第一篇：用反函數(shù)法求值域

用反函數(shù)法求值域

一、反函數(shù)法

分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型

對于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)，可以利用“原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域”這一性質(zhì)，先求出其反函數(shù)，進(jìn)而通過求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。

二、例題講解

1、求函數(shù)y?2x的值域。x?1

由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x，從而便于求出反函數(shù)。y?y2xx反解得x?即y? x?12?x2?y

故函數(shù)的值域?yàn)椋簓?(??,2)?(2,??)。（反函數(shù)的定義域即是原函數(shù)的值域）

ex?

12、求函數(shù)y?x的值域。e?1

解答：先證明y?ex?1有反函數(shù)，為此，設(shè)ex?1x1?x2且x1,x2?R，ex1?1ex2?1ex1?ex2y1?y2?x1??2x1?0。e?1ex2?1(e?1)(ex2?1)

所以y為減函數(shù)，存在反函數(shù)?？梢郧蟮闷浞春瘮?shù)為：y?1?ln。此函數(shù)的定義域?yàn)??x

x?(?1,1)，故原函數(shù)的值域?yàn)閥?(?1,1)。

第二篇：求函數(shù)值域的方法

求函數(shù)值域的求法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；

②逆求法（反求法）：通過反解x，用y 來表示，再由 x的取值范圍，通過解不等式，得出 y的取值范圍；

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

第三篇：求函數(shù)的值域常見類型

求值域的幾種常用方法

（1）觀察法、直接法、配方法、換元法：

對于（可化為）“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)y??sin2x?2cosx?4，可變?yōu)閥??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解決

（2）基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)y?log1(?x2?2x?3)就是利用函數(shù)y?log1u和u??x2?2x?3的值域來求。

（3）判別式法：通過對二次方程的實(shí)根的判別求值域。如求函數(shù)y?2x?13?3?的值域[,] x2?2x?222

（4）分離常數(shù)法：常用來求“分式型”函數(shù)的值域。如求函數(shù)y?

（5）利用基本不等式求值域：如求函數(shù)y?3x的值域 x2?42cosx?3的值域，因?yàn)?cosx?1

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域

（7）圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域

（8）導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函數(shù)，m<0就是單調(diào)函數(shù)了 x

4三種模型：（1）如y?x?，求（1）單調(diào)區(qū)間（2）x的范圍[3,5]，求值域（3）x ? [-1,0)?(0,4],求值x（9）對勾函數(shù)法 像y=x+

域

（2）如 y?x?4求（1）[3,7]上的值域（2）單調(diào)遞增區(qū)間（x?0或x?4）x?4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求單調(diào)遞增區(qū)間 x?3（3）如y?2x?

例1．

1、已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,當(dāng)x∈[t,t+1]時，求函數(shù)的最大值和最小值。

例2． 設(shè)函數(shù)f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若對于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，則實(shí)數(shù)a的值為

x2?2x?a例

3、已知函數(shù)f(x)? ,x?[1,??).若對任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x

第四篇：求函數(shù)的值域的常見方法

求函數(shù)的值域的常見方法

王遠(yuǎn)征

深圳市蛇口學(xué)校

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，其方法靈活多樣，針對不同的問題情景，要求解題者，選擇合適的方法，切忌思維刻板。本文就已知解析式求函數(shù)的值域，這類問題介紹幾種常用的方法。

一、直接法

函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，根據(jù)定義，由函數(shù)的映射法則和定義域，直接求出函數(shù)的值域。

例1． 已知函數(shù)y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函數(shù)的值域。

2解：因?yàn)閤???1,0,1,2?，而f??1??f?3??3，f?0??f?2??0，f?1???1 所以：y???1,0,3?，注意：求函數(shù)的值域時，不能忽視定義域，如果該例的定義域?yàn)閤?R，則函數(shù)的值域?yàn)?y|y??1?。請?bào)w會兩者的區(qū)別。

二、反函數(shù)法

反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。例2． 求函數(shù)y?1?

x5的值域。2x?1x分析與解：注意到2?0，由原函數(shù)求出用y表示2的關(guān)系式，進(jìn)而求出值域。由y?1?

x5x2?，得：x2?1因?yàn)??0，所以y?4?0??4?y?1，1?y

值域?yàn)椋?y|?4?y?1?

三、函數(shù)的單調(diào)性

例3．求函數(shù)y?x?1在區(qū)間x??0,???上的值域。x

分析與解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，則

f?x1??f?x2??

?x1?x2??x1x2?1?，因?yàn)??x

x1x

2?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，當(dāng)1?x1?x2時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；

當(dāng)0?x1?x2?1時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；而當(dāng)x?1時，ymin?2 于是：函數(shù)y?x?

在區(qū)間x??0,???上的值域?yàn)閇2,??)。x

構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。例4：求函數(shù)f?x???x??x的值域。

?1?x?0

分析與解答：因?yàn)???1?x?1，而?x與?x在定義域內(nèi)的單調(diào)性

1?x?0?

不一致?，F(xiàn)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)g?x???x??x，易知g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)增。

gmax?g?1??2，gmin?g??1???2，?g?x?2，0?g2?x??2，又f

?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。

四、換元法

對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將

原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。

例5．求函數(shù)y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。

95?9?

分析與解答：令t?x2?5x?4??x???，則t??。

42?4?

y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5，91?1??9?

當(dāng)t??時，ymin????4??5?8，值域?yàn)?y|y?8?

416?16??4?

例6．求函數(shù)y?x?2?x的值域。

分析與解答：令t??x，則x?1?t，t?0，y?1?t2?2t???t?1??

2當(dāng)t?0時，tmax?1?02?2?0?1 所以值域?yàn)???,1]。

例7．求函數(shù)y?x?x?x2?23的值域。分析與解答：由y?x?x?x2?23=x?令x?5?

2?x?5，2cos?，因?yàn)???x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1，??[0,?]，則2?x?5=2sin?，于是：y?

??5????

2sin??2cos??5?2sin?????5，???[,]，4444??

?

2???

?sin?????1，所以：5?2?y?7。24??

五、配方法

對解析式配方，然后求函數(shù)的值域。此法適用于形如F?x??a?f當(dāng)要注意f?x?的值域。

例8．求函數(shù)y?

?x??b?f?x??c，?2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

分析與解答：因?yàn)?2x?x?3?0，即?3?x?1，y?

0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

1x2?2x?

4例9．求函數(shù)y?在區(qū)間x?[,4]的值域。

4x

?42?x2?2x?4

x???6，分析與解答：由y?配方得：y?x??2????xxx??14

1?x?2時，函數(shù)y?x??2是單調(diào)減函數(shù)，所以6?y?18； 4x4

當(dāng)2?x?4時，函數(shù)y?x??2是單調(diào)增函數(shù)，所以6?y?7。

x

所以函數(shù)在區(qū)間x?[,4]的值域是6?y?18。

當(dāng)

六、判別式法

把函數(shù)y?f?x?同解變形為關(guān)于的一元二次方程，利用??0，求原函數(shù)的值域，此方法適用與解析式中含有分式和根式。

2x2?2x?

3例10．求函數(shù)y?的值域。

2x?x?

11?3?

分析與解答：因?yàn)閤?x?1??x????0，原函數(shù)變形為：

2?4?

?y?2?x2??y?2?x??y?3??0（1）

當(dāng)y?2時，求得y?3，所以y?2。

當(dāng)y?2時，因?yàn)閤?R，所以一元二次方程（1）有實(shí)數(shù)根。則：

??0，即：?y?2??4?y?2??y?3??0?2?y?

所以2?y?

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式a?b?2ab，a,b?R?求出函數(shù)的最值而得出值域的方法。此法的題形特征是：當(dāng)解析式是和式時，要求積是定值；當(dāng)解析式是積式時，要求和是定值；為此解答時，常需要對解析式進(jìn)行恒等變形，具體講要根據(jù)問題本身的特點(diǎn)進(jìn)行拆項(xiàng)、添項(xiàng)；平方等恒等變形。

??

?x2?30x

例11．求函數(shù)y?的值域。

x?

2?x2?30x646

4??x?32??34?[?x?2??] 分析與解答：y?

x?2x?2x?2

因?yàn)榉帜覆粸?，即x??2，所以： 當(dāng)x??2時，?x?2??取等號，ymax?18； 當(dāng)x??2時，??x?2??(?當(dāng)且僅當(dāng)?(x?2)??

?2x?2

?x?2?

6464,x?6時，?16，當(dāng)且僅當(dāng)x?2?

x?2x?2

6464)?2??x?2?(?)?16，x?2x?2

64,x??6時，取等號，ymin?50； x?2

值域y?(??,18]?[50,??)

注意：利用重要不等式時，要求f?x??0,且等號要成立。

八、數(shù)形結(jié)合法

當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率、截距等）或當(dāng)一個函數(shù)的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例12．如例4求函數(shù)y??x??x的值域。

分析與解答：令u??x，v??x，則u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，22

原問題轉(zhuǎn)化為 ：當(dāng)直線u?v?y與圓u?v?2在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公

共點(diǎn)時，求直線的截距的取值范圍。

由圖1知：當(dāng)u?v?y經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時，ymin?當(dāng)直線與圓相切時，ymax?OD?所以：值域?yàn)??y?2

2；

2OC?

2?

?2。

九．利用函數(shù)的有界性：形如sin??f(y),x2?g(y),sin??1,x2?0可解出Yr 范圍,從而求出其值域或最值。

2x?1

例．求函數(shù)y?x的值域

2?1

[解析]：函數(shù)的有界性

2x?1y?1由y?x得2x?

y?12?1

?22?0,?

y?1

?0?y?1或y??1 y?1

第五篇：分式型函數(shù)求值域的方法探討

分式型函數(shù)求值域的方法探討

在教學(xué)中，筆者常常遇到一類函數(shù)求值域問題，此類函數(shù)是以分式函數(shù)形式出現(xiàn)，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，現(xiàn)在對這類問題進(jìn)行探討。ax?b(a?o,b?0)（一次式比一次式）在定義域內(nèi)求值域。cx?d

2x?12例1：求f(x)?（x??)的值域。3x?2

3241112(x?)?12223?3解：f(x)?=????0,??? 23x?233x?23x?233x?233(x?)3

一、形如f(x)?

2??其值域?yàn)?y/y?? 3?

一般性結(jié)論，f(x)?ax?bd(a?o,b?0)如果定義域?yàn)?x/x??cx?dc?,則值域

a??y/y?? c?

例2：求f(x)?2x?1，x??1,2?的值域。3x?

2分析：由于此類函數(shù)圖像可以經(jīng)過反比列函數(shù)圖像平移得出，所以解決在給定區(qū)間內(nèi)的值域問題，我們可以畫出函數(shù)圖像，求出其值域。

12x?1222解：f(x)?=?，是由y??向左平移，向上平移得出，通過圖3x?233x?233x

像觀察，其值域?yàn)?,? ?35?

?58?

小結(jié)：函數(shù)關(guān)系式是一次式比一次式的時候，我們發(fā)現(xiàn)在此類函數(shù)的實(shí)質(zhì)是反比例函數(shù)通過平時得出的，因此我們可以作出其圖像，去求函數(shù)的值域。a（a?0)的值域。x

分析：此類函數(shù)中，當(dāng)a?0，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，較簡單，在此我們不做討論，當(dāng)a?0時，a'對函數(shù)求導(dǎo)，f(x)?1?2,f'(x)?0時，x?(??,a)?a,??），f'(x)?0時，x

二、形如求f(x)?x?

x?(?a,0)?(0,a)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，我們可以做出此類函數(shù)的大致圖像，其我們常

其圖像

4,(x?(1,4)上的值域。x

2解：將函數(shù)整理成f(x)?2(x?)，根據(jù)雙鉤函數(shù)的性質(zhì)，我們可以判斷此函數(shù)在(0,2)x例3：求f(x)?2x?

單調(diào)遞減，在(2,??)上遞增，其在2處取最小值，比較1，4出的函數(shù)值，我們可以知道在1處取的最大值，所以其值域?yàn)?2,6 ??

mx?nax2?bx?c

三、用雙鉤函數(shù)解決形如f(x)?（m?0,a?0），f(x)?ax2?bx?cmx?n

（m?0,a?0）在定義內(nèi)求值域的問題。

t2?4t?1例3：（2010重慶文數(shù)）已知t?0，則則函數(shù)y?的最小值為_______.t

t2?4t?11?t??4，?t?o?由基本不等式地y??2 解：y?tt

例4:求f(x)?x?1(x?1)的值域。2x?x?

2解：令x?1?t,則x?t?1,則f(x)?t1t?=，(t?1)2?(t?1)?2t2?3t?4t?4?3t7其中t?0.則由基本不等式得f(x)?

4x2?2x?21(x??)的值域。例5:求f(x)?2x?12

t?1?t?1?4?)?22??2(t?12t?t?222??解：令t?2x?1,則x?，f(x)?==t??1 2ttt，其中t?0，由基本式得f(x)?22?

1小結(jié)：對于此類問題，我們一般換元整理后，將函數(shù)變成f(x)?x?2a(a?0)這類型的函x

數(shù)，解決此類函數(shù)注意應(yīng)用基本不等式，當(dāng)基本不等式不行的時候，注意應(yīng)用雙勾函數(shù)的思想去解決此類問題 ax2?bx?c(a?0,m?0)在定義域內(nèi)求值域。

三、形如f(x)?2mx?bx?c

2x2?x?1例5：求y?2的值域。x?x?1

分析：當(dāng)定義域?yàn)镽時，我們采用判別式法求此類函數(shù)的值域。當(dāng)定義域不為R時，不應(yīng)采用此法，否則有可能出錯。此時，我們要根據(jù)函數(shù)關(guān)系的特征，采用其他方法。

解：x?x?1?0恒恒成立，所以此函數(shù)的定義域?yàn)閤?R，將函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，2

yx2?yx?y?2x2?x?1，(y?2)x2?(y?1)x?(y?1)?0,當(dāng)y?2?0,關(guān)于x的方程

2恒有解，則??(y?1)?4(y?2)(y?1)?0,即1?y?7，顯然，y?2也成立，所以其3

值域?yàn)?y/1?y?7

3?

以上是求此類函數(shù)的常見方法，但同學(xué)們在解題過程中。不要拘泥以上方法，我們要根據(jù)具體函數(shù)的特征采用相對應(yīng)的方法，多思考，舉一反三，那以后解決此類問題就很容易了。3