第一篇：三角函數(shù)教案

三角函數(shù)

1教學目標

⑴: 使學生理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形

⑵: 通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力． ⑶: 滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的學習習慣．

2學情分析

學生在具備了解直角三角形的基本性質(zhì)后再對所學知識進行整合后利用才學習直角三角形邊角關系來解直角三角形。所以以舊代新學生易懂能理解。

3重點難點

重點：直角三角形的解法

難點：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用 以實例引入，解決重難點。

4教學過程 4.1 第一學時 教學活動 活動1【導入】

一、復習舊知，引入新課

一、復習舊知，引入新課

1．在三角形中共有幾個元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關系呢？

答：(1)、三邊之間關系 ： a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、銳角之間關系：∠A+∠B=90°(3)、邊角之間關系

以上三點正是解的依據(jù)．

3、如果知道直角三角形2個元素，能把剩下三個元素求出來嗎？經(jīng)過討論得出解直角三角形的概念。

復習直角三角形的相關知識，以問題引入新課

注重學生的參與，這個過程一定要學生自己思考回答，不能讓老師總結得結論。

PPT，使學生動態(tài)的復習舊知

活動2【講授】

二、例題分析教師點撥

例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個直角三角形． 例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解這個直角三角形

活動3【練習】

三、課堂練習學生展示

完成課本91頁練習

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解這個直角三角形.3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周長和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解這個直角三角形（結果保留三位小數(shù)）.活動4【活動】

四、課堂小結

1)、邊角之間關系 2)、三邊之間關系

3)、銳角之間關系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一邊一角，如何解直角三角形？”

活動5【作業(yè)】

五、作業(yè)設置

課本 第96頁習題28．2復習鞏固第1題、第2題．

第二篇：三角函數(shù)教案及反思

課

題：三角函數(shù)的誘導公式

（一）教

者：王永濤（寧縣四中）

教學目標：1.知識與技能：借助單位圓，推導出誘導公式，能正確運用誘導公式

將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，掌握有關三角函數(shù)求值問

題。

2.過程與方法：經(jīng)歷誘導公式的探索過程，體驗未知到已知、復雜到

簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)化歸思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學探索的成功感，激發(fā)學習數(shù)學的熱

情，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，增強學習數(shù)學的信心。

重

點：誘導公式二、三、四的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求

值，提高對數(shù)學內(nèi)部聯(lián)系的認識。

難

點：發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與任意角終邊的坐標之間的聯(lián)系；誘導公式的合理運

用。

教學方法：合作探究式 教學手段：多媒體 教學過程：

一、前置檢測

1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？

2.2kπ＋α（k∈Z）與α的三角函數(shù)之間的關系是什么？

3.你能求sin750°和sin930°的值嗎？

二、精講點撥

知識探究

（一）：π＋α的誘導公式（師生共同探究）。

思考1：210°角與30°角有何內(nèi)在聯(lián)系？240°角與60°角呢? 思考2：若α為銳角，則（180°，270°）范圍內(nèi)的角可以怎樣表示？

思考3：對于任意給定的一個角α，角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關系？

思考4：設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），則角π＋α的終邊與單位圓的交點坐標如何？

思考5：根據(jù)三角函數(shù)定義，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分別是什么？

思考6：對比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關系？

公式二 ：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=－cosα，tan（π＋α）=tanα。

知識探究

（二）（三）：－α，π－α的誘導公式（學生自主合作探究）。

引導學生回顧剛才探索公式二的過程，明確研究三角函數(shù)誘導公式的路線圖：角間關系→對稱關系→坐標關系→三角函數(shù)值間關系。為學生指明探索公式三、四的方向。

學生小組自主合作探究，然后讓小組學生代表闡述探究的過程和結果。根據(jù)三角函數(shù)定義，得出－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關系及π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關系。

公式三：sin（－α）= －sinα、公式四：sin(π－α)=sinα，cos（－α）=cosα、cos(π－α)=-－cosα，tan（－α）=－tanα。

tan(π－α)=－tanα。思考1：利用π－α＝π＋(－α)，結合公式二、三，你能得到什么結論？ sin(π－α)= sin[π+（－α）] = －sin（－α）=sinα

cos(π－α)= cos[π+（－α）]= －cos（－α）=－cosα

tan(π－α)= tan[π+（－α）] = tan（－α）=－tanα

思考2：公式一～四都叫做誘導公式，他們分別反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關系，你能概括一下這四組公式的共同特點和規(guī)律嗎？

2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)值的符號。即“函數(shù)名不變，符號看象限”。

例1 利用公式求下列三角函數(shù)值：

（1）cos225°；

（2）sin660°；

（3）tan（??）；

（4）cos（－2040°）。3[變式訓練] 將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，并填在題中橫線上：(1)cos??_______;9?

(3)sin()?_______;5例2 化簡

(2)sin(1??)?_______;(4)cos(?70?6')?_______.??cos1(80??)?sin?(?360)??sin?(??180)?cos?(180??)

[變式訓練] 化簡：

cos190??sin(?210?)?cos(350?)?tan58

5三、當堂檢測

1.利用公式求下列三角函數(shù)值

7?（2）sin(?);

（1）cos(?420?);6

79?(3)sin(330?);（4）cos(?);6

2.化簡

sin3(??)cos(2???)tan(????).（1）sin(??180?)cos(??)sin(???180?);（2）

四、總結提升

1.誘導公式都是恒等式，即在等式有意義時恒成立。

2.2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)值的符號。即“函數(shù)名不變，符號看象限”。

3.利用誘導公式一～四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：任意負角的三角函數(shù)→任意正角的三角函數(shù)→0~2π的角的三角函數(shù)→銳角三角函數(shù)。

五、布置作業(yè)

1書面作業(yè)：必做：課本29頁習題1.3A組 1、2；

選做：課本29頁習題B組1.2預習作業(yè)：《三角函數(shù)的誘導公式》

（二），試用所學推導公式（五、六）。

第三篇：三角函數(shù)線教案

三角函數(shù)線及其應用

教學目標

1．使學生理解并掌握三角函數(shù)線的作法，能利用三角函數(shù)線解決一些簡單問題． 2．培養(yǎng)學生分析、探索、歸納和類比的能力，以及形象思維能力． 3．強化數(shù)形結合思想，發(fā)展學生思維的靈活性． 教學重點與難點

三角函數(shù)線的作法與應用． 教學過程設計

一、復習

師：我們學過任意角的三角函數(shù)，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定義的？

生：在α的終邊上任取一點P（x，y），P和原點O的距離是r（r＞0），那么角α的六個三角函數(shù)分別是（教師板書）

師：如果α是象限角，能不能根據(jù)定義說出α的各個三角函數(shù)的符號規(guī)律？

生：由定義可知，sinα和cscα的符號由y決定，所以當α是第一、二象限角時，sinα＞0，cscα＞0；當α是第三、四象限角時，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符號由x決定，所以當α是第一、四象限角時，cosα＞0，secα＞0；當α是第二、三象限角時，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符號由x，y共同決定，當x，y同號時，tanα，cotα為正；當x，y異號時，tanα，cotα為負．也就是說當α是第一、三象限角時，tanα＞0，cotα＞0；當α是第二、四象限角時，tanα＜0，cotα＜0．

師：可以看到，正弦值的正負取決于P點縱坐標y，余弦值的正負取決于P點的橫坐標x，而正切值的正負取決于x和y是否同號，那么正弦、余弦、正切的值的大小與P點的位置是否有關？

生：三角函數(shù)值的大小與P的位置無關，只與角α的終邊的位置有關． 師：既然三角函數(shù)值與P點在角α的終邊上的位置無關，我們就設法讓P點點位于一個特殊位置，使得三角函數(shù)值的表示變?yōu)楹唵危?/p>

二、新課

師：P點位于什么位置，角α的正弦值表示最簡單？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 師：那么對于余弦又該怎么處理呢？ 生：還是取r=1．

師：如果r=1，那么P點在什么位置？

生：P點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．

師：這個圓我們會經(jīng)常用到，給它起個名字，叫單位圓，單位圓是以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓．（板書）1．單位圓

師：設角α的終邊與單位圓的交點是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

師：我們前面說的都是三角函數(shù)的代數(shù)定義，能不能將正弦值、余弦值等量幾何化，也就是用圖形來表示呢？因為數(shù)形結合會給我們的研究帶來極大的方便，請同學們想想，哪些圖形與這些數(shù)值有關呢？

（同學可能答不上來，教師給出更明確的提示．）

師：sinα=y，cosα=x，而x，y是點P的坐標，根據(jù)坐標的意義再想一想．

師：對點來說，是它的位置代表了數(shù)，點本身并不代表數(shù)．能不能找到一個圖形，自身的度量就代表數(shù)？

生：可以用面積，比如一個正數(shù)可以對應著一個多邊形的面積，每一個多邊形的面積對應著唯一一個正數(shù)． 師：很好．但這是一個二維的圖形，而且多邊形的邊數(shù)也不確定，我們還應遵循求簡的原則．有沒有簡單的圖形呢？

生：是不是能用線段的長度來表示？ 師：說說你的理由．

生：線段的長度與正數(shù)是一一對應的，所以每一個正數(shù)可以用一條線段來作幾何形式． 師：正數(shù)可以這樣去做，零怎么辦呢？能用線段來表示嗎？ 生：（非常活躍）當然行了，讓線段兩個端點重合，線段長就是零了．

師：可以畫這樣一個示意圖，線段一個端點是A，另一個端點是B，當A，B重合時，我們說AB是0；當A，B不重合時，我們說AB是一個正實數(shù)．那么負數(shù)怎么辦呢？能不能想辦法也用線段AB表示？

生：線段的長度沒有負數(shù)．

生：我能不能這樣看，A點在直線l上，B點在l上運動，如果B在A的右側(cè)，我就說線段AB代表正數(shù)；如果B和A重合，就說線段AB代表0；如果B在A的左側(cè)，就說線段AB代表負數(shù)．

（教師不必理會學生用詞及表述的漏洞．主要是把學生的注意力吸引到對知識、概念的發(fā)現(xiàn)上來．）

師：正數(shù)與正數(shù)不都相等，負數(shù)和負數(shù)也不都相等，你只是規(guī)定了正負還不夠吧？！

生：可以再加上線段AB的長度．這樣所有的實數(shù)都能對應一條線段AB，以A為分界點，正數(shù)對應的點B在A的右側(cè)，而且加上長度，B點就唯一了．

師：他的意見是對線段也給了方向．與直線規(guī)定方向是類似的．那么如何建立有向線段與數(shù)的對應關系？（板書）2．有向線段

師：顧名思義，有方向的線段（即規(guī)定了起點與終點的線段）叫做有向線段，那么如何建立有向線段與數(shù)的對應關系呢？這需要借助坐標軸．平行于坐標軸的線段可以規(guī)定兩種方向．如圖2，線段AB可以規(guī)定從點A（起點）到點B（終點）的方向，或從點B（起點）到點A（終點）的方向，當線段的方向與坐標軸的正方向一致時，就規(guī)定這條線段是正的；當線段的方向與坐標軸的正方向相反時，就規(guī)定這條線段是負的．如圖中AB=3（長度單位）（A為起點，B為終點），BA=-3（長度單位）（B為起點，A為終點），類似地有CD=-4（長度單位），DC=4（長度單位）．

師：現(xiàn)在我們回到剛才的問題，角α與單位圓的交點P（x，y）的縱坐標恰是α的正弦值，但sinα是可正、可負、可為零的實數(shù)，能不能找一條有向線段表示sinα？

生：找一條有向線段跟y一致就行了，y是正的，線段方向向上，y是負的，線段方向向下，然后讓線段的長度為｜y｜． 師：理論上很對，到底選擇哪條線段呢？我們不妨分象限來看看．

生：如果α是第一象限的角，過P點向x軸引垂線，垂足叫M（無論學生用什么字母，教師都要將其改為M），有向線段MP為正，y也是正的，而且MP的長度等于y，所以用有向線段MP表示sinα=y．

（圖中的線段隨教學過程逐漸添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正數(shù)，也得找一條正的線段．因為α的終邊在x軸上方，與第一象限一樣，作PM垂直x軸于M，MP=sinα．

師：第一、二象限角的正弦值幾何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此時sinα是負值．

生：這時角α的終邊在x軸下方，P到x軸的距離是｜y｜=-y．所以還是作PM垂直x軸于M，MP方向向下，長度等于-y，所以sinα=y．

師：歸納起來，無論α是第幾象限角，過α的終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，交x軸于M，有向線段MP的符號與點P的縱坐標y的符號一致，長度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我們把有向線段MP叫做角α的正弦線，正弦線是角α的正弦值的幾何形式．（板書）

3．三角函數(shù)線

（1）正弦線——MP 師：剛才討論的是四個象限的象限角的正弦線，軸上角有正弦線嗎？

生：當角α的終邊在x軸上時，P與M重合，正弦線退縮成一點，該角正弦值為0；當角α終邊與y軸正半軸重合時，M點坐標為（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值為1；當α終邊與y軸負半軸重合時，MP=-1，sinα=-1，與象限角情況完全一致． 師：現(xiàn)在來找余弦線．

生：因為cosα=x（x是點P的橫坐標），所以把x表現(xiàn)出來就行了．過P點向y軸引垂線，垂足為N，那么有向線段NP=cosα，NP是余弦線． 師：具體地分析一下，為什么NP=cosα？

生：當α是第一、四象限角時，cosα＞0，NP的方向與x軸正方向一致，也是正的，長度為x，有cosα=NP；當α是第二、三象限角時，cosα＜0，NP也是負的，也有cosα=NP． 師：這位同學用的是類比的思想，由正弦線的作法類比得出了余弦線的作法，其他同學有沒有別的想法？

生：其實有向線段OM和他作的有向線段NP方向一樣，而且長度也一樣，也可以當作余弦線．

師：從作法的簡潔及圖形的簡潔這個角度看，大家愿意選哪條有向線段作為余弦線？ 生：OM．（板書）

（2）余弦線——OM 師：對軸上角這個結論還成立嗎？（學生經(jīng)過思考，答案肯定．）

師：我們已經(jīng)得到了角α的正弦線、余弦線，它們都是與單位圓的弦有關的線段，能不能找到單位圓中的線段表示角α的正切呢？

生：肯定和圓的切線有關系（這里有極大的猜的成分，但也應鼓勵學生．）

坐標等于1的點，這點的縱坐標就是α的正切值． 師：那么橫坐標得1的點在什么位置呢？ 生：在過點（1，0），且與x軸垂直的直線上． 生：這條直線正好是圓的切線．（在圖3-（1）中作出這條切線，令點（1，0）為A．）師：那么哪條有向線段叫正切線呢？不妨先找某一個象限角的正切線．

生：設α是第一象限角，α的終邊與過A的圓的切線交于點T，T的橫坐標是1，縱坐標設為y′，有向線段AT=y′，AT可以叫做正切線．

師：大家看可以這樣做吧？！但第二象限角的終邊與這條切線沒有交點，也就是α的終邊上沒有橫坐標為1的點．

生：可以令x=-1，也就是可以過（-1，0）再找一條切線，在這條切線上找一條有向線段表示tanα．

師：我相信這條線段肯定可以找到，那么其他兩個象限呢？

生：第三象限角的正切線在過（-1，0）的切線上找，第四象限角的正切線在過（1，0）的切線上找．

師：這樣做完全可以，大家可以課下去試，但我們還是要求簡單，最好只要一條切線，我們當然喜歡過A點的切線（因為這條直線上每個點的橫坐標都是1），第一、四象限角與這條直線能相交，AT是正切值的反映，關鍵是第二、三象限的角．（如果學生答不出來，由教師講授即可．）師（或生）：象限角α的終邊如果和過A點的切線不相交，那么它的反向延長線一定能和這條切線相交．因為△OMP∽△OAT，OM與MP同號時，OA與AT也同號；OM與MP異號時，OA與AT也異號，（板書）

（3）正切線——AT 師：的確像剛才同學們說的，正切線確實是單位圓的切線的一部分，那么軸上角的正切線又如何呢？注意正切值不是每個角都有．

生：當角α終邊在x軸上時，T和A重合，正切線退縮成了一個點，正切值為0；當角α終邊在y軸上時，α的終邊與其反向延長線和過A的切線平行，沒有交點，正切線不存在，這與y軸上角的正切值不存在是一致的． 師：可以看到正切線的一個應用——幫助我們記憶正切函數(shù)的定義域．現(xiàn)在我們歸納一下任意角α的正弦線、余弦線、正切線的作法．

設α的終邊與單位圓的交點為P，過P點作x軸的垂線，垂足為M，過A（1，0）點作單位圓的切線（x軸的垂線），設α的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．

利用三角函數(shù)線，我們可以解決一些簡單的有關三角函數(shù)的問題．（板書）

4．三角函數(shù)線的應用

例1 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

分析：三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負，其長度是三角函數(shù)值的絕對值．比較兩個三角函數(shù)值的大小，可以借助三角函數(shù)線．（由學生自己畫圖，從圖中的三角函數(shù)線加以判斷．）

（畫出同一個角的兩種三角函數(shù)線）． 師：例1要求我們根據(jù)角作出角的三角函數(shù)線，反過來我們要根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊，從而找到角的取值范圍．（板書）

例2 根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角α的終邊，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2兩點，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為

（3）在單位圓過點A（1，0）的切線上取AT=-1，連續(xù)OT，（4）這是一個三角不等式，所求的不是一個確定的角，而是適合三、小結及作業(yè)

單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)．我們應掌握三角函數(shù)線的作法，并能運用它們解決一些有關三角函數(shù)的問題，注意在用字母表示有向線段時，要分清起點和終點，書寫順序要正確． 作業(yè)

（1）復習課本“用單位圓中的線段表示三角函數(shù)”一節(jié)．

（2）課本習題P178練習第7題；P192練習十四第9題；P194練習十四第22題；P201總復習參考題二第20題． 課堂教學設計說明

關于三角函數(shù)線的教學，曾有過兩個設想：一是三種函數(shù)線在同一節(jié)課交待，第二節(jié)課再講應用；另一個設想是，第一節(jié)課只出正弦線、余弦線及它們的應用，第二節(jié)課引入正切線，及三線綜合運用，如比較函數(shù)值的大小、給值求角、解簡單的三角不等式，證明一些三角關系式．本教案選擇了前者，原因是利于學生類比思維．在實際教學中，由于教師水平不同，學生的水平也不相同，教案中的例題可能講不完，或根本不講，但是寧可不講例題，也要讓學生去猜、去找三角函數(shù)的幾何形式，我希望把三角函數(shù)線的發(fā)現(xiàn)過程展現(xiàn)給學生，教師不能包辦代替．

數(shù)形結合思想是中學數(shù)學中的重要數(shù)學思想，在教學中應不失時機地加以滲透．通過三角函數(shù)線的學習，使學生了解數(shù)形結合的“形”不單有函數(shù)圖象，還有其他的表現(xiàn)形式．至于在解決有關三角函數(shù)的問題時用函數(shù)圖象還是用三角函數(shù)線，則要具體情況具體分析，如證明等式sin2α+cos2α=1，研究同一個角的正余弦值的大小關系，都以三角函數(shù)線為好．

第四篇：反三角函數(shù)(教案)

第4節(jié) 反三角函數(shù)（2課時）

第1課時

[教材分析]：反三角函數(shù)的重點是概念，關鍵是反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。內(nèi)容上，自然是定義和函數(shù)性質(zhì)、圖象；教學方法上，著重強調(diào)類比和比較。

另外，函數(shù)與反函數(shù)之間的關系，是本節(jié)內(nèi)容中的一個難點，同時涉及上學期內(nèi)容，可能是個值得復習的機會。

[課題引入]：在輔助角公式中，我們知道

其中cos??asinx?bcosx?a2?b2sin?x???，aa?b22,sin??ba?b22，這樣表述相當煩瑣，我們想是否有比較簡明的方法來表示輔助角?呢？這就是我們今天要引入的問題——反三角函數(shù)。

[教學過程]：

師：首先我們回顧一下，什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？

答：一一對應的函數(shù)具有反函數(shù)，最典型的例子就是單調(diào)函數(shù)具有反函數(shù)（但反之不真）。師：我們知道正弦函數(shù)y?sinx在定義域R上是周期函數(shù)，當然不是一一對應的，因而沒有反函數(shù)。但是，如果我們截取其中的一個單調(diào)區(qū)間，比方說我們研究函數(shù)：

????y?sinx,x???,?，這個函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，因而有反函數(shù)。

?22?師：現(xiàn)在我們來求這個函數(shù)的反函數(shù)，那么求反函數(shù)有哪些步驟？（反解，互換x,y）（這里我們使用符號arcsin表示反解）反解得x?arcsiny，互換得y?arcsinx，其中????x???1,1?,y???,?，這就是要求的反正弦函數(shù)。

?22?1． 反正弦函數(shù)的圖象

反正弦函數(shù)y?arcsinx，x???1,1?與函數(shù)y?sinx,x???個函數(shù)圖象關于直線y?x對稱。2． 反正弦函數(shù)的性質(zhì)（由函數(shù)圖象可得）

????因此兩,?互為反函數(shù)，?22?，1?，值域為??①定義域為??1????,?； 22??，1?上單調(diào)遞增； ②y?arcsinx在定義域??1??x???arcsinx ③y?arcsinx是奇函數(shù)，即對任意x???1,1?，有arcsin3． 反正弦函數(shù)的恒等式

①由“一一對應”的性質(zhì)知：對任意值x???1,1?，在??????,?上都有唯一對應的角?22?arcsinx，使得它的正弦值為x，即得恒等式sin?arcsinx??x,x???1,1?；

②由“一一對應”的性質(zhì)知：對任意角x???????在??1，1?上都有唯一對應的值sinx，,?，?22?????,?。22???sinx??x,x???使得它的反正弦值為x，即得恒等式arcsin例題選編：

[例1]：求下列反三角函數(shù)值：（1）arcsin3?1? ；（2）arcsin0（3）arcsin??? 2?2?解：利用恒等式1來理解題意（1）： 記arcsin?33???sinx?3?sinx，也就是在???,??上找?x?sin?arcsin?22??22?2????一個角x，使得sinx?3；（2）（3）類似。2說明：對于特殊值的反正弦函數(shù)值的處理，利用恒等式1理解是一種本人以為較為機械的方法；但不知是否適合于初學者，有待討論?？赡苤苯幼屗麄兏惺芨拍顣淼酶鼮楹唵涡┌桑瑢嶋H上教材P98的思路有點類似于本文的處理方式。[例2]：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的x ：（1）sinx?3????,x???,?，5?22?1????,x???,?，4?22?（2）sinx??（3）sinx?3,x??0,?? 3解：利用恒等式2來理解題意：

sinx?（1）33?????sinx??arcsin3，?arcsin而x???,?，故有x?arcsin；

55522??3????sinx??arcsin3，而x???arcsin?,?，故不能直接利用恒?33?22?（3）sinx?等式2，需要利用誘導公式，將角度轉(zhuǎn)化到??????,?上，此時涉及討論： 22??若x??0,33?????，則 arcsinsinx?arcsin?x?arcsin?332??若x????????,??，則??x??0,?，故有 ?2??2?3?sin???x???arcsin3???x?arcsin3 ?arcsin333?sinx??arcsinarcsin即x???arcsin3。3[例3]：化簡下列各式：

（1）arcsin?sin?（2）arcsin?sin????9???5???sin3.49?? ?（3）arcsin6?解：此題直接利用恒等式2，當區(qū)間不滿足要求時，需要利用誘導公式轉(zhuǎn)化區(qū)間。（1）????????????，?，由恒等式2得arcsin?sin??； 9?22?9?9???5?5??????轉(zhuǎn)化了； ??arcsin?sin??，這里將66?66??（2）arcsin?sin?sin3.49???arcsin??sin0.49?? ?sin?3??0.49????arcsin（3）arcsin?sin0.49????0.49?。??arcsin[例4]：判斷下列各式是否成立：（1）arcsin?3??31?2k??,k?Z ?；（2）arcsin?；（3）arcsin22332（4）arcsin?????????arcsin；（5）sinarcsin2?2

3?3?????2??2?（6）sin?arcsin10???10 ??解：（1）對；（2）錯；（3）當k?0時對；（4）錯，?[例5]：寫出下列函數(shù)的定義域和值域：

（1）y?2arcsinx；（2）y?arcsinx?x 解：（1）

?3???1,1?；（5）錯；（6）對。

?2?x???1,1??x??0,1?，由反正弦函數(shù)的單調(diào)性知y??0,??（2）x?x???1,1??x??2????1?5?1?5?,?，22??這是典型的復合函數(shù)求值域問題，由u?x2?x????1?,1?和反正弦函數(shù)的單調(diào)性可知： ?4?1???y???arcsin,?

42??[例6]：求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y?sin2x,x???????,? ?44???3??,? 22??（2）y?2sinx,x??（3）y?2?1arcsinx 2?sin2x??2x，解：（1）反解得arcsiny?arcsin（恒等式2的運用，注意區(qū)間）

互換x,y即得反函數(shù)為y?1arcsinx 2?sinx??arcsin?sin???x?????x，互換x,y即得反函（2）反解得arcsin?arcsin數(shù)為y???arcsin。（3）

作業(yè)：P99 練習1、2、3

[課題總結]： [試題選編]： y2x2

第五篇：三角函數(shù)的教案

三角函數(shù)的教案1

一、案例實施背景

本節(jié)課是九年級解直角三角形講完后的一節(jié)復習課

二、本章的課標要求：

1、通過實例銳角三角函數(shù)(sinA、cosA、tanA)

2、知道特殊角的三角函數(shù)值

3、會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求它對應的銳角

4、能運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡單實際問題

此外，理解直角三角形中邊、角之間的關系會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，進一步感受數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，通過對實際問題的思考、探索，提高解決實際問題的能力和應用數(shù)學的意識。

三、課時安排：

1課時

四、學情分析：

本節(jié)是在學完本章的前提之下進行的總復習，因此本節(jié)選取三個知識回顧和四個例題，使學生將有關銳角三角函數(shù)基礎知識條理化，系統(tǒng)化，進一步培養(yǎng)學生總結歸納的能力和運用知識的能力.

因此，本節(jié)的重點是通過復習，使學生進一步體會知識之間的相互聯(lián)系，能夠很好地運用知識.進一步體會三角函數(shù)在解決實際問題中的作用，從而發(fā)展數(shù)學的應用意識和解決問題的能力.

五、教學目標:

知識與技能目標

1、通過復習使學生將有關銳角三角函數(shù)基礎知識條理化，系統(tǒng)化.

2、通過復習培養(yǎng)學生總結歸納的'能力和運用知識的能力.

過程與方法：

1、通過本節(jié)課的復習，使學生進一步體會知識之間的相互聯(lián)系，能夠很好地運用知識.

2、通過復習銳角三角函數(shù)，進一步體會它在解決實際問題中的作用.

情感、態(tài)度、價值觀

充分發(fā)揮學生的積極性，讓學生從實際運用中得到鍛煉和發(fā)展.

六、重點難點:

1.重點：銳角三角函數(shù)的定義;直角三角形中五個元素之間的相互聯(lián)系.

2.難點：知識的深化與運用.

七、教學過程:

知識回顧一：

(1) 在Rt△ABC中,C=90, AB=6，AC=3，則BC=_________,sinA=_________,

cosA=______,tanA=______, A=_______, B=________.

知識回顧二：

(2) 比較大?。?sin50______sin70

cos50______cos70

tan50______tan70.

知識回顧三：

(3)若A為銳角,且cos(A+15)= ,則A=________.

本環(huán)節(jié)的設計意圖：通過三個小題目回顧：

1、銳角三角函數(shù)的定義：

在Rt△ABC中,C=90

銳角A的正弦、余弦、和正切統(tǒng)稱A的銳角三角函數(shù)。

2、直角三角形的邊角關系：

(1)三邊之間的關系： .

(2)銳角之間的關系：B=90

(3)邊角之間的關系：

sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB=

3、解直角三角形：

由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

4、特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)

銳角A

sin A

cos A

tan A

30

45

60

5、銳角三角函數(shù)值的變化：

(1)當A為銳角時,各三角函數(shù)值均為正數(shù), 且0

(2)當A為銳角時，sinA、tanA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小.

例題解析

【例1】在⊿ABC中，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，BC=14，AD=12，sinB=0.8，求DC及tanCDE。

解題反思：通過本題讓學生明白：

1、必須在直角三角形中求銳角的三角函數(shù);

2、等角代換間接求解.

【例2】要在寬為28m的海堤公路的路邊安裝路燈，路燈的燈臂AD長3m，且與燈柱CD成120角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線AB與燈臂垂直，當燈罩的軸線通過公路路面的中線時，照明效果最理想，問：應設計多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果?

解題反思：通過本題讓學生知道解決這類問題時常分為以下幾個步驟：

①理清題目所給信息條件和需要解決的問題;

②通過畫圖進行分析，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;

③根據(jù)直角三角形的邊角關系尋找解決問題的方法;

④正確進行計算，寫出答案。

【例3】一艘輪船以每小時30海里的速度向東北方向航行，當輪船在A處時，從輪船上觀察燈塔S，燈塔S在輪船的北偏東75方向，航行12分鐘后，輪船到達B處，在B處觀察燈塔S，S恰好在輪船的正東方向，已知距離燈塔S8海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，問：如果這艘輪船繼續(xù)沿東北方向航行，它是否安全?

解題反思：解決這類問題時常用的模型：

小結：

P93 例3

P94 檢測評估

教學反思：

銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實問題中有著重要的作用，但是銳角三角函數(shù)首先是放在直角三角形中研究的，顯示的是邊角之間的關系。銳角三角函數(shù)值是邊與邊之間的比值，銳角三角函數(shù)溝通了邊與角之間的聯(lián)系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

在今后教學過程中，自己還要多注意以下兩點：

(1)還要多下點工夫在如何調(diào)動課堂氣氛，使語言和教態(tài)更加生動上。初中學生的注意力還是比較容易分散的，興趣也比較容易轉(zhuǎn)移，因此，越是生動形象的語言，越是寬松活潑的氣氛，越容易被他們接受。如何找到適合自己適合學生的教學風格?或嚴謹有序，或生動活潑，或詼諧幽默，或詩情畫意，或春風細雨潤物細無聲，或激情飛揚，每一種都是教學魅力和人格魅力的展現(xiàn)。我將不斷摸索，不斷實踐。

(2)我將盡我可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節(jié)，上課前多揣摩。讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學生，讓學生做課堂這個小小舞臺的主角。而我將盡我最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步。只有這樣，才能真正提高課堂教學效率。

三角函數(shù)的教案2

一、目標：

⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

2 通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；

3 注意運用數(shù)形結合的思想解決有關求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的過程中，注意培養(yǎng)學生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力．

二、教學重、難點

重點：公式 及 的推導及運用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個，求其余兩個；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明簡單的三角恒等式.

難點: 根據(jù)角α終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式.

三、學法與教學用具

利用三角函數(shù)線的定義, 推導同角三角函數(shù)的基本關系式: 及 ,并靈活應用求三角函數(shù)值,化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.

教學用具:圓規(guī)、三角板、投影

四、教學過程

【創(chuàng)設情境】

與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．

【探究新知】

探究:三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的,你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā),討論一

下同一個角不同三角函數(shù)之間的關系嗎?

如圖:以正弦線 ,余弦線 和半徑 三者的長構成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 .

根據(jù)三角函數(shù)的定義,當 時,有 .

這就是說,同一個角 的正弦、余弦的`平方等于1，商等于角 的正切.

【例題講評】

例1化簡：

解：原式

例2 已知

解：

（注意象限、符號）

例3求證：

分析：思路1．把左邊分子分母同乘以 ，再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結果；思路6：由乘積式轉(zhuǎn)化為比例式；思路7：用綜合法．

證法1：左邊= 右邊，

∴原等式成立

證法2：左邊= ＝

＝ 右邊

證法3：

證法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴ ≠0，

∴ ＝ ＝ ＝1，

∴左邊=右邊 ∴原等式成立．

例4已知方程 的兩根分別是 ，

求

解：

（化弦法）

例5已知 ，

求

解：

【課堂練習】

化簡下列各式

1．

2．

3．

練習答案：

解：（1）原式＝

（2）原式＝

【學習小結】

（1）同角三角函數(shù)的關系式的前提是“同角”，因此 ， ．

（2）利用平方關系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論．

(1)作業(yè)：習題1.2A組第10,13題.

(2)熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關系式,試將關系式變形等,得到其他幾個常用的關

系式;注意三角恒等式的證明方法與步驟.

【課后作業(yè)】見學案

【板書設計】略

三角函數(shù)的教案3

一. 教學內(nèi)容：平面向量與解析幾何的綜合

二. 教學重、難點：

1. 重點：

平面向量的基本，圓錐曲線的基本。

2. 難點：

平面向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系和知識綜合，向量作為解決問題的一種工具的應用意識。

【典型例題

[例1] 如圖，已知梯形ABCD中， ，點E分有向線段 所成的比為< >，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，求雙曲線的離心率.

解：如圖，以AB的垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角坐標系 軸，因為雙曲線經(jīng)過點C、D且以AB為焦點，由對稱性知C、D關于 軸對稱

設A（ ）B（ 為梯形的高

∴

設雙曲線為 則

由（1）： （3）

將（3）代入（2）：∴ ∴

[例2] 如圖，已知梯形ABCD中， ，點E滿足 時，求離心率 的取值范圍。

解：以AB的垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角坐標系 軸。

因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性，知C、D關于 軸對稱 高中生物。

依題意，記A（ ）、E（ 是梯形的高。

由

得

設雙曲線的方程為 ，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和由（1）式，得 （3）

將（3）式代入（2）式，整理，得故 ，得解得所以，雙曲線的離心率的取值范圍為

[例3] 在以O為原點的直角坐標系中，點A（ ）為 的直角頂點，已知 ，且點B的縱坐標大于零，（1）求 關于直線OB對稱的圓的方程。（3）是否存在實數(shù) ，使拋物線 的取值范圍。

解：

（1）設 ，則由 ，即 ，得 或

因為

所以 ，故

（2）由 ，得B（10，5），于是直線OB方程：由條件可知圓的標準方程為：得圓心（

設圓心（ ）則 得 ，

故所求圓的方程為（3）設P（ ）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則

得

即 、于是由故當 時，拋物線（3）二：設P（ ），PQ的中點M（∴ （1）－（2）： 代入∴ 直線PQ的方程為

∴ ∴

[例4] 已知常數(shù) ， 經(jīng)過原點O以 為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（ 方向向量的直線相交于點P，其中 ，試問：是否存在兩個定點E、F使 為定值，若存在，求出E、F的坐標，不存在，說明理由。（20xx天津）

解：根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值。

∵ ∴

因此，直線OP和AB的方程分別為 和消去參數(shù) ，得點P（ ，整理，得

① 因為（1）當（2）當 時，方程①表示橢圓，焦點E 和F 為合乎題意的兩個定點；

（3）當 時，方程①也表示橢圓，焦點E 和F（ ）為合乎題意的兩個定點。

[例5] 給定拋物線C： 夾角的大小，（2）設 求 在 軸上截距的變化范圍

解：

（1）C的焦點F（1，0），直線 的斜率為1，所以 的方程為 代入方程 ）、B（則有

所以 與

（2）設A（ ）由題設

即 ，由（2）得 ，

∴

依題意有 ）或B（又F（1，0），得直線 方程為

當 或由 ，可知∴

直線 在 軸上截距的變化范圍為

[例6] 拋物線C的方程為 ）（ 的兩條直線分別交拋物線C于A（ ）兩點（P、A、B三點互不相同）且滿足 （（1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程

（2）設直線AB上一點M，滿足 ，證明線段PM的中點在 軸上

（3）當 ），求解：（1）由拋物線C的方程 ），準線方程為

（2）證明：設直線PA的方程為

點P（ ）的坐標是方程組 的解

將（2）式代入（1）式得

于是 ，故 （3）

又點P（ ）的坐標是方程組 的解

將（5）式代入（4）式得 ，故

由已知得， ，則設點M的坐標為（ ），由 。則

將（3）式和（6）式代入上式得

即（3）解：因為點P（ ，拋物線方程為由（3）式知 ，代入

將 得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為

于是， ，

因即 或

又點A的縱坐標 滿足當 ；當 時，所以，

[例7] 已知橢圓 和點M（ 的取值范圍；如要你認為不能，請加以證明。

解： 不可能為鈍角，證明如下：如圖所示，設A（ ），直線 的.方程為

由 得 ，又 ， ，若 為鈍角，則

即 ，即

即

即∴

∴

【模擬】（答題時間：60分鐘）

1. 已知橢圓 ，定點A（0，3），過點A的直線自上而下依次交橢圓于M、N兩個不同點，且 ，求實數(shù) 的取值范圍。

2. 設拋物線 軸，證明：直線AC經(jīng)過原點。

3. 如圖，設點A、B為拋物線 ，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。

4.平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（ ）若C滿足 ，其中 ，求點C的軌跡方程。

5. 橢圓的中心是原點O，它的短軸長為 ，相應于焦點F（ ）的準線 與 軸相交于點A， ，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

（1）求橢圓的方程；

（2）設 ，過點P且平行于準線 的直線與橢圓相交于另一點M，證明 ；

（3）若 ，求直線PQ的方程。

【試題答案】

1. 解：因為 ，且A、M、N三點共線，所以 ，且 ，得N點坐標為

因為N點在橢圓上，所以即所以

由

解得2. 證明：設A（ ）、B（ ）（ ），則C點坐標為（ 、

因為A、F、B三點共線，所以 ，即

化簡得

由 ，得

所以

即A、O、C三點共線，直線AC經(jīng)過原點

3. 解：設 、、則 、

∵ ∴

即又

即 （2） ∵ A、M、B三點共線

∴

即

化簡得 ③

將①②兩式代入③式，化簡整理，得

∵ A、B是異于原點的點 ∴ 故點M的軌跡方程是 （ ）為圓心，以4. 方法一：設C（

由 ，且 ，

∴ 又 ∵ ∴

∴ 方法二：∵ ，∴ 點C在直線AB上 ∴ C點軌跡為直線AB

∵ A（3，1）B（ ） ∴ 5. 解：（1） ；（2）A（3，0），

由已知得 注意解得 ，因F（2，0），M（ ）故

而

（3）設PQ方程為 ，由

得依題意 ∵

∴ ①及 ③

由①②③④得 ，從而所以直線PQ方程為

三角函數(shù)的教案4

一、知識與技能

1. 會用三角函數(shù)線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值

2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;

3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題

二、過程與方法

1.借助幾何畫板讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力;

2.讓學生從所學知識基礎上發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學生抽象概括、分析歸納、數(shù)學表述等基本數(shù)學思維能力.

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過學生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究獲取知識.

2.通過三角函數(shù)線學習，使學生進一步加深對數(shù)形結合思想的理解，培養(yǎng)良好的`思維習慣，拓展思維空間

教學重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應用

教學難點：利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.

三角函數(shù)的教案5

教學目標

1、知識與技能

(1)理解并掌握正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、(小)值、單調(diào)性、奇偶性;

(2)能熟練運用正弦函數(shù)的性質(zhì)解題。

2、過程與方法

通過正弦函數(shù)在R上的圖像，讓學生探索出正弦函數(shù)的性質(zhì);講解例題，總結方法，鞏固練習。

3、情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學習，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力、探索歸納能力;讓學生體驗自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學生的自信心;使學生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途經(jīng);培養(yǎng)學生形成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。

教學重難點

重點:正弦函數(shù)的性質(zhì)。

難點:正弦函數(shù)的性質(zhì)應用。

教學工具

投影儀

教學過程

創(chuàng)設情境，揭示課題

同學們，我們在數(shù)學一中已經(jīng)學過函數(shù)，并掌握了討論一個函數(shù)性質(zhì)的幾個角度，你還記得有哪些嗎?在上一次課中，我們已經(jīng)學習了正弦函數(shù)的y=sinx在R上圖像，下面請同學們根據(jù)圖像一起討論一下它具有哪些性質(zhì)?

探究新知

讓學生一邊看投影，一邊仔細觀察正弦曲線的圖像，并思考以下幾個問題：

(1)正弦函數(shù)的定義域是什么?

(2)正弦函數(shù)的值域是什么?

(3)它的最值情況如何?

(4)它的正負值區(qū)間如何分?

(5)?(x)=0的`解集是多少?

師生一起歸納得出：

1.定義域：y=sinx的定義域為R

2.值域：引導回憶單位圓中的正弦函數(shù)線，結論：|sinx|≤1(有界性)

再看正弦函數(shù)線(圖象)驗證上述結論，所以y=sinx的值域為[-1，1]

三角函數(shù)的教案6

1.探究發(fā)現(xiàn)任意角 的終邊與 的終邊關于原點對稱;

2.探究發(fā)現(xiàn)任意角 的終邊和 角的終邊與單位圓的交點坐標關于原點對稱;

3.探究發(fā)現(xiàn)任意角 與 的三角函數(shù)值的關系.

設計意圖

首先應用單位圓，并以對稱為載體，用聯(lián)系的觀點，把單位圓的性質(zhì)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，數(shù)形結合，問題的設計提問從特殊到一般，從線對稱到點對稱到三角函數(shù)值之間的關系，逐步上升，一氣呵成誘導公式二.同時也為學生將要自主發(fā)現(xiàn)、探索公式三和四起到示范作用，下面練習設計為了熟悉公式一，讓學生感知到成功的喜悅，進而敢于挑戰(zhàn)，敢于前進

(四)練習

利用誘導公式(二),口答下列三角函數(shù)值.

(1). ;(2). ;(3). .

喜悅之后讓我們重新啟航，接受新的挑戰(zhàn)，引入新的問題.

(五)問題變形

由sin300= 出發(fā)，用三角的定義引導學生求出 sin(-300)，sin1500值,讓學生聯(lián)想若已知sin = ,能否求出sin( ),sin( )的值.

學生自主探究

1.探究任意角 與 的三角函數(shù)又有什么關系;

2.探究任意角 與 的三角函數(shù)之間又有什么關系.

設計意圖

遺忘的規(guī)律是先快后慢，過程的再現(xiàn)是深刻記憶的重要途徑，在經(jīng)歷思考問題-觀察發(fā)現(xiàn)-到一般化結論的探索過程，從特殊到一般，數(shù)形結合，學生對知識的理解與掌握以深入腦中，此時以類同問題的提出，大膽的放手讓學生分組討論，重現(xiàn)了探索的整個過程，加深了知識的深刻記憶，對學生無形中鼓舞了氣勢，增強了自信，加大了挑戰(zhàn).而新知識點的自主探討，對教師駕馭課堂的能力也充滿了極大的挑戰(zhàn).彼此相信，彼此信任，產(chǎn)生了師生的默契，師生共同進步.

展示學生自主探究的結果

誘導公式(三)、(四)

給出本節(jié)課的課題

三角函數(shù)誘導公式

設計意圖

標題的后出，讓學生在經(jīng)歷整個探索過程后，還回味在探索，發(fā)現(xiàn)的成功喜悅中，猛然回頭，哦，原來知識點已經(jīng)輕松掌握，同時也是對本節(jié)課內(nèi)容的小結.

(六)概括升華

的三角函數(shù)值，等于 的同名函數(shù)值，前面加上一個把 看成銳角時原函數(shù)值的符合.(即：函數(shù)名不變，符號看象限.)

設計意圖

簡便記憶公式.

(七)練習強化

求下列三角函數(shù)的值：(1).sin( ); (2). cos(-20400).

設計意圖

本練習的設置重點體現(xiàn)一題多解，讓學生不僅學會靈活運用應用三角函數(shù)的誘導公式，還能養(yǎng)成靈活處理問題的良好習慣.這里還要給學生指出課本中的`“負角”化為“正角”是針對具體負角而言的.

學生練習

化簡： .

設計意圖

重點加強對三角函數(shù)的誘導公式的綜合應用.

(八)小結

1.小結使用誘導公式化簡任意角的三角函數(shù)為銳角的步驟.

2.體會數(shù)形結合、對稱、化歸的思想.

3.“學會”學習的習慣.

(九)作業(yè)

1.課本p-27,第1,2,3小題;

2.附加課外題 略.

設計意圖

加強學生對三角函數(shù)的誘導公式的記憶及靈活應用，附加題的設置有利于有能力的同學“更上一樓”.

(十)板書設計：(略)

八.課后反思

對本節(jié)內(nèi)容在進行教學設計之前，本人反復閱讀了課程標準和教材，針對教材的內(nèi)容，編排了一系列問題，讓學生親歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，積極投入到思維活動中來，通過與學生的互動交流，關注學生的思維發(fā)展，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展，收到了一定的預期效果，尤其是練習的處理，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察——歸納——概括——應用”等環(huán)節(jié)，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力，充分發(fā)揮了學生的主體作用，也提高了學生主體的合作意識，達到了設計中所預想的目標。

然而還有一些缺憾：對本節(jié)內(nèi)容，難度不高，本人認為，教師的干預(講解)還是太多。

在以后的教學中，對于一些較簡單的內(nèi)容，應放手讓學生多一些探究與合作。隨著教育改革的深化，教學理念、教學模式、教學內(nèi)容等教學因素，都在不斷更新，作為數(shù)學教師要更新教學觀念，從學生的全面發(fā)展來設計課堂教學，關注學生個性和潛能的發(fā)展，使教學過程更加切合《課程標準》的要求。用全新的理論來武裝自己，讓自己的課堂更有效。

三角函數(shù)的教案7

教學目標

1.能夠把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。

2.能夠錯助于計算器進行有三角函數(shù)的計算，并能對結果的意義進行說明，發(fā)展數(shù)學的應用意識和解決問題的能力。

過程與方法

經(jīng)歷探索實際問題的過程，進一步三角函數(shù)在解決實際問題過程中的應用。

情感態(tài)度與價值觀

積極參與探索活動，并在探索過程中發(fā)表自己的見解，三角函數(shù)是解決實際問題的有效工具。

教學重點與難點

重點：能夠把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，能夠借助于計算器進行有三角函數(shù)的計算。

難點：能夠把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，會正確選用適合的直角三角形的邊角關系。

教學過程

一、問題引入，了解仰角俯角的概念。

提出問題：某飛機在空中A處的高度AC＝1500米，此時從飛機看地面目標B的俯角為18°，求A、B間的距離。

提問：1.俯角是什么樣的角？，如果這時從地面B點看飛機呢，稱∠ABC是什么角呢？這兩個角有什么關系？

2.這個△ABC是什么三角形？圖中的邊角在實際問題中的意義是什么，求的是什么，在這個幾何圖形中已知什么，又是求哪條線段的長，選用什么方法？

教師通過問題的分析與討論與學生共同學習也仰角與俯角的概念，也為運用新知識解決實際問題提供了一定的模式。

二、測量物體的高度或?qū)挾葐栴}.

1.提出老問題，尋找新方法

我們學習中介紹過測量物高的一些方法，現(xiàn)在我們又學習了銳角三角函數(shù)，能不能利用新的知識來解決這些問題呢。

利用三角函數(shù)的前提條件是什么？那么如果要測旗桿的高度，你能設計一個方案來利用三角函數(shù)的知識來解決嗎？

學生分組討論體會用多種方法解決問題，解決問題需要適當?shù)臄?shù)學模型。

2.運用新方法，解決新問題.

⑴從1.5米高的測量儀上測得古塔頂端的仰角是30°，測量儀距古塔60米，則古塔高（ ）米。

⑵從山頂望地面正西方向有C、D兩個地點，俯角分別是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（ ）米。

⑶要測量河流某段的寬度，測量員在灑一岸選了一點A，在另一岸選了兩個點B和C，且B、C相距200米，測得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河寬（精確到0.1米）。

在這一部分的練習中，引導學生正確來圖，構造直角三角形解決實際問題，滲透建模的數(shù)學思想。

三、與方位角有關的決策型問題

1.提出問題

一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在北偏東60°的方向上；40nin后，漁船行駛到B處，此時小島C在船北偏東30°的方向上。已知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū)。這艘漁船如果繼續(xù)向東追趕魚群，有有進入危險區(qū)的可能？

2.師生共同分析問題按以下步驟時行：

⑴根據(jù)題意畫出示意圖，

⑵分析圖中的線段與角的實際意義與要解決的問題，

⑶不存在直角三角形時需要做輔助線構造直角三角形，如何構造？

⑷選用適當?shù)倪吔顷P系解決數(shù)學問題，

⑸按要求確定正確答案，說明結果的實際意義。

3.學生練習

某景區(qū)有兩景點A、B，為方便游客，風景管理處決定在相距2千米的A、B兩景點之間修一條筆直的公路（即線段AB）。經(jīng)測量在A點北偏東60°的方向上在B點北偏西45°的方向上，有一半徑為0.7千米的小水潭，問水潭會不會影響公路的修建？為什么？

學生可以分組討論來解決這一問題，提出不同的方法。

延伸閱讀：

中考復習專題（二） 待定系數(shù)法復習教案

【內(nèi)容分析】

重點：靈活選擇題目給定的條件，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式.

難點：會利用或找出給的條件設出函數(shù)解析式的一般形式.

考點：待定系數(shù)法是確定代數(shù)式中某些項的系數(shù)的重要數(shù)學方法，它是以代數(shù)式形式上的恒等變換的性質(zhì)為依據(jù)，通過特定的已知條件，辯證地轉(zhuǎn)化已知和未知的關系，從而求得代數(shù)式中某些系數(shù)的值，在中考題目中往往會有多處涉及，其中臨沂市近幾年中考題最后壓軸的第一問多是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式.

【復習目標】

通過訓練，讓學生熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式.

【環(huán)節(jié)安排】

環(huán)節(jié)

問題設計

教學活動設計

1.如圖1，一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A，且與正比例函數(shù)y=－x的圖象交于點B，則該一次函數(shù)的表達式為（ ）

A．y=－x+2 B．y=x+2 C．y=x －2 D．y= －x－2

2.已知點A（m，1）在直線y=2x－1上，求m的方法 是 ，可得m= .

3.已知點B（－2，n）在直線y=2x－1上，求n的方法是 ，可得n= .

4.已知某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（3，5）和Q（－4，－9），求一次函數(shù)的解析式是一般先 ，再由已知條件可得 ，解得 ，∴滿足已知條件的一次函數(shù)解析式是： ，這個一次函數(shù)解析式的圖象與坐標軸交點坐標為： .

5.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過反比例函數(shù) 的圖象上的A、B兩點，且點A的橫坐標與點B的縱坐標都是2. 求這個一次函數(shù)的解析式.教師引入新課后，出示題目，學生自主完成.

教師巡視，及時發(fā)現(xiàn)學生完成的情況，記錄下所出現(xiàn)的問題，以便集中處理.

教師要求學生在做題的同時，總結解決問題所運用的知識點、方法和規(guī)律.

找學生展示完成的情況，師生共同點評和分析，同時就檢查過程中發(fā)現(xiàn)的問題進行處理，就本部分所用到的知識進行 方法總結.

【例1】如圖2，拋物線經(jīng)過 三點．求出拋物線的解析式.

【例2】如圖3，一次函數(shù) 與反比例函數(shù) 的圖像交與A(2,3)B(-3，n)兩點．

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解式；

（2）根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式kx＋b＞ 的解集： .

（3）過B點作BD⊥x軸，垂足為C,求△ABC的面積.

【變式練習】已知如圖4，拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(-3,3)及原點O,頂點為C.求拋物線的解析式；

教師出示例題，學生開始思考，先獨立分析，然后在小組內(nèi)交流，解答.

教師巡視，了解學生的討論情況或解答的情況，搜集要強調(diào)的知識點、解題的方法及易出錯的地方等等.

學生討論交流后，請3位學生講解.

展示部分學生的解答練習.

師生共同評析.

1．點（2,4）在一次函數(shù) 的圖象上，則 _____.

2．若反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點 ，則該函數(shù)的解析式為_____．

3.函數(shù) y＝x2＋bx＋3 的圖象經(jīng)過點(－1, 0)，則 b＝ .

4.已知二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的圖象如圖5，則這個二次函數(shù)的解析式是 y＝___ .

5.函數(shù)y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函數(shù)的條件是( )

A. m、n是常數(shù)，且m≠0 B. m、n是常數(shù)，且m≠n

C. m、n是常數(shù)，且n≠0

D. m、n可以為任意實數(shù)

6.拋物線 y＝x2－4x＋c 的頂點在 x 軸，則 c 的值是（ ）

A. 0B. 4C. －4 D. 2

教師出示問題，學生開始解答

教師巡視，了解學生的解答的情況，搜集要強調(diào)的知識點、解題的方法及易出錯的地方等等.

學生展示自己的成果，教師點評分析，并及時地鼓勵學生。

通過本節(jié)課的復習，你有哪些收獲？還存在哪些疑惑？

教師提出問題，學生思考，總結，在小組內(nèi)交流．

人教版九年級數(shù)學上冊全冊教案及作業(yè)題（帶答案）

第二十一 二次根式

教材內(nèi)容

1．本單元教學的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．

2．本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學完了八年級下冊第十七《反比例正函數(shù)》、第十八《勾股定理及其應用》等內(nèi)容的基礎之上繼續(xù)學習的，它也是今后學習其他數(shù)學知識的基礎．

教學目標

1．知識與技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解 （a≥0）是一個非負數(shù)，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．

（3）掌握 ＝ （a≥0，b≥0）， = ；

= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．

（4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減．

2．過程與方法

（1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對概念的內(nèi)涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡．

（2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運用規(guī)定進行計算．

（3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡．

（4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的．

3．情感、態(tài)度與價值觀

通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力．

教學重點

1．二次根式 （a≥0）的內(nèi)涵． （a≥0）是一個非負數(shù)；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其運用．

2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運用．

3．最簡二次根式的概念．

4．二次根式的加減運算．

教學難點

1．對 （a≥0）是一個非負數(shù)的理解；對等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及應用．

2．二次根式的乘法、除法的條限制．

3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．

教學關鍵

1．潛移默化地培養(yǎng)學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點．

2．培養(yǎng)學生利用二次根式的規(guī)定和重要結論進行準確計算的能力，培養(yǎng)學生一絲不茍的科學精神．

單元時劃分

本單元教學時間約需11時，具體分配如下：

21．1 二次根式 3時

21．2 二次根式的乘法 3時

21．3 二次根式的加減 3時

教學活動、習題、小結 2時

21．1 二次根式

第一時

教學內(nèi)容

二次根式的概念及其運用

教學目標

理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意義解答具體題目．

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題．

教學重難點關鍵

1．重點：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．難點與關鍵：利用“ （a≥0）”解決具體問題．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數(shù)y= ，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________．

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________．

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3．因為點在第一象限，所以x= ，所以所求點的坐標（ ， ）．

問題2：由勾股定理得AB=

問題3：由方差的概念得S= .

二、探索新知

很明顯 、、，都是一些正數(shù)的算術平方根．像這樣一些正數(shù)的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號．

（學生活動）議一議：

1．-1有算術平方根嗎？

2．0的算術平方根是多少？

3．當a<0， 有意義嗎？

老師點評:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、（x>0）、、、- 、、（x≥0，y≥0）．

分析：二次根式應滿足兩個條：第一，有二次根號“ ”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0．

解：二次根式有： 、（x>0）、、- 、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、、、．

例2．當x是多少時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意義．

解：由3x-1≥0，得：x≥

當x≥ 時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．

三、鞏固練習

教材P練習1、2、3．

四、應用拓展

例3．當x是多少時， + 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：要使 + 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足 中的≥0和 中的x+1≠0．

解：依題意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

當x≥- 且x≠-1時， + 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．

例4(1)已知y= + +5，求 的值．(答案:2)

(2)若 + =0，求a+b2004的值．(答案: )

五、歸納小結（學生活動，老師點評）

本節(jié)要掌握：

1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號．

2．要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)．

六、布置作業(yè)

1．教材P8復習鞏固1、綜合應用5．

2．選用時作業(yè)設計．

3.后作業(yè):《同步訓練》

第一時作業(yè)設計

一、選擇題 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

A．- B． C． D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

A． B． C． D．

3．已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（ ）

A．5 B． C． D．以上皆不對

二、填空題

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面積為a的正方形的邊長為________．

3．負數(shù)________平方根．

三、綜合提高題

1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？

2．當x是多少時， +x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

3．若 + 有意義，則 =_______．

4.使式子 有意義的未知數(shù)x有（ ）個．

A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)

5.已知a、b為實數(shù)，且 +2 =b+4，求a、b的值．

第一時作業(yè)設計答案:

一、1．A 2．D 3．B

二、1． （a≥0） 2． 3．沒有

三、1．設底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x= ．

2．依題意得： ，

∴當x>- 且x≠0時， ＋x2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義．

3.

4．B

5．a(chǎn)=5，b=-4

21.1 二次根式(2)

第二時

教學內(nèi)容

1． （a≥0）是一個非負數(shù)；

2．（ ）2=a（a≥0）．

教學目標

理解 （a≥0）是一個非負數(shù)和（ ）2=a（a≥0），并利用它們進行計算和化簡．

通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 （a≥0）是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結合算術平方根的意義導出（ ）2=a（a≥0）；最后運用結論嚴謹解題．

教學重難點關鍵新標第一網(wǎng)

1．重點： （a≥0）是一個非負數(shù)；（ ）2=a（a≥0）及其運用．

2．難點、關鍵：用分類思想的方法導出 （a≥0）是一個非負數(shù)；用探究的方法導出（ ）2=a（a≥0）．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1．什么叫二次根式？

2．當a≥0時， 叫什么？當a<0時， 有意義嗎？

老師點評（略）．

二、探究新知

議一議：（學生分組討論，提問解答）

（a≥0）是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學生討論和上面的練習，我們可以得出

（a≥0）是一個非負數(shù)．

做一做：根據(jù)算術平方根的意義填空：

（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；

（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．

老師點評： 是4的算術平方根，根據(jù)算術平方根的意義， 是一個平方等于4的非負數(shù)，因此有（ ）2=4．

同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以

（ ）2=a（a≥0）

例1 計算

1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2

分析：我們可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的結論解題．

解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32（ ）2=325=45，

（ ）2= ，（ ）2= ．

三、鞏固練習

計算下列各式的值：Xk b 1 . co m

（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2

四、應用拓展

例2 計算

1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2

4．（ ）2

分析：（1）因為x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4題都可以運用（ ）2=a（a≥0）的重要結論解題．

解：（1）因為x≥0，所以x+1>0

（ ）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略)

五、歸納小結

本節(jié)應掌握：

1． （a≥0）是一個非負數(shù)；

2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．

六、布置作業(yè)

1．教材P8 復習鞏固2．（1）、（2） P9 7．

2．選用時作業(yè)設計．

3.后作業(yè):《同步訓練》

第二時作業(yè)設計

一、選擇題

1．下列各式中 、、、、、，二次根式的個數(shù)是（ ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

2．數(shù)a沒有算術平方根，則a的取值范圍是（ ）．

A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=0

二、填空題

1．（- ）2=________．

2．已知 有意義，那么是一個_______數(shù)．

三、綜合提高題

1．計算

（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2

(5)

2．把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:

（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）

3．已知 + =0，求xy的值．

4．在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:

（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5

第二時作業(yè)設計答案:

一、1．B 2．C

二、1．3 2．非負數(shù)

三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=

（4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6

2．（1）5=（ ）2 （2）3.4=（ ）2

（3） =（ ）2 （4）x=（ ）2（x≥0）

3． xy=34=81

4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）

(3)略

垂陘定理

（九年級數(shù)學）圓（二）——垂徑定理

第 周星期 班別： 姓名： 學號：

環(huán)節(jié)一、學習目標：掌握垂徑定理及簡單運用

環(huán)節(jié)二、問題探討

問題1:

如圖：AB是直徑（弦AB過圓點），CD是弦，且CD⊥AB于P，你能在圖中找到其他相等的量嗎？

圖中相等的線段有： ，相等的弧有：

猜測：

條件

歸納:

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分 ，平分這條弦所對的

幾何語言：∵AB為⊙O的直徑，（或者:弦AB過圓心）

AB⊥CD

∴DP= , ， （垂徑定理）

拓展:

在垂徑定理中，題設與結論共有5個語句，分別是：

(1)弦AB過圓心O（AB是直徑）；(2)弦AB垂直于弦CD（AB⊥CD）;

(3)弦AB平分弦CD（DP=CP）；(4)弦AB平分 （ ）;

(5)弦AB平分 （ ）;

其中用任兩個作為條件，都可以推出其他三個結論.

環(huán)節(jié)三、垂徑定理的應用

例1：在⊙O中，弦AB的長為16cm，圓的半徑是10cm，求圓心O到AB的距離。

解：連接AO，作OE⊥AB于E

∵OE經(jīng)過⊙O的圓心，OE⊥AB

∴AE= = cm（ ）

在Rt△AOE中，∵OE2= （ ）

∴OE= =

答：OE的長為

環(huán)節(jié)四、做一做A組

1、如圖：在⊙O中，AB是直徑，AB⊥CD于點E，若CD=8

的度數(shù)是120°, 的度數(shù)是240°,則CE= ,

ED= ,

2、在⊙O中，半徑OA=30，弦AB長30，求點O到AB的距離。

分析：(1)點O到AB的距離是過點O作AB的 線，垂足為 ，此時線段 為點O到AB的距離。

(2)要求點O到AB的距離，即求線段 的長，此時線段在什么圖形中？

已知什么條件，可用什么方法？

解：過點O作 ，垂足為

3、圖1：在⊙O中，AB是直徑，AB⊥CD于E，若CD=16，圓的半徑為10，則圓心到弦CD的距離是

4、圖1:在⊙O中，若 ， ，則弦AB必經(jīng)過 ，且DE=

5、圖1：在⊙O中，OE=5，弦CD=24，AB⊥CD于E,則⊙O的半徑為

6、如圖，MN是⊙O的直徑，C是AB的中點，AB=6，OC=4，求OA及直徑MN

解:∵MN是直徑，AB弦且C是AB的中點

∴AC= ，MN AB( )

∵AB=6

∴AC=

在Rt△AOE中，∵OA2=( )2+( )2（ ）

∴OA= = =

又∵直徑MN= OA

∴直徑MN=

答：OA為 ，直徑MN為

B組

7、如圖，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120°,OA=5cm，則圓心O到AB的距離和弦AB的長。

解：

8、如圖：在半徑為5cm的圓中，AC是直徑，弦AB⊥BC，OD⊥AB于D，若BC=6cm，求OD和AB的長.

解:

C組

9、如圖⊙O的半徑是5cm，AB和CD是兩條弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB和CD的距離。

解：

10、右圖是我國隋代建造的趙州橋，我們可以很方便地量出它的跨度為37.4米，拱高為7.2米，我們怎樣通過跨度和拱高求出橋拱的半徑？

證明2導學案

善國中學九年級數(shù)學導學案

題1.2.2直角三角形型新授時5教師

目標進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力；

重點了解勾股定理及其逆定理的證明方法；

難點結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。

教法合作探究

一、預習導航預習導航

1、寫出你知道的勾股數(shù)

2、勾股定理的內(nèi)容是：__ ______ _______

它的條是：______ _______________________ _________;

結論是：______________ ________________。

學習困惑記錄

二、講授新

探究新

3、將勾股定理的條和結論分別變成結論和條，其內(nèi)容是：

下面我們試著將上述命題證明：

已知：在△ABC中，AB2+AC2=BC2

求證：△ABC是直角三角形。

分析：要△ABC是直角三角形，只須∠A=90°，單獨只有一個三角形不能得出結論，那就需用另外作一個Rt△A′B′C′,使∠A′=90°, A′B′=AB, A′C′=AC，通過證三角形全等得到結論。

證明：

定理：如果三角形兩邊的__________等于______ _ ___，那么這個三角形是直角三角形。

四、合作交流：

1、觀察勾股定理及上述定理，它們的條和結論之間有怎樣的關系？然后觀察下列每組命題，是否也在類似關系。

（1）如果兩個角是對頂角，那么它們相等。

如果兩個角相等，那么它們是對頂角。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒。

如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎。

（3）三角形中相等的邊所對的角相等。

三角形中相等的角所對的邊相等。

像上述每組命題我們稱為互逆命題，即一個命的條和結論分別是另一個命題的__________和__________。

2、“想一想”，回答下列問題：

（1）寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題。它們都是真命題嗎？

（2）一個命題是真命題，那么它的逆命題也一定是真命題嗎？

互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。

（4）是否任何定理都有逆定理？

（5） 思考我們學過哪些互逆定理？

三、應用深化當堂訓練：

1、判斷

（1）每個命題都有逆命題，每個定理也都有逆定理。（ ）

（2）命題正確時其逆命題也正確。（ ）

（3）直角三角形兩邊分別是3，4，則第三邊為5。（ ）

2、下列長度的三條線段能構成直角三角形的是（ ）

①8、15、17 ②4、5、6、③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10

A、①②④ B、②④⑤ C、①③⑤ D、①③④

下訓練：

1、以下命題的逆命題屬于假命題的是（ ）

A、兩底角相等的兩個三角形是等腰三角形。

B、全等三角形的對應角相等。

C、兩直線平行，內(nèi)對角相等。

D、直角三角形兩銳角互等。

2、命題：等腰三角形兩腰上的高相等的逆命題是

_______________________________________________

3、若一個直角兩直角邊之比為3：4，斜邊長20C，則兩直角邊為（ ， ）

4、已知直角三角形兩直角邊長分別為6和8，則斜邊長為________，斜邊上的高為_________。

5、寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：

A、五邊形是多邊形。

B、兩直線平行，同位角相等。

C、如果兩個角是對頂角，那么它們相等。

D、如果AB=0，那么A=0，B=0。

6、公園中景點A、B間相距50，景點A、C間相距40，景點B、C間相距30，由這三個景點構成的三角形一定是直角三角形嗎？為什么？

7、臺風過后，某小學旗桿在B處斷裂，旗桿頂A落在離旗桿底部C點8處，已知旗桿原長16，則旗桿在距底部幾米處斷裂。

8、小明將長2.5的梯子斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端B到墻根C的距離是0.7，如果梯子的頂端垂直下滑0.4，那么梯子的底端B將向外移動多少米。

中考真題：用四個全等的直角三角形拼成了一個如圖所示的圖形，其中a表示較短，直角三角形，b表示較長的直角邊，c表示斜邊，你能用這個圖形證明勾股定理嗎？

切線的判定

數(shù)學：35.4《切線的判定》教案（冀教版九年級下）

一、教材分析

1、教材所處的地位和作用

切線的判定是九年制義務教育課本數(shù)學九年級第二學期第三十五章“圓”中的內(nèi)容之一，是在學完直線和圓三種位置關系概念的基礎上進一步研究直線和圓相切的特性，是“圓”這一章的重點之一，是學習圓的切線長和切線長定理等知識的基礎。

2、內(nèi)容

“切線的判定和性質(zhì)”共兩個課時，課本上將切線判定定理和性質(zhì)定理的導出作為第一課時，兩個定理的運用和切線的兩種常用的判定方法作為第二課時。為了突出本節(jié)課的重點、突破難點，我沒有采用教材安排的順序，而是依據(jù)初三學生認知特點，將切線的判定方法作為第一課時，切線的性質(zhì)定理以及兩個定理的綜合運用作為第二課時，這樣的設計即是對前面所學的“直線與圓相切的判定方法”的復習，又是對后面學習綜合運用兩個定理，合理選擇兩種方法判定切線作了鋪墊，讓呈現(xiàn)一個循序漸進、溫過知新的過程。

本節(jié)課主要有三部分內(nèi)容：（1）切線的判定定理（2）切線的判定定理的應用（3）切線的兩種判定方法。教學重點是切線的判定定理及其應用。教學難點是切線判定定理中所闡述的圓的切線的兩大要素：一是經(jīng)過半徑外端；二是直線垂直于這條半徑；學生開始時掌握不好并極容易忽視一。

二、教學對象分析

在學習本節(jié)內(nèi)容之前學生已經(jīng)掌握了圓的切線的定義，直線和圓的三種位置關系和一種直線與圓相切的判定方法（用d=r）。在學習用d=r來判定直線與圓相切的內(nèi)容時曾為本節(jié)內(nèi)容打過伏筆，設置過懸念，所以學生對本節(jié)內(nèi)容的學習充滿期待的。

三、教案設計思路

為了實現(xiàn)教學目標，本節(jié)課我主要突出抓好以下五個環(huán)節(jié)：

1.復習提問??打好基礎，為新課作鋪墊。

問題1是例2的基礎，問題2則起著復舊孕新、引入新課的作用。

2.發(fā)現(xiàn)、證明、理解定理??學好基礎知識。

根據(jù)初三學生有一定創(chuàng)造、自學能力的特點，在教學中，教師通過啟發(fā)和指導學生閱 讀教材，教會學生通過自己觀察，發(fā)現(xiàn)結論，再設法證明結論的學習方法，同時也強化了學生的閱讀、自學能力。

3.應用定理??培養(yǎng)基本技能。

定理是基礎，應用是目的。本環(huán)節(jié)首先給出兩道判斷題，目的是為了讓學生更好地明確此定理的使用條件，然后在此基礎上講解例1。講解時，我抓住教材本身的特點，用兩頭湊的辦法揭示證題思路，顯示證題的書寫程序，較好地解決了本課的難點。之后，做兩個練習加以鞏固，最后由師生共同完成例2，總結出判定切線常用的兩種添輔助線的方法。

4.小結與拓展

通過小結，進一步幫助學生明確本節(jié)課的重點內(nèi)容。拓展題是本節(jié)內(nèi)容的提升，不是很難，但有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思想以及良好的思維習慣，激發(fā)學習的積極性。

5.布置作業(yè)??充分發(fā)揮家庭作業(yè)的 鞏固知識、形成技能的作用。作業(yè)的分層布置，使每一位學生都有難度適 宜的作業(yè)，不但能培養(yǎng)優(yōu)生，而且可以照顧到后進生，充分體現(xiàn)了因材施教的教學原則。

《切線的判定》教案

教學目標：1、理解切線的判定定理，并學會運用。

2、知道判定切線常用的方法有兩種，初步掌握方法的選擇。

教學重點：切線的判定定理和切線判定的方法。

教學難點：切線判定定理中所闡述的圓的切線的兩大要素：一是經(jīng)過半徑外端；二是直線垂直于這條半徑；學生開始時掌握不好并極容易忽視一．

教學過程：

一、復習提問

【教師】問題1.怎樣過直線l上一點P作已知直線的垂線？

問題2.直線和圓有幾種位置關系？

問題3.如何判定直線l是⊙O的切線？

啟發(fā)：（1）直線l和⊙O的公共點有幾個？

（2）圓心O到直線L的距離與半徑的數(shù)量關系 如何？

學生答完后，教師強調(diào)（2）是判定直線 l是⊙O的切線的常用方法，即： 定理：圓心O到直線l的距離OA 等于圓的半 （如圖1，投影顯示）

再啟發(fā)：若把距離OA理解為 OA⊥l，OA=r；把點A理解為半徑在圓上的端點 ，請同學們試將上面定理用新的理解改寫成新的命題，此命題就 是這節(jié)課要學的“切線的判定定理”（板書課題）

二、引入新課內(nèi)容

【學生】命題：經(jīng)過半徑的在圓上的端點且垂直于半 徑的直線是圓的切線。

證明定理：啟發(fā)學生分清命題的題設和結論，寫出已 知、求證，分析證明思路，閱讀課本P60。

定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

定理的`證明：已知：直線l經(jīng)過半徑OA的外端點A，直線l⊥OA，

求證：直線l是⊙O的切線

證明：略

定理的符號語言：∵直線l⊥OA，直線l經(jīng)過半徑OA的外端A

∴直線l為⊙O的切線。

是非題：

（1）垂直于圓的半徑的直線一定是這個圓的切線。 （ ）

（2）過圓的半徑的外端的直線一定是這個圓的切線。 （ ）

三、例題講解

例1、已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB。

求證：直線AB是⊙O的切線。

引導學生分析：由于AB過⊙O上的點C，所以連結OC，只要證明AB⊥OC即可。

證明：連結OC.

∵OA=OB，CA=CB，

∴AB⊥OC

又∵直線AB經(jīng)過半徑OC的外端C

∴直線AB是⊙O的切線。

練習1、如圖，已知⊙O的半徑為R，直線AB經(jīng)過⊙O上的點A，并且AB=R，∠OBA=45°。求證：直線AB是⊙O的切線。

練習2、如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD于點D，AC平分∠BAD。

求證：CD是⊙O的切線。

例2、如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，且BD=OB，過點D作射線DE，使∠ADE=30°。

求證：DE是⊙O的切線。

思考題：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線交BC于D，以D為圓心，BD為半徑作圓，問⊙D的切線有幾條？是哪幾條？為什么？

四、小結

1．切線的判定定理。

2．判定一條直線是圓的切線的方法：

①定義：直線和圓有唯一公共點。

②數(shù)量關系：直線到圓心的距離等于該圓半徑（即d = r）。

③切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。

3．證明一條直線是圓的切線的輔助線和證法規(guī)律。

凡是已知公共點（如：直線經(jīng)過圓上的點；直線和圓有一個公共點；）往往是“連結”圓心和公共點，證明“垂直”（直線和半徑）；若不知公共點，則過圓心作一條線段垂直于直線，證明所作的線段等于半徑。即已知公共點，“連半徑，證垂直”；不知公共點，則“作垂直，證半徑”。

五、布置作業(yè)

《切線的判定》教后體會

本課例《切線的判定》作為市考試院調(diào)研課型兼區(qū)級研討課，我以“教師為引導，學生為主體”的二期課改的理念出發(fā)，通過學生自我活動得到數(shù)學結論作為教學重點，呈現(xiàn)學生真實的思維過程為教學宗旨，進行教學設計，目的在于讓學生對知識有一個本質(zhì)的、有效的理解。本節(jié)課切實反映了平時的教學情況，為前來調(diào)研和研討的老師提供了真實的樣本。反思本節(jié)課，有以下幾個成功與不足之處：

成功之處：

一、教材的二度設計順應了學生的認知規(guī)律

這批學生習慣于單一知識點的學習，即得出一個知識點，必須由淺入深反復進行練習，鞏固后方能加以提升與綜合，否則就會混淆概念或定理的條件和結論，導致錯誤，久之便會失去學習數(shù)學的興趣和信心。本教時課本上將切線判定定理和性質(zhì)定理的導出作為第一課時，兩個定理的運用和切線的兩種常用的判定方法作為第二課時，學生往往會因第一時間得不到及時的鞏固，對定理本質(zhì)的東西不能很好地理解，在運用時抓不住關鍵，解題僅僅停留在模仿層次上，接受能力薄弱的學生更是因知識點多不知所措，在云里霧里。二度設計將切線的判定方法作為第一課時，切線的性質(zhì)定理以及兩個定理的綜合運用作為第二課時，這樣的設計即是對前面所學的“直線與圓相切的判定方法”的復習，又是對后面學習綜合運用兩個定理，合理選擇兩種方法判定切線作了鋪墊，教學呈現(xiàn)了一個循序漸進、溫過知新的過程。從學生的反饋情況判斷，教學效果較為理想。

二、重視學生數(shù)感的培養(yǎng)呼應了課改的理念

數(shù)感類似與語感、樂感、美感，擁有了感覺，知識便會融會貫通，學習就會輕松。擁有數(shù)感，不僅會對數(shù)學知識反應靈敏，更會在生活中不知不覺運用數(shù)學思維方式解決實際問題。本節(jié)課中，兩個例題由教師誘導，學生發(fā)現(xiàn)完成的，而三個習題則完全放手讓學生去思考完成，不乏有不會做和做得復雜的學生，但在展示和交流中，撞擊出思維的火花，難以忘懷。讓學生嘗試總結規(guī)律，也是對學生能力的培養(yǎng)，在本節(jié)課中，輔助線的規(guī)律是由學生得出，事實證明，學生有這樣的理解、概括和表達能力。通過思考得出正確的結論，這個結論往往是刻骨銘心的，長此以往，對數(shù)和形的感覺會越來越好。

不足之處：

一、這節(jié)課沒有“高潮”，沒有讓學生特別興奮激起求知欲的情境，整個教學過程是在一個平靜、和諧的氛圍中完成的。

二、課的引入太直截了當，脫離不了應試教學的味道。

三、教學風格的定勢使所授知識不能很合理地與生活實際相聯(lián)系，一定程度上阻礙了學生解決實際問題能力的發(fā)展。

中考數(shù)學方程及方程組的應用復習

節(jié)第二題

型復習教法講練結合

目標（知識、能力、教育）1.掌握列方程和方程組解應用題的方法步驟，能夠熟練地列方程和方程組解行程問題和工程問題。培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力。

2. 掌握列方程（組）解應用題的方法和步驟，并能靈活運用不等式（組）、函數(shù)、幾何等數(shù)學知識，解決有關數(shù)字問題、增長率問題及生活中有關應用問題。

重點掌握工程問題、行程問題、增長率問題、盈虧問題、商品打折、商品利潤（率）、儲蓄問題中的一些基本數(shù)量關系。

教學難點列方程解應用題中---尋找等量關系

教學媒體學案

教學過程

一：【前預習】

（一）：【知識梳理】

1.列方程解應用題常用的相等關系

題型基本量、基本數(shù)量關系尋找思路方 法

工作

（工程）

問題工作量、工作效率、工作時間

把全部工作量看作1

工作量=工作效率×工作時間相等關系：各部分工作量之和=1

常從工作量、工作時間上考慮相等關系

比例問題

相等關系：各部分量之和=總量。設其中一分為 ，由已知各部分量在總量中所占的比例，可得各部分量的代數(shù)式

年齡問題大小兩個年齡差不會變抓住年齡增長，一年一歲，人人平等。

利息

問題本息和、本金、利息、利率、期數(shù)關系：利息=本金×利率×期數(shù)相等關系：

本息和=本金+利息

行程問題

追擊問題

路程、速度、時間的關系：

路程=速度×時間1：同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追擊者走的路程

2：同時不同地出發(fā) ：前者走的路程+兩地間的距離=追擊者走的路程

相遇問題同

上相等關系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙兩地間的路程

航行問題順水（風）速度=靜水（風）速度+水流（風）速度

逆水（風）速度=靜水（風）速度－水流（風）速度1：與追擊、相遇問題的思路方法類似

2：抓住兩地距離不變，靜水（風）速度不變的特點考慮相等關系。

數(shù)字問題多位數(shù)的表示方法： 是一個多位數(shù)可以表示為 （其中0＜a、b、c＜10的整數(shù)）1：抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)間的關系尋找相等關系。

2：常常設間接未知數(shù)。

商品利潤

率問題商品利潤=商品售價－商品進價

首先確定售價、進價，再看利潤率，其次應理解打折、降 價等含義。

2.列方程解應用題的步驟:

（1）審題：仔細閱讀題，弄清題意； （2）設未知數(shù)：直接設或間接設未知數(shù)；

（3）列方程：把所設未知數(shù)當作已知數(shù)，在題目中尋找等量關系，列方程；

（4 ）解方程； （5）檢驗：所求的解是否是所列方程的解，是否符合題意；

（6）答：注意帶單位．

（二）：【前練習】

1. 某商品標價為165元，若降價以九折出售（即優(yōu)惠 10％），仍可獲利10％（相對于進貨價），則該商品的進貨價是

2. 甲、乙二人投資合辦一個企業(yè)，并協(xié)議按照投資額的比例分配所得利潤，已知甲與乙投資額的比例為3：4，首年的利潤為38500元，則甲、乙二人可獲得利潤分別為 元和 元

3. 某公司出口創(chuàng)收135萬美元，、每年都比上一年增加a％，那么，19這個公司出口創(chuàng)匯 萬美元

4. 某城市現(xiàn)有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8％，農(nóng)村人口增加1.1％，這樣全市人口將增加1％，求這個城市現(xiàn)有的城鎮(zhèn)人口數(shù)與農(nóng)村人口數(shù)，若設城鎮(zhèn)現(xiàn)有人口數(shù)為x萬，農(nóng)村現(xiàn)有人口y萬，則所列方程組為

5. 一個批發(fā)與零售兼營的具店規(guī)定，凡是一次購買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發(fā)價付款；購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款，現(xiàn)有學生小王購買鉛筆，如果給學校初三年級學生每人買1支，則只能按零售價付款，需用(m2－1)元（m為正整數(shù)，且m2－1>100）；如果多買60支，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用(m2－1)元.設這個學校初三年級共有x名學生，則①x的取值范圍應為 ②鉛筆的零售價每支應為 元，批發(fā)價每支應為 元

（用含x，m的代數(shù)式表示）

二：【經(jīng)典考題剖析】

1. A、B兩地相距64千米，甲騎車比乙騎車每小時少行4千米，如果甲乙二人分別從A、

B兩地相向而行，甲比乙先行40分鐘，兩人相遇時所行路程正好相等，求甲乙二人

路程時間速度

甲x32

乙x+432

的騎車速度．

分析： 設甲的速度為x千米/時，則乙的速度為（x+4）千米/時

行程問題即為時間、路程、速度三者之間的關系問題，在分析題意時，先畫出示意

圖（數(shù)形結合思想），然后設未知數(shù)，再列表，第一列填含未知數(shù)的量，第二列填題

目中最好找的量，第三列不再在題目中找，而是用前面兩個量表示，往往等量關系

就在第三列所表示的量中．解完方程時要注意雙重檢驗．

等量關系：t甲-t乙=40分鐘＝ 小時，方程： ．

2.某市為了進一步緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條從市中心到飛機場的輕軌鐵路。為

使工程能提前3個月完成，需要將原定的工作效率提高12%，問原計劃完成這項工程用多少個月？

工時工作量工效

原計劃x 1

實際x-31

分析：工程量不明確，一般視為1，設原計劃完成這項工程用x個月，實際只用了（x-3）

個月.等量關系：

實際工效=原計劃工效×（1+12%）．

方程：

3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20，每盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2。

（1）若商場平均每天要盈利1200 元，每襯衫應降價多少元？

（2）每襯衫應降價多少元時，商場平均每天盈利最多？

分析：（1）設每襯衫應降價 元，則由盈利 可解出 但要

注意“盡快減少庫存”決定取舍。（2）當 取不同的值時，盈利隨 變化，可配方為： 求最大值。但若聯(lián)系二次函數(shù)的最值求解，可設： 結合圖象用頂點坐標公式解，思維能力就更上檔次了。所以 在應用問題中要發(fā)散思維，自覺聯(lián)系學過的所有數(shù)學知識，靈活解決問題。答案：（1）每襯衫應降價20元；（2）每襯衫應降價15元時，商場平均每天盈利最高。

4.某音樂廳5月初決定在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，

其中團體票占總票數(shù)的 ．若提前購票， 則給予不同程度的優(yōu)惠，在5月份內(nèi)，團體

票每張12元，共售出團體票數(shù)的 ， 零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半．如果在6月份內(nèi)，團體票要按每張16元出售，并計劃在6月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？

分析：這樣的題字一大堆，看到頭就發(fā)脹，同學們不要怕，要有信心，一定要仔細讀題，當你讀懂題后事實上這類題還是比較簡單的，學數(shù)學的目的就是解決現(xiàn)實生活中的實際問題．

因為總票數(shù)不明確，所以看為1，設6月零售票每張定價 元．

團體票數(shù)團體票收入零售票數(shù)零售票收入

5月 （張） （元） （張） （元）

6月 （張） （元） （張） （元）

等量關系：5月總收入=6月總收入

方程 .

5.要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，

雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長為am，另三邊用

竹籬笆圍成，如圖，如果籬笆的長為35m，（1）求雞場

的長與寬各為多少？（2）題中墻的長度a對題目的解

起著怎樣的作用？

三：【后訓練】

1.如圖是某公司近三年的資金投放總額與利潤統(tǒng)計示意圖，根據(jù)圖中的信息判斷：①

年的利潤率比的利潤率高2％；②的利潤率比的利潤率高8％；

③這三年的利潤率14％；④這三年中20的利潤率最高。其中正確的結論共有（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

2.北京至石家莊的鐵路長392千米，為適應經(jīng)濟發(fā)展，自月21日起，某客

運列車的行車速度每小時比原增加40千米，使得石家莊至北京的行車時間縮短了1

小時，求列車提速前 的速度（只列方程）．

3.春天，在黨和政府的領導下，我國 進行了一場抗擊“非典”的戰(zhàn)爭．為了控制

疫情的蔓延，某衛(wèi)生材料廠接到上 級下達趕制19.2萬只加濃抗病毒口罩的任務，為使抗

病毒口罩早日到達防疫第一線，開工后每天比原計劃多加工0.4萬只，結果提前4天完

成任務，該廠原計劃每天加工多少萬只口罩？

4.一水池有甲、乙兩水管，已知單獨打開甲管比單獨打開乙管灌滿水池需多用10小時．現(xiàn)

在首先打開乙管10小時，然后再打開甲管，共同再灌6小時，可將水池注滿，如果一開

始就把兩管一同打開，那么需要幾小時就能將水池注滿？

5.某公司向銀行貸款40萬元，用生產(chǎn)某種新產(chǎn)品，已知該貸款的年利率為15％

（不計復利，即還貸前每年息不重復計息），每個新產(chǎn)品的成本是2.3元，售價是4元，

應納稅款為銷售額的10％。如果每年生產(chǎn)該種產(chǎn)品20萬個，并把所得利潤（利潤＝

銷售額－成本－應納稅款）用歸還貸款，問需幾年后能一次還清？

6.某商店1995年實現(xiàn)利稅40萬元（利稅＝銷售金額－成本），19由于在銷售管

理上 進行了一系列改革，銷售金額增加到154萬元，成本卻下降到90萬元，

（1）這個商店利稅年比1995年增長百分之幾？

（2）若這個商店1996年比1995年銷售金額增長的百分數(shù)和成本下降的百分數(shù)相同，

求這個商店銷售金額1996年比1995年增長百分之幾？

四：【后小結】

布置作業(yè)地綱

三角函數(shù)的教案8

一、銳角三角函數(shù)

正弦和余弦

第一課時：正弦和余弦（1）

教學目的

1，使學生了解本章所要解決的新問題是：已知直角三角形的一條邊和另一個元素（一邊或一銳角），求這個直角三角形的其他元素。

2，使學生了解“在直角三角形中，當銳角A取固定值時，它的對邊與斜邊的比值也是一個固定值。

重點、難點、關鍵

1，重點：正弦的概念。

2，難點：正弦的概念。

3，關鍵：相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)。

教學過程

一、復習提問

1、什么叫直角三角形？

2，如果直角三角形ABC中∠C為直角，它的直角邊是什么？斜邊是什么？這個直角三角形可用什么記號來表示？

二、新授

1，讓學生閱讀教科書第一頁上的'插圖和引例，然后回答問題：

（1）這個有關測量的實際問題有什么特點？（有一個重要的測量點不可能到達）

（2）把這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型后，其圖形是什么圖形？（直角三角形）

（3）顯然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根據(jù)已知條件，在地面上或紙上畫出另一個與它全等的直角三角形，并在這個全等圖形上進行測量？（不一定能，因為斜邊即水管的長度是一個較大的數(shù)值，這樣做就需要較大面積的平地或紙張，再說畫圖也不方便。）

（4）這個實際問題可歸結為怎樣的數(shù)學問題？（在Rt△ABC中，已知銳角A和斜邊求∠A的對邊BC。）

但由于∠A不一定是特殊角，難以運用學過的定理來證明BC的長度，因此考慮能否通過式子變形和計算來求得BC的值。

2，在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的對邊與斜邊的比值都等于1／2，根據(jù)這個比值，已知斜邊AB的長，就能算出∠A的對邊BC的長。

類似地，在所有等腰的那塊三角尺中，由勾股定理可得∠A的對邊／斜邊＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 這就是說，當∠A＝450時，∠A的對邊與斜邊的比值等于／2，根據(jù)這個比值，已知斜邊AB的長，就能算出∠A的對邊BC的長。

那么，當銳角A取其他固定值時，∠A的對邊與斜邊的比值能否也是一個固定值呢？

（引導學生回答;在這些直角三角形中，∠A的對邊與斜邊的比值仍是一個固定值。）

三、鞏固練習：

在△ABC中，∠C為直角。

1，如果∠A＝600，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？

2，如果∠A＝600，那么∠A的對邊與斜邊的比值是多少？

3，如果∠A＝300，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？

4，如果∠A＝450，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？

四、小結

五、作業(yè)

1，復習教科書第1－3頁的全部內(nèi)容。

2，選用課時作業(yè)設計。

三角函數(shù)的教案9

教學目標：

1．掌握同角三角函數(shù)之間的三組常用關系，平方關系、商數(shù)關系、倒數(shù)關系．

2．會運用同角三角函數(shù)之間的關系求三角函數(shù)值或化簡三角式．

教學重點：

理解并掌握同角三角函數(shù)關系式．

教學難點：

已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時正負號的選擇；

教學用具：

直尺、投影儀．

教學步驟：

1．設置情境

與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．

2．探索研究

（1）復習任意角三角函數(shù)定義

上節(jié)課我們已學習了任意角三角函數(shù)定義，如圖1所示，任意角 的六個三角函數(shù)是如何定義的呢？

在 的終邊上任取一點 ，它與原點的距離是 ，則角 的六個三角函數(shù)的值是：

（2）推導同角三角函數(shù)關系式

觀察 及 ，當 時，有何關系？

當 且 時 、及 有沒有商數(shù)關系？

通過計算發(fā)現(xiàn) 與 互為倒數(shù)：∵ ．

由于 ，

這些三角函數(shù)中還存在平方關系，請計算 的值．

由三角函數(shù)定義我們可以看到： ．

∴ ，現(xiàn)在我們將同角三角函數(shù)的基本關系式總結如下：

①平方關系：

②商數(shù)關系：

③倒數(shù)關系：

即同一個角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一個角的正切、余切之積等于1（即同一個角的正切、余切互為倒數(shù)）．上面這三個關系式，我們稱之為恒等式，即當 取使關系式兩邊都有意義的任意值時，關系式兩邊的值相等，在第二個式中， 在第三個式中， 的終邊不在坐標軸上，這時式中兩邊都有意義，以后解題時，如果沒有特別說明，一般都把關系式看成是意義的．其次，在利用同角三角函數(shù)的基本關系式時，要注意其前提“同角”的條件．

（3）同角三角函數(shù)關系式的應用

同角三角函數(shù)關系式十分重要，應用廣泛，其中一個重要應用是根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)，求出這個角的其他三角函數(shù)值．

已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的.值．

解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 ，

說明：本題沒有具體指出 是第幾象限的角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．

已知 ，求 的值．

解： ，且 ， 是第二或第三象限角．

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 ．

說明：本題沒有具體指出 是第幾象限角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．

已知 為非零實數(shù)，用 表示 ， ．

解：因為 ，所以

又因為 ，所以

于是 ∴

由 為非零實數(shù)，可知角 的終邊不在坐標軸上，考慮 的符號分第一、第四象限及第二、三象限，從而：

在三角求值過程當中應盡量避免開方運算，在不可避免時，先計算與已知函數(shù)有平方關系的三角函數(shù)，這樣可只進行一次開方運算，并可只進行一次符號說明．

同角三角函數(shù)關系式還經(jīng)常用于化簡三角函數(shù)式，請看例4

化簡下列各式：

（1） ；（2） ．

解：（1） （2）

3．演練反饋（投影）

（1）已知： ，求 的其他各三角函數(shù)值．

（2）已知 ，求 ， ．

（3）化簡：

解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．

如果 是第二象限的角，則：

又

如果 是第三象限的角，那么

（2）解：∵ ∴ 是第二或第四象限的角

由的求法可知當 是第二象限時

當 是第四象限時

（3）解：原式

4．本課小結

（1）同角三角函數(shù)的三組關系式的前提是“同角”，因此 ， ……．

（2）諸如 ， ，……它們都是條件等式，即它們成立的前提是表達式有意義．

（3）利用平方關系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論．

課時作業(yè)：

1．已知 ， ，則 等于（ ）

A． B． C． D．

2．若 ，則 的值是（ ）

A．－2 B．2 C．±2 D．

3．化簡

4．化簡 ，其中 為第二象限角．

5．已知 ，求 的值．

6．已知 是三角形的內(nèi)角， ，求 值．

三角函數(shù)的教案10

【高考要求】：三角函數(shù)的有關概念(B).

【教學目標】：理解任意角的概念；理解終邊相同的角的意義；了解弧度的意義,并能進行弧度與角度的互化.

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；初步了解有向線段的概念,會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切.

【教學重難點】：終邊相同的角的意義和任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.

【知識復習與自學質(zhì)疑】

一、問題.

1、角的概念是什么？角按旋轉(zhuǎn)方向分為哪幾類？

2、在平面直角坐標系內(nèi)角分為哪幾類？與 終邊相同的角怎么表示？

3、什么是弧度和弧度制？弧度和角度怎么換算？弧度和實數(shù)有什么樣的關系？

4、弧度制下圓的弧長公式和扇形的面積公式是什么？

5、任意角的三角函數(shù)的定義是什么？在各象限的符號怎么確定？

6、你能在單位圓中畫出正弦、余弦和正切線嗎？

7、同角三角函數(shù)有哪些基本關系式？

二、練習.

1.給出下列命題：

(1)小于 的角是銳角；(2)若 是第一象限的角，則 必為第一象限的角；

(3)第三象限的角必大于第二象限的角；(4)第二象限的角是鈍角；

(5)相等的角必是終邊相同的角；終邊相同的角不一定相等；

(6)角2 與角 的終邊不可能相同；

(7)若角 與角 有相同的終邊，則角（ 的終邊必在 軸的非負半軸上。其中正確的命題的序號是

2.設P 點是角終邊上一點，且滿足 則 的值是

3.一個扇形弧AOB 的面積是1 ，它的周長為4 ，則該扇形的中心角= 弦AB長=

4.若 則角 的終邊在 象限。

5.在直角坐標系中，若角 與角 的終邊互為反向延長線，則角 與角 之間的關系是

6.若 是第三象限的角，則- ， 的終邊落在何處？

【交流展示、互動探究與精講點撥】

例1.如圖， 分別是角 的終邊.

（1）求終邊落在陰影部分（含邊界）的所有角的集合；

(2)求終邊落在陰影部分、且在 上所有角的集合；

(3)求始邊在OM位置，終邊在ON位置的所有角的集合.

例2.（1）已知角的終邊在直線 上，求 的值；

（2）已知角的終邊上有一點A ，求 的值。

例3.若 ，則 在第 象限.

例4.若一扇形的周長為20 ，則當扇形的圓心角 等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？

【矯正反饋】

1、若銳角 的終邊上一點的坐標為 ，則角 的弧度數(shù)為 .

2、若 ，又 是第二，第三象限角，則 的`取值范圍是 .

3、一個半徑為 的扇形，如果它的周長等于弧所在半圓的弧長，那么該扇形的圓心角度數(shù)是 弧度或角度，該扇形的面積是 .

4、已知點P 在第三象限，則 角終邊在第 象限.

5、設角 的終邊過點P ，則 的值為 .

6、已知角 的終邊上一點P 且 ，求 和 的值.

【遷移應用】

1、經(jīng)過3小時35分鐘，分針轉(zhuǎn)過的角的弧度是 .時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是 .

2、若點P 在第一象限，則在 內(nèi) 的取值范圍是 .

3、若點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓 逆時針方向運動 弧長到達Q點，則Q點坐標為 .

4、如果 為小于360 的正角，且角 的7倍數(shù)的角的終邊與這個角的終邊重合，求角 的值.

三角函數(shù)的教案11

一、教學目標：

1.掌握用待定系數(shù)法求三角函數(shù)解析式的方法；

2.培養(yǎng)學生用已有的知識解決實際問題的能力；

3.能用計算機處理有關的近似計算問題.

二、重點難點：

重點是待定系數(shù)法求三角函數(shù)解析式;

難點是選擇合理數(shù)學模型解決實際問題.

三、教學過程：

【創(chuàng)設情境】

三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應用.

【自主學習探索研究】

1．學生自學完成P42例1

點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時.

（1）求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間t(s)之間的函數(shù)關系；

（2）求該物體在t=5s時的位置.

（教師進行適當?shù)脑u析.并回答下列問題：據(jù)物理常識，應選擇怎樣的函數(shù)式模擬物體的運動；怎樣求和初相位θ；第二問中的“t=5s時的位置”與函數(shù)式有何關系？）

2．講解p43例2(題目加已改變)

2．講析P44例3

海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.

（1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，并給出在整點時的近似數(shù)值.

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？

（3）若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

問題：

（1）選擇怎樣的數(shù)學模型反映該實際問題？

（2）圖表中的`最大值與三角函數(shù)的哪個量有關？

（3）函數(shù)的周期為多少？

（4）“吃水深度”對應函數(shù)中的哪個字母？

3．學生完成課本P45的練習1，3并評析.

【提煉總結】

從以上問題可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)知識在解決實際問題中有著十分廣泛的應用，而待定系數(shù)法是三角函數(shù)中確定函數(shù)解析式最重要的方法.三角函數(shù)知識作為數(shù)學工具之一，在以后的學習中將經(jīng)常有所涉及.學數(shù)學是為了用數(shù)學，通過學習我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力.

四、布置作業(yè)：

P46習題1.3第14、15題

三角函數(shù)的教案12

一.學習目標：

1.知識與技能

（1）能夠由和角公式而導出倍角公式；

（2）能較熟練地運用公式進行化簡、求值、證明，增強學生靈活運用數(shù)學知識和邏輯推理能力；

（3）能推導和理解半角公式；

（4）揭示知識背景，引發(fā)學生學習興趣，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度，強化學生的參與意識. 并培養(yǎng)學生綜合分析能力.

2.過程與方法

讓學生自己由和角公式而導出倍角公式和半角公式，領會從一般化歸為特殊的數(shù)學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學生學數(shù)學的興趣；通過例題講解，總結方法.通過做練習,鞏固所學知識.

3.情感態(tài)度價值觀

通過本節(jié)的學習，使同學們對三角函數(shù)各個公式之間有一個全新的認識；理解掌握三角函數(shù)各個公式的各種變形，增強學生靈活運用數(shù)學知識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.

二．學習重、難點

重點:倍角公式的應用.

難點:公式的推導.

三 .學法：

(1)自主+探究性學習：讓學生自己由和角公式導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數(shù)學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學生學數(shù)學的興趣。

(2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.

四.學習設想

1、復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

2、提出問題：公式中如果 ，公式會變得如何？

3、讓學生板演得下述二倍角公式：

這組公式有何特點？應注意些什么？

注意：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如： 是 的倍角.

2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角——降次，降角——升次）

3．特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形：

這兩個形式今后常用.

例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）

例1.（公式鞏固性練習）求值：

①．sin2230’cs2230’=

②．

③．

④．

例2.化簡

①．

②．

③．

④．

例3、已知 ，求sin2，cs2，tan2的值。

解：∵ ∴

∴sin2 = 2sincs =

cs2 =

tan2 =

思考：你能否有辦法用sin、cs和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函數(shù)？你的思路、方法和步驟是什么？試用sin、cs和tan分別表示sin3，cs3，tan3.

例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）

例4. cs20cs40cs80 =

例5.求函數(shù) 的值域.

解： ————降次

學生練習：

思考（學生思考，學生做，教師適當提示）

你能夠證明：

證：1在 中，以代2， 代 即得：

∴

2在 中，以代2， 代 即得：

∴

3以上結果相除得：

這組公式有何特點？應注意些什么？

注意：1左邊是平方形式，只要知道 角終邊所在象限，就可以開平方。

2公式的“本質(zhì)”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切

3上述公式稱之謂半角公式（課標規(guī)定這套公式不必記憶）

4還有一個有用的公式： （課后自己證）

例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）

例6.已知cs ，求 的值.

例7.求cs 的.值.

例8.已知sin ， ，求 的值.

[學習小結]

1．公式的特點要囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如： 是 的倍角.

2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角——降次，降角——升次）.

3．特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形：

這兩個形式今后常用.

4.半角公式左邊是平方形式，只要知道 角終邊所在象限，就可以開平方；公式的“本質(zhì)”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切.

5．注意公式的結構，尤其是符號.

三角函數(shù)的教案13

目標：

1、理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的表示法；

2、能根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義計算一個銳角的各個三角函數(shù)的值；

3、掌握 Rt △中的銳角三角函數(shù)的表示：

sinA= ， cosA= ， tanA=

4 、掌握銳角三角函數(shù)的取值范圍；

5 、通過經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過程，培養(yǎng)學生從特殊到一般及數(shù)形結合的思想方法。

教學重點：

銳角三角函數(shù)相關定義的理解及根據(jù)定義計算銳角三角函數(shù)的值。

教學難點：

銳角三角函數(shù)概念的形成。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境：

鞋跟多高合適？

美國人體工程學研究人員卡特·克雷加文調(diào)查發(fā)現(xiàn)， 70 ％以上的女性喜歡穿鞋跟高度為 6 至 7 厘米左右的高跟鞋。但專家認為穿 6 厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等處的肌肉非常容易疲勞。

據(jù)研究，當高跟鞋的鞋底與地面的夾角為 11 度左右時，人腳的感覺最舒適。假設某成年人腳前掌到腳后跟長為 15 厘米，不難算出鞋跟在 3 厘米左右高度為最佳。

問：你知道專家是怎樣計算的嗎？

顯然，高跟鞋的鞋底、鞋跟與地面圍城了一個直角三角形，回顧直角三角形的已學知識，引出課題。

二、探索新知：

1 、下面我們一起來探索一下。

實踐一：作一個 30 °的∠ A ，在角的邊上任意取一點 B ，作 BC ⊥ AC 于點 C 。

⑴計算，，的值，并將所得的結果與你同伴所得的結果進行比較?！?A=30 °時學生 1 結果 學生 2 結果 學生 3 結果 學生 4 結果 ⑵將你所取的 AB 的值和你的同伴比較。

實踐二：作一個 50 °的∠ A ，在角的邊上任意取一點 B ，作 BC ⊥ AC 于點 C 。

（ 1 ）量出 AB ， AC ， BC 的長度（精確到 1mm ）。

（ 2 ）計算BC / AB ，AC / AB，的值（結果保留 2 個有效數(shù)字），并將所得的結果與你同伴所得的結果進行比較?！?A=50 °時 AB AC BC 學生 1 結果 學生 2 結果 學生 3 結果 學生 4 結果 （ 3 ）將你所取的 AB 的值和你的同伴比較。

2 、經(jīng)過實踐一和二進行猜測

猜測一：當∠ A 不變時，三個比值與 B 在 AM 邊上的位置有無關系？

猜測二：當∠ A 的大小改變時，相應的三個比值會改變嗎？

3、理論推理

如圖， B 、B 1 是一邊上任意兩點，作 BC ⊥ AC 于點 C ， B 1 C 1 ⊥ AC 1 于點 C 1 ，

判斷比值與，與，與是否相等，并說明理由。

4 、歸納總結得到新知：

⑴三個比值與 B 點在的邊 AM 上的位置無關；

⑵三個比值隨的變化而變化，但（0 °﹤∠α﹤90 ° ）確定時，三個比值隨之確定；

比值，，都是銳角的函數(shù)

比值叫做的正弦， sinα =

比值叫做的余弦， cos α=

比值叫做的正切， tanα =

（ 3 ）注意點： sin α， cos α， tan α都是一個完整的符號，單獨的. “ sin ”沒有意義，其中前面的“∠”一般省略不寫。

強化讀法，寫法；分清各三角函數(shù)的自變量和應變量。

三、深化新知

1 、三角函數(shù)的定義

在 Rt △ ABC 中，如果銳角 A 確定，那么∠ A 的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定 . 則有

sinA ＝

cosA＝

2 、提問：根據(jù)上面的三角函數(shù)定義，你知道正弦與余弦三角函數(shù)值的取值范圍嗎？

（點撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊．

生：獨立思考，嘗試回答，交流結果．

明確：銳角的三角函數(shù)值的范圍： 0 ＜ sin α＜ 1 ， 0 ＜ cos α＜ 1.

四、鞏固新知

例 1. 如圖 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C=90 °， AB=5,BC=3,

（ 1 ）求∠ A 的正弦、余弦和正切 .

（ 2 ）求∠ B 的正弦、余弦和正切 .

分析：由勾股定理求出 AC 的長度，再根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關系求出各函數(shù)值。

提問：觀察以上計算結果 , 你發(fā)現(xiàn)了什么 ?

明確： sinA=cosB ， cosA=sinB ， tanA · tanB=1

五、升華新知

例 2 . 如圖 : 在 Rt △ ABC, ∠ B=90 ° ,AC=200,sinA=0.6 ，求 BC 的長 .

由例 2 啟發(fā)學生解決情境創(chuàng)設中的問題。

六、課堂小結：談談今天的收獲

1 、內(nèi)容總結

（ 1 ）在 Rt Δ ABC 中 , 設∠ C=90 ° ，∠α為 Rt Δ ABC 的一個銳角，則

∠α的正弦，∠α的余弦，

∠α的正切

2 、方法歸納

在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數(shù)定義來解

四、布置作業(yè)

三角函數(shù)的教案14

教學目的：

知識目標：1.理解三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.

2.理解握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?

3.理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

能力目標：

1.掌握三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.

2.掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?

3.掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

授課類型：復習課

教學模式：講練結合

教 具：多媒體、實物投影儀

教學過程：

一、復習引入：

1、三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線，各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.誘導公式第一組.

2.確定下列各式的符號

(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5

3. .x取什么值時, 有意義?

4．若三角形的兩內(nèi)角，滿足sincs 0，則此三角形必為……（ ）

A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能

5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（ ）

A：sin+cs 0 B：tansin 0

C：csct 0 D：ctcsc 0

6．已知是第三象限角且，問是第幾象限角？

二、講解新課：

1、求下列函數(shù)的定義域：

（1） ； （2）

2、已知 ，則為第幾象限角？

3、（1） 若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；

（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出 的取值范圍.

4、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是

證明：必要性：∵θ是第三象限角，?

∴

充分性：∵sinθ＜0，

∴θ是第三或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸上

∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?

∴θ為第三象限角.?

5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．

三、鞏固與練習

1 求函數(shù) 的值域

2 設是第二象限的角，且 的范圍.

四、小結：

五、課后作業(yè)：

1、利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定下列各角的`取值范圍：

(1) sinα

2、角α的終邊上的點P與A（a,b）關于x軸對稱 ，角β的終邊上的點Q與A關于直線=x對稱.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值.

三角函數(shù)的教案15

知識目標：

1.理解銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的意義.

2.會由直角三角形的邊長求銳角的正、余弦，正、余切函數(shù)值.

能力、情感目標：

1.經(jīng)歷由情境引出問題，探索掌握數(shù)學知識，再運用于實踐過程，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識與能力。

2.體會數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。

3.培養(yǎng)學生自主探索的精神，提高合作交流能力。

重點、難點：

1.直角三角形銳角三角函數(shù)的意義。

2.由直角三角形的邊長求銳角三角函數(shù)值。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境

前面我們利用相似和勾股定理解決一些實際問題中求一些線段的長度問題。但有些問題單靠相似與勾股定理是無法解決的。同學們放過風箏嗎？你能測出風箏離地面的高度嗎？

學生討論、回答各種方法。教師加以評論。

總結：前面我們學習了勾股定理，對于以上的問題中，我們求的是BC的長，而的AB的長是可知的，只要知道AC的長就可要求BC了，但實際上要測量AC是很難的。因此，我們換個角度，如果可測量出風箏的線與地面的夾角，能不能解決這個問題呢？學了今天這節(jié)課的內(nèi)容，我們就可以很好地解決這個問題了。

（由一個學生比較熟悉的事例入手，引起學生的`學習興趣，調(diào)動起學生的學習熱情。由此導入新課）

二、新課講述：

在Rt△ABC中與Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A的對邊、斜邊分別是BC、AB，∠A1的對邊、斜邊分別是B1C1、A1B2 （學生探索，引導學生積極思考，利用相似發(fā)現(xiàn)比值相等）

（ ）

若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么

問題1：從以上的探索問題的過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？（學生討論）

結論：這說明在直角三角形中，只要一個銳角的大小不變，那么無論這個直角三角形的大小如何，該銳角的對邊與斜邊的比值是一個固定值。

在一個直角三角形中，只要角的大小一定，它的對邊與斜邊的比值也就確定了，與這個角所在的三角形的大小無關，我們把這個比值叫做這個角的正弦，即∠A的正弦= ，記作sin A，也就是：sin A=

幾個注意點：①sin A是整體符號，不能所把看成sinA；②在一個直角三角形中，∠A正弦值是固定的，與∠A的兩邊長短無關，當∠A發(fā)生變化時，正弦值也發(fā)生變化；③sin A表示用一個大寫字母表示的一個角的正弦，對于用三個大寫字母表示的角的正弦時，不能省略角的符號“∠”；例如表示“∠ABC”的正弦時，應該寫成“sin∠ABC”；④ Sin A= 可看成一個等式。已知兩個量可求第三個量，因此有以下變形：a=csinA,c=

由此我們又可以知道，在直角三角形中，當一個銳角的大小保持不變時，這個銳角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值也是固定的．分別叫做余弦、正切、余切。

在Rt△ABC中

∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作

∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作

∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作

（以上可以由學生自行看書，教師簡單講述）

銳角三角函數(shù)：以上隨著銳角A的角度變化，這些比值也隨著發(fā)生變化。我們把sinA、csA、tanA、ctA統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數(shù)．

問題2：觀察以上函數(shù)的比值，你能從中發(fā)現(xiàn)什么結論？

結論：①、銳角三角函數(shù)值都是正實數(shù)；

②、0＜sinA＜1，0＜csA＜1；

③、tanActA=1。

三、實踐應用

例1 求出如圖所示的Rt△ABC中∠A的四個三角函數(shù)值．

解

問題3：以上例子中，若求sin B、tan B 呢？

問題4：已知：在直角三角形ABC中，∠C=90&rd;，sin A=4/5，BC=12，求：AB和cs A

（問題3、4從實例加深學生對銳角三角函數(shù)的理解，以此再加以突破難點）

四、交流反思

通過這節(jié)課的學習，我們理解了在直角三角形中，當銳角一定時，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值是固定的，這幾個比值稱為銳角三角函數(shù)，它反映的是兩條線段的比值；它提示了三角形中的邊角關系。

五、課外作業(yè)：

同步練習