選修2-2
1.3.2
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是()
A．導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點
B．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值
C．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值
D．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值
[答案] C
[解析] 導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有()
A．極小值－2，極大值2
B．極小值－2，極大值3
C．極小值－1，極大值1
D．極小值－1，極大值3
[答案] D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
當(dāng)x<－1時，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，當(dāng)－1
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0時取得極小值，但f′(0)不存在．
4．對于可導(dǎo)函數(shù)，有一點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號是這一點為極值的()
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] 只有這一點導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號才是充要條件．
5．對于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題：
①f(x)是增函數(shù)，無極值；
②f(x)是減函數(shù)，無極值；
③f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；
④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．
其中正確的命題有()
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0 6．函數(shù)f(x)＝x＋的極值情況是() A．當(dāng)x＝1時，極小值為2，但無極大值 B．當(dāng)x＝－1時，極大值為－2，但無極小值 C．當(dāng)x＝－1時，極小值為－2；當(dāng)x＝1時，極大值為2 D．當(dāng)x＝－1時，極大值為－2；當(dāng)x＝1時，極小值為2 [答案] D [解析] f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝－1時，取極大值－2，當(dāng)x＝1時，取極小值2.7．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點() A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 [答案] A [解析] 由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值點． 8．已知函數(shù)y＝x－ln(1＋x2)，則函數(shù)y的極值情況是() A．有極小值 B．有極大值 C．既有極大值又有極小值 D．無極值 [答案] D [解析] ∵y′＝1－(x2＋1)′ ＝1－＝ 令y′＝0得x＝1，當(dāng)x>1時，y′>0，當(dāng)x<1時，y′>0，∴函數(shù)無極值，故應(yīng)選D.9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數(shù)f(x)的極值是() A．極大值為，極小值為0 B．極大值為0，極小值為 C．極大值為0，極小值為－ D．極大值為－，極小值為0 [答案] A [解析] 由題意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1① f′(1)＝0，∴2p＋q＝3② 由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1 ＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，極大值f＝，極小值f(1)＝0.10．下列函數(shù)中，x＝0是極值點的是() A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ [答案] B [解析] y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右負(fù)，∴x＝0是函數(shù)的極大值點． 二、填空題 11．函數(shù)y＝的極大值為______，極小值為______． [答案] 1 －1 [解析] y′＝，令y′>0得－1 [答案] a＋4 a－4 [解析] y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，令y′>0，得x>或x<－，令y′<0，得－ －9 [解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韋達(dá)定理應(yīng)有 14．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點，則a的取值范圍是________． [答案](－2,2) [解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，y＝f(x)的大致圖象如圖 觀察圖象得－2 三、解答題 15．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)寫出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間； (2)討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值． [解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x變化時，f′(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 極大值 f(－1) 減 極小值 f(3) 增 (1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)； (2)由表可得，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16.16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應(yīng)的極值． [解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函數(shù)的極值點，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有 又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，此時函數(shù)的表達(dá)式為f(x)＝x3－x.∴f′(x)＝x2－.令f′(x)＝0，得x＝±1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大 值1 極小 值－1 由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值1；當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極小值－1.17．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值． (1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值； (2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程． [解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)． 若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)． ∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值． (2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上． 設(shè)切點為M(x0，y0)，則點M的坐標(biāo)滿足y0＝x－3x0.∵f′(x0)＝3(x－1)，故切線的方程為 y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到點A(0,16)在切線上，有 16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化簡得x＝－8，解得x0＝－2.∴切點為M(－2，－2)，切線方程為9x－y＋16＝0.18．(2010·北京文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4.(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍． [解析] 本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用． 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.(1)當(dāng)a＝3時，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲線y＝f(x)過原點，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點”等價于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9) 解得a∈[1,9]，即a的取值范圍[1,9]．
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