第一篇：初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：相似三角形

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、平行線分線段成比例定理及其推論：

1.定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條線段平行于三角形的第三邊。

二、相似預(yù)備定理：

平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。

三、相似三角形：

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；

（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

說明：①等高三角形的面積比等于底之比，等底三角形的面積比等于高之比；②要注意兩個(gè)圖形元素的對(duì)應(yīng)。

3.判定定理：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；

（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。四、三角形相似的證題思路：

五、利用相似三角形證明線段成比例的一般步驟：

一定：先確定四條線段在哪兩個(gè)可能相似的三角形中；

二找：再找出兩個(gè)三角形相似所需的條件；

三證：根據(jù)分析，寫出證明過程。

如果這兩個(gè)三角形不相似，只能采用其他方法，如找中間比或引平行線等。

六、相似與全等：

全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它們之間的區(qū)別與聯(lián)系：

1.共同點(diǎn)它們的對(duì)應(yīng)角相等，不同點(diǎn)是邊長(zhǎng)的大小，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，而相似三角形的對(duì)應(yīng)的邊成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形狀相同的，大小不一定相等，所以改對(duì)應(yīng)邊相等成對(duì)應(yīng)邊成比例。

常見考法

（1）利用判定定理證明三角形相似；（2）利用三角形相似解決圓、函數(shù)的有關(guān)問題。

誤區(qū)提醒

（1）根據(jù)相似三角形找對(duì)應(yīng)邊時(shí)，出現(xiàn)失誤找錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊，因此在寫比例式時(shí)出錯(cuò)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤信息；（2）在定理的實(shí)際應(yīng)用中，常常忽視夾角相等這個(gè)重條件，錯(cuò)誤認(rèn)為有兩邊對(duì)應(yīng)比相等，再有一組角相等，就能得到兩個(gè)三角形相似。

第二篇：初中數(shù)學(xué)相似三角形定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實(shí)是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個(gè)三角形中，邊、角的關(guān)系。下面是小編為大家?guī)淼某踔袛?shù)學(xué)相似三角形定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎閱讀。

相似三角形定理

1.相似三角形定義：

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

4.相似三角形的預(yù)備定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。

從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

7.相似三角形的性質(zhì)定理：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。

(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。

(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。

8.相似三角形的傳遞性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

第三篇：相似三角形-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一節(jié)

相似形與相似三角形

基本概念：

1.相似形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，我們稱它們互為相似形。

2.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形。

1．幾個(gè)重要概念與性質(zhì)（平行線分線段成比例定理）

（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知a∥b∥c,A

D

a

B

E

b

C

F

c

可得

等.（2）推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.A

D

E

B

C

由DE∥BC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.（3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.（4）定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.（5）①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

②比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即＝，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。

2．比例的有關(guān)性質(zhì)

①比例的基本性質(zhì)：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。

②合比性質(zhì)：如果，那么。

③等比性質(zhì)：如果==(b+d++n≠0)，那么

④b是線段a、d的比例中項(xiàng)，則b2＝ad.典例剖析

例1：①

在比例尺是1：38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長(zhǎng)約7cm，則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為______Km.②

若

=

則=__________.③

若

=

則a：b=__________.3．

相似三角形的判定

（1）

如果兩個(gè)三角形的兩角分別于另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

（2）

兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。

（3）

三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

補(bǔ)充：相似三角形的識(shí)別方法

(1)定義法：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

(2)平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

注意：適用此方法的基本圖形，(簡(jiǎn)記為A型，X型)

(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

(4)兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。

(5)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

(6)一條直角邊和斜邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。

(7)被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。

【基礎(chǔ)練習(xí)】

（1）如圖1，當(dāng)

時(shí)，△ABC∽

△ADE

（2）如圖2，當(dāng)

時(shí)，△ABC∽

△AED。

（3）如圖3，當(dāng)

時(shí)，△ABC∽

△ACD。

小結(jié)：以上三類歸為基本圖形：母子型或A型

（3）如圖4，如圖1，當(dāng)AB∥ED時(shí)，則△

∽△。

（4）如圖5，當(dāng)

時(shí)，則△

∽△。

小結(jié)：此類圖開為基本圖開：兄弟型或X型

典例剖析

例1：判斷

①所有的等腰三角形都相似．

（）

②所有的直角三角形都相似．

（）

③所有的等邊三角形都相似．

（）

④所有的等腰直角三角形都相似．

（）

例2：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于F

求證：

△ABF∽

△CAF.例3：如圖：在Rt

△

ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若

AB=6

；AD=2；

則AC=

；BD=

；BC=；

例3：如圖：在Rt

△

ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若E是BC中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AB

:

AC=DF

:

BF

第二節(jié)

相似三角形的判定

(一)相似三角形：定義

1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形．

溫馨提示：

①當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；

③對(duì)應(yīng)中線之比、對(duì)應(yīng)高之比、對(duì)應(yīng)角平線之比等于相似比。

④兩個(gè)鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個(gè)鈍角相等的條件。

2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．

溫馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．

②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則△A′B′C′∽△ABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k′=1．

③相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出．

3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．

4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長(zhǎng)線)分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．

溫馨提示：

①定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言：

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

②這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理．它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”；

③有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”．

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理(1)：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．

判定定理(2)：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．

判定定理(3)：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．

溫馨提示：

①有平行線時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理；

②已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2；

③已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3．但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等．

例1.如圖三角形ABC中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作一條直線交AB于D

點(diǎn)，與AC的延長(zhǎng)線將于F點(diǎn)，且FD=3ED，求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．

溫馨提示：

①由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似；

②如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛．

③如圖，可簡(jiǎn)單記為：在Rt△ABC中，CD⊥AB，則△ABC∽△CBD∽△ACD．

直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB

CD2=AD*BD

BC2=BD*AB

總結(jié)：尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧

正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功．通常有以下幾種方法：

(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；

(2)相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．

2、常見的相似三角形的基本圖形：

學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法．如：

(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖．“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；

(2)“相交線型”相似三角形，如上圖．其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀牵耙娨粚?duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；

(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖．若圖中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，則△ADE∽△ABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的．

第三節(jié)

相似三角形中的輔助線

一、作平行線

例1.如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使AD＝AE，DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F，求證：

例2.如圖，△ABC中，AB

二、作垂線

例3.如圖從

ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長(zhǎng)線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。

三、作延長(zhǎng)線

例4.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。

例5.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF

四、作中線

例6

如圖，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。

五、過渡法（或叫代換法）

有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明．

1、等量過渡法（等線段代換法）

遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。

例1：如圖3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E．求證：DE2＝BE·CE．

2、等比過渡法（等比代換法）

當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。

例2：如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．

3、等積過渡法（等積代換法）

思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。

例3：如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過B作BE⊥AG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F．

求證：CD2＝DF·DG．

六、證比例式和等積式的方法：

對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等．若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明．

A

E

F

B

D

G

C

H

例

圖

C

E

D

A

F

M

B

例3　如圖過△ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E．過點(diǎn)D作DM∥FC交AB于點(diǎn)M．(1)若S△AEF：S四邊形MDEF＝2：3，求AE：ED；

(2)求證：AE×FB＝2AF×ED

第四節(jié)

相似三角形難題集

一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題：

1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

2.如圖，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）①當(dāng)t=2.5s時(shí)，求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；

（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值．

3.如圖1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EM⊥BD，垂足為M，EN⊥CD，垂足為N．

（1）當(dāng)AD＝CD時(shí)，求證：DE∥AC；

（2）探究：AD為何值時(shí)，△BME與△CNE相似？

4.如圖所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？

（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能說明理由．

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6）。

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

三、構(gòu)造相似輔助線——雙垂直模型

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng)．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)．求證：MC：NC=AP：PB．

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E．那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.B.C.D.10..已知，如圖，直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

四、構(gòu)造相似輔助線——A、X字型

11.如圖：△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：

12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且AC平分∠DAB。

求證：

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF∥AB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2)當(dāng)時(shí)，EF=；

(3)當(dāng)時(shí)，EF=．當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明．

14.已知：如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的．（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）

（2）角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例．

第四篇：初中相似三角形模型匯總

第一章：相似三角形模型匯總

模型一.A字型

1．如圖，已知DE//BC，AD=5，DB=3，BC=12，∠B＝50o，則∠ADE＝ °，DE=，_________.

第1題圖 第2題圖 第3題圖

2．如圖,AB是斜靠在墻上的長(zhǎng)梯,梯腳B距墻腳1.6m,梯上點(diǎn)D距墻1.4m,BD長(zhǎng)0.55m則梯子的長(zhǎng)為()

A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m

3.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上，若這個(gè)矩形的長(zhǎng)PN是寬PQ的2倍，求長(zhǎng)、寬各是多少？

練習(xí)

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，則()

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第1題 第2題 第3題

2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，F(xiàn)，E分別在邊AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，則的值為________．

3.如圖．在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE.E

F與CD交于點(diǎn)G.（1）求證：BD∥EF.（2）若,BE=4,求EC的長(zhǎng).

斜A字型

1.如圖，已知點(diǎn)E在AB上，若點(diǎn)D在AC上，DE不與BC平行，則滿足條件，就可以使△ADE與原△ABC相似.

第1題 第2題 第3題

2.如圖，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE＝37°，則∠B＝________°.3.如圖，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=12，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長(zhǎng)是()

A.16 B.14 C.16或14 D.16或9

3.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交DE，BC于點(diǎn)F，G，且

=

．

（1）求證：△ADF∽△ACG；（2）若

=

，求

的值．

模型二．8字型

1．如圖，已知

與

相交于點(diǎn)，AB=4,CD=8,AD=12，則PD的長(zhǎng)等于______.

第1題 第2題 第3題

2.如圖，□ABCD，E在CD延長(zhǎng)線上，AB＝10，DE＝8，EF＝12，則BF的長(zhǎng)為_______.3.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，AF=

DF, FE與AC相交于G，則AG:AC=_____

練習(xí)

1．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么線段OA的長(zhǎng)為________．

第1題 第2題

2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，則＝________．

3． 如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E.求AE的長(zhǎng)．

4.如圖，已知，若，，求證：

.斜8字型

1.如圖，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，∠DAO=∠CBO,求證：

(1)△AOD∽△BOC；(2)△AOB∽△DOC.

2.如圖，△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C=∠E，AD：DE=3： 5，AE=8，BD=4，求DC的長(zhǎng)．

3.如圖，已知等邊，點(diǎn)

在邊

上，點(diǎn)

是射線

上一動(dòng)點(diǎn)，以線段

為邊向右側(cè)作等邊，直線

交直線

于點(diǎn)，（1）寫出圖中與

相似的三角形；

（2）證明其中一對(duì)三角形相似；

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，點(diǎn)E在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，∠AED=∠F=60o，DE交AC于G，（1）求證：△DEF是等邊三角形；（2）若BE=8，CE：CF=3:5，求DG的長(zhǎng)度.模型三:母子型

例1.如圖，點(diǎn)D在AB上，當(dāng)∠B＝∠ 時(shí)，△ACD∽△ABC.

例2.已知:如圖,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,求證:①ΔABC∽△ADB；②AB2=AC·AD；③-AB·BC=AC-·CD.例3.如圖，已知ΔABC中，D是BC上一點(diǎn)，BD=10，DC=8，∠B＝∠DAC，E為AB上一點(diǎn)，DE//AC，求AC和DE的長(zhǎng)．

例4：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE∥CD交CA延長(zhǎng)線于E．

例5：已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)E在中線AD上,

．

求證：（1）

；（2）

．

例6：已知：如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分別交AD、AC于E、F．

求證：

．

雙垂型：

1.如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是BC上的高，由三角形相似容易得到如下結(jié)論：1.CD2=_________，2.AC2=________，3.BC2=______.

2.如圖, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于D，若AD=4，BD=1，則CD=（）

A.2 B.4 C.

D.3

3.如圖, 在

中,

，

于

，若BD=4,BC=6，則AB=_____.

4.如圖, 在

中,

，

于

，若BD=2,BA=8，則BC=_____.

5.如圖,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3，AB=4,D是邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，求AD長(zhǎng).

6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長(zhǎng)為( )

A．3； B．4； C．5； D．6

7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝

模型四．旋轉(zhuǎn)型：

1．已知：如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．

2.如圖，設(shè)

，則

嗎？說明理由.

3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點(diǎn)B′在AB上，A′B′交AC于F，則圖中與△AB′F相似的三角形有(不再添加其他線段)（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

4.如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD+CD.

（1）過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E,求證：AE=BE；

（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD′.

①求證：BD′∥CD；

②若AD′∥BC，求證：CD2=2OD·BD.

模型五．共享型

1、△ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,∠DAE=

，已知BD=1，CE=3，,求等邊三角形的邊長(zhǎng).

2、已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求證：（1）△ABE∽△ACD；（2）

．

3.如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF＝∠GAC.

(1)求證：△ADE∽△ABC；

(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．

4．如圖，已知：△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，延長(zhǎng)BA至E，延長(zhǎng)AB至F，∠ECF＝135°，求證：△EAC∽△CBF．

雙高型:

1、如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB上的高

求證：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；

2、如圖，已知銳角△ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別是27和3，DE=6

，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。

三垂直型

1．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的長(zhǎng)．

2．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且∠BEF＝90°.

(1)求證：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝4，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求BG的長(zhǎng)．

3．如圖，已知l1∥l2∥l3，且相鄰兩平行線間的距離相等，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在l1、l2、l3上，過B作EF⊥l2，分別交l1、l3于E、F，若AE=2，F(xiàn)C=8，則l1與l2之間的距離是______.

4.如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相鄰兩條平行直線間的距離相等且為1，如果四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在平行直線上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，四邊形ABCD面積是______.

5.在直角

中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，

交射線AC于點(diǎn)F

（1）求AC和BC的長(zhǎng)

（2）當(dāng)

時(shí)，求BE的長(zhǎng)。

（3）連結(jié)EF,當(dāng)

和

相似時(shí)，求BE的長(zhǎng)。

6.在直角三角形ABC中，

是AB邊上的一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與A,C不重合），

與射線BC相交于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：

.

(2)當(dāng)，求

的值.

（3）當(dāng)

，AE=1,求BF的長(zhǎng).

7已知：如圖，

是直角三角形斜邊

上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BG⊥AP，垂足為G，交CE于D，求證：（1）△AGB∽△AEP（2）

8如圖，

、

、

、

分別是矩形

四條邊上的點(diǎn)，

,若

，

，則

等于（）

A.

B.

C.

D.無法確定

B.

C.

D.無法確定

C.

D.無法確定

D.無法確定

9.如圖，已知：正方形

中，點(diǎn)

、

分別在

、

上，且

，

于點(diǎn)

求證：

10.已知：如圖，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP．求證：CE2＝ED?EP．

一線三等角型

1.如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°,（1）求證：△BDE∽△CFD；

（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE.

2.見名校P11，12題

3.已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．

①求證；△ABP∽△DPC ②求AP的長(zhǎng)．

4.如圖，在四邊形

中，

∥

，

，

．點(diǎn)

為邊

的中點(diǎn)，以

為頂點(diǎn)作

，射線

交腰

于點(diǎn)

，射線

交腰

于點(diǎn)

，連接

．

（1）求證：△

∽△

；

（2）若△

是以

為腰的等腰三角形，求

的長(zhǎng)；

（3）若

，求

的長(zhǎng)．

6、如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一點(diǎn)，BD=2，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作

，射線EF交線段AC于F．

（1）求證：△DBE∽△ECF；（2）當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)；

（3）連接DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長(zhǎng)．

（4）當(dāng)點(diǎn) E 移動(dòng)到 BC 的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC．

8.(1)問題：如圖 1，在四邊形 ABCD 中，點(diǎn) P 為 AB 上一點(diǎn),∠DPC＝∠A＝∠B＝90°,求證：

AD﹒BC＝AP﹒BP;

（2）探究：如圖 2，在四邊形 ABCD中，點(diǎn) P為 AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC＝∠A＝∠B＝θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．

（3）應(yīng)用：請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：

如圖 3，在△ABD 中，AB＝6,AD＝BD＝5，點(diǎn) P 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn) A 出發(fā)，沿邊

AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠CPD＝∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)DC＝4BC時(shí)，求t的值．

第五篇：初中數(shù)學(xué) 三角形知識(shí)點(diǎn)填空

1、定理 三角形兩邊的和____________第三邊

2、推論 三角形兩邊的差

3、三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于___________

4、推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角___________

5、推論2 三角形的一個(gè)外角_________和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

6、推論3 三角形的一個(gè)外角_________任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

7、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角__________

8、邊角邊公理(SAS)有___________和它們的___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

9、角邊角公理(ASA)有___________和它們的___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

10、推論(AAS)有_________和其中___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

11、邊邊邊公理(SSS)有___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

12、斜邊、直角邊公理(HL)有__________和一條__________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

13、定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的_________相等

14、定理2 到一個(gè)角的兩邊的__________相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

15、角的平分線是到角的兩邊_________相等的所有點(diǎn)的集合16、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角___________(即等邊對(duì)等角）

17、推論1 等腰三角形頂角的平分線_________底邊并且_________底邊

18、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高_(dá)__________

19、推論3 等邊三角形的各角都__________，并且每一個(gè)角都等于___________

20、等腰三角形的判定定理

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角_______，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也_________（等角對(duì)等邊）

21、推論1 三個(gè)角都_________的三角形是等邊三角形

22、推論 2 有一個(gè)角等于_________的等腰三角形是等邊三角形

23、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的________

24、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的__________

25、定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_________

26、逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離________的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

27、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離_________的所有點(diǎn)的集合28、定理1 關(guān)于某條直線_________的兩個(gè)圖形是全等形

29、定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的___________

30、定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在_________上

31、逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線_______

32、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的_______、等于斜邊c的________，即________

33、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系________，那么這個(gè)三角形是_____三角形