程是指對(duì)于整系數(shù)的不定方程，求其整數(shù)解。

（三）海帕西婭——最早的女?dāng)?shù)學(xué)家

海帕西亞大約于AD 3 7 0 年生于埃及的亞歷山大里亞。她10歲就知道利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的原理去測(cè)量金字塔的高度了。海帕西婭是一位科學(xué)家，精通數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)．教會(huì)感到她的雄辯才能和崇高的聲望足以威脅到他們的存在，于是把她視為眼中釘．AD415年3月的一天，在教長西里耳的主謀下，一群暴徒突然把她從馬車上拉到教堂里殘酷地殺死．這是歷史上一樁駭人聽聞的宗教迫害科學(xué)家的滔天罪行．人稱海帕西婭是世界上

第一位女?dāng)?shù)學(xué)家。而她的慘死實(shí)為一千古悲劇，也是她的死標(biāo)志著希臘數(shù)學(xué)的消亡。

總之，亞歷山大時(shí)期達(dá)到開拓了希臘數(shù)學(xué)領(lǐng)域，正是由于這個(gè)時(shí)期的成就，希臘數(shù)學(xué)才能成為一個(gè)比較完整的體系載入史冊(cè)。而整個(gè)希臘數(shù)學(xué)的消亡是由羅馬人的入侵所導(dǎo)致的，羅馬統(tǒng)治是歐洲數(shù)學(xué)將進(jìn)入了一個(gè)漫長的黑暗時(shí)期。AD641年，亞歷山大里亞被阿拉伯人占領(lǐng)，圖書館再次被焚，希臘數(shù)學(xué)悠久而又燦爛的歷史到此終結(jié)了。這是一個(gè)遺憾，一個(gè)歷史的遺憾，一個(gè)數(shù)學(xué)歷史的遺憾啊?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】：

[1]王青建.數(shù)學(xué)史簡編.科學(xué)出版社，2004 [2]朱家莊.數(shù)學(xué)史.高等教育出版社，2011.5 [3]傅海倫.中外數(shù)學(xué)史概論.科學(xué)出版社,2007 [4]李文林.數(shù)學(xué)史概論.高等教育出版社,2011.2