第一篇：余弦定理對(duì)于任意三角形

余弦定理

對(duì)于任意三角形，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C—，則滿足性質(zhì)—

a^2 = b^2 + c^22〃a〃c〃cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2)/(2〃a〃b)

cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2〃b〃c)

（物理力學(xué)方面的平行四邊形定則以及電學(xué)方面正弦電路向量分析也會(huì)用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）

設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有

a=b〃cos C+c〃cos B，b=c〃cos A+a〃cos C，c=a〃cos B+b〃cos A。編輯本段證明方法

平面向量證法(此方法簡(jiǎn)潔有力，充分體現(xiàn)了向量運(yùn)算的威力和魅力。不能因?yàn)橄蛄勘扔嘞叶ɡ硗沓霈F(xiàn)就覺得這個(gè)方法不妥當(dāng)，因?yàn)橄蛄康亩x中不存在余弦定理，也就是說：向量的正確性不立足于在余弦定理，所以用向量證明余弦定理不存在邏輯問題。況且指數(shù)也比對(duì)數(shù)晚出現(xiàn)，可是如今定義對(duì)數(shù)用的就是指數(shù)方法。只要方法更優(yōu)，邏輯上沒有問題，我們盡可能追求簡(jiǎn)潔。）

∵如圖，有c=a-b，c^2=(a-b)〃(a-b)=a^2+b^2-2a〃b=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos

=> c^2=a^2+b^2-2abcosC 粗體為向量，正常字體指的是邊長(zhǎng)

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

作用

(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前取

減號(hào)的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。判定定理二(角邊判別法):

一當(dāng)a>bsinA時(shí)

①當(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有兩解

②當(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無解)

③當(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有一解

④當(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無解)

⑤當(dāng)b

二當(dāng)a=bsinA時(shí)

①當(dāng)cosA>0(即A為銳角)時(shí),則有一解

②當(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解)

三當(dāng)a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角。

解 設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長(zhǎng)。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC〃cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用計(jì)算器算）

以上兩個(gè)小例子簡(jiǎn)單說明了余弦定理的作用。

其他

從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角一定是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時(shí)，還可以用余弦定理求三角形邊長(zhǎng)取值范圍。

解三角形時(shí)，除了用到余弦定理外還常用正弦定理。

30° 45° 60° 75°

Sin 1/2 √2/2 √3/2（√6+√2)/4

Cos √3/2 √2/2 1/2(√6-√2)/4

Tan √3/3 1 √3 2+√3

先考慮怎樣計(jì)算三角形第三邊的長(zhǎng)

實(shí)際應(yīng)用

在實(shí)際生活中，余弦定理是在計(jì)算機(jī)應(yīng)有技術(shù)中的智能推薦系統(tǒng)，新聞分類中的基本算法之一。從吳軍的《數(shù)學(xué)之美》那本書上知道余弦公式是可以對(duì)新聞進(jìn)行分類的，當(dāng)然就可以用來對(duì)用戶進(jìn)行分類了。引用《數(shù)學(xué)之美》文章中的話：“向量實(shí)際上是多維空間中有方向的線段。如果兩個(gè)向量的方向一致，即夾角接近零，那么這兩個(gè)向量就相近。而要確定兩個(gè)向量方向是否一致，這就要用到余弦定理計(jì)算向量的夾角了。” “當(dāng)兩條新聞向量夾角的余弦等于一時(shí)，這兩條新聞完全重復(fù)（用這個(gè)辦法可以刪除重復(fù)的網(wǎng)頁(yè)）；當(dāng)夾角的余弦接近于一時(shí)，兩條新聞相似，從而可以歸成一類；夾角的余弦越小，兩條新聞越不相關(guān)?！蓖?，可以在推薦系統(tǒng)中用來計(jì)算用戶或者商品的相似性。

余弦定理的前世

如果要算起最古老的數(shù)學(xué)定理，那自是勾股定理——遠(yuǎn)在幾千年前的巴比倫時(shí)期就已經(jīng)存在；要算起證明方法最多的數(shù)學(xué)定理，那也是勾股定理——有四五百種方法，愛因斯坦，美國(guó)總統(tǒng)這些人都參與進(jìn)來。今日讓我們簡(jiǎn)單回味一下勾股定理的前世今生，對(duì)這偉大的數(shù)學(xué)定理重新瞻仰。

勾股定理的最早記錄，來自美索不達(dá)米亞時(shí)期的數(shù)學(xué)泥版。在一塊泥版上，刻著“構(gòu)成直角三角形的各邊長(zhǎng)”，比如（3,4,5），（5,12,13）等，這大概是最早的畢達(dá)哥拉斯數(shù)組的最早記錄，雖然其遠(yuǎn)在畢達(dá)哥拉斯之前。不過，巴比倫人并沒有將之寫成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式，他們只是將這些數(shù)組列成表格，方便計(jì)算。很顯然，這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)都是為了解決實(shí)際問題。而且嚴(yán)格來說，巴比倫人也沒有發(fā)現(xiàn)真正的勾股定理，但這作為勾股定理的雛形是絕對(duì)有道理的，因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯本人都很有可能是從巴比倫人那里學(xué)到了勾股定理。

這事一下子就得跳到古希臘時(shí)期，正如我們所知道的，由畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“畢達(dá)哥拉斯定理”的稱號(hào)，在中國(guó)，最早記錄勾股定理的文獻(xiàn)，應(yīng)該是《周髀算經(jīng)》。不管怎么說，勾股定理的形式也就完全確定下來，至此以后就再也沒有變過。但對(duì)其不斷的證明和探索卻沒有停止，直到現(xiàn)在依然如此——愛因斯坦就是因?yàn)樗?dú)立證明出了勾股定理，產(chǎn)生出了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，由此走上科學(xué)之路，有不明真相的童鞋據(jù)此寫下這樣一個(gè)等式：E=Mc=M(a+b)。

與我們知道的不同，古時(shí)的勾股定理并非如我們現(xiàn)在的形式——兩直角邊平方和等于斜邊的平方。古希臘人對(duì)幾何的崇拜，使得勾股定理的描述形式在很長(zhǎng)一段時(shí)間里都是幾何語言——兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積。所以有后人對(duì)其表述形式作出了推廣，比如將正方形改成三個(gè)相似圖形。由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人們自然會(huì)想到一般的三角形會(huì)不會(huì)由此類似的結(jié)論，對(duì)余弦定理的探討由此展開。當(dāng)然，由于在古代尚未發(fā)展處“三角函數(shù)”，甚至于連角度的概念都沒有完全形成，所以所出現(xiàn)的余弦定理都只是現(xiàn)代余弦定理的幾何等價(jià)形式。比如古希臘時(shí)期歐幾里得，在其《幾何原本》里就闡述了幾條余弦定理的等價(jià)命題：

1：在鈍角三角形中，鈍角對(duì)邊上的正方形，比鈍角兩夾邊上的正方形之和大一個(gè)矩形的兩倍，這個(gè)矩形就是由一銳角向?qū)叺难娱L(zhǎng)線做垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構(gòu)成的矩形。

2：在銳角三角形中，銳角對(duì)邊上的正方形，比銳角兩夾邊上的正方形之和小一個(gè)矩形的兩倍，這個(gè)矩形就是由一銳角向?qū)呑龃咕€，垂足到原銳角頂點(diǎn)之間的一段與該邊所構(gòu)成的矩形。[1]

第二篇：任意三角形

主要的一些公式：

在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三邊之間的關(guān)系：a^2＋b^2＝c^2。（勾股定理）

（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；

（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）

sinA＝cosB＝a/c，cosA＝sinB＝b/c，tanA＝a/b。

在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。

（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為外接圓半徑）

（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

a^2＝b^2＋c^2－2bccosA；b^2＝c^2＋a^2－2cacosB；c^2＝a^2＋b^2－2abcosC。

三角形的面積公式：

（1）△＝ 1/2*a*ha＝1/2*b*hb＝1/2*c*hc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；

（2）△＝1/2absinC＝1/2bcsinA＝1/2acsinB；

（3）△＝a^2sinBsinC/2sin(B+C)＝b^2sinCsinA/2sin(C+A)＝

c^2sinAsinB/2sin(A+B)；

（4）△＝2R^2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）

（5）△＝abc/4R；

（6）△＝根號(hào)[s(s-a)(s-b)(s-c)] ；s=(a+b+c)/2 ；

（7）△＝r?s

解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：

設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。

（1）角與角關(guān)系：A+B+C = π；

（2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）邊與角關(guān)系：

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為外接圓半徑）

余弦定理a^2＝b^2＋c^2－2bccosA；b^2＝c^2＋a^2－2cacosB；c^2＝a^2＋b^2－2abcosC

它們的變形形式有：a=2RsinA，sinA/sinB=a/b，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc。

第三篇：解斜三角形之余弦定理 教案

解斜三角形之余弦定理

一、教學(xué)類型： 新知課

二、教學(xué)目的：

1、2、掌握余弦定理的推導(dǎo)過程（向量法）； 會(huì)解斜三角形。

三、教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的推導(dǎo)

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

四、教具: 黑板

五、教學(xué)過程：

（一）引入新課：

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的邊與其角的正弦之間的關(guān)系，它的應(yīng)用范圍是什么呢？

1、2、已知兩角，一邊，求其他兩邊，一角;已知兩邊及一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

現(xiàn)在我提出一個(gè)問題:已知三邊，如何求三角？

經(jīng)過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，就可以回答這個(gè)問題了。下面我們來研究這個(gè)問題：

（二）講解新課 這一節(jié)課，我們繼續(xù)沿用向量法研究，仍然用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。

如圖所示，在直角三角形中，b2=a2+c2，在斜三角形中，它們又有什么關(guān)系呢？

AC=AB+BC |AC|2=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|2+2BC·AB+|BC|2

=|AB|2+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|2 =|AB|2-2|BC|·|AB|COSB+|BC|2

b2 = c22bccosA c 2 = b 2 + a2-2abcosC 他們是不是也成立呢？這個(gè)留作思考題，不過答案是肯定的。這三個(gè)式子就是今天所要學(xué)習(xí)的余弦定理：

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

與它們夾角的余弦的兩倍。

將上述定理中的三個(gè)式子稍作變形，即得

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc cosB=﹙c2 + a2-b2﹚／2ac cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab 我們來看余弦定理的應(yīng)用范圍：

1、2、已知兩邊及夾角，求第三邊極其他兩角： 已知三邊，求三角。

六、舉例子：

在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精確到1°)。解：已知三邊，求三角。

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc =（10 2+6 2-7 2）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab =（7 2+10 2-6 2）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°

七、布置作業(yè)：

1、2、余弦定理的其他兩種形式的證明； 課本131頁(yè)：3.﹙3﹚（4）4.(2)

八、教學(xué)后記

第四篇：解斜三角形、正弦定理、余弦定理--馮自會(huì)

文尚學(xué)堂

文尚學(xué)堂學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

講義編號(hào)***教學(xué)管理部***教學(xué)管理部***教學(xué)管理部

第五篇：三角形任意兩邊之和大于第三邊教學(xué)案例

教學(xué)案例：三角形任意兩邊的和大于第三邊

通伏小學(xué) 張永恒

教學(xué)內(nèi)容：人教版八冊(cè)P82 教學(xué)目標(biāo)：

1、通過動(dòng)手操作和觀察比較，使學(xué)生知道三角形任意兩邊的和大于第三邊；

2、能根據(jù)三角形三邊的關(guān)系解釋生活中的現(xiàn)象，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；提高觀察、思考、抽象概括的能力以及動(dòng)手操作的能力；

3、讓學(xué)生積極參與探究活動(dòng)，獲得成功體驗(yàn)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)：三角形三邊之間的關(guān)系

難點(diǎn)：探索發(fā)現(xiàn)三角形三邊之間的關(guān)系。教學(xué)準(zhǔn)備：小棒、課件 教學(xué)過程：

一、引入

1、師：同學(xué)們，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三角形，你能告訴大家什么是三角形嗎？ 生：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。

師：不錯(cuò)，那么三條線段就一定能圍成三角形嗎？能（不能）

師：那我們就來圍圍看吧。誰愿意上來圍？（兩生上臺(tái)演示——評(píng)析）

2、師：看來，有的三條線段能圍成三角形，有的三條線段不能圍成三角形。那下面我們大家都來圍圍三角形，好不好？ 二、三角形三邊關(guān)系的探究

（一）圍三角形，創(chuàng)建研究素材

1、師：（1）同桌兩人合作，每次從5根小棒中任取3根來圍三角形，將圍的情況記錄在白紙上。要求分工合作：一人圍，一人記錄。

2、學(xué)生操作（教師指導(dǎo)）

3、反饋：學(xué)生匯報(bào)能和不能圍成的情況（教師板書記錄）師：還有嗎？情況不少，我們就用省略號(hào)來表示吧！

[檢測(cè)錯(cuò)誤情況——對(duì)同學(xué)們匯報(bào)上來的能和不能圍成三角形的各種情況，對(duì)照自己的記錄，看看誰還有意見？]

（二）思考討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、師：同學(xué)們，能不能圍成三角形看來跟三條線段的什么有關(guān)？（長(zhǎng)度），那么究竟怎么樣的三條線段不能圍成三角形？怎么樣的三條線段又能圍成三角形，下面我們先通過自己觀察、思考，再與同桌進(jìn)行討論來發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。

2、學(xué)生討論（教師參與）

3、反饋 層次1：

師：下面我們先來看怎樣的三條線段不能圍成三角形？

（1）生：我們發(fā)現(xiàn)兩邊的和小于（等于）第三邊就不能圍成三角形。比如2+2小于5，就不能圍成三角形。（師板書：2+2＜5，）

師：真的嗎？來圍給我們看看？（生上臺(tái)圍，展示）（2）師：是不是所有的情況都是小于呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)兩邊的和等于第三邊也不能圍成三角形。3+3等于6，就不能圍成三角形。（師板書：3+3=6）

師：也請(qǐng)你圍給我們看看？（生展示）

檢驗(yàn)其余記錄下來的情況。（師生齊算，板書算式）層次2：（1）列舉發(fā)現(xiàn)

師指著板書：這些能圍成三角形的三條邊又有怎樣的關(guān)系呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)兩條邊的和大于第三條邊就能圍成三角形。如2+3＞4，這樣就能圍成三角形。（師板書）

師：誰有不同發(fā)現(xiàn)？

生：我們認(rèn)為必須每?jī)蓷l邊相加和大于第三條邊才能圍成三角形。比如2+3＞4、2+4＞3、4+3＞2（師板書）

哪些組還有不同發(fā)現(xiàn)？

生：我們認(rèn)為最短的兩邊的和大于第三條邊就能圍成三角形。如只要2+3＞4，就能圍成三角形。

師：還有嗎？（2）辨析

師：各自說說理由吧！生：因?yàn)槿绻豢紤]一種情況是不行的，有時(shí)兩條線段的和大于第三條線段，也不能圍成三角形。

師：舉個(gè)例子呢？引導(dǎo)學(xué)生引用“不能”的情況來反證。

生：比如在剛才不能圍成的情況中：3+4＜8、8+4＞3、8+3＞4，出現(xiàn)了兩個(gè)大于的情況，但只要存在兩邊和小于（等于）第三邊的情況，也不能圍成三角形。所以只考慮一種情況是不行的。

師：那么為什么最短的兩條線段的和大于最長(zhǎng)的線段就能圍成三角形呢？ 生：因?yàn)樽疃痰膬蓷l線段的和大于最長(zhǎng)的線段，那么另外兩組邊加起來肯定比這一組長(zhǎng)。意思是如果2+3＞4，那么2+4肯定＞3，4+3肯定＞2。

（師用實(shí)物在黑板上演示）

小結(jié)：因?yàn)橹灰疃虄蛇叺暮痛笥诹俗铋L(zhǎng)的邊，那么其他任意兩邊的和都會(huì)大于第三條邊的。所以你們兩組的觀點(diǎn)實(shí)際上是一致的。這也就是三角形三邊關(guān)系的一個(gè)

重要結(jié)論：三角形任意兩邊的和大于第三邊

三、應(yīng)用

1、下面哪幾組的三條線段能圍成三角形？（3、4、5）（2、3、7）（3、3、3）（3、3、6）

2、根據(jù)3、3、6這題延伸。要求：拿掉一根3厘米的線段，再重新配一根其它長(zhǎng)度的線段，使它們能圍成三角形。（取整厘米數(shù)）

如果拿掉的是6分米，那么配上的一根最短應(yīng)該是幾？最長(zhǎng)可以是幾？

3、機(jī)動(dòng)：16分米長(zhǎng)的小棒如果要圍成一個(gè)三角形，我們必須將它截成3段，其中最長(zhǎng)的一邊最多可以截幾分米？為什么？具體可以怎樣截，你有沒有方法可以將所有的情況不遺漏也不重復(fù)的列舉出來？（要求邊取整分米數(shù)）

四、總結(jié)

師：這節(jié)課你有哪些收獲？關(guān)于三角形三邊關(guān)系還有值得我們探索的地方，比如三角形任意兩邊的差與第三邊有怎樣的關(guān)系？有興趣的同學(xué)課外可以自己進(jìn)行探索。

（另外還有一種思路：先告訴學(xué)生結(jié)論，然后通過驗(yàn)證來檢查結(jié)論是否正確）

六、案例反思

這節(jié)課，我始終在教學(xué)活動(dòng)中，以培養(yǎng)學(xué)生的自主探討學(xué)習(xí)為主,在新授課的過程中能充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的作用。因?yàn)榻虒W(xué)內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，我在課上只要學(xué)生自己能說的、能做的我就絕對(duì)不說、不做。整堂課學(xué)生的自主學(xué)習(xí)相當(dāng)充分，并不是留于形式，浮于表面，而是實(shí)實(shí)在在的自主學(xué)習(xí)。特別是在探索三角形分類的過程中，多次讓學(xué)生觀察、思考、討論，自主探索三角形的分類知識(shí)，我僅僅起了組織和引導(dǎo)的作用。一節(jié)課下來，學(xué)生在動(dòng)手操作、主動(dòng)探索、交流辯論的過程中，進(jìn)行自主的歸納、總結(jié)，他們?cè)谧灾鲗W(xué)習(xí)中獲取知識(shí)的能力，在操作中感悟數(shù)學(xué)的能力，均得到較好的發(fā)展。