第一篇：高中數(shù)學(xué)第二講五與圓有關(guān)的比例線段互動(dòng)課堂學(xué)案新人教A版選修

五 與圓有關(guān)的比例線段

互動(dòng)課堂

重難突破

一、相交弦定理

1.相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.圖2-5-1 2.定理的證明:如圖2-5-1,已知⊙O的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)的一點(diǎn)P. 求證:PA·PB＝PC·PD.

證明:連結(jié)AC、BD,則由圓周角定理有∠B =∠C. 又∵∠BPD =∠CPA, ∴△APC∽△DPB. ∴PA∶PD ＝PC∶PB, 即PA·PB ＝PC·PD.

當(dāng)然,連結(jié)AD、BC也能利用同樣道理證得同樣結(jié)論.3.由于在問題的證明中,⊙O的弦AB、CD是任意的,因此,PA·PB＝PC·PD成立,表明“過定圓內(nèi)一定點(diǎn)P的弦,被P點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積應(yīng)為一個(gè)定值”.雖然過定點(diǎn)P的弦有無數(shù)多條,然而在這眾多的弦中有一些長(zhǎng)度比較特殊的弦,如過點(diǎn)P的最長(zhǎng)或最短的弦,通過它們可以找到定值.

圖2-5-2

如圖2-5-2（1）,考察動(dòng)弦AB,若AB過⊙O的圓心O,則AB為過點(diǎn)P的最長(zhǎng)的弦,設(shè)⊙O的半徑為R,則PA·PB＝（R－OP）（R＋OP）.

如圖2-5-2（2）,考察過點(diǎn)P的弦中最短的弦,AB為過⊙O內(nèi)一點(diǎn)P的直徑,CD為過點(diǎn)P2且垂直于AB的弦,顯然,由垂直定理和相交弦定理,應(yīng)有PA·PB＝PC·PD＝(CD)＝OC－

212OP2＝R2－OP2.

由于⊙O是定圓,P為⊙O內(nèi)一定點(diǎn),故⊙O的半徑R與OP的長(zhǎng)為定值.設(shè)OP＝d,比較上

22述兩式,其結(jié)論是一致的,即PA·PB＝（R-d）(R +d)=R-d,為定值.

于是,相交弦定理可進(jìn)一步表述為:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積為一定量,它等于圓的半徑與交點(diǎn)到圓心距離的平方差.定圓的任一弦被定點(diǎn)分得兩線段長(zhǎng)的積為定值,這個(gè)定值與點(diǎn)P的位置有關(guān),對(duì)圓內(nèi)不同的點(diǎn)P,一般來說,定值是不同的,即這個(gè)定值是相對(duì)于定點(diǎn)P與定圓O而言的.

同時(shí),由第二式可直接得到相交弦定理的推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是

它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng),即PC＝PD＝PA·PB.

二、割線定理與切割線定理

1.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.2.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

2圖2-5-3

23.符號(hào)語言表述:如圖2-5-3,PA·PB=PC·PD =PE.4.定理的證明:連結(jié)EC、ED,由于PE為切線,所以∠PEC=∠PDE.又因?yàn)椤螮PC=∠EPC,于

2是△PEC∽△PDE,因此有PE∶PC =PD∶PE,即PE=PC·PD.

2同理,有PE=PA·PB,所以PA·PB =PC·PD.5.應(yīng)注意的兩點(diǎn):（1）所有線段,都有一個(gè)公共端點(diǎn)P,而另一端點(diǎn)在圓上;（2）等積式左右兩邊的線段,分別在同一條割線上.三、切線長(zhǎng)定理

1.我們知道,過圓外一點(diǎn)可以引兩條直線與圓相切,在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)稱為切線長(zhǎng).切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng),而這條線段的兩端分別是圓外的已知點(diǎn)和切點(diǎn).注意切線是一條直線,而切線長(zhǎng)是切線上一條線段的長(zhǎng),屬于切線的一部分.2.切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.圖2-5-4

3.切線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用:因切線長(zhǎng)定理再次體現(xiàn)了圓的軸對(duì)稱性,它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù).如圖2-5-4,PA、PB是⊙O外點(diǎn)P向圓作的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,那么有PA =PB,∠OAP =∠OBP.4.由切線長(zhǎng)定理,可以得到圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì):圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等.利用這一性質(zhì)可以方便地解決許多問題.

四、刨根問底

問題1相交弦定理、割線定理、切割線定理在表述形式上非常類似,定理中都涉及到兩條線段的積相等,那么這些定理有什么內(nèi)在聯(lián)系？定理中兩條線段的積能確定具體數(shù)值嗎？

探究:相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理統(tǒng)稱為圓冪定理,圓冪定理是圓和相似三角形結(jié)合的產(chǎn)物.這幾個(gè)定理可統(tǒng)一記憶成一個(gè)定理:過圓內(nèi)或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線,則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點(diǎn)分（內(nèi)分或外分）成兩線段長(zhǎng)的積相等（至于

22切線可看作是兩條交點(diǎn)重合的割線）.兩條線段的長(zhǎng)的積是常數(shù)PA·PB＝|R－d|,其中d為

22定點(diǎn)P到圓心O的距離.若P在圓內(nèi),d＜R,則該常數(shù)為R－d;若P在圓上,d＝R,則該常數(shù)為0;若P在圓外,d＞R,則該常數(shù)為d2－R2.使用時(shí)注意每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn),另一個(gè)是與圓的交點(diǎn).

在實(shí)際應(yīng)用中,見圓中有兩條弦相交想到相交弦定理;見到切線與一條割線相交則想到切割線定理;若有兩條切線相交則想到切線長(zhǎng)定理,并熟悉此時(shí)圖形中存在著一個(gè)以交點(diǎn)和圓心連線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形.問題2與圓有關(guān)的比例線段問題涉及相似三角形、相交弦定理、切割線定理、比例的性質(zhì)等若干內(nèi)容,大都是綜合性的問題,那么通常我們?cè)鯓幼C明這些比例式？在證明時(shí)有什么訣竅嗎？

探究:與圓有關(guān)的比例線段問題,主要是圓與相似形的綜合,其證法大致可分以下幾種:(1)直接由相似形得到,即先由已知條件證得兩個(gè)三角形相似,從而直接得到有關(guān)對(duì)應(yīng)線段成比例.這是簡(jiǎn)單型的比例線段問題.

2(2)利用“等線段”代換得到,在證明“等積式”形如a＝bc時(shí),如果其中有三條線段共線,那么一般往往把平方項(xiàng)線段用“等線段”進(jìn)行代換.

2(3)利用“中間積”代換得到,在證明“等積式”形如a＝bc時(shí),如果其中有三條線段共線,不妨可以把平方項(xiàng)線段利用中間積進(jìn)行代換試試.

(4)利用“中間比”代換得到,在證明比例線段(不論共線與否),如果不能直接運(yùn)用有關(guān)定理,不妨就尋找“中間比”進(jìn)行代換試試.

與圓有關(guān)的比例線段證明要訣:圓冪定理是法寶,相似三角形中找訣竅,聯(lián)想射影定理分角線,輔助線來搭橋,第三比作介紹,代數(shù)方法不可少,分析綜合要記牢,十有八九能見效.活學(xué)巧用

【例1】過不在⊙O上的一點(diǎn)A作直線,交⊙O于B、C兩點(diǎn),且AB·AC＝64,OA＝10,則⊙O的半徑等于.

思路解析:點(diǎn)A不在⊙O上,有兩種情況:（1）點(diǎn)A在⊙O內(nèi);（2）點(diǎn)A在⊙O外. 答案:分兩種情況討論:

圖2-5-5

（1）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部時(shí),如圖2-5-5(1)所示.作直線OA交⊙O于E、F,設(shè)⊙O的半徑為r, 則AE＝r－10,AF＝r＋10.由相交弦定理得(r－10)(r＋10)＝64.

解得r1?241, r2??241(不合題意,舍去).∴r?241.（2）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O的外部時(shí),延長(zhǎng)AO交⊙O于F,設(shè)⊙O的半徑為R, 由切割線定理的推論得AB·AC＝AE·AF,即64＝(10－R)(10＋R).解得R1＝6,R2＝－6（不合題意,舍去）.∴R＝6.

綜上所述,⊙O的半徑為241或6.【例2】如圖2-5-6,已知PA切⊙O于A,割線PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn),PD⊥AB于D,PD、AO的延長(zhǎng)線相交于E,連結(jié)CE并延長(zhǎng)交⊙O于F,連結(jié)AF.

圖2-5-6

（1）求證:△PBD∽△PEC;（2）若AB＝12,tan∠EAF＝

2,求⊙O的半徑. 32,所以需構(gòu)造直3思路解析:在（1）中,要證相似的兩個(gè)三角形已經(jīng)有一個(gè)角相等,只要再證其夾邊對(duì)應(yīng)成比例即可,而這可由△PAD∽△PEA得到;在（2）中,已知tan∠EAF＝角三角形,從而運(yùn)用三角函數(shù)求解.

2(1)證明:由切割線定理,得PA＝PB·PC.

2由△PAD∽△PEA,得PA＝PD·PE,

∴PB·PC＝PD·PE.又∠BPD為公共角, ∴△PBD∽△PEC.

(2)解:作OG⊥AB于G,由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F, ∴PE∥AF.又OG⊥AB于G,∴AG ＝

1AB＝6.2262,又=,∴OG＝9.3OG32∴OG∥ED∥FA.∴∠AOG＝∠EAF.Rt△AOG中,tan∠AOG＝22由勾股定理,AG+OG＝AO, ∴AO?117＝313. ∴⊙O半徑長(zhǎng)為313.【例3】 如圖2-5-7,∠BAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于D和E,延長(zhǎng)AC交過D、E、C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)F.

圖2-5-7

（1）求證:EF＝ED·EA;

（2）若AE＝6,EF＝3,求AF·AC的值.

2思路解析:（1）要證EF＝ED·EA,只需證△AEF∽△FED.（2）由于AC·AF＝AD·AE,而由（1）可求得DE,因而AD可以求出來,從而計(jì)算出AD·AE,即為AC·AF的值.(1)證明:連結(jié)CE、DF.

∵∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠1＝∠3,∴∠2＝∠4.

2∵∠AEF＝∠FED,∴△AEF∽△FED.∴EFAE2=.∴EF=ED·EA. EDFE2(2)解:由（1）知EF＝AE·ED.

39.∴AD?. 229∴AC·AF =AD·AE =6??27.2∵EF =3,AE =6,∴ED?【例4】 如圖2-5-8,已知PA為⊙O的切線,PBD為⊙O的割線,交⊙O于B、D兩點(diǎn),C為AB22中點(diǎn),PC的延長(zhǎng)線交AD于E.求證:PA∶PB=DE∶EA.

圖2-5-8

222思路解析:此題涉及平方比問題,我們應(yīng)設(shè)法化去平方比PA∶PB,由于PA=PB·PD,故可以用這一結(jié)論直接化去平方比. 證明:過B作BM∥AD,交PC于點(diǎn)M,

PA2PB?PDPD∵PA=PB·PD,∴= =. 22PBPBPB2∵C為AB中點(diǎn),∴BC =AC. ∵BM∥AE,∴AE =BM,且

PDDE=. PBBMPA2DEPDDE∴=.∴=.2PBAEPBAE【例5】 如圖2-5-9,已知PA切⊙O于A,割線PCB交⊙O于C、B兩點(diǎn).

圖2-5-9 AC2PC(1)求證: =.

PBAB2(2)若Q為弧BC中點(diǎn),AQ交BC于D點(diǎn).求證:

PBS?ABD =. S?ACDPD思路解析:(1)利用相似三角形面積的關(guān)系;(2)利用兩個(gè)三角形的邊DB、DC上的高相等.證明:(1)∵PA切⊙O于A,∴∠CAP=∠B, 又∠APC=∠BPA,∴△ACP∽△BAP.

SACPAC2S?ACPPA2∴=.又=, 22S?BAPABS?BAPPBAC2PC且PA=PC·PB,∴=. 2ABPB2(2)∵Q為弧BC中點(diǎn),∴∠BAD =∠DAC. 又∵∠CAP =∠B,∴∠DAP =∠ADC. ∴PA =PD.

在△ABC中,∵∠BAD =∠DAC, ∴

ABBDABBDS=.∴?ABD= =.

ACDCACS?ACDDCABPB=. ACPA又△ACP∽△BAP,∴∴ABPBPBS=.∴?ABD=.ACPDS?ACDPD

第二篇：高中數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理教案 新人教A版選修4

海南省文昌中學(xué)高中數(shù)學(xué)選修四：平行線分線段成比例定理 教案

教學(xué)目的：

1．使學(xué)生理解平行線分線段成比例定理及其初步證明； 2．使學(xué)生初步熟悉平行線分線段成比例定理的用途、用法； 3．通過定理的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、概括能力。

教學(xué)重點(diǎn)：取得“猜想”的認(rèn)識(shí)過程，以及論證思路的尋求過程。教學(xué)難點(diǎn)：成比例的線段中，對(duì)應(yīng)線段的確認(rèn)。教學(xué)用具：圓規(guī)、三角板、投影儀及投影膠片。教學(xué)過程：

（一）舊知識(shí)的復(fù)習(xí)

利用投影儀提出下列各題使學(xué)生解答。1．求出下列各式中的x：y。（1）3x=5y；（2）x=2y；（3）3：2=?：?；（4）3：?=5：?。32．已知

??zx?y?z?7??,求。3．已知??,求。

2342x?3y?z?2???其中第1題以學(xué)生分別口答、共同核對(duì)的方式進(jìn)行；第2、3題以學(xué)生各自解答，指定2人板演，而后共同核對(duì)板演所述，并追問理論根據(jù)的方式進(jìn)行。

（二）新知識(shí)的教學(xué)

1．提出問題，使學(xué)生思考。

在已學(xué)過的定理中，有沒有包含兩條線段的比是1：1的？ 而后使學(xué)生試答，如果答出定理——過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊，那么追問理由，如果答不出，那么利用圖1（若E是AB中點(diǎn)，EF//BC，交AC于F點(diǎn)，AEAF1??，并EBFC1AE1?，指出此定理也可謂：如果E是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，且

EB1AEAE1??。EF//BC交AC于F點(diǎn)，那么

EBFC1則AF=FC）使學(xué)生觀察，并予以分析而得出

2．引導(dǎo)學(xué)生探索與討論。

就著上述結(jié)論提出，在△ABC中，EF//BC這個(gè)條件不變，但時(shí)，AE1AE2不等于，譬如=EB1EB3AF應(yīng)等于“幾比幾”？并使學(xué)生各自畫圖、進(jìn)行度量，得出“猜想”——配合著黑FC板上畫出的相應(yīng)圖觀察、明確。

而后使學(xué)生試證，如能證明，則讓學(xué)生進(jìn)行證明，并明確論證的理論根據(jù)，如果學(xué)生不會(huì)證明，那么以“可否類比著平行線等分線段定理的證法？”引導(dǎo)，而后指定學(xué)生進(jìn)行證明。

繼而再問學(xué)生，是否還有包含線段的比是1：1的定理，學(xué)生答出定理——過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，平分另一腰后，畫出相應(yīng)的圖（圖2），并隨即提出問題：

在梯形ABCD中，EF//BC的條件不變，但E不是AB的中點(diǎn)，仍如AE2DF2=，那么是否也等于？ EB3FC3而后利用投影儀演示由三角形的一邊“平移”后產(chǎn)生梯形的圖（圖3）。

就圖3的“平移”演示，使學(xué)生在各自的已經(jīng)畫出的圖上“發(fā)展”出梯形（包含EF的延長(zhǎng)線），也得到AE2AF==（補(bǔ)足圖3中的比例式）。EB3FC3．引出平行線分線段成比例定理并作補(bǔ)步證明，首先引導(dǎo)學(xué)生就圖

1、圖2回憶：它們是哪個(gè)定量的特例？學(xué)生答出后，隨即提出問題：對(duì)于圖3的兩種情況，是否也能有一個(gè)定量，使它們是這個(gè)定量的特例？而后延長(zhǎng)圖3中梯形的各線段，得出圖4，并使觀察、試述出：

三條平行線l1//l2//l3在直線k1、k2上截出線段A1A2、A2A3、B1B2、B2B3，如果A1A22BB2AABB=，那么12=，即12=12。A2A33B2B33A2A3B2B3

繼而使學(xué)生仿照前面的證明，證明這個(gè)情況。進(jìn)一步提出：并概括為：

三條平行線l1//l2//l3在直線k1、k2上截出線段A1A2、A2A3、B1B2、B2B3，那么A1A2mBBm=（m、n為自然數(shù)），那么怎樣證明12=？并使學(xué)生試證，A2A3nB2B3nA1A2B1B2=。A2A3B2B3在此基礎(chǔ)上，教師提出問題：由

A1A2B1B2=，利用比例的性質(zhì)還可得到哪些比例式？A2A3B2B3（A2A3B2B3AABB=，12=12，等）A1A2B1B2A1A3B1B3引導(dǎo)學(xué)生回憶平行線等分線段定理所包含的各種情況，并類比著使學(xué)生說出定理所包含的各種情況，而后投影出，并指出分類的標(biāo)準(zhǔn)。

最后，使學(xué)生類比著平行線等分線段定理的敘述，試述此定理，在此過程中介紹“對(duì)應(yīng)線段”的使用，并以正反之例予以明確。

（三）應(yīng)用舉例

例1（1）已知：如圖5，l1//l2//l3，AB=3，DF=2，EF=4，求BC。（2）已知：如圖6，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。

（3）已知：如圖7，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DF=10，求DE。（4）已知：如圖8，l1//l2//l3，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。

其中（1）由學(xué)生口答、教師追問理由；（2）~（4）則在學(xué)生充分思考的基礎(chǔ)上，使其口答。

例2．已知線段PQ，PQ上求一點(diǎn)D，使PD：DQ=4：1。

先使學(xué)生討論，而后使他們答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最后使他們實(shí)踐。

（四）小結(jié)

1．本節(jié)課在平行線等分線段定理的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了平行線分線段成比例定理，平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特殊情況，“證明”平行線分線段成比例定理是通過轉(zhuǎn)化為平行線等分線段定理來解決的。

2．使用平行線分線段成比例定理時(shí)，一要看清平行線組；二要找準(zhǔn)平行線組截得的對(duì)應(yīng)線段，否則就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。

（五）布置作業(yè)

第210頁(yè)第1題；第216頁(yè)第1題；第218頁(yè)第3題；

補(bǔ)充（1）已知線段PQ，在PQ上求一點(diǎn)D，使PD：PQ=4：1；（2）已知線段PQ，在PQ上求一點(diǎn)D，使PQ：DQ=4：1

教案說明

1． 教學(xué)內(nèi)容的編排，是在參照課本編排的基礎(chǔ)上，作了適當(dāng)變動(dòng)，參照課本中的反映的由特殊到一般的精神，結(jié)合學(xué)生對(duì)“過三角一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線平分第三邊”這個(gè)定理已有深刻印象，以及常不把1：1歸結(jié)為“比”中的缺陷，便以經(jīng)例的觀點(diǎn)分析學(xué)生熟知的這個(gè)定理出發(fā)，而后由1：1發(fā)展到2：3問題；再由三角形發(fā)展到梯形問題；再繼而發(fā)展到一般的“平行線分線段成比例”定理；最后再作“初步證明”，以取得更加符合認(rèn)知規(guī)律以及學(xué)習(xí)心理特征的“由近及遠(yuǎn)”的教學(xué)效果。

2．教學(xué)過程是以《大綱》中“重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)”，“數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心”，“堅(jiān)持啟發(fā)式，反對(duì)注入式”等規(guī)定的精神，結(jié)合教材特點(diǎn)，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)特征而設(shè)計(jì)的，由于內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，經(jīng)過適當(dāng)引導(dǎo)，便可使學(xué)習(xí)充分參與認(rèn)知過程，由于“新”知識(shí)與有關(guān)的“舊”知識(shí)的聯(lián)系較為直接，并且是特殊與一般的關(guān)系，在教學(xué)中則著力引導(dǎo)聯(lián)想和概括的過程。

第三篇：高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》學(xué)案1 新人教A版選修2-2

數(shù)學(xué)歸納法的典型例題分析

例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

時(shí)所有自然數(shù) 都成立。

證明（1）當(dāng)

（2）假設(shè)當(dāng)

時(shí)，左式，右式

時(shí)等式成立，等式成立。

即

則

則

時(shí)，等式也成立。

均成立。

時(shí)等式成立時(shí)，注意分析

與的兩

由（1）（2）可知，等式對(duì)

評(píng)述 在利用歸納假設(shè)論證

個(gè)等式的差別。

變到

時(shí)，等式左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且右式的首項(xiàng)由

應(yīng)與

合并，才能得到所證式。因而，因此在證明中，右式中的在論證之前，把

時(shí)等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一分析是有效的。

用心愛心專心 1

由例1可以看出，在數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，要把握好兩個(gè)關(guān)鍵之外：一是

系；二是

與的關(guān)系。

與 的關(guān)

例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明

對(duì)任意自然數(shù)，證明（?。┊?dāng)

時(shí)，能被17整除，命題成立。

（ⅱ）設(shè)

則

時(shí)，由歸納假設(shè)，能被17整除，也能被17整除，所以

都能被17整除。

用

表示。上例中的能被17整除。

時(shí)，能被17整除。

都能被17整除。

由（ⅰ）（ⅱ）可知，對(duì)任意

評(píng)述 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，常常把

還可寫成，易知它能被17整除。例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明

…

用心愛心專心 2

證明（ⅰ）當(dāng)

時(shí)，左式

右式

∵

∴

即

時(shí)，原不等式成立。

（ⅱ）假設(shè)

（）時(shí)，不等式成立，即

則

時(shí)，左邊

右邊

要證左邊 右邊

只要證

只要證

只要證

而上式顯然成立，所以原不等式成立。即

時(shí)，左式 右式

由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式對(duì)大于1的自然數(shù)均成立。用心愛心專心 3

評(píng)述 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，應(yīng)分析

與的兩個(gè)不等式，找出證明的關(guān)鍵點(diǎn)（一般要利用不等式的傳遞性），然后再綜合運(yùn)用不等式的方法。如上題，關(guān)鍵是證明不等式

。除了分析法，還可以用比較法和放縮法來解決。

例4 在數(shù)列

中，若它的前 項(xiàng)和

（）

1）計(jì)算，，；

2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。

解（1）由題意，即

∴

即

∴

即

∴

∴

（2）猜想

證明 ?。?/p>

時(shí)，命題成立。

ⅱ）假設(shè)

時(shí)，命題成立，即

當(dāng)

時(shí)，∴

用心愛心專心 4

又

因而

解得

即

時(shí)，命題也成立。

由?。ⅲ┛芍?，命題對(duì)

均成立。

用心愛心 專心5

第四篇：高中數(shù)學(xué) 《幾何證明選講》測(cè)試題 新人教A版選修4-1

人教（A）版選修4-1《幾何證明選講》綜合復(fù)習(xí)

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3過C作

圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC =()

A.15?B.30?C.45?D.60?

【解析】由弦切角定理得?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?,FGHG11??，∴FG?CG．∴CF?3FG． CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2．

．∴FG?3． ∴(3FG)2?FG2?2．解得FG?3（負(fù)值舍去）

［或取CG的中點(diǎn)H，連結(jié)DH，則CG?2HG．易證△AFC≌△DHC，∴FG?HG，CDCG2FG2CF?3FG．D∥FB∴???．故CG?2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，CBCF3FG3

2?，解得BD?Rt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD?

∴BD?FH?∵．］(3FG)2?FG2?2，∴FG?3（舍去負(fù)值）

22.(本小題滿分14分)

ACBC?如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分,如果,那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分．ABAC

割點(diǎn).某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1,S2,SS如果1?2,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.SS1

(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎?為什么?

(2)請(qǐng)你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E,再過點(diǎn)D作直線DF∥CE,交AC于點(diǎn)F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請(qǐng)你說明理由．

(4)如圖4，點(diǎn)E是?ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是?ABCD的黃金分割線.請(qǐng)你畫一條?ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過?ABCD各邊黃金分割點(diǎn).5

?S四邊形AFGD?S△DGE?S△AEF，S△BDC?S四邊形BEFC． S△ADCS△BDCS△AEFS四邊形BEFC又因?yàn)?，所??S△ABCS△ADCS△ABCS△AEF因此，直線EF也是△ABC的黃金分割線．（6

第五篇：高中數(shù)學(xué)《2.2.1綜合法和分析法》導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法(二)

.2.根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合分析法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.4850

復(fù)習(xí)1：綜合法是由導(dǎo);

復(fù)習(xí)2：基本不等式:

二、新課導(dǎo)學(xué)

※ 學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：分析法

問題：

a?b如何證明基本不等式?(a?0,b?0)

2新知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因

※ 典型例題

例

1變式：求證

小結(jié)：證明含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證AF?SC.變式：設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊,s?1

2(a?b?c),且s2?2ab,試證s?2a.小結(jié)：用題設(shè)不易切入,要注意用分析法來解決問題.※ 動(dòng)手試試

練1.求證:當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí),圓的面積比正方形的面積大.練2.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?

三、總結(jié)提升

※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立.※ 知識(shí)拓展

證明過程中分析法和綜合法的區(qū)別:

在綜合法中,每個(gè)推理都必須是正確的,每個(gè)推論都應(yīng)是前面一個(gè)論斷的必然結(jié)果,因此語氣必須是肯定的.分析法中,首先結(jié)論成立,依據(jù)假定尋找結(jié)論成立的條件，這樣從結(jié)論一直到已知條件.※ 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：

1.,其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

3.已知y?x?0,且x?y?1,那么

x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2224.若a,b,c?R,則a?b?cab?bc?ac.5.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據(jù)這一生活常識(shí)提煉出一個(gè)常見的不等式:.1.已知a?b?0,(a?b)2a?b(a?b)2

求證

:.?8a28b

2.設(shè)a,b?R?,且a?b,求證:a3?b3?a2b?ab2