第一篇：數(shù)學(xué)建模_傳染病模型

傳染病模

摘要: 本次實(shí)驗(yàn)是讓同學(xué)們進(jìn)一步了解、鞏固、加強(qiáng)微分方程模型的建模、求解能力；學(xué)習(xí)掌握用MATLAB進(jìn)行二維和三維基本圖形繪制。因?yàn)镸ATLAB具有很強(qiáng)的圖形處理功能和豐富的圖形表現(xiàn)方法。它提供了大量的二維、三維圖形函數(shù)，使得數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果可以方便地、多樣性地實(shí)現(xiàn)可視化，這是其它語言所不能比擬的。MATLAB不僅能繪制幾乎所有的標(biāo)準(zhǔn)圖形，而且其表現(xiàn)形式也是豐富多樣的。MATLAB不僅具有高層繪圖能力，而且還具有底層繪圖能力——句柄繪圖方法。在面向?qū)ο蟮膱D形設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，使得用戶可以用來開發(fā)各專業(yè)的專用圖形。help graph2d可得到所有畫二維、三維圖形的命令。

描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻，預(yù)防傳染病蔓延的手段，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型。

數(shù)學(xué)建模

問題重述

問題: 有一種傳染?。ㄈ鏢ARS、甲型H1N1）正在流行?，F(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對(duì)該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對(duì)其傳播蔓延進(jìn)行必要的控制，減少人民生命財(cái)產(chǎn)的損失?？紤]如下的幾個(gè)問題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比較分析和評(píng)價(jià)展望。

1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是常數(shù)，建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。

2、假設(shè)環(huán)境條件下所允許的最大可感染人數(shù)為。單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時(shí)的增長(zhǎng)率為零。建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。

3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門采集到的某地區(qū)一定時(shí)間內(nèi)一定間隔區(qū)間的感染人數(shù)數(shù)據(jù)（見下表），利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個(gè)模型中的相關(guān)參數(shù)，并將它們的預(yù)測(cè)值與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析（計(jì)算仿真偏差）并對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。（注：該問題中，設(shè)最大可感染人數(shù)為2000人）

4、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊?，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會(huì)因治愈而減少且對(duì)該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時(shí)刻患病者與易感染者的關(guān)系，并對(duì)傳染情況（如流行趨勢(shì)，是否最終消滅）進(jìn)行預(yù)測(cè)。

問題分析

1、這是一個(gè)涉及傳染病傳播情況的實(shí)際問題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時(shí)間的變化情況及一些初始資料，可通過建立相應(yīng)的微分方程模型加以解決。

2、問題表述中已給出了各子問題的一些相應(yīng)的假設(shè)。

3、在實(shí)際中，感染人數(shù)是離散變量，不具有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短時(shí)間內(nèi)改變的是少數(shù)人口，這種變化與整體人口相比是微小的。因此，為了利用數(shù)學(xué)工具建立微分方程模型，我們還需要一個(gè)基本假設(shè)：感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。

關(guān)鍵字: 社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素

：傳染病模型

模型1 在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效的人數(shù)為常數(shù)增加，就有x(t??t)?x(t)??x(t)?t

再設(shè)t?0時(shí)有x0有個(gè)病人，即得微分方dxdt??x,x(0)?x0(1)接觸(足使人致病)?考察t到t??t病人人數(shù)的

程

方程（1）的解為

x(t)?x0e?t(2)

結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際的。

建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。

模型2 SI模型

假設(shè)條件為

1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型），以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。

2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?/p>

根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每變?yōu)椴∪耍驗(yàn)椴∪藬?shù)天可使?s(t)個(gè)健康者為Ni(t)，所以每天共有?Ns(t)i(t)個(gè)健康者被感染，于是病人數(shù)Ni的增加率，即有Ndidt??Nsi(3)?Nsi就是

s(t)?i(t)?1i0，則didt??i(1?i),i(0)?i0(5)

(4)再記初始時(shí)刻(t?0)病人的比例為方程（5）是Logistic模型。它的解為

1?1???t?e1???1?i??0?(6)i(t)~t和didt~i的圖形如圖1和圖2所示。

數(shù)學(xué)建模

由(5),(6)式及圖1可知，第一，當(dāng)?di?達(dá)最大值??，這個(gè)時(shí)刻為?dt?mi?1/2時(shí)didt到

?1??tm??ln??1???i0??1(7)

這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻

tm與?成反比，因?yàn)槿战佑|率保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水潮的到來。第二，當(dāng)人終將被傳染，全變?yōu)閷?shí)際情況。殊莫a?表示該地區(qū)的以改善衛(wèi)生水平，?越小衛(wèi)生水平越高。所平可以推遲傳染病高t??時(shí)i?1,即所有病人，這顯然不符合

其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。

模型3 SIR模型

大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復(fù)雜，下面將詳細(xì)分析建模過程。

模型假設(shè)

1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。病人的日接觸率為?，日治愈率為?（與SI模型相同），傳染期接觸為 ?=?/?。

模型構(gòu)成

：傳染病模型

由假設(shè)1顯然有

s(t)+i(t)+r(t)=1(12)根據(jù)條件2方程（8）仍然成立。對(duì)于病愈免疫的移出者而言有

Ndrdt??Ni(13)

再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0?0)和i0(i0?0)(不妨設(shè)移出者的初始值r0?0)，則由(8),(12),(13)式，SIR模型的方程可以寫作?di??si??i,??dt??ds???si,??dti(0)?i0(14)

s(0)?s0

方程（14）無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們先作數(shù)值計(jì)算。

模型 4 SIR模型

SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀。胁≌呖梢员恢斡?，并?huì)產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥摺Ｈ藛T流動(dòng)圖為：S-I-R。

大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類

假設(shè)： 總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且i（t）+s（t）+r（t）=n； 單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（傳染強(qiáng)度）。單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l。稱為恢復(fù)系數(shù)。

可得方程：

?di?ksi?li,??dt

??ds??ksi,??dti(0)?i0?0s(0)?s0?0初值r(0)?r0?0

模型分析：

由以上方程組的：dids=p/s-1 p=l/k, 所以i=pln

s0-s+n.容易看出當(dāng)

t無限大時(shí)

i(t)=0;而當(dāng)s0?p時(shí)，i(t)單調(diào)下將趨于零；上批示，i(t)先單調(diào)上升的最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：p是一個(gè)門檻。從p的意義可知，應(yīng)該降低傳染率，提高回復(fù)率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。

令t→∞可得： s0―s?=2*s0(s0―p)/p 所以：δ??p s0=p+δ，當(dāng)時(shí)，s≈2δ，這也就解釋了本文開頭的問題，即統(tǒng)一地區(qū)

數(shù)學(xué)建模

一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變。

模型的應(yīng)用與推廣：

根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模型。傳染病動(dòng)力學(xué)[1]是對(duì)進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法,是根據(jù)種群生長(zhǎng)的特性,疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律,以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性,定量分析和數(shù)值模擬,來分析疾病的發(fā)展過程,揭示流行規(guī)律,預(yù)測(cè)變化趨勢(shì),分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。對(duì)于2003年發(fā)生的SARS疫情,國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢(shì),研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對(duì)控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關(guān)SARS傳播動(dòng)力學(xué)研究多數(shù)采用的是SIR或SEIR模型.評(píng)價(jià)措施效果或擬合實(shí)際流行數(shù)據(jù)時(shí),往往通過改變接觸率和感染效率兩個(gè)參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn).石耀霖[2]建了SARS傳播的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,以越南的數(shù)據(jù)為參考,進(jìn)行了Monte Carlo實(shí)驗(yàn),初步結(jié)果表明,感染率及其隨時(shí)間的變化是影響SARS傳播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量評(píng)價(jià)SARS干預(yù)措施效果的傳播動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)北京的數(shù)據(jù)進(jìn)行了較好的擬合.參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源 編輔導(dǎo) 課程

（九）主講教師 : 鄧 磊

[2]西北工業(yè)大學(xué)（數(shù)學(xué)建模）精品課程

[3]耀霖.SARS傳染擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)隨機(jī)模型[J].科學(xué)通報(bào),2003,48(13)1373-1377

第二篇：數(shù)學(xué)建模 模型優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)價(jià)

模型評(píng)價(jià)：

模型優(yōu)點(diǎn)：

建立的模型方法簡(jiǎn)單易行，且易中應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。模型缺點(diǎn)：

考慮的影響因素較少，在處理問題時(shí)可能存在一些誤差。僅使用一個(gè)月的數(shù)據(jù)具有一定的局限性，另外對(duì)外傷患者都按急癥處理，考慮的情況比較簡(jiǎn)單。

模型評(píng)價(jià)：

優(yōu)點(diǎn)：

1）模型具有堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。很多數(shù)學(xué)理論已經(jīng)證明這是設(shè)計(jì)中繼站分布的最好的方法； 模型易于實(shí)現(xiàn)；

模型使中繼站發(fā)揮最大的效能。2）3）不足：

1）我們的模型只適用于人口均勻分布的情形；

2）我們僅考慮中繼站信號(hào)的服務(wù)范圍能夠根據(jù)我們的需要進(jìn)行調(diào)整的情形。

.模型評(píng)價(jià)

模型一能比較準(zhǔn)確的計(jì)算大區(qū)域環(huán)境下的中繼站最少數(shù)量，且模型思想簡(jiǎn)單，通俗易懂，形式簡(jiǎn)潔能被大多數(shù)人所理解。

模型在中繼站覆蓋半徑大于區(qū)域半徑的0.2倍時(shí)出現(xiàn)與模擬值差6誤差是其最不如人意的，也是其最大的缺點(diǎn)。其出現(xiàn)的原因是當(dāng)初步判斷正六邊形的圈數(shù)n時(shí)，當(dāng)?shù)趎層形成的正六邊形的頂點(diǎn)完全包含在圓形區(qū)域內(nèi)的情況下所造成的?？梢?，在其中增加一條選擇約束

2n?1r222(3r)?()?R 22

當(dāng)其成立時(shí)在計(jì)算結(jié)果上加6，就可以解決差6誤差。

模型二根據(jù)日常實(shí)際在通信當(dāng)中的隨機(jī)性，以及在圓的直徑在各同心圓交點(diǎn)的密度與其半徑成反比的事實(shí)。假設(shè)中繼站的密度也與其到中心的距離成反比。又由需要建立的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)N和中繼站的覆蓋正六邊形的面積A，該密度為N/A。在人口分不未知的情況下采取這種近似。其中的隨意性比較大，且沒有數(shù)學(xué)依據(jù)是該模型的致命缺點(diǎn)。

第三篇：數(shù)學(xué)建模：模型的評(píng)價(jià)和推廣

模型的評(píng)價(jià)和推廣

7.1 模型的評(píng)價(jià) 7.1.1模型的優(yōu)點(diǎn)：

（1）在數(shù)據(jù)處理方面，我們?cè)敿?xì)分析了視頻數(shù)據(jù)，引用了標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)（PCU），引用了通流量，規(guī)范了數(shù)據(jù)的格式和可用性，為下一步解題提供了簡(jiǎn)潔的數(shù)據(jù)資料。（2）在視頻數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方面，我們實(shí)行分階段定點(diǎn)查數(shù)，在每隔30秒的時(shí)間內(nèi)取值，符合上游路口信號(hào)配時(shí)，并滿足了第一相位、第二相位的地理性。

（3）模型在圖像處理和顯示上，我們采用SPSS和MATLAB雙重作圖，擬合數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)及正態(tài)Q-Q圖，使問題結(jié)果更加清晰、條理和直觀。

（4）從數(shù)據(jù)中篩選出發(fā)生堵車時(shí)的合理數(shù)據(jù)，融合排隊(duì)論模型的核心思想，給出科學(xué)直觀的顯示結(jié)果。

（5）在模型建立上，提取了排隊(duì)論模型和交通波模型的理論架構(gòu)，同時(shí)簡(jiǎn)化了無用的模型公式，盡量貼近數(shù)學(xué)建?！坝米詈?jiǎn)單的方法解決最難問題“的思想。7.1.2 模型的缺點(diǎn)

（1）在視頻數(shù)據(jù)采樣上，采用的是人工讀取，雖然大大提高了靈活性，但也容易使數(shù)據(jù)出現(xiàn)人為的偏差和不精確；視頻中從小區(qū)從進(jìn)入到道路上的車輛并沒有進(jìn)行確切的統(tǒng)計(jì)。

（2）在問題一中，只采用了一種分析方法，結(jié)果比較單一，沒有系統(tǒng)和全面地分析橫斷面通行能力的變化過程。

（3）問題三的所建立的關(guān)系模型中沒有明確體現(xiàn)橫斷面實(shí)際通行能力，這也就使我們的關(guān)系模型不能準(zhǔn)確地反應(yīng)變量之間的關(guān)系。

（4）在統(tǒng)計(jì)完全堵車時(shí)的汽車數(shù)量時(shí)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，只是單純地用主觀認(rèn)識(shí)確定完全交通擁堵。7.2 模型的推廣

依據(jù)題目中提供的視頻數(shù)據(jù)和附錄，建立了車禍橫截面通行能力的通行量模型，并利用排隊(duì)法的相關(guān)知識(shí)，確定了車輛排隊(duì)長(zhǎng)度、事故排隊(duì)時(shí)間、路段上游車流量的函數(shù)關(guān)系，對(duì)城市中交通事故的處理方面有一定的參考價(jià)值。

模型中分析問題、解決問題的一些獨(dú)到方法，排隊(duì)法數(shù)據(jù)取樣的總體思想，對(duì)其他數(shù)學(xué)問題及一般模型仍可使用。

另外，針對(duì)路邊停車、占道施工等因素導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象，我們的方法對(duì)于交通管理部門可以作為分析解決問題的一種參考。

第四篇：數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模之雨中行走問題模型

數(shù)學(xué)建模

雨

中

行

走

模 型

系別：

班級(jí)：

姓名：

學(xué)號(hào)：

正文：

數(shù)學(xué)建模之雨中行走問題模型

摘要：

考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，應(yīng)以最大的速度向前跑；

若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。① 當(dāng)v?rsin?時(shí),淋在背上的雨量為

.?pwD?rhsin??vh?v,雨水總量C?pwD?drcos??h?rsin??v??v② 當(dāng)v?rsin?時(shí),此時(shí)C2?0.雨水總量CpwDdrvcos?,如??300,C?0.24升

這表明人體僅僅被頭頂部位的雨水淋濕.實(shí)際上這意味著人體剛好跟著雨滴向前走,身體前后將不被淋雨.③ 當(dāng)v?rsin?時(shí),即人體行走的快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度rsin?.此時(shí)將不斷地趕上

?pwDh?v?rsin?雨滴.雨水將淋胸前（身后沒有）,胸前淋雨量C2關(guān)鍵詞：

?v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度

1.問題的重述

人們外出行走,途中遇雨,未帶雨傘勢(shì)必淋雨,自然就會(huì)想到,走多快才會(huì)少淋雨呢？一個(gè)簡(jiǎn)單的情形是只考慮人在雨中沿直線從一處向另一處進(jìn)行時(shí),雨的速度（大小和方向）已知,問行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.問題的分析.由于沒帶傘而淋雨的情況時(shí)時(shí)都有，這時(shí)候大多人都選擇跑，一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。，一、我們先不考慮雨的方向，設(shè)定雨淋遍全身，以 最大速度跑的話，估計(jì)總的淋雨量；

二、再考慮雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖1，建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,?之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算?=0，?=90時(shí)的總淋雨量；

0 2

三、再是雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖2.，建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a , b , c, d , u , w , ? 之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少；

四、以總淋雨量為縱軸，對(duì)

（三）作圖，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義；

五、若雨線方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化；按照這五個(gè)步驟，我們可以進(jìn)行研究了。

3.模型的假設(shè)與符號(hào)說明

2.1模型的假設(shè)

1.設(shè)雨滴下落的速度為u（米/秒）,降水強(qiáng)度（單位時(shí)間平面上的降水厚度）為w（厘米/時(shí)）,且u,w為常量.2.設(shè)雨中行走的速度為v（米/秒）,（固定不變）.雨中行走的距離為d（米）.3.設(shè)降雨的角度（雨滴下落的反方向與人前進(jìn)的方向之間的夾角）為? 4.視人體為一個(gè)長(zhǎng)方體,其身高為a（米）,身寬為b（米）,厚度為c（米）

3.2符號(hào)說明

a:代表人頸部以下的高度 b:人身體的寬度 c:人身體的厚度 d:起跑點(diǎn)到終點(diǎn)的距離 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨線方向與人體夾角 ?S:人的全身面積

t= d/vm:雨中行走的時(shí)間

4.模型的建立與求解

（1）不考慮雨的方向

首先討論最簡(jiǎn)單的情形，即不考慮降雨角度的影響。雨將淋遍全身，淋雨的面積s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的時(shí)間t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=10?42/18(m/s), 所以總的淋雨量Q=stw?2.4L。

（2）雨從迎面吹來

雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的角度為。如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。計(jì)算? =0，? =30時(shí)的總降雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前部。分兩部分計(jì)算淋雨量.頂部的淋雨量Q1= bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風(fēng)向與v相反。合速度usin ?+v，迎面單位時(shí)間、單位面積的淋雨量w（usin ?+v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?+v）/uv，所以總淋雨量

bdwcucos??a(usin??v)Q?Q1?Q2?? uvv=vm時(shí)Q最小。??0時(shí)，Q=1.2L；?=30，Q?1.6L。

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(3)考慮降雨方向的模型（雨從背面吹來）

雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為a，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。

計(jì)算 =30的總淋雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和背部。分兩部分計(jì)算淋雨量。

頂部的淋雨量Q1=bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風(fēng)向與v相反。合速度usina?v，迎面單位時(shí)間、單位面積的淋雨量w（usin ?-v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?-v）/uv，所以總淋雨量：

?bdwcucosa?(usina?v)bdwu(cosa?asina)?av???,v?usina??uvuvQ???bdw?cucosa?(v?usina)?bdw?u(cosa?asina)?av,v?usina?vuv?u若ccosa0m

?asina???即tana>c/a，則v=usina時(shí)Q最小，否則，v=v時(shí)Q最小，當(dāng)a?30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q?0.24L最小，可與v=vm，Q?0.93L相比。

(4)以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)三作圖（考慮 a的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義

雨從背面吹來，只要 不太小，滿足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m時(shí)，> 即可），v=usina，Q 最小，此時(shí)人體背面不淋雨，只有頂部淋雨。

(5)若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化

再用一個(gè)角度表示雨的方向，應(yīng)計(jì)算側(cè)面的淋雨量，問題本質(zhì)上沒有變化。

5.模型的評(píng)價(jià)

（1）在不考慮風(fēng)向情況下：

此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大約為2.44升。結(jié)論表明:淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最?。?）在考慮風(fēng)向及雨量的情況下: 當(dāng)v=usinθ時(shí)，Q取到最小.表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。

當(dāng)v﹥usinθ，你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的胸膛。

6.模型的結(jié)果分析

綜合上面的分析，我們得到的結(jié)論是：

1．如果雨是迎著你前進(jìn)的方向落下，這時(shí)的最優(yōu)行走策略是以盡可能大的速度向前跑。

2．如果雨是從你的背后落下，這時(shí)你應(yīng)該控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根據(jù)一般常識(shí)，我們所得到的結(jié)果是合理的且與我們的日常生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，我們對(duì)日常生活中司空見慣的問題給予了定量的分析。但同時(shí)必須指出的是，這里建立的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型與雨中行走的實(shí)際過程尚有距離，因?yàn)樵诮?shù)學(xué)模型的過程中我們忽略了一些相對(duì)次要的因素。關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設(shè)的重要性，模型的階段適應(yīng)性。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

第五篇：數(shù)學(xué)建模常用模型方法總結(jié)

運(yùn)籌學(xué)模型（優(yōu)化模型）

數(shù)學(xué)建模常用模型方法總結(jié)

無約束優(yōu)化 線性規(guī)劃 連續(xù)優(yōu)化 非線性規(guī)劃 整數(shù)規(guī)劃 離散優(yōu)化 組合優(yōu)化 多目標(biāo)規(guī)劃 目標(biāo)規(guī)劃 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 從其他角度分類 網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃 多層規(guī)劃等… 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

圖論模型存儲(chǔ)論模型排隊(duì)論模型博弈論模型

可靠性理論模型等…

運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用重點(diǎn): ①市場(chǎng)銷售 ②生產(chǎn)計(jì)劃 ③庫存管理 ④運(yùn)輸問題 ⑤財(cái)政和會(huì)計(jì) ⑥人事管理 ⑦設(shè)備維修、更新和可靠度、項(xiàng)目選擇和評(píng)價(jià) ⑧工程的最佳化設(shè)計(jì) ⑨計(jì)算器和訊息系統(tǒng) ⑩城市管理

優(yōu)化模型四要素：①目標(biāo)函數(shù) ②決策變量 ③約束條件

④求解方法(MATLAB--通用軟件 LINGO--專業(yè)軟件)

聚類分析、主成分分析因子分析

多元分析模型 判別分析

典型相關(guān)性分析 對(duì)應(yīng)分析 多維標(biāo)度法

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型

假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?相關(guān)分析 回歸分析 方差分析

貝葉斯統(tǒng)計(jì)模型 時(shí)間序列分析模型 決策樹 邏輯回歸

微分方程模型

傳染病模型 馬爾薩斯人口預(yù)測(cè)模型

人口預(yù)測(cè)控制模型

經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型 Logistic 人口預(yù)測(cè)模型 戰(zhàn)爭(zhēng)模型等等。

灰色預(yù)測(cè)模型 回歸分析預(yù)測(cè)模型

預(yù)測(cè)分析模型 差分方程模型

馬爾可夫預(yù)測(cè)模型 時(shí)間序列模型 插值擬合模型 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型(SD)

綜合評(píng)價(jià)與決策方法 灰色關(guān)聯(lián)度

主成分分析

秩和比綜合評(píng)價(jià)法理想解讀法等

旅行商(TSP)問題模型背包問題模型車輛路徑問題模型

物流中心選址問題模型經(jīng)典 NP 問題模型 路徑規(guī)劃問題模型

著色圖問題模型多目標(biāo)優(yōu)化問題模型

車間生產(chǎn)調(diào)度問題模型最優(yōu)樹問題模型二次分配問題模型

模擬退火算法(SA)

遺傳算法(GA)智能算法

蟻群算法(ACA)

(啟發(fā)式)常用算法模型 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

蒙特卡羅算法元胞自動(dòng)機(jī)算法窮

模糊綜合評(píng)判法模型數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

舉搜索算法小波分析算法

確定性數(shù)學(xué)模型

三類數(shù)學(xué)模型 隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型

模糊性數(shù)學(xué)模型