第一篇：初探初中幾何證明的困難與成因

初探初中幾何證明的困難與成因

2001年教育部制定的新的《數(shù)學課程標準））中，對于幾何內(nèi)容的安排體現(xiàn)了三個特點：一是幾何課的開設時間提前了，不光是相當于初中的7-9年級學段，而且在相當于小學的1-6年級學段都安排有簡單幾何知識的內(nèi)容。二是幾何課的課時壓縮了，過去初中數(shù)學課是代數(shù)與幾何兩大分支齊頭并進，而現(xiàn)在卻是代數(shù)、幾何、概率三大內(nèi)容，幾何的份量顯然壓縮了。三是幾何課以“空間與圖形”的名目出現(xiàn)，一開始就兼有平面和立體的內(nèi)容，而且重實踐，輕體系。

幾何是整個中學數(shù)學教學內(nèi)容的重要部分。平面幾何是運用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質(zhì)的一門學科，按照新課標在圖形與證明中的要求，應掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù)。因此，培養(yǎng)學生邏輯推理能力是平面幾何教學的重要目的之一。初中七年級的學生雖然在小學接觸了一些幾何圖形，但對于邏輯推理的思維方式完全是陌生的，盡管初中七年級上冊還沒有要求進行邏輯推理形式的書寫，但是到了下冊，就出現(xiàn)了較多由“已知→結論”這樣的書寫形式，而到了八年級下冊，便用“∵，∴”來書寫推理論證的格式了。學生如果沒有一定的基礎，在學習上自然會產(chǎn)生困難。所以幾何課在整個初中課程中是難點，是瓶頸。從初一下學期開設幾何課開始，數(shù)學成績就明顯出現(xiàn)分化。數(shù)學成績好的學生必定幾何成績好，而相當大一部分學生幾何成績開始下滑，而且由怕幾何而怕數(shù)學，因幾何學不好便認為自己學數(shù)學不行，更有甚者就此對數(shù)學喪失了信心。怕幾何──怕數(shù)學──厭數(shù)學──最終放棄數(shù)學，致使部分學生就這樣不自愿而又無可奈何地成為“文科生”。所以就日常教學中的積累分析如下：

中學生幾何學習困難主要反映在以下幾個方面：

（1）畏懼心理和依賴心理

第一：數(shù)學內(nèi)容向來具有枯燥乏味的“壞名聲“，它的高度概括性與抽象性，嚴謹?shù)倪壿嬎季S性讓一部分學生在小學就覺得晦澀難懂，而到了初中，對學生的運算能力，邏輯思維能力和分析問題，解決問題的能力要求就更高了，幾何證明中嚴格的邏輯要求使學生普遍認為幾何太抽象、太難學，使學生就產(chǎn)生了畏懼心理。

第二：現(xiàn)在學生普遍對教師存有依賴心理，缺乏學習的主動鉆研和創(chuàng)新精神，期望教師對幾何問題進行歸納概括，突出重點，難點和關鍵，并且提供詳盡的解題示范,習慣于一步一步模仿硬套,只重視結論,而忽視了結論的發(fā)生發(fā)展過程,忽視對解題方法的探索，難以深刻領會結論，所以致使智慧得不到啟迪，思維的方法和習慣得不到訓練和養(yǎng)成，觀察，分析，綜合等能力都得不到提高。所以經(jīng)常能聽到有學生說：“我把幾何定理，公理都背得滾瓜爛熟，但我拿到幾何題卻不知道怎么用！”

（2）基本的邏輯常識欠缺。對逆命題、反證法等理解不了。

（3）語言表述關。過分專業(yè)而嚴密的敘述要求使不少初學幾何的學生無法逾越語言表述的障礙。本來會表達的意思都被幾何語言搞糊涂了。有些學生口頭敘述挺好，但一碰到要書寫時，不知道如何下手，或者書寫層次混亂;沒有因果關系的，不管有用沒用，把已知條件一律都羅列上；或者跳步，三言兩語就寫完了，讓人看了摸不著頭腦。

（4）不會畫圖、看圖、用圖。給了幾何語句，畫不出正確的幾何圖形，就無法做題；給了條件，在圖形上看不出條件有什么用處，同時對課本上的圖形沒有充分研究利用，反成障礙。

（5）害怕幾何證明題。對證明無從下手，不知道要做什么事，不知道做到哪一步就算證出來了。同時對現(xiàn)行教材幾何體系產(chǎn)生困惑，七年級，八年級在學習過程中都已經(jīng)說明的正確結論在有些幾何證明題中不能用，什么結論能用，什么不能用，學生困惑，老走彎路。

（6）不善于與周圍實際生活聯(lián)系起來去豐富想象，“數(shù)學問題解決”的意識淡薄，停留在模仿做現(xiàn)成題的水平，遇到需要作輔助線的題目束手無策。思路狹窄。綜合應用能力較弱。

二、原因分析

（一）現(xiàn)行教材體系的原因

現(xiàn)行中學數(shù)學教材中的幾何素材以其嚴謹、抽象、枯燥的呈現(xiàn)方式相對單一。幾何內(nèi)容的過分抽象，過分強調(diào)演繹推理，幾何教材的過分“數(shù)學化”，使學生缺少將所學知識與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系的機會，教材幾何體系缺乏自身的嚴謹性，使學生也處于矛盾中，使學生的空間觀念、空間想象能力的形成和培養(yǎng)受到相當大的限制。特別是教材中造成更多的人害怕幾何，厭惡幾何，甚至遠離幾何，對幾何乃至整個數(shù)學喪失信心和繼續(xù)學習的興趣。

（二）教師方面的原因

教師是教學的關鍵。學生怕幾何，學不好幾何，教師要做很大的努力做好下面幾點：

第一：教師要培養(yǎng)學生的興趣，克服語言障礙，克服幾何學習的心理障礙。首先，在教學中，認真鉆研課程標準和教材，嚴格按照課程標準提取知識點，突出重點和難點，讓學生清楚教學內(nèi)容和知識結構體系以及各自在結構體系中的地位和作用;其次，加強與實踐的聯(lián)系，重視過程與方法的指導，挖掘數(shù)學美，激發(fā)學生的幾何學習興趣。

第二：做好引導學生幾何人門，重視數(shù)學語言的教學。數(shù)學語言是學好幾何的“敲門石。部分學生對數(shù)學產(chǎn)生畏懼心理，感到數(shù)學難學就是數(shù)學語言沒有掌握好。在幾何中，數(shù)學語言分為：文字語言，符號語言，圖形語言。三種語言可以互譯，互相補充，使之“盡善盡美”。學好幾何，必須培養(yǎng)學生會讀題，理解

題意，在課堂上要多訓練學生的口頭表達能力，同時注重書面語言的訓練，作業(yè)必須嚴格要求，重視文字語言的敘述，要求用詞準確，敘述有條理，邏輯性強。符號語言以簡練，明確的特點對思維活動進行本質(zhì)性的描述，因此，在教學中應該要求學生掌握一些規(guī)定符號，如⊙，⊿，⊥，∥?它們是如何書寫的，各表示什么意義。其次要配合這些符號做適當?shù)木毩暎嘧儞Q形式，不斷強化，第三加強三種語言的互譯訓練。但要注意的是要循序漸進，不能操之過急，如果學生遇到困難，教師應多幫助其找原因，多鼓勵他們，使其樹立信心，克服心理障礙，使學生的知識不斷鞏固提高。在圖形語言方面應鼓勵學生多觀察現(xiàn)實生活中的圖形多接觸各種圖形。其次，讓學生多畫一些滿足條件的圖形。第三，練習用簡潔的符號表示一些相關的內(nèi)容（如：平行，兩條線段相等，兩角相等?），培養(yǎng)學生的圖形感?？傊?，要突出圖形特征，培養(yǎng)學生識圖能力：突出圖形變化、揭示概念、定理的本質(zhì)屬性；借“標準圖形”記憶定理、定義；用“基本圖形”解剖復雜圖形。最后，強化板書的規(guī)范訓練。

第三，要善于聯(lián)系實際，充分利用周圍豐富的幾何素材，不要從書本到書本，枯燥無味。使得學生對于幾何始終親不起來，愛不起來。

第四，教師要學習新的教學理念，提高自身素質(zhì)，注重學生發(fā)散思維的培養(yǎng)。鼓勵學生進行一題多解或改變條件，讓學生思考會得到什么不同的結論，在數(shù)學語言的轉化過程中發(fā)展思維能力。沒有創(chuàng)新意識，方法陳舊，教得太死，扼制了學生的思維發(fā)展。

第二篇：初中幾何證明與計算專題復習

中考幾何證明與計算專題復習

1.全等三角形

例題1：如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點

P在矩形上方，點Q在矩形內(nèi)．求證：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．P

D

C B

例題2：如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求證：AF?BF?EF．

A

E

B G

變式訓練1：如圖，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分別以AB，AC為邊作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°．

（1）求?DBC的度數(shù)；

（2）求證：BD?CE．

D C

變式訓練2：如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明.（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.變式訓練3：如圖：已知在△ABC中，AB?AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).（1）求證：△BED≌△CFD；（2）若?A?90°，求證：四邊形DFAE是正方形.D

F

C

2.相似三角形

例題1：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB?6，AE?9，DE?2，求EF的長．

例題2：如圖,點D在△ABC的邊AB上，連結CD，∠1=∠B，AD=4,AC=5,求 BD 的長?

B

變式訓練1：已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）

(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：

1變式訓練2：如圖，小東用長為3.2m的竹竿做測量工具測量學校旗桿的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8m、與旗桿相距22m，則旗桿的高為（）A．12mB．10mC．8mD．7m

3.四邊形

例題1：下列命題中，真命題是（）A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形 C．兩條對角線相等的四邊形是矩形D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

例題2：已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E． 求證：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

例題3：如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE交于點P．

（1）求證：AF=BE；

（2）請你猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結論．

P

B

D

C 變式訓練1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60o.(1)求證：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面積.變式訓練2：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分別為AB、AD的中點，連結EF、EC、BF、CF。⑴判斷四邊形AECD的形狀（不證明）；

⑵在不添加其它條件下，寫出圖中一對全等的三角形，用符號“≌”表示，并證明。

⑶若CD＝2，求四邊形BCFE的面積。圓

例題1：如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O 上，過點C的切線交AD的延長線于點E，且AE⊥CE，連接CD．（1）求證：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

例題2：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，點C在⊙O上，BC∥OD，AB?2，OD?3,則BC的長為（）A．

B．

C

．

D

．

變式訓練1：如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使

DC?BD，連結AC，過點D作DE?AC，垂足為E．（1）求證：AB?AC；（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若⊙O的半徑為5，?BAC?60?，求DE的長．

變式訓練2：在Rt△ABC中，?ACB?90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F．（1）求證：BD?BF；

（2）若BC?6，AD?4，求⊙O的面積．

第三篇：初中幾何證明口訣

初中幾何證明口訣

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩

第四篇：初中幾何證明技巧

初中幾何證明技巧（分類）

證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。

10.等于同一角的兩個角相等。

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙摇?/p>

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

*5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點共圓

*1.對角互補的四邊形的頂點共圓。

*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。

*5.到頂點距離相等的各點共圓

第五篇：初中幾何證明

初中數(shù)學幾何解題思路

從求證出發(fā)

你就要想，這道題要求證這個，就要有.....這些條件，再看已知，有了這些條件了，噢，還差這個條件。然后就找條件來證明這個還差的條件，然后全部都搭配齊全了，就證出了題目了

記住，做題要倒推走

把已知的條件從筆在圖上表示出來，方便分析

而且你要牢牢記住一些定理，還有一些特殊角，特殊形狀等等他們的關系 當一些題實在證不出來時，你要注意了，可能要添輔助線，比如剛才我說的 還差什么條件，你就可以畫一個線段，平行線什么的來補充條件，你下子你就一目了然了，不過有些很難的看出的輔助線就要靠你的做題的作戰(zhàn)經(jīng)驗了，你還要認真做題。

把這些牢牢記住，在記住老師教你們的公里定理些，你就已經(jīng)成功大半了 作輔助線的方法和技巧

題中有角平分線，可向兩邊作垂線。

線段垂直平分線，可向兩端把線連。

三角形中兩中點，連結則成中位線。

三角形中有中線，延長中線同樣長。

成比例，正相似，經(jīng)常要作平行線。

圓外若有一切線，切點圓心把線連。

如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點作切線。

兩圓相交于兩點，一般作它公共弦。

是直徑，成半圓，想做直角把線連。

作等角，添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。

解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。

分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線

實戰(zhàn)演練

1.（10分）如圖，矩形ABCD中，CE⊥BD于點E，延長EC，與∠BAD的平分線AF相交于

點F，求證：CF=BD.2.（6分）已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別交于點E、F、O.求證：四邊形AFCE是菱形.3．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB邊上,取AE的中點F,CD的中點G,連結GF.（1）FG與DC的位置關系是,FG與DC的數(shù)量關系是；

（2）若將△BDE繞B點逆時針旋轉180°，其它條件不變,請完成下圖，并判斷（1）中的結論是否仍然成立? 請證明你的結論.F

D EG

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