第一篇：初中數(shù)學相似三角形知識庫27.3位似圖形教案（模版）

第27章第3節(jié)

位似圖形

汝南縣韓莊鄉(xiāng)初級中學

丁平安

優(yōu)質(zhì)課教案

27.3 位似

（一）教學目標：

1．了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形的性質(zhì)．

2．掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮?。?重點、難點：

1．重點：位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖． 2．難點：利用位似將一個圖形放大或縮小． 難點的突破方法：

（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．

（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似．

（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離等于位似比（相似比）．

（4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行．

（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點，如四邊形有四個關(guān)鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)（如例2），并且同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形（如例2中的圖2與圖3）． 教學過程：

一、實例引入：

1．觀察：在日常生活中，我們經(jīng)常見到下面所給的這樣一類相似的圖形，它們有什么特征？

2．問：已知：如圖，多邊形ABCDE，把它放大為原來的2倍，即新圖與原圖的相似比為2．應(yīng)該怎樣做？你能說出畫相似圖形的一種方法嗎？

二、新知探究：

例1（補充）如圖，指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果是位似圖形，請指出其位似中心．

分析：位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此判斷兩個圖形是否為位似圖形，首先要看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點的連線是否都經(jīng)過同一點，這兩個方面缺一不可．

解：圖（1）、（2）和（4）三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形，位似中心分別是圖（1）中的點A，圖（2）中的點P和圖（4）中的點O．（圖（3）中的點O不是對應(yīng)點連線的交點，故圖（3）不是位似圖形，圖（5）也不是位似圖形）

例2（教材P61例題）把圖1中的四邊形ABCD縮小到原來的．

分析：把原圖形縮小到原來的，也就是使新圖形上各頂點到位似中心的距離與原圖形各對應(yīng)頂點到位似中心的1212 3 距離之比為1∶2 ．

作法一：（1）在四邊形ABCD外任取一點O；

（2）過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；

（3）分別在射線OA，OB，OC，OD上取點A′、B′、C′、D′，使得OA?OB?OC?OD?1????； OAOBOCOD2（4）順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖2．

問：此題目還可以如何畫出圖形？ 作法二：（1）在四邊形ABCD外任取一點O；

（2）過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；（3）分別在射線OA，OB，OC，OD的反向延長線上取點A′、B′、C′、D′，使得OA?OB?OC?OD?1????； OAOBOCOD2（4）順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖3．

作法三：（1）在四邊形ABCD內(nèi)任取一點O；（2）過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；

（3）分別在射線OA，OB，OC，OD上取點A′、B′、C′、D′，使得OA?OB?OC?OD?1????； OAOBOCOD2（4）順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖4．

（當點O在四邊形ABCD的一條邊上或在四邊形ABCD的一個頂點上時，4 作法略——可以讓學生自己完成）

三、課堂練習，鞏固深化：

1．教材P61．

1、2 2．畫出所給圖中的位似中心．

1、把右圖中的五邊形ABCDE擴大到原來的2倍．

四、課時小結(jié)，收獲盤點：

五、作業(yè)布置：p65第1、2題

第二篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學設(shè)計

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數(shù)學九年級下冊27.2.1，第1課時）

二、教材分析

1.內(nèi)容要點

本節(jié)課讓學生利用相似三角形的定義來進一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學生在學習新知里發(fā)展思維，加強與前面已學過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等），相似比甚至引導學生聯(lián)系八年級上冊所學的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強學生的推理歸納和類比應(yīng)用的能力。2.地位

本節(jié)課處于承上啟下的位置，既增強了對圖形的相似和相似多邊形定義聯(lián)系和運用，又為下一課時相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎(chǔ)。3.作用

從初步認識相似三角形到探索如何利用平行線的特點判定兩個三角形相似，從無到有的知識萌發(fā)，讓學生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴謹?shù)卣J識兩個圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉(zhuǎn)化的思想方法，增強推理能力，進而讓學生感受到數(shù)學圖形之美。經(jīng)過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學習，使學生的合情推理意識和主動探究的學習習慣得到發(fā)展。

三、學情分析 1.認知基礎(chǔ)

學生在八年級上冊中已經(jīng)全面地認識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質(zhì)，并且在上一節(jié)課已學過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節(jié)課的學習相似三角形打下了基礎(chǔ)。學生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗，再加上學生會做輔助線，這為本課的學習奠定了一定的基礎(chǔ)，但學生對轉(zhuǎn)化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節(jié)課的學習還有一定的困難。2.情意基礎(chǔ)

學生是九年級的學生，對于新知識有一定的接受能力，且數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想都相對成熟，對探索學習饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學目標

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時對應(yīng)角的字母順序?qū)?yīng)；

2.能運用平行線和三角形中線比例關(guān)系證明“A字型”三角形相似，能運用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉(zhuǎn)化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角； 4.能掌握并運用相似三角形判定的“預備定理”； 5.讓學生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數(shù)學的魅力，體會到數(shù)學的充滿探索與創(chuàng)造,在學習中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的樂趣并在數(shù)學學習生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學重難點

1.教學重點

相似三角形判定的“預備定理”的探索； 2.教學難點

探索過程中的各種三角形相似的有關(guān)證明；

六、教學方法和手段 1.教學方法 引導探究法 2.教學媒體 PPT

七、教學設(shè)計思想

探究式的教學方法是新課改的一個重要內(nèi)容，布魯納主張學習的目的是以發(fā)現(xiàn)學習的方式使學科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)，并且指出學生的知識學習是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認知結(jié)構(gòu)。利用學生的好奇心，設(shè)疑，解疑，組織互動，有效的教學活動，鼓勵學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，增強直觀效果，提高課堂效率。其次，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應(yīng)用，讓學生對新知的認識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進一步的提升。

八、教學過程

（一）復習引入（5分鐘）1.復習概念性質(zhì)（3分鐘）

T：同學們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個圖形相似。T：相似的兩個圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內(nèi)容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質(zhì)，那現(xiàn)在我手頭上有根據(jù)相似圖形性質(zhì)畫出來的兩個相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個相似三角形并在同一平面變換兩個三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標明字母）T：同學們我們要用字母表示這兩個三角形相似，應(yīng)該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學在寫的時候還要注意對應(yīng)的頂點字母相對應(yīng)，那中間用什么符號來表示兩個三角形相似呢？有同學可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經(jīng)學過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯(lián)系，下節(jié)課我再叫同學回答這個問題。2.創(chuàng)設(shè)情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個三角形的一個對應(yīng)頂點重疊，貼在黑板上）

T：同學們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點A與?DEF的頂點D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關(guān)系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點E、F，所構(gòu)成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個三角形相似呢？

T：首先我們從我們學過的類似的圖形出發(fā)，假設(shè)這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學生情況，選一名寫完了的同學上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運用了已學的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關(guān)系，依照定義證明出了這兩個三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點D作DE∥BC交AC于點E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學們自行思考，待會請同學上來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個角對應(yīng)相等，只需證明對應(yīng)邊成比例.因為DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點D作DF∥AC交BC于點F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉(zhuǎn)化為了求三角形的一邊對應(yīng)成比例，通過作輔助線DF，構(gòu)造出了平行四邊形，并靈活運用平行四邊形和相似的性質(zhì)，得到了三邊對應(yīng)相等，從而證明了兩個三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他！（和同學們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現(xiàn)在我們延長AB和AC，如圖當DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應(yīng)題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯。像這種平行線位于點A下方的，我們統(tǒng)稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點A上方時，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學們自行思考。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（T下臺觀察、指點。2min后）

T：老師剛剛發(fā)現(xiàn)，大部分同學都不再用定義進行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結(jié)論出發(fā)，將新圖形轉(zhuǎn)換為“A字型”加以證明。有哪位同學愿意上臺分享一下，你是怎樣轉(zhuǎn)化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵?。ê屯瑢W們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現(xiàn)在可以總結(jié)得出我們一開始要證明的結(jié)論了，同學們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯，我們給這個剛剛證明的猜想一個名稱“預備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

T：預備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環(huán)節(jié)題目讓學生以同桌為單位交流完成，老師再請同學發(fā)言說明思路）

（四）總結(jié)反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應(yīng)關(guān)系，非常嚴謹?shù)C明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構(gòu)成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結(jié)，老師說整體性語言，關(guān)鍵字引導學生說出）

（五）布置作業(yè)（1分鐘）

1.常規(guī)作業(yè)（第幾頁第幾題）

2.探索作業(yè)：請以本節(jié)課所學知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設(shè)計

十、反思

第三篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎(chǔ)知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．

2．進一步體會數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認識特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學習數(shù)學的興趣和自信心．

【重點難點解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應(yīng)邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應(yīng)邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應(yīng)邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對應(yīng)邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應(yīng)的頂點出發(fā)．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應(yīng)邊，它們所對的頂點E和C為對應(yīng)頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應(yīng)頂點為D和C，三組對應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個相似三角形，它的對應(yīng)元素比較明顯，對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)頂點有同樣的順序性，對應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應(yīng)元素不十分明顯，對應(yīng)順序也不一致，對應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F(xiàn)．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對，根據(jù)每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內(nèi)的一個比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，F(xiàn)C．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點悟：題設(shè)中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點撥：以上四例中，我們復習了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識．

【易錯例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應(yīng)避免沒有目標而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設(shè)甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設(shè)乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因為7?所以甲同學的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應(yīng)線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯誤是不證三角形相似，直接進行線段的比，這是規(guī)范的一種情況．

【同步達綱練習】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．多于3個

2．某班在布置新年聯(lián)歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到窗下的墻腳最遠距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達綱練習】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結(jié)PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE

第四篇：初中數(shù)學相似三角形定理知識點總結(jié)

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關(guān)系。下面是小編為大家?guī)淼某踔袛?shù)學相似三角形定理知識點總結(jié)，歡迎閱讀。

相似三角形定理

1.相似三角形定義：

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符號“∽”表示，讀作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比。

4.相似三角形的預備定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。

從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

7.相似三角形的性質(zhì)定理：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等。

(2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例。

(3)相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周長比等于相似比。

(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。

8.相似三角形的傳遞性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

第五篇：相似三角形復習教案

相似三角形復習教案

教學目標: 本課為相似三角形專題復習課，是對本章基本內(nèi)容復習基礎(chǔ)上的深化，通過對一個題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個基本模型展開，由淺入深對相似三角形進行，同時結(jié)合數(shù)學中的方程思想，分類思想，模型思想，數(shù)形結(jié)合思想等拓展深化.教學重點:相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復習.教學難點: 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學過程: 練習:1.如圖，AB＞AC，過D點作一直線與AB相交于 點E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動點，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關(guān)系為____________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過找相似三角形，讓學生體會基本圖形的應(yīng)用。并通過對這個題目的演變，將本課內(nèi)容提要呈現(xiàn)出來.例1：在平面直角坐標系中，兩個全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點A、C’在y軸上，點A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請簡要說明理由 在上述條件下，設(shè)點B、C’ 的坐標分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過C、A、A’，求此拋物線的解析式及對稱軸；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交x軸與點M，P為對稱軸上的一動點，求當∠APC=90°時的點P坐標.本題主要是應(yīng)用一線三直角這個基本圖形，從而利用相似三角形的對應(yīng)邊關(guān)系求解，在教學過程中對P點的位置應(yīng)作說明，可借助于幾何畫板演示.【變一變】線段BM上是否存在點P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點P坐標，如不存在，請說明理由.本例讓學生進一步應(yīng)用基本圖形，同時體會到數(shù)學思想——分類思想的應(yīng)用.【拓展一】若點N是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，當

∠NAA’=90°時，求N點坐標.通過添加一條輔助線構(gòu)造一線三直角來提升對學生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學生提高解題的能力.【拓展二】點N是拋物線的頂點，點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線繞Q點旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線的頂點為M，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點M、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

/本例難度較大，通過引導讓學生知道本題仍然可通過構(gòu)造一線三直角的模型來解決，因為要添加較多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來，從而讓學生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節(jié):對本節(jié)課復習模型的整理;相似應(yīng)用的技巧梳理;學生疑惑的交流.