第一篇：人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練38：直接證明與間接證明

人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練38

直接證明與間接證明

x－y1．若|x|<1，|y|<1，試用分析法證明：|1－xy

x－y證明：要證1－xy

x－y2只需證：|<1?|x－y|2<|1－xy|2 1－xy

22?x＋y－2xy<1－2xy＋x2y

2?x2＋y2－1－x2y2<0

?(y2－1)(1－x2)<0

?(1－y2)(1－x2)>0.因?yàn)閨x|<1，|y|<1，所以x2<1，y2<1，x－y從而(1－y2)(1－x2)>0成立，故|1－xy

sinB＋sinC2．在△ABC中，sinA＝，試判斷△ABC的形狀并證明． cosB＋cosC

解：△ABC是直角三角形，證明如下：

sinB＋sinC∵sinA＝A＋B＋C＝π，cosB＋cosC

∴sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(B＋A)．

∴sinCcosA＋sinBcosA＝0，即(sinC＋sinB)cosA＝0.π又∵sinC＋sinB≠0，∴cosA＝0，∴A＝ 2

∴△ABC是直角三角形．

一、選擇題

1．(2012·洛陽調(diào)研)用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()

A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)

C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)

D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

解析：選B.自然數(shù)a，b，c中為偶數(shù)的情況為：a，b，c全為偶數(shù)；a，b，c中有兩個(gè)數(shù)為偶數(shù)；a，b，c全為奇數(shù)；a，b，c中恰有一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以反設(shè)為：a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)．

2．若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a

A．a(chǎn)c2ab>b

211baC. abab

2解析：選B.a－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.①

又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.1113．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則ab＋c)bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－2

111解析：選C.因?yàn)閍＋＋b＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.bca

4．若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()

A．lg(1＋a2)>0B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)

aa＋1C．a(chǎn)2＋3ab>2b2D.

1解析：選B.在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．

5．若a、b、c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b與a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．

其中判斷正確的個(gè)數(shù)是()

A．0B．

1C．2D．

3解析：選C.①②正確，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3.二、填空題

6．用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：________.解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個(gè)非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”．

答案：a，b，c，d全是負(fù)數(shù)

7．(2012·黃岡質(zhì)檢)在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿足________．

b2＋c2－a

2解析：由余弦定理cosA＝<0，2bc

所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2

8．設(shè)a3＋2，b＝27，則a，b的大小關(guān)系為________．

解析：a3＋2，b＝27兩式的兩邊分別平方，可得

a2＝11＋46，b2＝11＋47，顯然7.∴a

三、解答題

9．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac3a.b－ac3a，只需證b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)<3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.因?yàn)閍>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，顯然成立．

故原不等式成立．

10．已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：

(1)證明：由已知得SA＋AD＝SD，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC?平面SAD，∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，∴假設(shè)不成立．故不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.11．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．若f(c)＝0，且00.1(1)證明：f(x)的一個(gè)零點(diǎn)； a

1(2)試比較c的大小． a

解：(1)證明：∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c又x1x2 a

11∴x2＝c)，aa

1∴f(x)＝0的一個(gè)根． a

1即f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． a

11(2)c>0，aa

1由00，知f()>0，a

11這與f＝0c，aa

11又∵≠c，∴>c.aa

222

第二篇：高三一輪復(fù)習(xí)教案26直接證明與間接證明學(xué)生版

直接證明與間接證明

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．

(2)分析法

①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個(gè)明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]

1． 綜合法證明問題是由因?qū)Ч?，分析法證明問題是執(zhí)果索因．

2． 分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用．

基礎(chǔ)題 1． 要證明“3＋5”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________．(填序號(hào))

①反證法，②分析法，③綜合法．

ba2． 下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使≥2成立的條件ab的個(gè)數(shù)是________．

3． 已知函數(shù)f(x)＝lg

4． 下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分

析法是逆推法；⑤反證法是間接證法．其中正確的有

A．2個(gè)/ 6

1－x，若f(a)＝b，則f(－a)＝______(用b表示)． 1＋x()B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

5． 用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)

A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60° B．三個(gè)內(nèi)角都大于60° C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° 題型分類

題型一 綜合法的應(yīng)用

()

111?2例1 已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋??abc?≥63，并確定a，b，c為何

值時(shí)，等號(hào)成立．

21思維啟迪：利用a2＋b2≥2ab，再利用ab2，根據(jù)這個(gè)解題思路去解

ababab答本題即可．

已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝1.求證：(1)a2＋b2＋c2≥；

3(2)3a＋23b＋23c＋2≤6.題型二 分析法的應(yīng)用

?a＋mb?2≤a＋mb.例2 已知m>0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m?

思維啟迪：本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法．

已知a>0，求證：

題型三 反證法的應(yīng)用

例3 已知a≥－1，求證三個(gè)方程：

211a2－2≥a＋－2.aa

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

思維啟迪：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根”．

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝12，S3＝9＋32.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；

S(2)設(shè)bn(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

n

隨堂練

A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1． 若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a

A．a(chǎn)c2

B．a(chǎn)2>ab>b2 baD.ab

()

()

2． 設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，則a與b大小關(guān)系為

A．a(chǎn)>b

B．a(chǎn)

C．a(chǎn)＝b

D．a(chǎn)≤b

3． 分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，b－ac<

3a”索的因應(yīng)是 A．a(chǎn)－b>0

()

B．a(chǎn)－c>0 D．(a－b)(a－c)<0

C．(a－b)(a－c)>0

4． 用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為

()

A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

二、填空題(每小題5分，共15分)

5． 設(shè)a>b>0，mab，n＝a－b，則m，n的大小關(guān)系是__________．

6． 用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d

中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是_____． 7． 設(shè)x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若

x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________(填寫所有正確條件的代號(hào))．

①x為直線，y，z為平面；②x，y，z為平面；③x，y為直線，z為平面；④x，y為平面，z為直線；⑤x，y，z為直線．

三、解答題(共22分)

ππ

10，?，若x1，x2∈?0，且x1≠x2，求證：[f(x1)＋8．(10分)已知函數(shù)f(x)＝tan x，x∈??2??2

2f(x2)]>f?

9．(12分)已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

x1＋x2?

?2?.B組 專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)

一、選擇題(每小題5分，共15分)

1． 若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是

A．lg(1＋a2)>0C．a(chǎn)2＋3ab>2b

2()

B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)aa＋1D.bb＋

1()

2． 設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋c

bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－2

3． 已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對(duì)任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．給出以下三個(gè)結(jié)論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 A．

3()

B．2C．1D．0

二、填空題(每小題5分，共15分)

4． 關(guān)于x的方程ax＋a－1＝0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 5． 若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，那么當(dāng)n>2，n∈N*時(shí)，an＋bn與cn的大小關(guān)系為____________．

6． 凸函數(shù)的性質(zhì)定理為如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，f?x1?＋f?x2?＋?＋f?xn??x1＋x2＋?＋xn?，xn，有f

nn??，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上 是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________．

三、解答題

a?x－1?

7．(13分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－.x＋1

(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍； m－nm＋n＋

(2)設(shè)m，n∈R，且m>n，求證：.ln m－ln n2

第三篇：2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航：20.2直接證明與間接證明

20.2直接證明與間接證明

【考綱要求】

1、了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn).3、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.2.綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法.3.反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.[來源:Z。xx。k.Com]

應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；⑶由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；⑷間接證明命題為真.4.數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)｛pn｝是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設(shè)pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以斷定，｛pn｝對(duì)一切正整數(shù)成立.5.直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法──反證法.6.數(shù)學(xué)歸納法的步驟：（1）證明當(dāng)n=1時(shí)，命題成立。（2）證明假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。由（1）（2）得原命題成立

【例題精講】

例1已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)．

求證：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a和y＝cx＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

證明：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn))，由y＝ax＋2bx＋c，222

2y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)－4ac≤0，Δ2＝(2c)－4ab≤0，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

Δ3＝(2a)－4bc≤0.上述三個(gè)同向不等式相加得，4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≤0，∴a＝b＝c，這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證．

111例2已知a＞0，－1, 1＋a＞.ba1－b 222222222222

1【證明】 證法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，ba

要證1＋a＞

1－b可證1＋a·1－b＞1，a－b11

即證1＋a－b－ab＞1，這只需證a－b－ab＞01，即1，abba

而這正是已知條件，以上各步均可逆推，所以原不等式得證．

1及a＞0，可知1＞b＞0，ba11

∵－＞1，ba

∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得1＋a1－b＞1，即1＋a＞.1－b

[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]20.2【基礎(chǔ)精練】

1．用反證法證明命題“如果a>b，那么a>b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

3A.a＝b

33B.a<

3333D.a＝b或a

直接證明與間接證明強(qiáng)化訓(xùn)練

3333

C.a＝b且a

2．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件

有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

3．設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合．在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng))．若對(duì)任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()

A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b

4．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()

A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|C．|a－b|＋

a－b

2B．a(chǎn)＋≥a＋baab

aa

D.a＋3a＋1a＋2－a

5．已知函數(shù)f(x)＝ax＋2a＋1，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為________． 6．如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)

是不小于5的正整數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.那么具有這種性質(zhì)的函數(shù)f(x)＝________.(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)函數(shù)即可)

7．如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(n∈N)行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是

________________．11 121 1331 14641 ??[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]

8．試證：當(dāng)n∈N時(shí)，f(n)＝

39．如右圖所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥

平面BDE.10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn滿足Sn＝2an－3n(n∈N)．

(1)求證{an＋3}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{an}是否存在三項(xiàng)使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【拓展提高】

1.如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M、N分別為AB、DF的中點(diǎn)．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

*

*

2n＋

2

－8n－9能被64整除．

【基礎(chǔ)精練參考答案】

5.－1

f(1)·f(－1)<0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－11時(shí)，f(x)<0，∴a<0且f(1)＝a＋6≤0.∴a≤－6(a∈Z)．∴a＝－6，－7，－8?都符合要求． 7.2－2n解析：所有數(shù)字之和Sn＝2＋2＋2＋?＋2

n

－1)＝2－2n.n

n－

1＝2－1，除掉1的和2－1－(2n

nn

8.證明：證法一：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝64，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N，k≥1)時(shí)，f(k)＝3當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由于

32(k＋1)＋2*

2k＋2

－8k－9能被64整除．

－8(k＋1)－

9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1時(shí)命題也成立． 根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)于任意n∈N，命題都成立． 證法二：(1)當(dāng)n＝1時(shí)f(1)＝64 命題顯然成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N，k≥1)時(shí)，f(k)＝3由歸納假設(shè)，設(shè)3將

32k＋

22k＋2

*

2k＋2

*

－8k－9能被64整除．

－8k－9＝64m(m為大于1的自然數(shù))，＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得

f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1時(shí)命題也成立．

根據(jù)(1)(2)知，對(duì)于任意n∈N，命題都成立． 9.證明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.又∵O是正方形的中心，∴BD⊥AC.∵PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.10.證明：(1)∵Sn＝2an－3n(n∈N)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由?

?Sn＝2an－3n，?

*

*

??Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)

n

得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)

Z§X§X§K]

∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首項(xiàng)為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列．[來源:Zxxk.Com] ∴an＋3＝6×2

n－

1，即an＝3(2－1)．

(2)解答：假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar，as，at(r

s

r

t

s＋1

＝2＋2，∴2

rts＋1－r

＝1＋2

t－r

(*)

∵r、s、t均為正整數(shù)且r

列。[來源:Zxxk.Com][來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] 【拓展提高參考答案】

解：(1)取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG、NG.設(shè)正方形ABCD、DCEF的邊長為2，則MG⊥CD，MG＝2，NG2.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．

因?yàn)镸N6，所以sin∠MNG＝MN與平面DCEF所成角的正弦值．

(2)證明：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于

EN.由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立．[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K][來源:學(xué)科網(wǎng)]

所以ME與BN不共面，它們是異面直線．

第四篇：直接證明和間接證明(4個(gè)課時(shí))教案

2．2直接證明與間接證明

教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡(jiǎn)單的不等式；

（3）能根據(jù)實(shí)際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法；

（4）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學(xué)建議：

1．知識(shí)結(jié)構(gòu):（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡(jiǎn)單應(yīng)用）==〉（綜合應(yīng)用）

2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的a-b>0．這種證法就是求差比較法．

由于當(dāng)b>0時(shí),a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號(hào)”．

其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)的數(shù)(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列已知條件推導(dǎo)變換，推導(dǎo)出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結(jié)論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結(jié)論）

④分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更實(shí)用.（5）關(guān)于分析法與綜合法關(guān)系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，逐步地推導(dǎo)，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論已知.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的． 第一課時(shí) 不等式的證明（比較法）教學(xué)目標(biāo)

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學(xué)重點(diǎn):

比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點(diǎn):

常見的變形技巧.教學(xué)方法； 啟發(fā)引導(dǎo)法.教學(xué)過程：（－）導(dǎo)入新課

教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過（不等式的性質(zhì)）的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大??？

找學(xué)生回答問題．

（學(xué)生回答：，，）

［點(diǎn)評(píng)］要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

作差比較法

[問題] 求證

教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題． ［本問點(diǎn)評(píng)］

①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化．

③理論依據(jù)是：

④由 需證明，知：要證明

只需證

；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng)．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．

證明：∵

＝

＝，∴ ．

［本例點(diǎn)評(píng)］

①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào);

②作差后，式子符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定;

③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知

都是正數(shù)，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝ ．

因?yàn)?所以

∴ 都是正數(shù)，且

． ．，即：

[本例點(diǎn)評(píng)]

①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào);

②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法;例

3、已知a,b都是實(shí)數(shù),且a?b,求證a?b?ab?ab3322

證明:(a?b)?(ab?ab)?(a?ab)?(ab?b)222233223223

2?a(a?b)?b(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)(a?b)

?a,b?0,?a?b?0又?a?b?(a?b)?0

2故(a?b)(a?b)?0即(a?b)?(ab?ab)?0 23322?a?b?ab?ab3322

[本例點(diǎn)評(píng)]

①作差后是通過分組，提取公因式對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，化成n 個(gè)括號(hào)相乘的形式，從而推出差的符號(hào);

②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——分組，提取公因式法;求商比較法：

例1 已知a,b是正數(shù),求證ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.abba證明:ababbaba?aa?bbb?a?a?????b?a?b

根據(jù)要證的不等式的特點(diǎn)(交換a,b的位置,不等式不變)?a?不妨設(shè)a?b?0,則?1,a?b?0,???b?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.?ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.abbaaa?b?1小結(jié)：作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式．

（最后是與1比較）

(三)課堂練習(xí)

教師指定練習(xí)題，要求學(xué)生獨(dú)立思考．完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．

練習(xí)：1．求證，求證

2．已知，，d都是正數(shù)，且

目的:掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào)．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

（四）布置作業(yè)

2、已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3

．

2x3、求證：2?1x?

14、求證：1?q?q?q(q?0)734

5、設(shè)a,b?R

a?b?,求證：ab?(ab)ab2

第二課時(shí) 綜合法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 綜合法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標(biāo) 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維習(xí)慣,加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進(jìn)一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實(shí)提高學(xué)生的思想道德品質(zhì).●教學(xué)重點(diǎn)

1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)?B1?B2???Bn?B(結(jié)論).運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式時(shí),要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)a?b2?ab,對(duì)a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).ab?ba(4)當(dāng)a,b同號(hào)時(shí)有(5)a?b?c333

3≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).?3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào).(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào).●教學(xué)難點(diǎn)

“由因?qū)Ч睍r(shí),從哪個(gè)不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點(diǎn).●教學(xué)過程 1.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個(gè)重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)a?b2?2ab,(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào);2+(4)ab≤a?b2,(a,b∈R);ab≤（ab2)2,(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào);

(5)ab?b（6）aa?b?c≥2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)；

?3333abc,(a,b,c∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)；

+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào).今天，我們?cè)谏弦还?jié)課學(xué)習(xí)“比較法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.2.講授新課

一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。

下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右

333邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）

22證法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性質(zhì)定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù)，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①,②,③三式也不能全取“=”號(hào).由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數(shù).222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結(jié)：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時(shí)，要善于直接運(yùn)用或創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用基本不等式，其中拆項(xiàng)、并項(xiàng)、分解、組合是變形的重要技巧.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為Q: P?1

Q1?Q2 Q2?Q3

…

Qn?Q

特點(diǎn):“由因?qū)Ч?/p>

例2：在△ＡＢＣ中，三個(gè)內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差數(shù)列可得什么?Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形． 由a,b,c成等比數(shù)列可得什么?

3、課堂練習(xí)

1、在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數(shù)列，求證： 1a+b1b+c3a+b+c

+=

4、課后作業(yè)

1．a(chǎn)

A．a(chǎn)b+

C．

1a?1b

2（）

?1

a2B．|a|>－b ?b22 D．b>a

2．a(chǎn),b∈R，M=,A?a?b2,G?ab,H?11a?21b，則M、A、G、H間的大小關(guān)系是（）

A．M≥A≥G≥H

B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H

D．A≥G≥H≥M 3．0

A．a(chǎn)+b 2

2（）

B．a(chǎn)+b

C．2ab

D．2ab

4、已知a2＋b2＋c2＝1，求證：

2≤ab＋bc＋ca≤1.5、已知：a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：bca?acb?abc?a?b?c

第三課時(shí) 分析法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 分析法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標(biāo)

分析法證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),加強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點(diǎn)

分析法證明不等式,就是“執(zhí)果索因”,從所證的不等式出發(fā),不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時(shí),有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決,特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又??只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡(jiǎn)寫為:B?B1?B2??Bn?A.●教學(xué)難點(diǎn)

1.理解分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(guān)(分析推理)步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等.●教學(xué)過程

1.課題導(dǎo)入

［師］隨著我們對(duì)不等式證明學(xué)習(xí)的逐步深入,我們還會(huì)遇到這樣的問題:面對(duì)一個(gè)不等式的證明而一籌莫展,無計(jì)可施,由題設(shè)不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標(biāo)不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路,從而達(dá)到證明不等式的目的.今天,我們根據(jù)這種基本思路,繼續(xù)探討學(xué)習(xí)證明不等式的又一種重要方法——分析法.2.講授新課

證明不等式時(shí),有時(shí)可以從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、定理或以證明的定理、性質(zhì)等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法

下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.例1 求證基本不等式a?b2?ab(a?0,b?0)

例2 求證2?7?3?6 證明: ?所以要證2?2?7和3?7?26都是正數(shù),6,6),23?只需證(2?7)?(3?展開得9?214?9?218,只需證14?18，只需證14?18,?14?18成立,所以2? 7?3?6成立.說明：證明某些含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”

入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.例2 已知?，??k??sin?+cos?=2sin?,sin??cos??sin? 1?tan?1?tan?求證：?221?tan?2(1?tan?)222?2(k?Z)且

3.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時(shí),其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證??成立,只需證??”或采用符號(hào)“?”或 “?”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優(yōu)點(diǎn)是,當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)不等式的證明而一籌莫展,無法下手時(shí),它給我們提供了一個(gè)方法,即從目標(biāo)不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的過程中,會(huì)逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路.因此,分析法從本質(zhì)上說,只是對(duì)問題作嘗試與探索的過程(即執(zhí)果索因).在運(yùn)用“分析法”時(shí),典型的錯(cuò)誤是把所證不等式當(dāng)作已知條件,如證明命題“若A則B”,錯(cuò)誤地寫成:“因?yàn)锽成立,則??”.希望同學(xué)們很好掌握

4、課堂練習(xí)

課本89頁 練習(xí)1,2,3.5、課后作業(yè)

1．6?22與5?7的大小關(guān)系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：2a?1?2b?1?22.3．若x,y是正實(shí)數(shù)，x?y?1，求證：(1?)(1?)?9

xy114．已知

1?tan?2?tan??1，求證：3sin2???4cos2?

第4課時(shí)

反證法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.反證法的概念.2.反證法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握反證法的概念.2.理解反證法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡(jiǎn)單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進(jìn)行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡(jiǎn)單推理能力與思維能力.●教學(xué)重點(diǎn) 1.理解反證法的推理依據(jù).2.掌握反證法證明命題的方法.3.反證法證題的步驟.●教學(xué)難點(diǎn) 理解反證法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反證法:先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對(duì)于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.例1 已知x,y?0,且x?y?2,試證1?x1?y,中至少有一個(gè)小于2.yx

證明:假設(shè)1?x1?y1?x1?y,都不小于2,即?2,且?2,yxyx?x,y?0,?1?x?2y, 1?y?2x,?2?x?y?2(x?y)?x?y?2,這與已知條件x?y?2矛盾.?1?xy與1?yx中至少有一個(gè)小于2

1例

2、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大于4

證：設(shè)(1 ? a)b >4,(1 ? b)c >4,(1 ? c)a >4，1則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①

?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1?b)b?14(1?c)c?142?14

同理：，1以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 與

①矛盾

∴原式成立

例3如果a??，b??，且a//b，已知直線a，b和平面?，?a

求證： a//??bp例

4、求證：2是無理數(shù)

3.課時(shí)小結(jié)

反證于以下兩種情形

(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類討論而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情形.常見否定用語

是－－－不是

有－－－沒有 等－－－不等

成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一個(gè)不是 都有－－不都有，即至少有一個(gè)沒有

都不是－部分或全部是，即至少有一個(gè)是 唯一－－至少有兩個(gè)

至少有一個(gè)有（是）－－全部沒有（不是）至少有一個(gè)不－－－－－全部都

4、課堂練習(xí)

課本 91頁 練習(xí)1,2

5、作業(yè)布置

課本 91頁 1,2,4

補(bǔ)充教案

放縮法

●教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

（一）1.放縮法的概念.2.放縮法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握放縮法的概念.2.理解放縮法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡(jiǎn)單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo)：證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),加強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點(diǎn) 1.理解放縮法的推理依據(jù).2.掌握放縮法證明命題的方法.●教學(xué)難點(diǎn) 理解放縮法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反

放縮法:證明不等式時(shí),通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關(guān)項(xiàng)之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項(xiàng)得到簡(jiǎn)化而有利于代數(shù)變形,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、縮適當(dāng),否則就不能達(dá)到目的,因此放縮法是技巧性較強(qiáng)的一種證法.例1 已知a,b,c,d?R?,求證1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c ?2證明: ?a,b,c,d?0,?aa?b?c?dba?b?c?dca?b?c?dda?b?c?d????aa?b?dbb?c?acc?d?bdd?a?c

把以上四個(gè)不等式相加 得a?b?c?da?b?c?d 即1?aa?b?d112?aa?b?d?b?bb?c?a?c?cc?b?d?d?dd?a?c?2?a?ba?b?c?dc?d.b?c?a?131n22c?b?a1n2d?a?c例

2、求證： ∴112?122????21證明：

?13???1n?1?1n1n2?1n(n?1)1n?1n?1?1n

?122?132????1?1?12??2??

2、.課時(shí)小結(jié)

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個(gè)中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng);(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.如(a?1k212)?1234?(a?,1212);1,1k?2k?k?1,2

??k(k?1)k2k??k(k?1)1kk?1(以上k?2且k?N?)

4、課后作業(yè)

1、設(shè)x > 0, y > 0,a?x?y1?x?y, b?x1?x?y1?y，求證：a < b

111112、???????12nn?1n?22n(n?N)

?

第五篇：直接證明與間接證明

鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測(cè)”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會(huì)用直接法證明一般的數(shù)

學(xué)問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；會(huì)用反證

法證明一般的數(shù)學(xué)問題 3.求證?7?25

自學(xué)導(dǎo)讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點(diǎn)：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實(shí)數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測(cè)：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個(gè)不小于12.