第一篇：人教版高中數(shù)學(xué)公式 2

一、高中數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式全集：常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)

注意：在做題時(shí)，將a看成銳角來做會(huì)比較好做。誘導(dǎo)公式記憶口訣※規(guī)律總結(jié)※

上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函數(shù)值，①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇變偶不變）

然后在前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。（符號(hào)看象限）例如：

sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4為偶數(shù)，所以取sinα。當(dāng)α是銳角時(shí)，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號(hào)為“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

公式右邊的符號(hào)為把α視為銳角時(shí)，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。＃

各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)”．這十二字口訣的意思就是說：

第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“＋”；第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”，弦函數(shù)是“－”；第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦＃

還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負(fù)：

函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦...........＋.....＋.....—.....—........余弦...........＋.....—.....—.....＋........正切...........＋.....—.....＋.....—........余切...........＋.....—.....＋.....—........同角三角函數(shù)基本關(guān)系

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:tanα 2cotα＝1sinα 2cscα＝1cosα 2secα＝1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）

構(gòu)造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。

（1）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；

（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。

（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。

兩角和差公式

兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα2tanβ)二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)] 半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)萬能公式萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)cosα 2cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinα 2sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)] 和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先,我們知道

－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))＝4cos^3(α)－3cosα即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式聯(lián)想記憶★記憶方法：諧音、聯(lián)想

正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示?！锪硗獾挠洃浄椒?

正弦三倍角: 山無司令(諧音為 三無四立)三指的是“3倍”sinα, 無指的是減號(hào), 四指的是“4倍”, 立指的是sinα立方余弦三倍角: 司令無山 與上同理 和差化積公式

三角函數(shù)的和差化積公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]2cos[(α－β)/2]sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]2sin[(α－β)/2]cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]2cos[(α－β)/2]cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]2sin[(α－β)/2] 積化和差公式

三角函數(shù)的積化和差公式

sinα 2cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosα 2sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2同樣的,我們還知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

第二篇：高中數(shù)學(xué)公式

高中數(shù)學(xué)

乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac>0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0 注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

第三篇：高中文科數(shù)學(xué)公式匯總

高中數(shù)學(xué)公式匯總（文科）

一、復(fù)數(shù)

1、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i.??22c?di(c?di)(c?di)c?d2、復(fù)數(shù)z?a?bi的模|z|=|a?

bi|

3、z?a?bi的共軛復(fù)數(shù)Z=a-bi二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量

4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin??cos??1，tan?=22sin?.cos?

5、和角與差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos?sin?sin?;tan(???)?tan??tan?.1tan?tan?

6、二倍角公式

sin2??sin?cos?.cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.2tan?tan2??.1?tan2?

1?cos2?;2公式變形：1?cos2?2sin2??1?cos2?,sin2??;22cos2??1?cos2?,cos2??

7、三角函數(shù)的周期

函數(shù)y?sin(?x??)，x∈R及函數(shù)y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T?函數(shù)y?tan(?x??)，x?k??2??；?

2,k?Z(A,ω,?為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T?

b a?.?

8、函數(shù)y?sin(?x??)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間、圖象變換

9、輔助角公式y(tǒng)?asinx?bcosx?

10、正弦定理a2?b2sin(x??)其中tan??abc???2R.sinAsinBsinC22222222211、余弦定理a?b?c?2bccosA;b?c?a?2cacosB;c?a?b?2abcosC.11112、三角形面積公式S?absinC?bcsinA?casinB.22213、三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

14、a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a?b?|a|?|b|cos?

15、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a?b=x1x2?y1y2.(3)設(shè)a=(x,y)，則a?

16、兩向量的夾角公式 x2?y

2第1頁（共4頁）

設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，且?，則 cos??

17、向量的平行與垂直a?bab?x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2222

2//??? ?x1y2?x2y1?0;?(?)???0?x1x2?y1y2?0.三、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

18、函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1、x2?[a,b],x1?x2那么f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù)；

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)y?f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f?(x)?0，則f(x)為增函數(shù)；若f?(x)?0，則f(x)為減函數(shù).19、函數(shù)的奇偶性

對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，都有f(?x)?f(x)，則f(x)是偶函數(shù)；

對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，都有f(?x)??f(x)，則f(x)是奇函數(shù)。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

20、函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y?f(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f?(x0)，相應(yīng)的切線方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).21、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

'①C?0；②(xn)'?nxn?1；③(sinx)'?cosx；④(cosx)'??sinx；

11'；⑧(lnx)? xlnax

u'u'v?uv'

''''''(v?0).22、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?2vvx'xx'x⑤(a)?alna；⑥(e)?e；⑦(logax)?'

23、會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值

24、求函數(shù)y?f?x?的極值的方法是：解方程f??x??0．當(dāng)f??x0??0時(shí)：

(1)如果在x0附近的左側(cè)f??x??0，右側(cè)f??x??0，那么f?x0?是極大值；

(2)如果在x0附近的左側(cè)f??x??0，右側(cè)f??x??0，那么f?x0?是極小值．

x?y?xy，當(dāng)x?y時(shí)等號(hào)成立。

2（1）若積xy是定值p，則當(dāng)x?y時(shí)和x?y有最小值2p；

12（2）若和x?y是定值s，則當(dāng)x?y時(shí)積xy有最大值s.4五、數(shù)列

四、不等式

25、已知x,y都是正數(shù)，則有

26、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

n?1?s1,(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sn?a1?a2?an??s?s,n?2?nn?1?an).*

27、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；

n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n.222

2ann?1*29、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1q?1?q(n?N)； q28、等差數(shù)列其前n項(xiàng)和公式為sn?

30、等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為

?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??sn??1?q 或 sn??1?q.?na,q?1?na,q?1?1?

1六、解析幾何

31、直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式 y?y1?k(x?x1)(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．

（2）斜截式 y?kx?b(b為直線l在y軸上的截距).xy??1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b?0)ab

（4）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同時(shí)為0).(3)截距式

32、兩條直線的平行和垂直

若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b

2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;

②l1?l2?k1k2??1.33、平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B

?

34、點(diǎn)到直線的距離

A(x1,y1)，B(x2,y2)).d?(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：Ax?By?C?0).22235、圓的三種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)?(y?b)?r.22（2）圓的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).36、直線與圓的位置關(guān)系 2

2222直線Ax?By?C?0與圓(x?a)?(y?b)?r的位置關(guān)系有三種:

d?r?相離???0;

d?r?相切???0;

d?r?相交???0.弦長=2r2?d2 Aa?Bb?C其中d?.22A?B37、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)

cx2y

2222橢圓：2?2?1(a?b?0)，a?c?b，離心率e??1 aab

cx2y2b222雙曲線：2?2?1(a>0,b>0)，c?a?b，離心率e??1，漸近線方程是y??x.aaab

pp2拋物線：y?2px，焦點(diǎn)(,0),準(zhǔn)線x??。拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離.22

八、立體幾何

38、證明直線與直線平行的方法

（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）

39、證明直線與平面平行的方法

（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行）

（2）先證面面平行

40、證明平面與平面平行的方法

平面與平面平行的判定定理（一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行）．．．．

41、證明直線與直線垂直的方法

轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直

42、證明直線與平面垂直的方法

（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直）．．．．

（2）平面與平面垂直的性質(zhì)定理（兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個(gè)平面）

43、證明平面與平面垂直的方法

平面與平面垂直的判定定理（一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面垂直）

44、異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義及計(jì)算

45、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算（定義法、等體積法）

九、概率統(tǒng)計(jì)

46、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

x1?x2??xn12222方差:s?[(x1?x)?(x2?x)??(xn?x)] nn

1標(biāo)準(zhǔn)差:s?[(x1?x)2?(x2?x)2??(xn?x)2] n平均數(shù):x?

47、古典概型的計(jì)算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復(fù)、不遺漏）．．．．．．．．．

第四篇：高中數(shù)學(xué)公式口訣

高中數(shù)學(xué)公式口訣

一、《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。

復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。

指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。

函數(shù)定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)

正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。

兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對(duì)稱，Y=X是對(duì)稱軸

求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。

冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。

第五篇：高中數(shù)學(xué)公式和定理

高中數(shù)學(xué)公式和定理

數(shù)學(xué)公式和定理揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體．要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須對(duì)公式和定理有十分正確透徹的理解，也就是說，牢固掌握并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和定理是提高數(shù)學(xué)能力的重要前提．在教學(xué)過程中我積累了一些經(jīng)驗(yàn)，下面我就數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)談?wù)勎业囊恍w會(huì)．

在數(shù)學(xué)公式和定理的學(xué)習(xí)中，需要學(xué)生具備多方面的能力，如對(duì)新舊知識(shí)聯(lián)系的理解能力，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的歸納與探究能力，對(duì)公式與定理的推理與演繹能力，對(duì)知識(shí)的存儲(chǔ)、記憶與應(yīng)用能力等．

數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套”、“公式加例題”的形式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍．事實(shí)上在公式與定理的教學(xué)中一般應(yīng)有如下五個(gè)環(huán)節(jié)：引入，推導(dǎo)，條件和特例，應(yīng)用，最后把它們納入學(xué)生的知識(shí)體系．因此，教師在教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)興趣，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，就能避免學(xué)生的死記硬背，生搬硬套，做到“活學(xué)活用”．

一、知識(shí)引入多樣化，激發(fā)學(xué)生求知欲

公式、定理的引入是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)探索能力的首要環(huán)節(jié)．一開始的引入如能把學(xué)生吸引住，將大大激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們的思維處于最亢奮的狀態(tài)．在平時(shí)的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)，“開門見山”式的引入雖然省時(shí)省力，但學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣，只等著老師講．而針對(duì)不同的公式與定理，采用多樣化的引入，能很好地吸引學(xué)生，激發(fā)他們的探究欲望．在教學(xué)實(shí)踐中，我常常采用以下幾種引入的方法：

1、實(shí)踐引入：

教師要善于搜集與公式和定理相關(guān)的、有趣味的模型，使學(xué)生在接觸課題時(shí)，就產(chǎn)生強(qiáng)烈的探求欲望．例如在引入線面垂直的判定定理時(shí),先讓學(xué)生自己動(dòng)手做一個(gè)實(shí)驗(yàn):如圖,拿一張矩形紙片,對(duì)折后略為展開,使矩形被折的一邊緊貼在桌面上,教師告訴學(xué)生，折痕和桌面是垂直的，這是為什么呢？學(xué)生一下子被吸引住了，急切地想知道這是為什么．

2、類比引入：

數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性，因此新公式、新定理可以由舊公式、舊定理通過類比遷移而來． 例如在引入余

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弦定理時(shí)，先給出三角形的三邊a、b、c,其中c為最大邊．討論c2與a2?b2的關(guān)系．同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過勾股定理，?C?900時(shí)有c2?a2?b2．教師向?qū)W生提出這樣的問題，在斜三角形中a2?b2與c2有什么關(guān)系？學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?C?900時(shí)有c2?a2?b2；當(dāng)?C?900時(shí)有c2?a2?b2．通過對(duì)三種三角形的類比，學(xué)生會(huì)有很大的興趣去討論它們之間存在怎樣的一種關(guān)系式．此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出在△ABC中，三邊a、b、c有這樣一種關(guān)系：c2?a2?b2?m．進(jìn)而得出m的符號(hào)與?C的關(guān)系．這種引入方法，使學(xué)生對(duì)新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延伸與擴(kuò)展．

3、發(fā)現(xiàn)法引入：

由于公式是對(duì)客觀實(shí)踐的抽象，為了完成這一過程，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生重涉前人探索之路去發(fā)現(xiàn)公式．這種發(fā)現(xiàn)式的引入，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察與探究能力有重要作用．在應(yīng)用這種引入方法時(shí)，關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)使學(xué)生感興趣的情景．例如在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時(shí)，我給同學(xué)們講了他們都知道的高斯小時(shí)候求1?2???100的故事，并加上了故事的尾巴：“在高斯說出了他的方法后，老師又提出了新的問題，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算1?4?7???98”，大家想一想，該如何計(jì)算？更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)a1?a2???an的計(jì)算公式我們能推導(dǎo)出來嗎?同學(xué)們興致盎然，通過獨(dú)立探究與合作討論，很快就得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式．

二、重視推導(dǎo)和證明，弄清來龍去脈

公式的推導(dǎo)和定理的證明是教學(xué)的核心．由于第一環(huán)節(jié)恰當(dāng)?shù)匾耄瑢W(xué)生的心理狀態(tài)是“興趣被激發(fā)，對(duì)證明、推導(dǎo)有迫切感”，因此我抓住機(jī)會(huì)給予證明．如果在教學(xué)中不重視推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)它們的來龍去脈就會(huì)很模糊．在推導(dǎo)過程的教學(xué)中，我盡量發(fā)揮學(xué)生的主體作用，能讓學(xué)生推導(dǎo)的就讓學(xué)生推導(dǎo)，并注意指出學(xué)生推導(dǎo)中的錯(cuò)誤．有些推導(dǎo)過程繁瑣的公式與定理，教師注重分析，講清為什么用這樣的方法．如果公式和定理有幾種推導(dǎo)方法，教學(xué)中不是面面俱到，而是讓學(xué)生課后思考不同的推導(dǎo)方法，在下一節(jié)課上進(jìn)行交流．

三、強(qiáng)調(diào)條件和特例

公式成立是要有一定條件的．學(xué)生學(xué)習(xí)公式的最大弱點(diǎn)是把公式作為“萬能公式”亂用亂套．因此教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件．如含有正切的三角公式的角的范圍是有限制的．在公式推導(dǎo)完成后，我常常讓學(xué)生做一個(gè)小練習(xí)，從中發(fā)現(xiàn)他們忽略條件而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，讓學(xué)生討論公式應(yīng)用中要注意公式成立的條件．

另外，公式雖具有一定的普遍意義，但對(duì)一些具有特殊條件的情形要給予注意，這就是公式的特例．如三角誘導(dǎo)公式及倍角公式是兩角和與差公式的特例．而一般結(jié)論往往是特例的發(fā)展與完善．如正弦定理是三角形面積公式的發(fā)展與推廣．

四、注重靈活應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于應(yīng)用，因此，在公式和定理的教學(xué)中，必須使學(xué)生靈活巧妙地應(yīng)用公式和定理，提高、培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際運(yùn)用的能力．在此教學(xué)環(huán)節(jié)中要注意引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用公式．

每個(gè)公式本身均可作各種變化，為了在更廣闊的背景中運(yùn)用公式，就需要對(duì)公式本身進(jìn)各種變形．這一層次的思維量大，可很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．例如：ai（i?1,2,?,n）為正數(shù)，求證

222a12?a2?a2???an?a12?2(a1?a2???an)，可把基本不等式a2?b2?2ab變形為

a2?b2?a?b

2來用．再如求tg200?tg400?tg200tg400的值，是將tg(???)的公式變形使用．

五、把公式和定理納入學(xué)生的知識(shí)體系

數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性強(qiáng)．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)后，可以形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，是“同化”與“順應(yīng)”調(diào)節(jié)的辨證統(tǒng)一．“同化”指的是新知識(shí)與舊知識(shí)相一致時(shí)，新知識(shí)被納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；“順應(yīng)”指的是新知識(shí)與舊知識(shí)不一致時(shí)，對(duì)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)節(jié)，以適應(yīng)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)．如在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，判別式小于零的實(shí)系數(shù)一元兩次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可同化到學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中；而|z|2?z?z，就要學(xué)生將舊知識(shí)“順應(yīng)”到新的知識(shí)機(jī)構(gòu)中去．因此，在教學(xué)中我們要注意把新知識(shí)納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．為此，我在教學(xué)中充分注意以下幾點(diǎn)：

1、注意公式推導(dǎo)過程中包含的數(shù)學(xué)思想方法．

在公式與定理的推導(dǎo)過程中，常常要用到數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．在推導(dǎo)過程中，教師常從特殊的情景出發(fā)進(jìn)行分析．例如，在推導(dǎo)sinx?a(|a|?1)解集時(shí)，從a的特殊值開始進(jìn)行分析．在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要分q?1與q?1兩種情況討論．在教學(xué)中要充分挖掘公式與定理推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)思想方法，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)密性與靈活性．

2、公式和定理的推廣及引申

由于學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性和教材要求等原因，中學(xué)數(shù)學(xué)有許多公式和定理是可以推廣的，教會(huì)學(xué)生推廣，讓學(xué)生看清知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，是把知識(shí)納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效途徑．例如三角形面積公式S?11absinC中bsinC就是a邊上的高,它其實(shí)就是初中所學(xué)的公式S?ah的另一種新的形式．再如學(xué)2

2習(xí)了祖暅原理后，讓學(xué)生把它引申到平面幾何的相應(yīng)命題．

3、比較與鑒別

比較與鑒別是把公式和定理納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必由之路．在教學(xué)的后階段，一般是應(yīng)用所學(xué)新知識(shí)來解題．如果僅僅盯住新公式，學(xué)生就失去一次獨(dú)立選擇公式的機(jī)會(huì)，這無助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展．特別是公式較多時(shí)，學(xué)生一旦面臨復(fù)雜的問題，他們會(huì)無所適從．因此在教學(xué)中用注意公式的比較

與鑒別，選擇合適的公式解題，使學(xué)生的解題能力得到發(fā)展．例如有這樣一道題：在△ABC中，已知a?3，b?1,?B?300 ,求c邊的長．如果用正弦定理來解，要分兩步而且面臨∠A是一解還是兩解的選擇，而直接用余弦定理就可一步到位．在數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中，教師必須使學(xué)生到達(dá)以下目標(biāo)：一是要用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述公式與定理的內(nèi)容；二是要學(xué)會(huì)分析其條件與結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系；三是要正確地掌握其證明及推導(dǎo)方法；四是要明確其使用的條件和適用的范圍及應(yīng)用的規(guī)律；五是要考慮對(duì)一些重要的公式和定理能否作適當(dāng)?shù)囊昱c推廣．我們?cè)诮虒W(xué)中，必須以適當(dāng)?shù)姆绞綄⒐胶投ɡ淼陌l(fā)生發(fā)展過程展示給學(xué)生，讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)獲取知識(shí)，并領(lǐng)悟公式和定理所包含的教學(xué)思想方法，靈活地掌握知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)，達(dá)到提高分析問題，解決問題的能力．

參考資料：

李果民《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建?！?廣西教育出版社2003年

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