第一篇：“哥德巴赫猜想”講義(第12講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第12講）“哥德巴赫猜想”證明（7）

主講王若仲

第11講我們講解了核心部分的定理1，這一講我們講核心部分的定理2。

定理2：對于任何一個比較大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素數(shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數(shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數(shù)2m均不含有奇素數(shù)因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。其中pi，pj，?，pr，ps為兩兩互不相同的奇素數(shù)，且均小于√2m；mipi為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mjpj為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，?，mrpr為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，msps為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。

證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因?yàn)閙ipi為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），?，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因?yàn)榍懊媪?m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應(yīng)同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應(yīng)同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應(yīng)同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應(yīng)同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關(guān)于模M=pipj?prps同余，又因?yàn)榕紨?shù)2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。那么同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解總可以轉(zhuǎn)化為同余方程y≡k（modpipj?prps）的解, k為小于pipj?prps的正整數(shù)，且k=2m-pipj?prpsu，pipj?prpsu為小于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。那么2m-（u-1）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+pipj?prps=pipj?prps+k，2m-（u-2）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+2pipj?prps=2pipj?prps+k，?，（2m-2pipj?prps）=2m-[u-（u-2）] pipj?prps=（u-2）pipj?prps+2m-pipj?prpsu=（u-2）pipj?prps+k，（2m-pipj?prps）=2m-[u-（u-1）] pipj?prps=（u-1）pipj?prps +2m-pipj?prpsu=（u-1）pipj?prps+k；那么集合{（2m-pipj?prps），（2m-2pipj?prps）,（2m-3pipj?prps），（2m-4pipj?prps），（2m-5pipj?prps），?，（2m-upipj?prps）}={ k，（pipj?prps+k），（2pipj?prps+ k），?，[（u-2）pipj?prps+k]，[（u-1）pipj?prps+k]}。

又從前面可知，偶數(shù)2m是同余方程y≡k（modpipj?prps）的一個

解,則偶數(shù)2m=upipj?prps+k。所以k對應(yīng)pipj?prpsu，（pipj?prps+k）對應(yīng)pipj?prp（，（2pipj?prps+k）對應(yīng)pipj?prp（，（3pipj?su-1）su-2）prps+k）對應(yīng)pipj?prps（u-3），?，[（u-1）pipj?prps+k]對應(yīng)pipj?prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。故定理2成立。

?例

5：證明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數(shù)的總個數(shù)與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。

證明：因?yàn)榧蟵3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因?yàn)榧蟵（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數(shù)的總個數(shù)與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數(shù)的總個數(shù)均為4個。（證畢）

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十八日?

第二篇：“哥德巴赫猜想”講義(第19講)

“哥德巴赫猜想”講義

（??

所以對于“偶數(shù)2m=奇數(shù)+奇數(shù)”來說，就只有下面幾種情形： ①偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇合數(shù)，②偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇素數(shù)，③偶數(shù)2m=奇素數(shù)+奇素數(shù)，④偶數(shù)2m=1+奇合數(shù)，⑤偶數(shù)2m=1+奇素數(shù)。

對于“偶數(shù)2m=奇數(shù)+奇數(shù)”的情形，我們下面一步一步具體分析：

（?。?、對于偶數(shù)2m，當(dāng)m為奇素數(shù)時，我們不妨令m=p，p為奇素數(shù)，那么2m=p+p，這種情形下，顯然偶數(shù)2m可表為“奇素數(shù)+奇素數(shù)”。

（ⅱ）、對于偶數(shù)2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中至少有一個奇數(shù)為奇素數(shù)，我們不妨令（2m-pi）為奇素數(shù)，pi∈{p1，p2，p3，?，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，顯然偶數(shù)2m可表為“奇素數(shù)+奇素數(shù)”。

“哥德巴赫猜想?針對的是無窮的偶數(shù)，為了解決無窮的問題，一般情況下，我們設(shè)定一個非常大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素數(shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數(shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N；并且假設(shè)偶數(shù)2m均不含有奇素數(shù)因子p1，p2，p3，?，pt，為了解保奇素數(shù)p1，p2，p3，?，pt均要被篩除，我們還要假設(shè)集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中的奇數(shù)均為奇合數(shù)；因?yàn)榕紨?shù)2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，?，2m=（2m-pt）+ pt。在說上面這樣的情形在無窮多的偶數(shù)中是必然存在的。說明白了就是對偶數(shù)2m對應(yīng)的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數(shù)，要達(dá)到篩除的最大化，即達(dá)到篩除的極限。

如果我們設(shè)集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，又設(shè)集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，?，（2m1-1）p1}，集合A1′={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），?，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，?，（2m2-1）p2}，集合A2′={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），?，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，?，（2m3-1）p3}，集合A3′={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），?，[2m-（2m3-1）p3]}，?，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，?，（2mt-1）pt}，集合At′={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），?，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇數(shù)（2m1-1）p1為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2m2-1）p2為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2m3-1）p3為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，?，奇數(shù)（2mt-1-1）pt-1為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2mt-1）pt為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)。

對于偶數(shù)2m以內(nèi)的全體奇數(shù)，偶數(shù)2m對應(yīng)的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，我們在集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中進(jìn)行埃拉托斯特尼順篩和埃拉托斯特尼逆篩這兩種篩法配合篩：

〈1〉在集合A中篩除屬于集合A1中的奇數(shù)，又在集合A中篩除屬于集合A1′中的奇數(shù)，得到集合B1；因?yàn)槲覀冊O(shè)偶數(shù)2m均不含有奇素數(shù)因子p1，p2，p3，?，pt。所以集合A和集合A1無公共元素。〈2〉在集合B1中篩除屬于集合A2中的奇數(shù)，又在集合B1中篩除屬于集合A2′中的奇數(shù)，得到集合B2；

〈3〉在集合B2中篩除屬于集合A3中的奇數(shù)，又在集合B2中篩除屬于集合A3′中的奇數(shù)，得到集合B3；

┇

〈t-1〉在集合Bt-2中篩除屬于集合At-1中的奇數(shù)，又在集合Bt-2

中篩除屬于集合At-1′中的奇數(shù)，得到集合Bt-1；

〈t〉在集合Bt-1中篩除屬于集合At中的奇數(shù)，又在集合Bt-1中篩除屬于集合At′中的奇數(shù)，最終得到集合Bt。

最后在集合Bt中再篩除奇數(shù)1和（2m-1）得到集合H，如果我們 能判定集合H中確實(shí)有奇數(shù)，那么集合H中的奇數(shù)必定為奇素數(shù)，同時還能判定偶數(shù)2m可表為兩個奇素數(shù)之和。因?yàn)榧蟵1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數(shù)經(jīng)過上面的配合篩后，如下情形中的奇數(shù)被全部篩除：

①偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇合數(shù)，②偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇素數(shù)，③偶數(shù)2m=1+奇合數(shù)，④偶數(shù)2m=1+奇素數(shù)。

說明最后在集合H中的奇數(shù)必定為奇素數(shù)，并且集合H中的奇數(shù)必定

只滿足“偶數(shù)2m=奇素數(shù)+奇素數(shù)”的情形。

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日?

第三篇：“哥德巴赫猜想”講義(第14講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第14講）“哥德巴赫猜想”證明（9）

主講王若仲

第13講我們講解了核心部分的定理3，這一講我們講核心部分的定理4。

定理4：對于任何一個比較大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素數(shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數(shù)（pi′＜pj′，i′＜j′，i′、j′=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數(shù)2m均不含有奇素數(shù)因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。其中其中pi，pj，?，mipi為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mjpj為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，?，mrpr為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，msps為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mepe為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mupu為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，?，mvpv為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mwpw為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。

證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因?yàn)閙ipi為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，因?yàn)榍懊媪?m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應(yīng)同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應(yīng)同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應(yīng)同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應(yīng)同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關(guān)于模M=pipj?prps同余，因?yàn)椋╬epu?pvpw，pipj?prps）=1，由同余性質(zhì)定理1可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關(guān)于模M′=pipj?prpspepu?pvpw同余，又因?yàn)榕紨?shù)2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解對應(yīng)集合{ h′，（pipj?prps+h′），（2pipj?prps+h′），′]}，其中vpipj?prps?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。顯然集合{ h′，（pipj?prps +h′），（2 pipj?prps +h′），（3 pipj?prps +h′），?，[（v-2）pipj?prps+h′]，[（v-1）pipj?prps+h′]} 對應(yīng)同余方程w≡h′（mod pipj?prps）。

我們設(shè)集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中的任一奇數(shù)均對應(yīng)同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的一個解，則a為小于pipj?prpspepu?pvpw的正整數(shù)，因?yàn)橥喾匠探Mxi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關(guān)于模M′=pipj?prpspepu?pvpw 同余，由同余性質(zhì)定理1可知，a=pepu?pvpwh′，我們再設(shè)同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw），那么在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應(yīng)的集合為{ h′，（pipj?prpspepu?pvpw +h′），（2 pipj?prpspepu?pvpw +h′），（3 pipj?prpspepu?pvpw +h′），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +h′]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw +h′]}，其中u pipj?prpspepu?pvpw為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)；顯然pepu?pvpwh′＜

pipj?prpspepu?pvpw，所以在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應(yīng)的集合為{ a，（pipj?prpspepu?pvpw +a），（2pipj?prpspepu?pvpw +a），（3pipj?prpspepu?pvpw +a），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +a]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]}，顯然（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+pepu?pvpwh′＜2m。所以a對應(yīng)pipj?prpspepu?pvpwu，（pipj?prpspepu?pvpw+a）對應(yīng)pipj?prpspepu?pvp（，（2pipj?wu-1）prpspepu?pvpw+a）對應(yīng)p1p2p3?pt（u-2），（3p1p2p3?pt+a）對應(yīng)p1p2p3?p（，?，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]對應(yīng)pipj?prpspepu?pvpw。tu-3）

所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。故定理4成立。

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

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[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十九日?

第四篇：“哥德巴赫猜想”講義(第13講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第13講）“哥德巴赫猜想”證明（8）

主講王若仲

第12講我們講解了核心部分的定理2，這一講我們講核心部分的定理3。

定理3：對于任何一個比較大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素數(shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數(shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數(shù)2m均不含有奇素數(shù)因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。其中m1p1為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，m2p2為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，m3p3為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)

2m的最大正整數(shù)，?，mtpt為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。

證明：對于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}，我們令2m-mr+1pr+1=hr+1，因?yàn)閙r+1pr+1為對應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，顯然hr+1＜pr+1，則2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，?，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），?，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），?，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我們令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），?，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），?，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），?，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因?yàn)榍懊媪?m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），?，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}對應(yīng)同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}對應(yīng)同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}對應(yīng)同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}對應(yīng)同余方程xt≡ht（modpt）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）有無窮多解,且這些解關(guān)于模M=pr+1pr+2p r+3?pt同余，因?yàn)椋╬1p2p3?pr，pr+1pr+2p r+3?pt）=1，由同余性質(zhì)定理1可知，同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關(guān)于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，又因?yàn)榕紨?shù)2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶數(shù)2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶數(shù)2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的一個解；在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的所有解對應(yīng)集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p

r+3

?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?

pt+h′]}，其中vpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。顯然

集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?pt+h′]} 對應(yīng)同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt）。

我們設(shè)集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中的任一奇數(shù)均對應(yīng)同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的一個解，對于同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），e為小于p1p2p3?pt的正整數(shù)，因?yàn)橥喾匠探Mx≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關(guān)于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，由同余性質(zhì)定理1可知，e=p1p2p3?prh′，根據(jù)前面得到的同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt），我們再設(shè)同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），那么在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應(yīng)的集合為{ h′，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+h′]}，其中up1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)；顯然p1p2p3?prh′＜p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt，而

e=p1p2p3?prh′，所以在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應(yīng)的集合為{ e，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+ e），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+e]}，顯然（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+p1p2p3?prh′＜2m。所以e對應(yīng)p1p2p3?ptu，（p1p2p3?pt+e）對應(yīng)p1p2p3?p（，（2p1p2p3?pt+e）tu-1）對應(yīng)p1p2p3?p（，（3p1p2p3?pt+e）對應(yīng)p1p2p3?p（，?，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3?pt+e]對應(yīng)p1p2p3?pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。故定理3成立。

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十九日?

第五篇：“哥德巴赫猜想”講義(第1講)

“哥德巴赫猜想”講義

（???????

數(shù)學(xué)名家。哥德巴赫首先去萊比錫，拜訪了大數(shù)學(xué)家萊布尼茨。萊布

尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）對于數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是發(fā)明了微

積分。哥德巴赫的到來，使萊布尼茨感到很高興，對于這位朝氣蓬勃的晚輩，萊布尼茨少不了給予指點(diǎn)和教誨。萊布尼茨廣博的學(xué)識和高

屋建瓴的觀點(diǎn)，也使哥德巴赫終身受益。接著哥德巴赫又到倫敦訪問

棣莫弗。棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法國人，因躲避宗教迫

害移居英國。棣莫弗最擅長的研究領(lǐng)域是概率論，并對此做出了很大的貢獻(xiàn)。概率論是研究偶然性（或者隨機(jī)現(xiàn)象）的數(shù)學(xué)分支，它的起

源與擲骰子賭博的輸贏問題有關(guān)。哥德巴赫對于理論研究和實(shí)際問題

都很有興趣。后來哥德巴赫去了歐洲其它一些城市，分別見到伯努利

家族的幾位成員，其中丹尼爾 ? 伯努利和哥德巴赫關(guān)系密切。16世

紀(jì)末，伯努利家族的祖輩為躲避宗教迫害，從比利時的安特衛(wèi)普輾轉(zhuǎn)

來到瑞士的巴塞爾，在那里繁衍生息。這個家族以經(jīng)商為傳統(tǒng)，也有

個別人行醫(yī)，似乎都和數(shù)學(xué)沾不上邊。但在一個世紀(jì)之后，卻在三代

人中出現(xiàn)了八位數(shù)學(xué)家，其中幾位有相當(dāng)大的成就。歐洲的旅行，使

哥德巴赫不斷開闊眼界，增長了學(xué)識，還在學(xué)術(shù)圈里交了不少朋友，收獲頗豐。

1724年哥德巴赫回到了故鄉(xiāng)哥尼斯堡，此時的哥德巴赫已經(jīng) 34

歲。俄羅斯彼得大帝聽取萊布尼茨的建議，1724年1月頒布諭旨，決定成立圣彼得堡科學(xué)院，彼得大帝擬定了科學(xué)院章程，其中強(qiáng)調(diào)，科學(xué)院的理論研究應(yīng)對與國家實(shí)際利益密切相關(guān)的問題做出貢獻(xiàn)，章

程中的重要一條是，邀請國外的一些知名學(xué)者到科學(xué)院工作，以帶動

???????

俄羅斯科學(xué)的發(fā)展。據(jù)說萊布尼茨還寫信給中國清朝的康熙皇帝，建

議成立北京科學(xué)院，可惜未被采納。1725年哥德巴赫又到俄羅斯。

丹尼爾 ? 伯努利也于1725年來到了圣彼得堡科學(xué)院，哥德巴赫就有

了共同研究的伙伴，他們時常徜徉在涅瓦河畔，切磋討論數(shù)學(xué)問題。

1728年歐拉也到了圣彼得堡。此時的歐拉是一位20歲的青年，他是

約翰 ? 伯努利的學(xué)生，也是約翰的兒子丹尼爾的好朋友。在數(shù)學(xué)的歷史上，人們常常將歐拉與阿基米德、牛頓、高斯并列為最偉大的數(shù)

學(xué)家。由于丹尼爾的關(guān)系，哥德巴赫和歐拉很快就熟悉起來了，涅瓦

河畔散步又多了一個伙伴。哥德巴赫比歐拉年長17歲，哥德巴赫欣

賞歐拉的聰明和勤奮，歐拉欽佩哥德巴赫見多識廣，他們之間是一種

忘年之交。后來歐拉由于身體原因去了德國柏林，哥德巴赫與遠(yuǎn)在德

國柏林的歐拉一直保持通信，討論各種數(shù)學(xué)問題。1742年6月7日

在莫斯科的哥德巴赫給柏林的歐拉一封信，同年 6月30日歐拉給哥

德巴赫回信。哥德巴赫在信中說：“對于那些雖未切實(shí)論證但很可能

是正確的命題，我不認(rèn)為關(guān)注它們是一件沒有意義的事情。即使以后

萬一證明它們是錯誤的，也會對于發(fā)現(xiàn)新的真理有幫助。正如你已經(jīng)

證明的那樣，費(fèi)爾馬關(guān)于 Fm給出一列素數(shù)的想法是不正確的，但如

果能夠證明 Fm可以用唯一的方式表成兩個平方數(shù)之和的話，那也是

一個很了不起的結(jié)果”。當(dāng) m ≥ 1 時，F(xiàn)m 是形如 4n+1 的正整數(shù)。

由上述費(fèi)爾馬的一個命題，如果 Fm 是素數(shù)的話，那么 Fm 自然就可

以用唯一的方式表成兩個平方數(shù)之和。哥德巴赫的意思是，在無法保

證 Fm 是素數(shù)的情況下，看看能否證明弱一點(diǎn)的結(jié)果“ Fm 可以用唯一

???????的方式表成兩個平方數(shù)之和”。歐拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。

哥德巴赫在信中又說：“類似地，我也斗膽提出一個猜想：任何由兩

個素數(shù)所組成的數(shù)都是任意多個數(shù)之和，這些數(shù)的多少隨我們的意愿

而定，直到所有的數(shù)都是 1 為止。例如：4=1+3=1+1+2=1+1+1+1，5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1，6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1，?。哥德巴赫又在頁邊的空白處補(bǔ)充道：“重新讀過上面的內(nèi)容后，我發(fā)現(xiàn)，如果猜想對于n成立，而且n+1可以表成兩個素數(shù)

之和的話，那么，可以嚴(yán)格地證明猜想對于n+1也成立。證明是容易的。無論如何，看來每個大于2的數(shù)都是三個素數(shù)之和”。這里哥德

巴赫把1看成了素數(shù)。下面歐拉也采用這種看法，歐拉在回信中說：

關(guān)于每個可以分成兩個素數(shù)之和的數(shù)又可分拆為任意多個素數(shù)之和

這一論斷，可由你以前寫信告訴我的一個觀察（即每個偶數(shù)是兩個素

數(shù)之和）來說明和證實(shí)。如果所考慮的數(shù)n是偶數(shù)的話，那么它是兩

個素數(shù)之和。又因?yàn)閚-2也是兩個素數(shù)之和，所以n是三個素數(shù)之和，同理它也是四個素數(shù)之和，如此等等。如果n是奇數(shù)的話，因?yàn)閚-1

是兩個素數(shù)之和，所以n是三個素數(shù)之和，因此它可以分拆為任意多

個素數(shù)之和。無論如何，我認(rèn)為“每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和”是一條

相當(dāng)真實(shí)的定理，雖然我不能證明它。因?yàn)檫@是私人間的通信，所以

其中的說法相當(dāng)隨意，在數(shù)學(xué)上是不嚴(yán)格的。后人在數(shù)學(xué)上將它們嚴(yán)

格化，并稱之為“哥德巴赫猜想”。

英國數(shù)學(xué)家華林(E.Waring,1736-1798),在1770年出版的《代

數(shù)沉思錄》一書中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:

???????

1.每個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和;

2.每個奇數(shù)或者是一個素數(shù),或者是三個素數(shù)之和。

標(biāo)準(zhǔn)的現(xiàn)代版本是這樣的:

1.每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和;

2.每個不小于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。

也可以將它們寫成下面的數(shù)學(xué)公式:

1.N=p1+p2 , 當(dāng)N(N≥6)是偶數(shù);

2.N=p1+p2+p3,當(dāng)N(N≥9)是奇數(shù);其中pi（i=1，1，3）均為奇素數(shù)。

哥德巴赫猜想的表達(dá)形式簡潔明了,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的優(yōu)美感覺。從乘法來看,素數(shù)是構(gòu)成自然數(shù)的基本元素,在哥德巴赫猜想中,將素數(shù)放到加法的環(huán)境里,實(shí)際上是刻畫了加法和乘法的某種關(guān)系,而這兩種運(yùn)算在數(shù)學(xué)中是最基本和最常見的。

據(jù)說早在哥德巴赫之前,法國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡兒(R.Descartes,1596-1650)在他的手稿里就有“每個偶數(shù)是至多三個素數(shù)之和”這樣的敘述。雖然歐拉無法預(yù)料素數(shù)理論的發(fā)展,但他深知解決哥德巴赫猜想已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他的能力之外。

1900年,???????

從此哥德巴赫猜想不再是孤立的數(shù)學(xué)難題,而成了近代數(shù)學(xué)重要的一環(huán)。后來的發(fā)展證明,希爾伯特的眼光是非常正確的。

參考文獻(xiàn)

[1]賈朝華，從哥德巴赫說開去

?二〇一四年四月十日 ??????