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      人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時訓(xùn)練38:直接證明與間接證明

      時間:2019-05-12 15:11:19下載本文作者:會員上傳
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      第一篇:人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時訓(xùn)練38:直接證明與間接證明

      人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時訓(xùn)練38

      直接證明與間接證明

      x-y1.若|x|<1,|y|<1,試用分析法證明:|1-xy

      x-y證明:要證1-xy

      x-y2只需證:|<1?|x-y|2<|1-xy|2 1-xy

      22?x+y-2xy<1-2xy+x2y

      2?x2+y2-1-x2y2<0

      ?(y2-1)(1-x2)<0

      ?(1-y2)(1-x2)>0.因為|x|<1,|y|<1,所以x2<1,y2<1,x-y從而(1-y2)(1-x2)>0成立,故|1-xy

      sinB+sinC2.在△ABC中,sinA=,試判斷△ABC的形狀并證明. cosB+cosC

      解:△ABC是直角三角形,證明如下:

      sinB+sinC∵sinA=A+B+C=π,cosB+cosC

      ∴sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(B+A).

      ∴sinCcosA+sinBcosA=0,即(sinC+sinB)cosA=0.π又∵sinC+sinB≠0,∴cosA=0,∴A= 2

      ∴△ABC是直角三角形.

      一、選擇題

      1.(2012·洛陽調(diào)研)用反證法證明某命題時,對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為()

      A.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)

      B.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)

      C.a(chǎn),b,c都是奇數(shù)

      D.a(chǎn),b,c都是偶數(shù)

      解析:選B.自然數(shù)a,b,c中為偶數(shù)的情況為:a,b,c全為偶數(shù);a,b,c中有兩個數(shù)為偶數(shù);a,b,c全為奇數(shù);a,b,c中恰有一個數(shù)為偶數(shù),所以反設(shè)為:a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù).

      2.若a,b,c為實數(shù),且a

      A.a(chǎn)c2ab>b

      211baC. abab

      2解析:選B.a-ab=a(a-b),∵a0,∴a2>ab.①

      又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,②

      由①②得a2>ab>b2.1113.設(shè)a,b,c∈(-∞,0),則ab+c)bca

      A.都不大于-2B.都不小于-2

      C.至少有一個不大于-2D.至少有一個不小于-2

      111解析:選C.因為a++b+c+≤-6,所以三者不能都大于-2.bca

      4.若a,b∈R,則下面四個式子中恒成立的是()

      A.lg(1+a2)>0B.a(chǎn)2+b2≥2(a-b-1)

      aa+1C.a(chǎn)2+3ab>2b2D.

      1解析:選B.在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.

      5.若a、b、c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷

      ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;

      ②a>b與a

      ③a≠c,b≠c,a≠b不能同時成立.

      其中判斷正確的個數(shù)是()

      A.0B.

      1C.2D.

      3解析:選C.①②正確,③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同時成立,如a=1,b=2,c=3.二、填空題

      6.用反證法證明命題“若實數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個是非負(fù)數(shù)”時,第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立,那么結(jié)論的否定是:________.解析:“至少有一個”的否定是“一個也沒有”,故結(jié)論的否定是“a,b,c,d中沒有一個非負(fù)數(shù),即a,b,c,d全是負(fù)數(shù)”.

      答案:a,b,c,d全是負(fù)數(shù)

      7.(2012·黃岡質(zhì)檢)在不等邊三角形中,a為最大邊,要想得到∠A為鈍角的結(jié)論,則三邊a,b,c應(yīng)滿足________.

      b2+c2-a

      2解析:由余弦定理cosA=<0,2bc

      所以b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.答案:a2>b2+c2

      8.設(shè)a3+2,b=27,則a,b的大小關(guān)系為________.

      解析:a3+2,b=27兩式的兩邊分別平方,可得

      a2=11+46,b2=11+47,顯然7.∴a

      三、解答題

      9.已知a>b>c,且a+b+c=0b-ac3a.b-ac3a,只需證b2-ac<3a2,∵a+b+c=0,只需證b2+a(a+b)<3a2,只需證2a2-ab-b2>0,只需證(a-b)(2a+b)>0,只需證(a-b)(a-c)>0.因為a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0,顯然成立.

      故原不等式成立.

      10.已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD=2,SA=1.(1)求證:SA⊥平面ABCD;

      (2)在棱SC上是否存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點的位置;若不存在,請說明理由.

      解:

      (1)證明:由已知得SA+AD=SD,∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD=A,∴SA⊥平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD,BC?平面SAD,∴BC∥平面SAD.而BC∩BF=B,∴平面SBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾,∴假設(shè)不成立.故不存在這樣的點F,使得BF∥平面SAD.11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點.若f(c)=0,且00.1(1)證明:f(x)的一個零點; a

      1(2)試比較c的大小. a

      解:(1)證明:∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點,∴f(x)=0有兩個不等實根x1,x2,∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,c又x1x2 a

      11∴x2=c),aa

      1∴f(x)=0的一個根. a

      1即f(x)的一個零點. a

      11(2)c>0,aa

      1由00,知f()>0,a

      11這與f=0c,aa

      11又∵≠c,∴>c.aa

      222

      第二篇:高三一輪復(fù)習(xí)教案26直接證明與間接證明學(xué)生版

      直接證明與間接證明

      1. 直接證明

      (1)綜合法 ①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. ②框圖表示:P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證明的結(jié)論).

      (2)分析法

      ①定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.

      ②框圖表示:Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2. 間接證明

      反證法:假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.

      [難點正本 疑點清源]

      1. 綜合法證明問題是由因?qū)Ч?,分析法證明問題是執(zhí)果索因.

      2. 分析法與綜合法相輔相成,對較復(fù)雜的問題,常常先從結(jié)論進(jìn)行分析,尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系,找到解決問題的思路,再運用綜合法證明,或者在證明時將兩種方法交叉使用.

      基礎(chǔ)題 1. 要證明“3+5”可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是________.(填序號)

      ①反證法,②分析法,③綜合法.

      ba2. 下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使≥2成立的條件ab的個數(shù)是________.

      3. 已知函數(shù)f(x)=lg

      4. 下列表述:①綜合法是由因?qū)Ч?;②綜合法是順推法;③分析法是執(zhí)果索因法;④分

      析法是逆推法;⑤反證法是間接證法.其中正確的有

      A.2個/ 6

      1-x,若f(a)=b,則f(-a)=______(用b表示). 1+x()B.3個C.4個D.5個

      5. 用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時,應(yīng)假設(shè)

      A.三個內(nèi)角都不大于60° B.三個內(nèi)角都大于60° C.三個內(nèi)角至多有一個大于60° D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60° 題型分類

      題型一 綜合法的應(yīng)用

      ()

      111?2例1 已知a,b,c均為正數(shù),證明:a2+b2+c2+??abc?≥63,并確定a,b,c為何

      值時,等號成立.

      21思維啟迪:利用a2+b2≥2ab,再利用ab2,根據(jù)這個解題思路去解

      ababab答本題即可.

      已知a、b、c為正實數(shù),a+b+c=1.求證:(1)a2+b2+c2≥;

      3(2)3a+23b+23c+2≤6.題型二 分析法的應(yīng)用

      ?a+mb?2≤a+mb.例2 已知m>0,a,b∈R,求證:??1+m?1+m?

      思維啟迪:本題若使用綜合法,不易尋求證題思路.可考慮使用分析法.

      已知a>0,求證:

      題型三 反證法的應(yīng)用

      例3 已知a≥-1,求證三個方程:

      211a2-2≥a+-2.aa

      x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數(shù)根.

      思維啟迪:“至少有一個”的否定是“一個也沒有”,即“三個方程都沒有實數(shù)根”.

      等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=12,S3=9+32.(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn;

      S(2)設(shè)bn(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.

      n

      隨堂練

      A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間:35分鐘,滿分:57分)

      一、選擇題(每小題5分,共20分)

      1. 若a,b,c為實數(shù),且a

      A.a(chǎn)c2

      B.a(chǎn)2>ab>b2 baD.ab

      ()

      ()

      2. 設(shè)a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),則a與b大小關(guān)系為

      A.a(chǎn)>b

      B.a(chǎn)

      C.a(chǎn)=b

      D.a(chǎn)≤b

      3. 分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,b-ac<

      3a”索的因應(yīng)是 A.a(chǎn)-b>0

      ()

      B.a(chǎn)-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

      C.(a-b)(a-c)>0

      4. 用反證法證明某命題時,對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為

      ()

      A.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)

      B.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) C.a(chǎn),b,c都是奇數(shù) D.a(chǎn),b,c都是偶數(shù)

      二、填空題(每小題5分,共15分)

      5. 設(shè)a>b>0,mab,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是__________.

      6. 用反證法證明命題“若實數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,則a,b,c,d

      中至少有一個是非負(fù)數(shù)”時,第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立,那么結(jié)論的否定是_____. 7. 設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面,且直線不在平面內(nèi),下列條件中能保證“若

      x⊥z,且y⊥z,則x∥y”為真命題的是________(填寫所有正確條件的代號).

      ①x為直線,y,z為平面;②x,y,z為平面;③x,y為直線,z為平面;④x,y為平面,z為直線;⑤x,y,z為直線.

      三、解答題(共22分)

      ππ

      10,?,若x1,x2∈?0,且x1≠x2,求證:[f(x1)+8.(10分)已知函數(shù)f(x)=tan x,x∈??2??2

      2f(x2)]>f?

      9.(12分)已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD2,SA=1.(1)求證:SA⊥平面ABCD;

      (2)在棱SC上是否存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點的位置;若不存在,請說明理由.

      x1+x2?

      ?2?.B組 專項能力提升(時間:25分鐘,滿分:43分)

      一、選擇題(每小題5分,共15分)

      1. 若a,b∈R,則下面四個式子中恒成立的是

      A.lg(1+a2)>0C.a(chǎn)2+3ab>2b

      2()

      B.a(chǎn)2+b2≥2(a-b-1)aa+1D.bb+

      1()

      2. 設(shè)a,b,c∈(-∞,0),則a+,b+c

      bca

      A.都不大于-2B.都不小于-2

      C.至少有一個不大于-2D.至少有一個不小于-2

      3. 已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且對任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).給出以下三個結(jié)論:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26.其中正確結(jié)論的個數(shù)為 A.

      3()

      B.2C.1D.0

      二、填空題(每小題5分,共15分)

      4. 關(guān)于x的方程ax+a-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實根,則實數(shù)a的取值范圍是__________. 5. 若a,b,c為Rt△ABC的三邊,其中c為斜邊,那么當(dāng)n>2,n∈N*時,an+bn與cn的大小關(guān)系為____________.

      6. 凸函數(shù)的性質(zhì)定理為如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,f?x1?+f?x2?+?+f?xn??x1+x2+?+xn?,xn,有f

      nn??,已知函數(shù)y=sin x在區(qū)間(0,π)上 是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值為________.

      三、解答題

      a?x-1?

      7.(13分)已知函數(shù)f(x)=ln x-.x+1

      (1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),求a的取值范圍; m-nm+n+

      (2)設(shè)m,n∈R,且m>n,求證:.ln m-ln n2

      第三篇:2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航:20.2直接證明與間接證明

      20.2直接證明與間接證明

      【考綱要求】

      1、了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點.2、了解間接證明的一種基本方法──反證法;了解反證法的思考過程、特點.3、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.【基礎(chǔ)知識】

      1.分析法:從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.2.綜合法:從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法.3.反證法:判定非q為假,推出q為真的方法.[來源:Z。xx。k.Com]

      應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟:⑴分清命題的條件和結(jié)論;⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定;⑶由假定出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾的結(jié)果;⑷間接證明命題為真.4.數(shù)學(xué)歸納法:設(shè){pn}是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合,如果⑴證明起始命題p1成立;⑵在假設(shè)pk成立的前提上,推出pk+1也成立,那么可以斷定,{pn}對一切正整數(shù)成立.5.直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;間接證明的一種基本方法──反證法.6.數(shù)學(xué)歸納法的步驟:(1)證明當(dāng)n=1時,命題成立。(2)證明假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,則當(dāng)n=k+1時,命題也成立。由(1)(2)得原命題成立

      【例題精講】

      例1已知a,b,c是互不相等的實數(shù).

      求證:由y=ax+2bx+c,y=bx+2cx+a和y=cx+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點.

      證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點),由y=ax+2bx+c,222

      2y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)-4ac≤0,Δ2=(2c)-4ab≤0,[來源:學(xué)科網(wǎng)]

      Δ3=(2a)-4bc≤0.上述三個同向不等式相加得,4b+4c+4a-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a+2b+2c-2ab-2bc-2ca≤0,∴(a-b)+(b-c)+(c-a)≤0,∴a=b=c,這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而命題得證.

      111例2已知a>0,-1, 1+a>.ba1-b 222222222222

      1【證明】 證法一:由已知->1及a>0,可知b>0,ba

      要證1+a>

      1-b可證1+a·1-b>1,a-b11

      即證1+a-b-ab>1,這只需證a-b-ab>01,即1,abba

      而這正是已知條件,以上各步均可逆推,所以原不等式得證.

      1及a>0,可知1>b>0,ba11

      ∵->1,ba

      ∴a-b-ab>0,1+a-b-ab>1,(1+a)(1-b)>1.由a>0,1-b>0,得1+a1-b>1,即1+a>.1-b

      [來源:學(xué)_科_網(wǎng)]20.2【基礎(chǔ)精練】

      1.用反證法證明命題“如果a>b,那么a>b”時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

      3A.a=b

      33B.a<

      3333D.a=b或a

      直接證明與間接證明強化訓(xùn)練

      3333

      C.a=b且a

      2.下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件

      有()

      A.1個B.2個C.3個D.4個

      3.設(shè)S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a,b∈S,對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)).若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是()

      A.(a*b)*a=aB.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=bD.(a*b)*[b*(a*b)]=b

      4.設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是()

      A.|a-b|≤|a-c|+|b-c|C.|a-b|+

      a-b

      2B.a(chǎn)+≥a+baab

      aa

      D.a+3a+1a+2-a

      5.已知函數(shù)f(x)=ax+2a+1,當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)有正值也有負(fù)值,則實數(shù)a的取值

      范圍為________. 6.如果函數(shù)f(x)的定義域為R,對于m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-6,且f(-1)

      是不小于5的正整數(shù),當(dāng)x>1時,f(x)<0.那么具有這種性質(zhì)的函數(shù)f(x)=________.(注:填上你認(rèn)為正確的一個函數(shù)即可)

      7.如下圖,在楊輝三角形中,從上往下數(shù)共有n(n∈N)行,在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是

      ________________.11 121 1331 14641 ??[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]

      8.試證:當(dāng)n∈N時,f(n)=

      39.如右圖所示,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點,求證:平面PAC⊥

      平面BDE.10.已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足Sn=2an-3n(n∈N).

      (1)求證{an+3}為等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;

      (2)數(shù)列{an}是否存在三項使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出一組適合條件的項;若不存在,請說明理由.

      【拓展提高】

      1.如圖,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M、N分別為AB、DF的中點.(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值;(2)用反證法證明:直線ME與BN是兩條異面直線.

      *

      *

      2n+

      2

      -8n-9能被64整除.

      【基礎(chǔ)精練參考答案】

      5.-1

      f(1)·f(-1)<0,∴(a+2a+1)·(2a-a+1)<0.∴-11時,f(x)<0,∴a<0且f(1)=a+6≤0.∴a≤-6(a∈Z).∴a=-6,-7,-8?都符合要求. 7.2-2n解析:所有數(shù)字之和Sn=2+2+2+?+2

      n

      -1)=2-2n.n

      n-

      1=2-1,除掉1的和2-1-(2n

      nn

      8.證明:證法一:(1)當(dāng)n=1時,f(1)=64,命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N,k≥1)時,f(k)=3當(dāng)n=k+1時,由于

      32(k+1)+2*

      2k+2

      -8k-9能被64整除.

      -8(k+1)-

      9=9(3

      2k+2

      -8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3

      2k+2

      -8k-9)+64(k+1),即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),∴n=k+1時命題也成立. 根據(jù)(1)、(2)可知,對于任意n∈N,命題都成立. 證法二:(1)當(dāng)n=1時f(1)=64 命題顯然成立.

      (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N,k≥1)時,f(k)=3由歸納假設(shè),設(shè)3將

      32k+

      22k+2

      *

      2k+2

      *

      -8k-9能被64整除.

      -8k-9=64m(m為大于1的自然數(shù)),=64m+8k+9代入到f(k+1)中得

      f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1時命題也成立.

      根據(jù)(1)(2)知,對于任意n∈N,命題都成立. 9.證明:∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD.又∵O是正方形的中心,∴BD⊥AC.∵PO∩AC=0,∴BD⊥平面PAC,又BD?平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.10.證明:(1)∵Sn=2an-3n(n∈N),∴a1=S1=2a1-3,∴a1=3.又由?

      ?Sn=2an-3n,?

      *

      *

      ??Sn+1=2an+1-3(n+1)

      n

      得an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,[來源:學(xué)§科§網(wǎng)

      Z§X§X§K]

      ∴an+1+3=2(an+3),∴{an+3}是首項為a1+3=6,公比為2的等比數(shù)列.[來源:Zxxk.Com] ∴an+3=6×2

      n-

      1,即an=3(2-1).

      (2)解答:假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項ar,as,at(r

      s

      r

      t

      s+1

      =2+2,∴2

      rts+1-r

      =1+2

      t-r

      (*)

      ∵r、s、t均為正整數(shù)且r

      列。[來源:Zxxk.Com][來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] 【拓展提高參考答案】

      解:(1)取CD的中點G,連結(jié)MG、NG.設(shè)正方形ABCD、DCEF的邊長為2,則MG⊥CD,MG=2,NG2.因為平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角.

      因為MN6,所以sin∠MNG=MN與平面DCEF所成角的正弦值.

      (2)證明:假設(shè)直線ME與BN共面,則AB?平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于

      EN.由已知,兩正方形不共面,故AB?平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,這與EN∩EF=E矛盾,故假設(shè)不成立.[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K][來源:學(xué)科網(wǎng)]

      所以ME與BN不共面,它們是異面直線.

      第四篇:直接證明和間接證明(4個課時)教案

      2.2直接證明與間接證明

      教學(xué)目標(biāo):

      (1)理解證明不等式的三種方法:比較法、綜合法和分析法的意義;

      (2)掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式;

      (3)能根據(jù)實際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法;

      (4)通過不等式證明,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學(xué)建議:

      1.知識結(jié)構(gòu):(不等式證明三種方法的理解)==〉(簡單應(yīng)用)==〉(綜合應(yīng)用)

      2.重點、難點分析

      重點:不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用;

      難點:①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的;

      ②綜合性問題證明方法的選擇.

      (1)不等式證明的意義

      不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立(或都不成立),而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立.

      (2)比較法證明不等式的分析

      ①在證明不等式的各種方法中,比較法是最基本、最重要的方法.

      ②證明不等式的比較法,有求差比較法和求商比較法兩種途徑.

      由于a>b<==>a-b>0,因此,證明a>b,可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的a-b>0.這種證法就是求差比較法.

      由于當(dāng)b>0時,a>b<==>(a/b)>1,因此,證明a>b(b>0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的(a/b)>1(b>0).這種證法就是求商比較法,使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件.

      ③求差比較法的基本步驟是:“作差?變形?斷號”.

      其中,作差是依據(jù),變形是手段,判斷符號才是目的.

      變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等,變成能夠判斷出差的符號是正或負(fù)的數(shù)(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是:“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”,需要注意的是,作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式.

      (3)綜合法證明不等式的分析

      ①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法通常叫做綜合法.

      ②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā),通過一系列已知條件推導(dǎo)變換,推導(dǎo)出求證的不等式.

      ③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是:

      (已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要條件)==〉(結(jié)論)

      (4)分析法證明不等式的分析

      ①從求證的不等式出發(fā),逐步尋求使不等式成立的充分條件,直至所需條件被確認(rèn)成立,就斷定求證的不等式成立,這種證明方法就是分析法.

      有時,我們也可以首先假定所要證明的不等式成立,逐步推出一個已知成立的不等式,只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法,注意應(yīng)強調(diào)“以上每一步都可逆”,并說出可逆的根據(jù).

      ②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”:從求證的不等式出發(fā),探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法.

      ③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是:

      (已知)<==(逐步推演不等式成立的必要條件)<==(結(jié)論)

      ④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當(dāng)證明不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更實用.(5)關(guān)于分析法與綜合法關(guān)系

      ①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.

      ②在數(shù)學(xué)解題中,分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā),逐步地推導(dǎo),最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是:結(jié)論已知.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.即:已知 結(jié)論.

      ③分析法的特點是:從“結(jié)論”探求“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理實際上是要尋找結(jié)論的充分條件.

      綜合法的特點是:從“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.

      ④一般來說,對于較復(fù)雜的不等式,直接運用綜合法往往不易入手,用分析法來書寫比較麻煩.因此,通常用分析法探索證題途徑,然后用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的. 第一課時 不等式的證明(比較法)教學(xué)目標(biāo)

      1.掌握證明不等式的方法——比較法;

      2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟. 教學(xué)重點:

      比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點:

      常見的變形技巧.教學(xué)方法; 啟發(fā)引導(dǎo)法.教學(xué)過程:(-)導(dǎo)入新課

      教師提問:根據(jù)前一節(jié)學(xué)過(不等式的性質(zhì))的知識,我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運算來比較兩個實數(shù)與的大???

      找學(xué)生回答問題.

      (學(xué)生回答:,,)

      [點評]要比較兩個實數(shù) 與 的大小,只要考察 與 的差值的符號就可以了,這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí):用比較法證明不等式.

      目的:通過教師設(shè)置問題,引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識,引出用比較法證明不等式,導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識.

      (二)新課講授

      【嘗試探索,建立新知】

      作差比較法

      [問題] 求證

      教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考,研究不等式的證明.

      學(xué)生研究證明不等式,嘗試完成問題. [本問點評]

      ①通過確定差的符號,證明不等式的成立.這一方法,在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過.

      ②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題,將兩個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較,使問題簡化.

      ③理論依據(jù)是:

      ④由 需證明,知:要證明

      只需證

      ;這種證明不等式的方法通常叫做比較法.

      目的:幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系,培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.

      【例題示范,學(xué)會應(yīng)用】

      教師板書例題,引導(dǎo)學(xué)生研究問題,構(gòu)思證題方法,學(xué)會解題過程中的一些常用技巧,并點評.

      例1. 求證

      [分析]由比較法證題的方法,先將不等式兩邊作差,得,將此式看作關(guān)于的二次函數(shù),由配方法易知函數(shù)的最小值大干零,從而使問題獲證.

      證明:∵

      =,∴ .

      [本例點評]

      ①作差后是通過配方法對差式進(jìn)行恒等變形,確定差的符號;

      ②作差后,式子符號不易確定,配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式,使差式的符號易于確定;

      ③不等式兩邊的差的符號是正是負(fù),一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后,才能判斷;

      ④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.

      例2.已知

      都是正數(shù),并且,求證:

      [分析]這是分式不等式的證明題,依比較法證題將其作差,確定差的符號,應(yīng)通分,由分子、分母的值的符號推出差值的符合,從而得證.

      證明:

      = .

      因為 所以

      ∴ 都是正數(shù),且

      . .,即:

      [本例點評]

      ①作差后是通過通分法對差式進(jìn)行恒等變形,由分子、分母的值的符號推出差的符號;

      ②本例題介紹了對差變形,確定差值的符號的一種常用方法——通分法;例

      3、已知a,b都是實數(shù),且a?b,求證a?b?ab?ab3322

      證明:(a?b)?(ab?ab)?(a?ab)?(ab?b)222233223223

      2?a(a?b)?b(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)(a?b)

      ?a,b?0,?a?b?0又?a?b?(a?b)?0

      2故(a?b)(a?b)?0即(a?b)?(ab?ab)?0 23322?a?b?ab?ab3322

      [本例點評]

      ①作差后是通過分組,提取公因式對差式進(jìn)行恒等變形,化成n 個括號相乘的形式,從而推出差的符號;

      ②本例題介紹了對差變形,確定差值的符號的一種常用方法——分組,提取公因式法;求商比較法:

      例1 已知a,b是正數(shù),求證ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時,等號成立.abba證明:ababbaba?aa?bbb?a?a?????b?a?b

      根據(jù)要證的不等式的特點(交換a,b的位置,不等式不變)?a?不妨設(shè)a?b?0,則?1,a?b?0,???b?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時,等號成立.?ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時,等號成立.abbaaa?b?1小結(jié):作商比較法的基本步驟是:“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”,需要注意的是,作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式.

      (最后是與1比較)

      (三)課堂練習(xí)

      教師指定練習(xí)題,要求學(xué)生獨立思考.完成練習(xí);請甲、乙兩學(xué)生板演;巡視學(xué)生的解題情況,對正確的證法給予肯定和鼓勵,對偏差點撥和糾正;點評練習(xí)中存在的問題.

      練習(xí):1.求證,求證

      2.已知,,d都是正數(shù),且

      目的:掌握用比較法證明不等式,并會靈活運用配方法和通分法變形差式,確定差式符號.反饋課堂教學(xué)效果,調(diào)節(jié)課堂教學(xué).

      (四)布置作業(yè)

      2、已知:a,b∈R+.求證:a5+b5≥a3b2+a2b3

      2x3、求證:2?1x?

      14、求證:1?q?q?q(q?0)734

      5、設(shè)a,b?R

      a?b?,求證:ab?(ab)ab2

      第二課時 綜合法

      ●教學(xué)目標(biāo)

      (一)教學(xué)知識點 綜合法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

      1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標(biāo) 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維習(xí)慣,加強學(xué)生實踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進(jìn)一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實提高學(xué)生的思想道德品質(zhì).●教學(xué)重點

      1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)?B1?B2???Bn?B(結(jié)論).運用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式時,要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)a?b2?ab,對a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.ab?ba(4)當(dāng)a,b同號時有(5)a?b?c333

      3≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.?3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.●教學(xué)難點

      “由因?qū)Ч睍r,從哪個不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點.●教學(xué)過程 1.課題導(dǎo)入

      [師]同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理,閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)a?b2?2ab,(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;2+(4)ab≤a?b2,(a,b∈R);ab≤(ab2)2,(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;

      (5)ab?b(6)aa?b?c≥2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;

      ?3333abc,(a,b,c∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號;

      +(7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.今天,我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“比較法”證明不等式的基礎(chǔ)上,繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.2.講授新課

      一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。

      下面,我們探索研究用“綜合法”證明不等式.[例1]已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析:觀察題目,不等式左邊含有“a2+b2”的形式,我們可以創(chuàng)設(shè)運用基本不等式:a2+b2≥2ab;還可以這樣思考:不等式左邊出現(xiàn)有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”,右

      333邊有三正數(shù)a,b,c的“積”,我們可以創(chuàng)設(shè)運用重要不等式:a+b+c≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生,完成證明)

      22證法一:∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性質(zhì)定理4,得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

      因為a,b,c為不全相等的正數(shù),所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號,從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論,①,②,③三式相加得: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二:

      a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

      =(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數(shù).222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

      ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

      由不等式的性質(zhì)定理3的推論,得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結(jié):1.“綜合法”證明不等式就是從已知(或已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā),結(jié)合不等式性質(zhì),逐步推出(由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時,要善于直接運用或創(chuàng)設(shè)條件運用基本不等式,其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為Q: P?1

      Q1?Q2 Q2?Q3

      Qn?Q

      特點:“由因?qū)Ч?/p>

      例2:在△ABC中,三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c,且A、B、分析:由A,B,C成等差數(shù)列可得什么?C成等差數(shù)列,a、b、c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形. 由a,b,c成等比數(shù)列可得什么?

      3、課堂練習(xí)

      1、在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A,B,C成等差數(shù)列,求證: 1a+b1b+c3a+b+c

      +=

      4、課后作業(yè)

      1.a(chǎn)

      A.a(chǎn)b+

      C.

      1a?1b

      2()

      ?1

      a2B.|a|>-b ?b22 D.b>a

      2.a(chǎn),b∈R,M=,A?a?b2,G?ab,H?11a?21b,則M、A、G、H間的大小關(guān)系是()

      A.M≥A≥G≥H

      B.M≥H≥A≥G C.A≥G≥M≥H

      D.A≥G≥H≥M 3.0

      A.a(chǎn)+b 2

      2()

      B.a(chǎn)+b

      C.2ab

      D.2ab

      4、已知a2+b2+c2=1,求證:

      2≤ab+bc+ca≤1.5、已知:a,b,c為正實數(shù),求證:bca?acb?abc?a?b?c

      第三課時 分析法

      ●教學(xué)目標(biāo)

      (一)教學(xué)知識點 分析法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

      1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實質(zhì)——執(zhí)果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標(biāo)

      分析法證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點

      分析法證明不等式,就是“執(zhí)果索因”,從所證的不等式出發(fā),不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決,特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又??只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡寫為:B?B1?B2??Bn?A.●教學(xué)難點

      1.理解分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(guān)(分析推理)步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等.●教學(xué)過程

      1.課題導(dǎo)入

      [師]隨著我們對不等式證明學(xué)習(xí)的逐步深入,我們還會遇到這樣的問題:面對一個不等式的證明而一籌莫展,無計可施,由題設(shè)不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標(biāo)不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路,從而達(dá)到證明不等式的目的.今天,我們根據(jù)這種基本思路,繼續(xù)探討學(xué)習(xí)證明不等式的又一種重要方法——分析法.2.講授新課

      證明不等式時,有時可以從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、定理或以證明的定理、性質(zhì)等)從而得出要證的命題成立,.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法

      下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.例1 求證基本不等式a?b2?ab(a?0,b?0)

      例2 求證2?7?3?6 證明: ?所以要證2?2?7和3?7?26都是正數(shù),6,6),23?只需證(2?7)?(3?展開得9?214?9?218,只需證14?18,只需證14?18,?14?18成立,所以2? 7?3?6成立.說明:證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”

      入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.例2 已知?,??k??sin?+cos?=2sin?,sin??cos??sin? 1?tan?1?tan?求證:?221?tan?2(1?tan?)222?2(k?Z)且

      3.課時小結(jié)

      這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時,其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證??成立,只需證??”或采用符號“?”或 “?”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優(yōu)點是,當(dāng)我們面對一個不等式的證明而一籌莫展,無法下手時,它給我們提供了一個方法,即從目標(biāo)不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的過程中,會逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路.因此,分析法從本質(zhì)上說,只是對問題作嘗試與探索的過程(即執(zhí)果索因).在運用“分析法”時,典型的錯誤是把所證不等式當(dāng)作已知條件,如證明命題“若A則B”,錯誤地寫成:“因為B成立,則??”.希望同學(xué)們很好掌握

      4、課堂練習(xí)

      課本89頁 練習(xí)1,2,3.5、課后作業(yè)

      1.6?22與5?7的大小關(guān)系是________________ 2.已知a>0,b>0,且a+b=1,求證:2a?1?2b?1?22.3.若x,y是正實數(shù),x?y?1,求證:(1?)(1?)?9

      xy114.已知

      1?tan?2?tan??1,求證:3sin2???4cos2?

      第4課時

      反證法

      ●教學(xué)目標(biāo)

      (一)教學(xué)知識點 1.反證法的概念.2.反證法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握反證法的概念.2.理解反證法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā),進(jìn)行推理,使之引出矛盾,從而證明事物的結(jié)論成立的簡單推理能力與思維能力.●教學(xué)重點 1.理解反證法的推理依據(jù).2.掌握反證法證明命題的方法.3.反證法證題的步驟.●教學(xué)難點 理解反證法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

      1.復(fù)習(xí):證明不等式的常用方法:比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

      反證法:先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.例1 已知x,y?0,且x?y?2,試證1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

      證明:假設(shè)1?x1?y1?x1?y,都不小于2,即?2,且?2,yxyx?x,y?0,?1?x?2y, 1?y?2x,?2?x?y?2(x?y)?x?y?2,這與已知條件x?y?2矛盾.?1?xy與1?yx中至少有一個小于2

      1例

      2、設(shè)0 < a, b, c < 1,求證:(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于4

      證:設(shè)(1 ? a)b >4,(1 ? b)c >4,(1 ? c)a >4,1則三式相乘:ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①

      ?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1?b)b?14(1?c)c?142?14

      同理:,1以上三式相乘:(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 與

      ①矛盾

      ∴原式成立

      例3如果a??,b??,且a//b,已知直線a,b和平面?,?a

      求證: a//??bp例

      4、求證:2是無理數(shù)

      3.課時小結(jié)

      反證于以下兩種情形

      (1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類討論而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情形.常見否定用語

      是---不是

      有---沒有 等---不等

      成立--不成立 都是--不都是,即至少有一個不是 都有--不都有,即至少有一個沒有

      都不是-部分或全部是,即至少有一個是 唯一--至少有兩個

      至少有一個有(是)--全部沒有(不是)至少有一個不-----全部都

      4、課堂練習(xí)

      課本 91頁 練習(xí)1,2

      5、作業(yè)布置

      課本 91頁 1,2,4

      補充教案

      放縮法

      ●教學(xué)目標(biāo)

      教學(xué)知識點

      (一)1.放縮法的概念.2.放縮法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握放縮法的概念.2.理解放縮法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo):證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點 1.理解放縮法的推理依據(jù).2.掌握放縮法證明命題的方法.●教學(xué)難點 理解放縮法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

      1.復(fù)習(xí):證明不等式的常用方法:比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

      放縮法:證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關(guān)項之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數(shù)變形,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、縮適當(dāng),否則就不能達(dá)到目的,因此放縮法是技巧性較強的一種證法.例1 已知a,b,c,d?R?,求證1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c ?2證明: ?a,b,c,d?0,?aa?b?c?dba?b?c?dca?b?c?dda?b?c?d????aa?b?dbb?c?acc?d?bdd?a?c

      把以上四個不等式相加 得a?b?c?da?b?c?d 即1?aa?b?d112?aa?b?d?b?bb?c?a?c?cc?b?d?d?dd?a?c?2?a?ba?b?c?dc?d.b?c?a?131n22c?b?a1n2d?a?c例

      2、求證: ∴112?122????21證明:

      ?13???1n?1?1n1n2?1n(n?1)1n?1n?1?1n

      ?122?132????1?1?12??2??

      2、.課時小結(jié)

      放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進(jìn))一些項;(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.如(a?1k212)?1234?(a?,1212);1,1k?2k?k?1,2

      ??k(k?1)k2k??k(k?1)1kk?1(以上k?2且k?N?)

      4、課后作業(yè)

      1、設(shè)x > 0, y > 0,a?x?y1?x?y, b?x1?x?y1?y,求證:a < b

      111112、???????12nn?1n?22n(n?N)

      ?

      第五篇:直接證明與間接證明

      鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題:直接證明與間接證明

      主備人:安輝燕參與人:高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R,a?b?c?1,求證:???9.abc?

      ②已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù):

      ①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法;并會用直接法證明一般的數(shù)

      學(xué)問題

      ②了解間接證明的一種方法----反證法,了解反證法的思考過程、特點;會用反證

      法證明一般的數(shù)學(xué)問題 3.求證?7?25

      自學(xué)導(dǎo)讀:

      閱讀課本P85--P91,完成下列問題。

      1.直接證明----綜合法、分析法

      (1)綜合法定義:

      框圖表示:

      問題反饋:

      思維特點是:由因?qū)Ч?/p>

      (2)分析法定義:

      框圖表示:

      思維特點:執(zhí)果索因

      2.間接證明----反證法

      定義:

      步驟:

      思維特點:正難則反 拓展提升:

      3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實數(shù),f(x)?x2?ax?a.求證:

      自主檢測:

      1.如果3sin??sin(2?+?),求證:tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.

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