第一篇：山東省臨朐縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2014年高中數(shù)學(xué) 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修4

山東省臨朐縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2014年高中數(shù)學(xué) 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)

案 新人教A版必修4

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解利用正切線畫出正切函數(shù)圖象的方法

2.掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3.會(huì)畫正切函數(shù)簡圖

教學(xué)過程：

1、復(fù)習(xí)正弦函數(shù)性質(zhì)，回顧討論正弦函數(shù)性質(zhì)的方法，借助單位圓討論正切線研究性質(zhì)。

2、例題講解：

例

1、求函數(shù)y?tan(x?

例2：求函數(shù)y?tan3x的周期。

課后作業(yè)：練習(xí)A；B。

?3)的定義域。

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修4說課稿 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象

《正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象》說課稿

一、教材分析（說教材）： 1.教材所處的地位和作用：

本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)必修4第一章第四節(jié)的內(nèi)容。它前承正弦余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，后啟已知三角函數(shù)值求角的問題.2.教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)目標(biāo)：掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)并會(huì)畫正切函數(shù)的的簡圖.（2）能力目標(biāo)：讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，學(xué)會(huì)應(yīng)用內(nèi)比推理與數(shù)形結(jié)合的思想處理問題.（3）情感目標(biāo)：

通過學(xué)生自主探究小組合作交流的過程體檢探索的樂趣，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.3.重點(diǎn)，難點(diǎn)以及確定的依據(jù)和處理的方法：

重點(diǎn)：正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象是本課的難點(diǎn)，其理論依據(jù)是任意函數(shù)的性質(zhì)和圖象都是緊密相連的都是研究的重點(diǎn)對(duì)象.對(duì)于正切函數(shù)來說由于定義域的不連續(xù)性導(dǎo)致了圖象的間斷性.所以要正確探索出性質(zhì)和圖象.處理方法是類比正余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究.難點(diǎn)：畫正切函數(shù)的簡圖.依據(jù)是正切線能準(zhǔn)確畫正切函數(shù)的圖象，但不實(shí)用，在應(yīng)用時(shí)一定要學(xué)會(huì)畫簡圖.在難點(diǎn)的處理上我先讓學(xué)生通過性質(zhì)體會(huì)圖象與X軸的交點(diǎn)，再利用定義域找到圖象間斷處的漸近線(用虛線)在找到??????????????點(diǎn)??,?1?，1?在利用單調(diào)性確定??,?一個(gè)周期內(nèi)的幾個(gè)特殊?，??,?一個(gè)周期的圖象，2244???????22?再利用周期性畫出其它區(qū)間的圖象.二、教學(xué)策略（說教法）：

（一）教學(xué)手段：

一般對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象，再通過圖象來獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)，然后再從代數(shù)的角度對(duì)性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的表述.但對(duì)正切函數(shù)教材采用了先根據(jù)已有的知識(shí)（如正切函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，正切線等）研究性質(zhì)，然后再根據(jù)性質(zhì)來研究正切函數(shù)的圖象，這樣處理主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)更多的視角，在性質(zhì)的指導(dǎo)下可以更加有效地作圖，研究圖象，加強(qiáng)理性思考的成分，并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的更加全面.（二）教學(xué)方法及其理論依據(jù)：

如何突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).我在教學(xué)中利用學(xué)案導(dǎo)學(xué)循環(huán)大課堂.堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的原則，即“以學(xué)生活動(dòng)為主，教師講述為輔，學(xué)生活動(dòng)在前，教師點(diǎn)撥評(píng)價(jià)在后”的原則，采用學(xué)生參與程度高的學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)法.在學(xué)生課下看書、獨(dú)立完成學(xué)案、小組討論基礎(chǔ)上，在教師課前批閱學(xué)案的前提下，讓一部分學(xué)生把自己的學(xué)習(xí)成果先展示在黑板上，然后讓學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑討論，最后老師在進(jìn)行補(bǔ)充學(xué)生的不足進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià).三、學(xué)情分析：（說學(xué)法）

學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，這種經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)和圖象的研究中，在心理上也具備了一定的分辨能力和語言表達(dá)能力.四、教學(xué)程序：

（一）課前展示：課間學(xué)生分配到任務(wù)后，需要板書的在課間進(jìn)行板書.（二）復(fù)習(xí)回顧：以表格的形式將正余弦函數(shù)及正切函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)（即定義域，值域，周期性，奇偶性，單調(diào)性）列出，讓學(xué)生先進(jìn)性前兩個(gè)函數(shù)的填寫.（三）循環(huán)探究：1.根據(jù)學(xué)生上節(jié)課后十分鐘布置的任務(wù)，并通過課下學(xué)生自學(xué)探究，由學(xué)生自己把正切函數(shù)的性質(zhì)填寫在上表，并對(duì)其他同學(xué)的疑問進(jìn)行作答.2.讓學(xué)生根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)自己試著畫正切函數(shù)的簡圖，對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng).以鼓勵(lì)為主然后讓學(xué)生想一想怎樣更快更好畫出正切函數(shù)的圖象.總結(jié)正切函數(shù)簡圖的畫法，處理方式在重點(diǎn)中已說過.3.用正切線通過多媒體展示，準(zhǔn)確的畫出正切函數(shù)的圖象，并讓學(xué)生看著圖象再直觀的理解性質(zhì).（四）例題展示：例1通過單調(diào)性比較正切值的大小，強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)的單調(diào)性是在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)而不是在定義域上，這類題一定把所給的?x??角利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間.例2求y?tan???的定義域，周期，23??單調(diào)區(qū)間.估計(jì)在此題中學(xué)生會(huì)出現(xiàn)問題就是區(qū)間的開閉問題.例3通過正切值的范圍求角的范圍，強(qiáng)調(diào)學(xué)生要學(xué)會(huì)利用簡圖來做題.（五）方法總結(jié)：學(xué)生自己先總結(jié)老師然后補(bǔ)充.（六）鞏固練習(xí)：學(xué)案上的練習(xí)按等級(jí)設(shè)置，學(xué)生根據(jù)自己的情況完成對(duì)應(yīng)等級(jí)的題目.（七）當(dāng)堂檢測(cè)：用多媒體給出檢查學(xué)生這節(jié)課掌握的情況.（八）任務(wù)布置：仍然以學(xué)案的形式給出y?Asin?wx???的圖象的研究，想用問題的形式引出這節(jié)內(nèi)容然后由學(xué)生自己探究.L

五、作業(yè)布置：完成相應(yīng)的學(xué)案

六、設(shè)計(jì)說明：1.板書說明：側(cè)、后黑板留給學(xué)生展示，前黑板寫標(biāo)題及重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容.2.時(shí)間分配:(一)課前五分鐘

（二）兩分鐘

（三）十分鐘

（四）十分鐘

（五）二分鐘

（六）六分鐘

（七）五分鐘

（八）十分鐘

以上是我說課的內(nèi)容，不足之處敬請(qǐng)指導(dǎo)，謝謝！

第三篇：《正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

《正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)年級(jí)。遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高一學(xué)年 版本：人教B版 課時(shí)：第10課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，會(huì)應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)解決問題 過程與方法：類比正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象，體會(huì)類比與歸納的應(yīng)用

情感態(tài)度與價(jià)值觀：類比不同的函數(shù)得出不同的性質(zhì)，學(xué)會(huì)分析問題，透過現(xiàn)象看本質(zhì)

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 難點(diǎn)：利用正切線畫正切曲線

三、教學(xué)方法：啟發(fā)、引導(dǎo)自學(xué)探究

四、教學(xué)流程(一)導(dǎo)入新課

1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及作圖過程

作圖利用描點(diǎn)法、采用幾何方法，平移正弦線作正弦函數(shù)圖象 教學(xué)處理：學(xué)生回顧正弦函數(shù)的研究過程。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)正弦函數(shù)研究過程的回顧，為研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)做好準(zhǔn)備。

（二）新課講析

2、給出正切函數(shù)定義，探究正切函數(shù)的圖象并研究正切函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)處理：學(xué)生自主探究，交流結(jié)果，分析方法，教師引導(dǎo)學(xué)生歸結(jié)作圖的基本方法與研究正切函數(shù)性質(zhì)的基本方法。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過對(duì)正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)利用學(xué)過的知識(shí)與方法通過類比的方式去解決具體問題。

3、歸納圖象、性質(zhì)

教學(xué)處理：歸納正切函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

4、例題：求函數(shù)y?tan??x???的定義域、周期、和單調(diào)區(qū)間

???23?教學(xué)處理：學(xué)生自主探究，歸納方法與結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用正切函數(shù)的圖象自主研究形如y?Atan5、比較大小

(1)tan1380與tan143(2)tan??13??與tan??17??

????0??x???的性質(zhì)。

?4??5?教學(xué)處理：學(xué)生獨(dú)立思考，歸納方法

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)解決具體問題

（三）課堂教學(xué)檢測(cè)

1、求函數(shù)y??tan????x??6???2的定義域

2、求函數(shù)y?tan??2x????,x?5??12?k?2?k?Z?的最小正周期 3?

3、比較大小

（1）tan??????與5??tan????3?? 7??(2)tan15190與tan14930

4、寫出下列不等式成立的x的集合

（1）1?tanx?0（2）tanx?3?0

（四）課堂小結(jié)：掌握研究正切函數(shù)的方法及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

第四篇：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 教學(xué)設(shè)計(jì)

《1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修4第一章《三角函數(shù)》1.4《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》中的第1.4.3節(jié)《正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象》，屬于本小節(jié)第四課時(shí).第一課時(shí)我們學(xué)習(xí)了“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”，第二課時(shí)學(xué)習(xí)了“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)中的周期性”，第三課時(shí)學(xué)習(xí)了“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)中的奇偶性、單調(diào)性”，學(xué)生通過前面幾節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)研究函數(shù)的方法有了一個(gè)更加清晰的認(rèn)識(shí)，即先給出函數(shù)的定義，然后研究函數(shù)的圖象，最后得到函數(shù)的性質(zhì)，事實(shí)上這種研究方法是我們?cè)谝恢辈捎玫姆椒?有了前面的研究經(jīng)驗(yàn)，加之有些函數(shù)的圖象并不好畫，因此本節(jié)我們從一個(gè)新的角度研究正切函數(shù),先研究它的性質(zhì)，在對(duì)性質(zhì)有了一個(gè)初步了解后，再來研究函數(shù)的圖象，最后利用圖象驗(yàn)證我們之前所得到的性質(zhì)，本節(jié)給出了研究函數(shù)的另一種方法.例題的編寫意圖：這是一個(gè)與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，是對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的深入應(yīng)用.學(xué)生在求定義域時(shí)容易想到換元法，讓“新元”落在正切函數(shù)的定義域內(nèi)解出自變量x的取值范圍；關(guān)于該函數(shù)的周期學(xué)生有了前面求正弦型函數(shù)周期的經(jīng)驗(yàn)，利用類比的方法猜想T??，接下來需要利用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證這一猜想；本例題比較難處理的地方是單調(diào)?1?x?)，x?[?2?,2?]的增區(qū)間的求法，這使得學(xué)生對(duì)方法的接受變得自23性，教材為了化解難點(diǎn)，在必修一研究了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，在上一節(jié)的例5給出了函數(shù)y?sin(然.課后習(xí)題正切函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的應(yīng)用，針對(duì)性強(qiáng).二、學(xué)情分析

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了簡單的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，進(jìn)入高中以后又學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，還有前兩節(jié)學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)這些函數(shù)的時(shí)候都是先研究函數(shù)的圖象，在由圖象得到函數(shù)的性質(zhì).但是在學(xué)習(xí)過程中，他們會(huì)遇到某些函數(shù)的圖象并不容易直接作出的情況，此時(shí)就需要有一種新的研究方法出現(xiàn)，即本節(jié)的研究方法，先研究函數(shù)的性質(zhì)再研究函數(shù)圖象.有了前面三節(jié)課的研究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易想到從兩域三性的角度研究.首先通過探究（幾何畫板演示）獲得正切函數(shù)的性質(zhì)，接下來采用類比的方法利用正切線作正切函數(shù)在(???,)上的圖象，結(jié)合正切函數(shù)的周期性得到正切22函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象，最后利用圖象討論函數(shù)的性質(zhì).學(xué)生在例題的接受上可能會(huì)存在較大的困難，結(jié)合之前學(xué)習(xí)的正弦型函數(shù)的周期及單調(diào)區(qū)間的求法再來理解本例題會(huì)變得更加容易.三、教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)與技能：

1.理解并掌握正切函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性和值域等基本性質(zhì)及正切函數(shù)的圖象；

ππ 2.了解用正切線作正切函數(shù)在(-,)內(nèi)的圖象.22過程與方法：

1.通過探究（觀察-猜想-驗(yàn)證）獲得正切函數(shù)的性質(zhì),體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想； 2.利用類比的方法獲得正切函數(shù)的圖象； 3.講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1.通過幾何畫板演示，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；

2.創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)；

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：

1.正切函數(shù)的性質(zhì)的探究；

2.利用正切線作正切函數(shù)的圖象.教學(xué)難點(diǎn)：

正切函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（例題）.五、教學(xué)支持條件分析

為了更加直觀地突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，本節(jié)課以幾何畫板為依托，對(duì)正切函數(shù)的性質(zhì)逐一探究，并利用正切線作出正切函數(shù)的圖象，讓學(xué)生體會(huì)“類比”的方法及“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.六、教學(xué)方法分析

本節(jié)采用引導(dǎo)探究、講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過幾何畫板演示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、驗(yàn)證猜想，經(jīng)歷問題解決的過程，體會(huì)研究問題的方法.通過老師分析例題，加強(qiáng)學(xué)生分析問題的能力.七、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1、研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的方法是什么？ 師生活動(dòng)：共同回憶之前研究函數(shù)的方法.設(shè)計(jì)意圖：之前研究函數(shù)的方法是先給出定義然后研究圖象，再由圖象得函數(shù)的性質(zhì).本節(jié)采用的研究方法是先研究性質(zhì)再研究圖象，提供了研究函數(shù)的另一種方法.2、正切函數(shù)是如何定義的？

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示，學(xué)生回憶正切函數(shù)的定義.設(shè)計(jì)意圖：為接下來性質(zhì)的探究做好準(zhǔn)備.（二）新課講解

探究

（一）正切函數(shù)的性質(zhì)

知識(shí)探究1 正切函數(shù)的定義域

問題1 研究一個(gè)函數(shù)，我們需要先考慮它的什么性質(zhì)？

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示角x終邊的情況，學(xué)生思考x的取值范圍并得出結(jié)論，教師在幾何畫板上展示定義域在x軸上的分布情況.設(shè)計(jì)意圖：研究函數(shù)需優(yōu)先考慮定義域，學(xué)生觀察圖象不難得出定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為后面研究函數(shù)的奇偶性作準(zhǔn)備.知識(shí)探究2 正切函數(shù)的周期性 問題2 正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示，學(xué)生觀察、思考并給出初步結(jié)論，利用誘導(dǎo)公式驗(yàn)證自己的結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：1.通過學(xué)生自主觀察、發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的研究興趣.2.為探究

（二）作正切函數(shù)的圖象作鋪墊.知識(shí)探究3 正切函數(shù)的奇偶性 問題3 正切函數(shù)具有奇偶性嗎？

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示，學(xué)生觀察、思考并給出初步結(jié)論，利用誘導(dǎo)公式驗(yàn)證自己的結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：1.復(fù)習(xí)判斷函數(shù)奇偶性的方法.2為探究

（二）作準(zhǔn)備.知識(shí)探究4 正切函數(shù)的單調(diào)性 問題4 正切函數(shù)的單調(diào)性如何？

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示，學(xué)生觀察、分析、給出結(jié)論

設(shè)計(jì)意圖：1.通過層層設(shè)問，獲得正切函數(shù)單調(diào)區(qū)間的表示形式，明確函數(shù)圖象的特征，為畫函數(shù)圖象作準(zhǔn)備.2.復(fù)習(xí)正切線的定義，為接下來的研究作鋪墊.知識(shí)探究5 正切函數(shù)的值域 問題5 正切函數(shù)的值域是什么？

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示，學(xué)生觀察、分析、給出結(jié)論

設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板演示明確函數(shù)的值域，并強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)沒有最值.探究

（二）利用正切線作正切函數(shù)的圖象

問題6 通過對(duì)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為我們應(yīng)該如何作出正切函數(shù)的圖象？ 師生活動(dòng)：教師展示研究成果（五條性質(zhì)），學(xué)生思考.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確：欲研究正切函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象，只需研究它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，結(jié)合奇偶性只需研究(???,)上的圖象.22問題7 如何作出正切函數(shù)在(???,)上的圖象？ 22師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板演示“利用正切線作正切函數(shù)圖象”的過程，學(xué)生觀察、回憶、對(duì)比，獲得圖象的直觀認(rèn)識(shí).設(shè)計(jì)意圖：1.讓學(xué)生類比正弦線作正弦函數(shù)圖象的方法，作出正切函數(shù)在(???,)上的圖.2.22體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.問題8 如何得到正切函數(shù)的圖象？

師生活動(dòng)：教師演示平移后的圖象，學(xué)生觀察獲得對(duì)圖象的整體認(rèn)識(shí).設(shè)計(jì)意圖：1.再一次體會(huì)圖象的特征，從圖象的角度驗(yàn)證函數(shù)的性質(zhì)；2.給出正切曲線的定義.問題9 正切函數(shù)的對(duì)稱中心是什么？

師生活動(dòng)：教師演示正切曲線繞(k?,0),k?Z和(現(xiàn)與原圖象重合.設(shè)計(jì)意圖：給出正切函數(shù)對(duì)稱中心的表達(dá)形式.?2?k?,0),k?Z旋轉(zhuǎn)180?，學(xué)生觀察發(fā)

（三）例題講解

例1 已知函數(shù)y?tan(?2x??3)

（1）求出函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；（2）試作出函數(shù)的簡圖.師生活動(dòng)：教師分析題目特點(diǎn)，明確解題方法.設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

練習(xí)：求函數(shù)y?tan(1?x?)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.24師生活動(dòng)：學(xué)生練習(xí)，教師巡視，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果.設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)對(duì)方法的使用，掌握這類題的解法,鞏固正切函數(shù)的性質(zhì).（四）課堂總結(jié)

1.正切函數(shù)的性質(zhì)： 2.正切函數(shù)的圖象： 3.數(shù)學(xué)思想與方法：

（五）作業(yè)布置與思考

1.作業(yè)：教材46頁A組：6,7,9 2.思考：（1）如何證明正切函數(shù)的最小周期為?？

（2）如何證明正切函數(shù)在(???,)上是增函數(shù)？

第五篇：示范教案(1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象)

1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)課的背景是:這之前我們已經(jīng)用了三節(jié)課的時(shí)間學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來說,對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象,通過觀察圖象獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí),然后再從代數(shù)的角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.但對(duì)正切函數(shù),教科書換了一個(gè)新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(shí)(如正切函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、正切線等)研究性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.這樣處理,主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)問題更多的視角,在性質(zhì)的指導(dǎo)下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強(qiáng)了理性思考的成分,并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學(xué)生探究活動(dòng)過程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種解決問題的方法.通過多媒體教學(xué),讓學(xué)生通過對(duì)圖象的動(dòng)態(tài)觀察,對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀、形象.以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高課題教學(xué)質(zhì)量.從學(xué)生的實(shí)際情況為教學(xué)出發(fā)點(diǎn),通過各種數(shù)學(xué)思想的滲透,合理運(yùn)用各種教學(xué)課件,逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)會(huì)通過對(duì)圖象的觀察來整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)的能力,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力.這樣既加強(qiáng)了類比這一重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),也有利于學(xué)生綜合運(yùn)用能力的提高,有利于學(xué)生把新舊知識(shí)前后聯(lián)系,融會(huì)貫通,提高教學(xué)效果.由于學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),這種經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的研究中,因此,我們可以通過“探究”提出,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)研究正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這種遷移與類比的學(xué)習(xí)方法.三維目標(biāo)

1.通過對(duì)正切函數(shù)的性質(zhì)的研究,注重培養(yǎng)學(xué)生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用新舊知識(shí)的能力.學(xué)會(huì)通過對(duì)圖象的觀察來整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn),學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力.2.在學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用類比的方法,學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力.3.通過正切函數(shù)圖象的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生欣賞(中心)對(duì)稱美的能力,激發(fā)學(xué)生熱愛科學(xué)、努力學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡單應(yīng)用.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(直接導(dǎo)入)常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學(xué)生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯(cuò)的選擇,這是傳統(tǒng)的導(dǎo)入法.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)是我們高中要學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).你能運(yùn)用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？都研究函數(shù)的哪幾個(gè)方面的性質(zhì)？

②我們學(xué)習(xí)了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個(gè)象限的正切線嗎？

③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象,然后向左、右擴(kuò)展,這樣就可以得到它在整個(gè)定義域上的圖象.那么我們先選哪一個(gè)區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？

④我們用“五點(diǎn)法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡圖,你能畫出正切函數(shù)的簡圖嗎？ 你能類比“五點(diǎn)法”也用幾個(gè)字總結(jié)出作正切簡圖的方法嗎？

活動(dòng):問題①,教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個(gè)方面來研究的,有了這些知識(shí)準(zhǔn)備,然后點(diǎn)撥學(xué)生也從這幾個(gè)方面來探究正切函數(shù)的性質(zhì).由于還沒有作出正切函數(shù)圖象,教師指導(dǎo)學(xué)生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性 由誘導(dǎo)公式

tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠?+kπ,k∈Z

2可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學(xué)生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性 由誘導(dǎo)公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠?+kπ,k∈Z 2

可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn)嗎？與正余弦函數(shù)相對(duì)照,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心是(k?,0)k∈Z.2(3)單調(diào)性

通過多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(?又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開區(qū)間(?(4)定義域

??22,)內(nèi)是增函數(shù),?2+kπ,?+kπ),k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).2y,顯然,當(dāng)角α的終邊落在y軸上任意一點(diǎn)時(shí),都有x=0,這時(shí)x?正切函數(shù)是沒有意義的；又因?yàn)榻K邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+,k∈Z,所以正切函

2??數(shù)的定義域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個(gè)問題不少初學(xué)者很不理解,在22

根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα=解題時(shí)又很容易出錯(cuò),教師應(yīng)提醒學(xué)生注意這點(diǎn),深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).(5)值域

由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當(dāng)x大于??2且無限接近??2時(shí),正

切線AT向Oy軸的負(fù)方向無限延伸;當(dāng)x小于向無限延伸.因此,tanx在(???且無限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的正方22??22,)內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.問題②,教師引導(dǎo)學(xué)生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1

問題③,正切函數(shù)圖象選用哪個(gè)區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上展開充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的新課改理念.有的學(xué)生可能選取了［0,π］作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學(xué)生作圖的真實(shí)性的體現(xiàn).此時(shí),教師應(yīng)調(diào)整計(jì)劃,把課件中先作出［-??,］內(nèi)的圖象,改為先作出［0,π］內(nèi)的圖象,再進(jìn)行圖象的平移,得到整22??,)的圖象為好.22?+kπ(k∈Z)2個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察思考.最后由學(xué)生來判斷究竟選用哪個(gè)區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生通過分析得到先作區(qū)間(-這時(shí)條件成熟,教師引導(dǎo)學(xué)生來作正切函數(shù)的圖象,如圖2.根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴(kuò)展,得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R,且x≠的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.圖2

圖3

問題④,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正切曲線,點(diǎn)撥學(xué)生討論思考,只需確定哪些點(diǎn)或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x∈(???22,)的簡圖.學(xué)生可看出有三個(gè)點(diǎn)很關(guān)鍵:(??4,-1),(0,0),（?,1),還有兩4條豎線.因此,畫正切函數(shù)簡圖的方法就是:先描三點(diǎn)(?x=??4,-1),(0,0),（?,1),再畫兩條平行線4?2,x=?,然后連線.教師要讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫,這對(duì)今后解題很有幫助.2討論結(jié)果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點(diǎn)兩線”法.提出問題

①請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì).②設(shè)問:每個(gè)區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請(qǐng)舉一個(gè)例子.活動(dòng):問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=

?+kπ,k∈Z所隔開的無2窮多支曲線組成的.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,這點(diǎn)反應(yīng)了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個(gè)區(qū)間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質(zhì)——值域?yàn)镽；每隔π個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)——周期π;在每個(gè)區(qū)間圖象都是上升趨勢(shì),得到它的哪一性質(zhì)——單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(??2+kπ,?+kπ),k∈Z,沒有減區(qū)間.它的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2的,得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù).通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對(duì)稱,對(duì)稱中心是(k?,0),k∈Z.2問題②,正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,π)上就沒有單調(diào)性.討論結(jié)果:①略.②略.應(yīng)用示例

例1 比較大小.(1)tan138°與tan143°；(2)tan(?13?17?)與tan(?).4

5活動(dòng):利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小.教師可放手讓學(xué)生自己去探究完成,由學(xué)生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學(xué)生不難解決,主要是訓(xùn)練學(xué)生鞏固本節(jié)所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),加強(qiáng)類比思想的運(yùn)用.解:(1)∵y=tanx在90°-tan, 554413?17?即tan(?)>tan(?).45(2)∵tan(?

點(diǎn)評(píng):不要求學(xué)生強(qiáng)記正切函數(shù)的性質(zhì),只要記住正切函數(shù)的圖象或正切線即可.例2 用圖象求函數(shù)y=tan?3的定義域.活動(dòng):如圖4,本例的目的是讓學(xué)生熟悉運(yùn)用正切曲線來解題.不足之處在于本例可以通過三角函數(shù)線來解決,教師在引導(dǎo)學(xué)生探究活動(dòng)中,也應(yīng)以兩種方法提出解決方案,但要有側(cè)重點(diǎn),應(yīng)體現(xiàn)函數(shù)圖象應(yīng)用的重要性.圖4

圖5 解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用圖4知,所求定義域?yàn)椋踜π+

??,kπ+)(k∈Z).32點(diǎn)評(píng):先在一個(gè)周期內(nèi)得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節(jié)的重點(diǎn)是正切線,但在今后解題時(shí),學(xué)生哪種熟練就用哪種.變式訓(xùn)練

根據(jù)正切函數(shù)的圖象,寫出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1, ??,kπ+),k∈Z;42??(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.23??例3 求函數(shù)y=tan(x+)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.23∴x∈［kπ-

活動(dòng):類比正弦、余弦函數(shù),本例應(yīng)用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問題時(shí)已經(jīng)用過換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將可讓學(xué)生自己類比地探究,只是提醒學(xué)生注意定義域.解:函數(shù)的自變量x應(yīng)滿足即x≠2k+

??x+作為一個(gè)整體.教師23???x+≠kπ+,k∈Z, 2321,k∈Z.31,k∈Z}.3??????由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2), 232323所以函數(shù)的定義域是{x|x≠2k+因此,函數(shù)的周期為2.51????+kπ

點(diǎn)評(píng):同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一樣,這里可引導(dǎo)學(xué)生探究

y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=變式訓(xùn)練

求函數(shù)y=tan(x+解:由x+

?.??)的定義域,值域,單調(diào)區(qū)間,周期性.4???≠kπ+,k∈Z可知,定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.424值域?yàn)镽.3?????∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函數(shù).44224?周期是π,也可看作由y=tanx的圖象向左平移個(gè)單位得到,其周期仍然是π.4由x+例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說明理由.活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)y=tanx的單調(diào)性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學(xué)生注意本節(jié)中活動(dòng)的結(jié)論:正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).學(xué)生可能的錯(cuò)解有:

錯(cuò)解1:∵函數(shù)y=tanx是增函數(shù),又1<2<3<4,∴tan1

?3?,)上是單調(diào)遞增函數(shù), 223??且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<，22解法一:∵函數(shù)y=tanx在區(qū)間(∴tan2

課本本節(jié)練習(xí)1—5.解答: 1.在x軸上任取一點(diǎn)O1,以O(shè)1為圓心,單位長為半徑作圓,作垂直于x軸的直徑,將⊙O1分成左右兩個(gè)半圓,過右半圓與x軸的交點(diǎn)作⊙O1的切線,然后從圓心O1引7條射線把右半圓分成8等份,并與切線相交,得到對(duì)應(yīng)于?軸上從?????3?3?,?,?,0，,等角的正切線.相應(yīng)地,再把x488848?這一段分成8等份.把角x的正切線向右平行移動(dòng),使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)22??x重合,再把這些正切線的終點(diǎn)用光滑的曲線連結(jié)起來,就得到函數(shù)y=tanx,x∈(?,)的圖

22到

?象.點(diǎn)評(píng):可類比正弦函數(shù)圖象的作法.2.(1){x|kπ

??+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|?+kπ

22(2)不會(huì).因?yàn)閷?duì)于任何區(qū)間A來說,如果A不含有側(cè)的圖象都是上升的(隨自變量由小到大).點(diǎn)評(píng):理解正切函數(shù)的單調(diào)性.課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)方法,有哪些啟發(fā)、收獲.本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后,研究的又一個(gè)具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有什么不同?研究正、余弦函數(shù),是由圖象得性質(zhì),而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上得到圖象,最后用圖象又驗(yàn)證了函數(shù)的性質(zhì).2.(教師點(diǎn)撥)本節(jié)研究的過程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結(jié)合,也是我們研究函數(shù)的基本方法,特別是又運(yùn)用了類比的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、化歸的方法.請(qǐng)同學(xué)們課后思考總結(jié):這種多角度觀察、探究問題的方法對(duì)我們今后學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？ 作業(yè)

課本習(xí)題1.4 A組6、8、9.設(shè)計(jì)感想

1.本教案的設(shè)計(jì)背景剛剛學(xué)完正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).因此教案的設(shè)計(jì)主線是始終抓住類比思想這條主線,讓學(xué)生在鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,通過類比,由學(xué)生自己來對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、探究、猜想、證明,使新舊知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合在一起,學(xué)生對(duì)新知識(shí)也較易接受.2.本教案設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)程序是:溫故(相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備)→新的學(xué)習(xí)對(duì)象與舊知識(shí)的聯(lián)系→類比探究→解決問題→應(yīng)用成果→歸納總結(jié)→進(jìn)一步的發(fā)散思考→探索提高.