第一篇：因式分解教學(xué)案(一)

因式分解教學(xué)案一

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、什么是因式分解，因式分解與整式乘法的區(qū)別。

2、會(huì)判斷一種變形是否為因式分解。

3、會(huì)尋找公因式。

4、會(huì)用提取公因式的方法分解因式。

學(xué)習(xí)過(guò)程

（一）因式分解的定義：

計(jì)算下列各題

a(b?c)(x?y)(a?b)

思考您完成的是什么運(yùn)算。那么你能將此過(guò)程倒過(guò)來(lái)嗎。

ab?acxa?xb?ya? yb

說(shuō)說(shuō)您的思路

積

a(b+c)

(x?y)(a?b)

和

ab+ac

xa?xb?ya?yb和 = ab+ac根據(jù)的原理是_____________________________ xa?xb?ya?yb積=a(b+c)根據(jù)的原理是_____________________________(x?y)(a?b)

總結(jié)由積變成和的形式叫做整式乘法，而由和變形成幾個(gè)整式積的形式的運(yùn)算叫做因式分解。

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式變成幾個(gè)整式積的形式叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

（二）提公因式法分解因式

1、公因式的定義。

從字面意思可以得出公因式就是各項(xiàng)公有的因式。

在多項(xiàng)式ab?ac中的公因式是a

試找出下列多項(xiàng)式的公因式：

a+abxy +xy-xy2 x+6 x3pq+15pq xy+6xyz+xyz5abc +15abcab-5ab+9b

總結(jié)：找公因式的方法。

① 系數(shù)取公約：②字母找公有：③指數(shù)找最低；④首項(xiàng)與公因式的符號(hào)保持一致。練習(xí)

下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）

A、(3?x)(3?x)?9?xB、m?n?(m?n)(m?mn?n)

C、(y?1)(y?3)??(3?y)(y?1)D、4yz?2yz?z?2y(2z?yz)?z

***2332、提取公因式的方法

先回到ab?ac=a(b?c)

ab?ac=a（方法總結(jié) abac?)=a(b?c)aa

提取公因式法分解因式的法則：

提公因式法分解因式，只需將公因式放在括號(hào)外把每一項(xiàng)除以公因式的結(jié)果放在括號(hào)里邊。

例題

第一類，公因式是單項(xiàng)式直接提取公因式

?28y4?21y3?7y2

注意：分解因式的結(jié)果中的每一個(gè)因式均不能再進(jìn)行分解因式。練習(xí)

2x2?4x8m2n?2mn

a2x2y?axy23x3?3x2?9x

－x+xy-xz－4x+8ax+2x

-7ab-14abx+49aby－3ab+6abx－aby

?24x2y?12xy2?28y3?2x2?12xy2?8xy3

?4a3b3?a2b?2ab?3ma3?6ma2?12ma

842?a2bn?1?abn?1?abn333

第二類：公因式是多項(xiàng)式的分解因式

如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)

=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]

=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).練習(xí)

(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)； 3x(a-b)-2y(b-a)；

4p(1-q)+2(q-1)；32ab(x-y)+ab(x-y).2m2m+1

6(x-2)+x(x-2)5(x-y)-10x(x-y)

?m+n??p-q?-?m+n??p+q?2(x-y)

2+(x-y)3

18b(a-b)-12(a-b)x(x+y)(x-y)-x(x+y)

232

6q(p+q)-4p(p+q)3m(x?y)?n(y?x)

q(1?p)2?2(p?1)22a(a-b)-4b(b-a)33

121a(x?2a)2?a(2a?x)3x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)24

3m(m-7)-(7-m)(m-3)

第三類：

1998?5.2?1998?7.4?199.8?264.45?13.7?445?0.889?44.5?0.26

(?2)n?2(?2)n?139?37?13?34

求證：32007?4?32006?10?32005能被7整除

第二篇：因式分解教學(xué)案(三)

配方法分解因式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、會(huì)用配方的思想完成因式分解。

2、理解配方是一種非常重要的思想。

3、能熟練的運(yùn)用配方法來(lái)解決問(wèn)題。

學(xué)習(xí)過(guò)程

（一）基礎(chǔ)知識(shí)基本方法

請(qǐng)回答完全平方公式的特點(diǎn)

請(qǐng)將下列各式補(bǔ)成完全平方式：

?1?x2?_______?y2

?2?4a2?9b2?_______ 22 ?3?x?______?4y

1?4?a2?_______?b2

?5?x4?2x2y2?______

（二）強(qiáng)化練習(xí)

請(qǐng)思考下面式子該怎樣進(jìn)行因式分解

x?8x?15 2x2?7x?122x2?14x?2 0

練習(xí)

下列各式因式分解

1．-x2+2 x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。

例2：把2x2-7x+3因式分解。

:例3：把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

練習(xí)

1、把6x2-7x-5分解因式。

2、把5x2+6xy-8y2分解因式。

1．用配方法因式分解：、1.x2 ? 3x ? 22.x2 ? 6x ? 53.x2 ? 12x ?1

14.x2 ? 18x ? 175.2x2-5x-12；6.3x2-5x-2；

7.6x2-13x+5；8.7x2-19x-6；9.12x2-13x+3；

10.4x2+24x+27。

十字相乘法分解因式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、在了解了配方的麻煩和繁瑣之后，在讓學(xué)習(xí)一種新的二次三項(xiàng)式的分解方

法。

2、能熟練地進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解。

學(xué)習(xí)過(guò)程

（一）基本方法

請(qǐng)計(jì)算整式乘法

(ax?b)(cx?d)?acx?adx?bcx?bd2

=acx2?(ad?bc)x?bd

得

acx?(ad?bc)x?bd2=(ax?b)(cx?d)

通過(guò)以上的觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律

是根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分解下列各題

1．-x2+2 x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。

例：2．把下列各式因式分解：

（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2-21xy+5y2；

練習(xí)

x2 ? 21x ? 20x2 ? 21x ? 20x2 ? 19x ? 20

x2 ? 19x ? 202x2 ? 3x ? 15x2 ? 6x ? 1

11x2 ? 12x ?117x2 ? 18x ? 119x2 ? 20x ? 1

23x2 ? 24x ? 129x2 ? 30x ? 131x2 ? 32x ? 1

37x2 ? 38x ? 141x2 ? 42x ? 143x2 ? 44x ? 1

47x2 ? 48x ? 112x2 ? 13x ? 112x2 ? 13x ? 1

12x2 ? 11x ? 1

12x2 ? 8x ? 1

12x2 ? 8x ? 1

12x2 ? 4x ? 1

12x2 ? x ? 1

12x2 ? 11x ? 112x2 ? 8x ? 112x2 ? 4x ? 112x2 ? 4x ? 112x2 ? 8x ? 112x2 ? 4x ? 112x2 ? 7x ? 112x2 ? 7x ? 112x2 ? x ? 1

第三篇：因式分解導(dǎo)學(xué)案

因式分解導(dǎo)學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解因式分解的意義；

2、知道因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系；

3、感受因式分解的作用。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分解因式的意義

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解分解因式的含義

學(xué)習(xí)過(guò)程：

復(fù)習(xí)回顧

1整式乘法和乘法公式

(a+b)2=(a-b)2=(a+b)(a-b)=a2+2ab+b2=（）2a2-2ab+b2=（）2a2-b2=am+bm+cm=()am+an+bm+bn=（）（）

2計(jì)算

（1）3x(x?1)

（3）(y?2)2?（2）(m?4)(m?4)??（4）(a?b)(a?b)?

新知探究

1對(duì)比觀察：2?3?6a(b?c)?ab?ac

因數(shù)因數(shù)整數(shù)因式因式整式

對(duì)于6與2，有整數(shù)3，使得6=2×3，我們把2和3叫6的因數(shù)。類似的，對(duì)于整式a(b?c)?ab?ac,我們把a(bǔ)和（b+c）叫多項(xiàng)式a(b?c)?ab?ac的因式。

練一練：把下列多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式乘積的形式。

①7x-21=7()② 2x-x=x()③ab-2ab=ab()④ x-1=(x+1)()

32試證明99?99能被10整除。2222

33證明：99?99= 99 ×（）-99 ×1你認(rèn)為這種做法關(guān)鍵是從99?99

2=（）×（99?1）的結(jié)果中找出因數(shù)，問(wèn)題就解決了。

3=99 ×（）（）從這種做法中，你認(rèn)為99?99還能被正

=98×99×（）整數(shù)整除。

3所以，99?99能被100整除。

由此可見(jiàn)，解決整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)化成幾個(gè)的的形式。請(qǐng)大家明白并記住這種方法。

333請(qǐng)借用上述方法，把a(bǔ)?a化成幾個(gè)整式的積的形式：a?a==

4請(qǐng)仿照例題，填寫下面的空格：

例：(a?1)(a?1)?a?1a?1?(a?1)(a?1)

222①(a?b)?a?2ab?b?22

②(a?b)2?a2?2ab?b2?③m(a?b?c)?ma?mb?mc?④a(a?1)(a?1)?a3?a?

觀察發(fā)現(xiàn)：

類似④中由a(a?1)(a?1)變形到a3?a，是運(yùn)算；而a3?a變形到a(a?1)(a?1)與前一種變形剛好把一個(gè)化成幾個(gè)的的形式的這種變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的。也叫

上述4個(gè)小題中，左邊的四個(gè)運(yùn)算是；右邊的四個(gè)運(yùn)算是。由此我們可以說(shuō)整式的乘法與因式分解的關(guān)系是。例如：(a?b)(a?b)a2?b2，從左到右的運(yùn)算是 練一練：判斷下列哪些變形是因式分解。

①(a?2)(a?2)

③?a2?4（）② x2?4?3x?(x?2)(x?2)?3x（）y2?10?(y?3)(y?3)?1（）④ a3?a?a(a2?1)（）

2（m+4）=m2－16（）?2ab?b2?1?(a?b)2?1（）⑥（m－4）

12322⑦x?1?x(1?)（）⑧2x?3x?1=x(2x?3)x⑤ a

總結(jié)歸納

（1）分解因式的結(jié)果要用的形式表示，如：a2?b2?1?(a?b)(a?b)?1是恒等變形，不是分解因式。

22（2）分解后的每個(gè)因式必須是，如：x?x?x(1?11)不是分解因式，因?yàn)?1?)xx

是式。

（3）因式分解必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。如④題中應(yīng)為a(a+1)(a-1)。

（4）分解因式與整式乘法是互為逆運(yùn)算，要判斷一個(gè)變形是否是分解因式，一是看結(jié)果是否是；二是看積中的每個(gè)因式都是式。三是看把分解因式展開(kāi)后是否是，在解題時(shí)，經(jīng)常要用到這一點(diǎn)。如⑧題右邊展開(kāi)后和左邊不相等。判斷多項(xiàng)式是否為因式分解，需要注意：

①因式分解不是加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方的運(yùn)算，而是把多項(xiàng)式由一種形式變成另一種形式。

②一個(gè)多項(xiàng)式的變形是不是因式分解，關(guān)鍵要看變形后的多項(xiàng)式是否為幾個(gè)整式的乘積．整式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．

③因式分解是一種恒等變形，因式分解與整式乘法是互為相反的一種恒等變形，檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果是否正確，可以利用整式乘法運(yùn)算看是否與原多項(xiàng)式相等，相同因式之積應(yīng)寫成冪的形式．

第四篇：因式分解導(dǎo)學(xué)案

欒川一高附中八年數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)案

用提公因式法進(jìn)行因式分解

編寫人：王淑閣審核人 ：劉建鵬 姬小琴時(shí)間：10/3/2012

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解因式分解的意義及其與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力；

2、理解公因式的概念，會(huì)用提公因式法分解因式.學(xué)習(xí)過(guò)程：

一、自主探索

計(jì)算下列各式：

1、3x(x-1)=

2、m(a+b+c)=

23、(m+4)(m-4)=

4、(y-3)=

根據(jù)上面的算式填空：

1、3x2-3x=()()

2、m2-16=()()

3、ma+mb+mc=()()

4、y2-6y+9=()2

二、合作交流

1、由m(a+b+c)得到ma+mb+mc的變形是什么運(yùn)算？由ma+mb+mc得到m(a+b+c)的變形與這種運(yùn)算有什么不同？你還能再舉出一些類似的例子加以說(shuō)明嗎?與同學(xué)交流.2、分解因式與整式乘法有什么關(guān)系？

三、試一試

例

1、把下列各式分解因式：

(1)3 a2+12a(2)-4 x2y-16xy+8 x

2例

2、把下列各式分解因式：

(1)a(m-6)+b(m-6)(2)3(a-b)+a(b-a)

四、鞏固練習(xí)

1.下列各式從左到右的變形，那些是因式分解？那些不是？

（1）(x+y)(x-y)=x2-y2;(2)a2-4a+4=a(a-4)+4;

（2）m2n-9n=n(m+3)(m-3);(4)x2+4x+2=(x+2)2-22、把下列各式分解因式：

(1)x2+xy(2)-4b2+2ab

（3）3ax-12bx+3x(4)6ab3-2a2b2+4a3b

（5）2(x-y)-(x-y)(6)6(m-n)+3(m-n)223、已知x+y=3,mn=6,求mnx+mny-x-y的值。

五、當(dāng)堂測(cè)試1、4x2y+x2y2各項(xiàng)的公因式是

2、把下列各式分解因式：

(1）x2

y-xy2

（2）-2xy-4x2

y+8x3

y

（4）－25x2＋16y2（5）4a3－36ab

2（7）(2x＋1)3＋(2x＋1)2（8）6(m-n)3-12(n-m)23、利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：36×19.99+78×19.99-14×19.994、已知x+y=6，求x2+xy+6y的值。

5、若a+b=8,ab=12,求ab2=a2b的值。

3）a3

＋ab＋a 6）(x＋1)3＋(x＋1)2（（2.4用公式法進(jìn)行因式分解(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1、會(huì)用公式法進(jìn)行因式分解；

2、了解因式分解的一般步驟.學(xué)習(xí)過(guò)程:

（一）自主探索

1、你能把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解嗎？

（1）a2-b2(2)a2+2ab+b22、這種因式分解的方法叫公式法

（二）試一試

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：（1）4x-25(2)16a-

（三）鞏固練習(xí)A1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

(1)x2-9(2)4m2-n2

(3)25-4x2y2(4)

(四）做一做

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

(1)25x2+20x+4(2)9m2-3mn+

(五）鞏固練習(xí)：

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

b

1649

x2-36y2

n

2（1）a2+8a+16(2)m2-4mn+4n2

(3)

m+mn+

n(4)4x-12xy+9y

222

(六）課堂小結(jié)

我的收獲：

我的疑惑：

（七）達(dá)標(biāo)測(cè)試

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

（1）36—x(2)

(3)2mn—m—n(4)9—

222、多項(xiàng)式4x—x加上一個(gè)怎樣的單項(xiàng)式，就成為一個(gè)完全平方式？多項(xiàng)式0.25x+1呢？

y+y+

1116

a

2.4用公式法進(jìn)行因式分解（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1、會(huì)用公式法進(jìn)行因式分解；

2、了解因式分解的一般步驟.學(xué)習(xí)過(guò)程:

（一）自主探索

1、觀察下列各式的特征：有幾項(xiàng)，含有那些字母，有沒(méi)有公因式？（1）-2x4+32x2(2)3ax2-6axy+3ay22、把以上各式因式分解

3、把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的步驟是什么？

（二）練一練

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

(1)x-xy2(2)2a3-50ab

23222

(3)9x-18x+9x(4)ax+2ax+

4（三）合作交流

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

(1)(a-2b)2-(2a+b)2(2)50n-20n(x-y)+2n(x-y)

2(四）鞏固練習(xí)

1、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

（1）25a-4(b+c)(2)(x+y)+6(x+y)+9

(五）課堂小結(jié)

我的收獲：

我的疑惑：

（六）達(dá)標(biāo)測(cè)試

1、把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，一般步驟是：當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí)，先，然后再考慮。

2、分解因式：x3-x=,3、分解因式：x2(a-1)+y2(1-a)=.2、把下列各多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

（1）m-m(2)18xy-2x

(2)(x2+4)2-16x2(4)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1

第五篇：因式分解導(dǎo)學(xué)案

因式分解導(dǎo)學(xué)案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷探索因式分解全過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展提高自己能力。

2、會(huì)用公式法直接推出容易看出的多項(xiàng)式分解結(jié)果。

3、能夠熟練地運(yùn)用公式法，熟練地寫出分解過(guò)程。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

熟練地運(yùn)用兩種方法進(jìn)行因式分解

三、教學(xué)媒體：多媒體課件

四、教學(xué)和活動(dòng)過(guò)程：

（一）知識(shí)回顧

1、概念：

2、基本方法：

（1）提公因式法:

(2)公式法

3、因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

②如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解； ③因式分解必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

（二）精講精練

例題1：把下列各式因式分解

(1)0.81a2-16b2(2)–(b+c)2+4a

2(3)1-6x+9x2(4)ax2+2a2x+a

3注意： n-m =-(m-n)(n-m)2=[-(m-n)]2=(m-n)2

牛刀小試：

3ax2+6axy+3ay22a(b-c)-3(c-b)2

x2y-4xy+4y81a4-1

例

2、將下列各式分解因式

(1)a6b－a2b5(2)(a+b)2－5(a+b)－6

(3)x4－5x2+

4牛刀小試：(1)m3+2m2-9m-18；

(2)a2-b2-c2-2bc；(3)x3-2x2-5x+6.（三）學(xué)生小結(jié)

你認(rèn)為以上解題過(guò)程中，需要注意那些問(wèn)題？解題過(guò)程有哪些

困難？本節(jié)課有什么收獲?

（四）練習(xí)：

1、判斷對(duì)錯(cuò)：

25t2-0.09y2=(5t+0.03y)(5t-0.03y)()

4a-a2-4=-(a+2)2（）

a2-25=(a+5)(a-5)()

a3-a=a(1-a)2（）

2、已知x2－ax－24在整數(shù)范圍內(nèi)可分解因式,則整數(shù)a的值是(填一個(gè))

3、(6)如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是()

(A)x2+y2(B)(x-y)2

(C)(x+y)(x-y)(D)(x+y)2