第一篇：初中幾何證明(北師大版)

初中幾何證明（北師大版）

證明【一】（八年級(jí)下）

主要有三個(gè)內(nèi)容：分別是證明的基礎(chǔ)知識(shí)，平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和和外角和。

這部分內(nèi)容教育價(jià)值比較突出，如空間觀念，具體有直覺(jué)、想象、運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)化、證明；如數(shù)學(xué)思想方法，具體有公理化、化歸、分類、在關(guān)系中研究問(wèn)題的方法、（兩直線被第三條直線所截）運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)；教人嚴(yán)謹(jǐn)，初步體會(huì)證明的必要性，初步掌握綜合法證明的步驟和格式，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式化。本章之前的一些幾何結(jié)論，主要是通過(guò)直觀的方式確認(rèn)的，而本章強(qiáng)調(diào)從數(shù)學(xué)的內(nèi)部，從6條基本事實(shí)出發(fā)，得到與直觀途徑相同的結(jié)論。

雖然本章強(qiáng)調(diào)形式化，但這里的幾何并不等同于演繹推理，（傳統(tǒng)幾何就是演繹推理）合情推理還是需要的，本章只是強(qiáng)調(diào)體會(huì)證明的必要性，體會(huì)公理化的必要性，并不是掌握公理化。

本章在內(nèi)容一方面盡量從學(xué)生身邊易于理解的事實(shí)出發(fā)引入相關(guān)的概念和結(jié)論，另一方面對(duì)證明的意義和格式等作了系統(tǒng)的介紹。

對(duì)觀察與歸納所得的結(jié)論產(chǎn)生懷疑，進(jìn)而思考斷定數(shù)學(xué)結(jié)論正確的方法，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察或?qū)嶒?yàn)是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理，即培養(yǎng)學(xué)生證明的意識(shí)。

學(xué)習(xí)中，學(xué)生初次接觸嚴(yán)格的證明和相關(guān)的符號(hào)化表示，在這方面會(huì)遇到相當(dāng)?shù)睦щy。本章所涉及的許多結(jié)論都是學(xué)生所熟悉的，因此在區(qū)分哪些可以作為證明的依據(jù)，哪些不可以作為證明的依據(jù)時(shí)會(huì)遇到困難，這是本章的教學(xué)難點(diǎn)之一，學(xué)習(xí)推理時(shí)應(yīng)做到步步有據(jù)，并說(shuō)明其依據(jù)的合理性。

《證明【二】》、《證明【三】》（九年級(jí)上）

這兩章的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生在原有基礎(chǔ)上加強(qiáng)邏輯推理的訓(xùn)練，了解相關(guān)幾何結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)一步感受公理化思想和演繹推理的意義與價(jià)值，增強(qiáng)科學(xué)理性精神，提高準(zhǔn)確表達(dá)論證過(guò)程的技能。

證明

（二）》、《證明

（三）》在熟悉大量幾何事實(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)幾何證明的基本要求和范式，以提高其準(zhǔn)確表達(dá)論證過(guò)程的技能；同時(shí)，還讓他們感受探究幾何事實(shí)的過(guò)程對(duì)證明思路的啟發(fā)與影響，使活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)真正成為發(fā)現(xiàn)證明思路的支持系統(tǒng)。教材設(shè)置了一些學(xué)生未曾思考過(guò)的新命題，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索、證明的全過(guò)程。教材提供大量機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題進(jìn)行拓展、引申，進(jìn)一步思考和證明更具一般性的命題和規(guī)律，感受到“抽象與推廣”是數(shù)學(xué)的重要特征和思維方式。

學(xué)習(xí)幾何證明，一是形成證明思路；二是書面表達(dá)。前者應(yīng)充分利用背景經(jīng)驗(yàn)，體察其中幾何證明的基本策略，必要時(shí)進(jìn)行思想策略的交流和評(píng)議。“證明”是基于對(duì)問(wèn)題自身和圖形的分析，發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，有助于形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。不是對(duì)“解題術(shù)”中所羅列的各類方法的檢索和匹配。對(duì)于后者，證明的表述要嚴(yán)謹(jǐn)、縝密、簡(jiǎn)潔、規(guī)范，要經(jīng)得起推敲和質(zhì)問(wèn)，對(duì)此，需要做相應(yīng)的訓(xùn)練。

《證明

（二）》與《證明

（三）》的差別不僅僅是對(duì)象的變化，由研究三角形到平行四邊形。四邊形中很多問(wèn)題可以通過(guò)作輔助線或三角剖分（類似于拼、擺的活動(dòng)），通過(guò)發(fā)現(xiàn)全等三角形獲得解決的。要訓(xùn)練識(shí)別復(fù)雜圖形中基本圖形（或要素）之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系（如三角型中位線定理的證明）?！蹲C明

（三）》開始時(shí)不妨討論問(wèn)題：以前的探索已經(jīng)知道了很多有關(guān)平行四邊形的命題，其中哪些可以直接進(jìn)行證明，哪些命題還需要先“補(bǔ)證”相關(guān)的定理，做出一個(gè)清理。有兩種選擇：其一是由教師按證明的邏輯順序排列出來(lái)交給學(xué)生；另一種是讓學(xué)生分析思考充分討論，整理出證明的邏輯順序，形成對(duì)知識(shí)體系的一種認(rèn)識(shí)，這是一個(gè)知識(shí)重組的過(guò)程。不妨作為“試一試”由學(xué)生自己去

完成，利于對(duì)公理化方法的解釋。

第二篇：初中幾何證明練習(xí)題

初中幾何證明練習(xí)題

1.如圖，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分別是BC、FG的中點(diǎn)，求證：DE⊥FG

2.如圖，AE∥BC,D是BC的中點(diǎn)，ED交AC于Q，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于P，求證：PD·QE=PE·QD

求證：?PAC～?PDB

3.如圖，已知點(diǎn)P是圓O的直徑AB上任一點(diǎn)，?APC??BPD，其中C，D為圓上的點(diǎn)，O B

P

4.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接EG 求證：S△ABC?S△AEG

5.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

6.設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q． 求證：AP＝AQ．

7、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：

設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．

8.設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

9.如圖，⊙O中弦AC，BD交于F，過(guò)F點(diǎn)作EF∥AB，交DC延 切線EG，G為切點(diǎn)，求證：EF=EG

10.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接BE，CG 求證：

（1）BE=CG（2）BE⊥CG

11.如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．

A

2CB2

A

1DD

C

12.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接CE，BG、GE

M、N、P、Q分別是EG、GB、BC、CE的中點(diǎn) 求證：四邊形MNPQ是正方形

第三篇：初中幾何證明口訣

初中幾何證明口訣

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩

第四篇：初中幾何證明技巧

初中幾何證明技巧（分類）

證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對(duì)等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

*9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。

*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

證明兩個(gè)角相等

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對(duì)等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。

*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

10.等于同一角的兩個(gè)角相等。

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。

4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。

*5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點(diǎn)共圓

*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。

*2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。

*5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓

第五篇：初中幾何證明

初中數(shù)學(xué)幾何解題思路

從求證出發(fā)

你就要想，這道題要求證這個(gè)，就要有.....這些條件，再看已知，有了這些條件了，噢，還差這個(gè)條件。然后就找條件來(lái)證明這個(gè)還差的條件，然后全部都搭配齊全了，就證出了題目了

記住，做題要倒推走

把已知的條件從筆在圖上表示出來(lái)，方便分析

而且你要牢牢記住一些定理，還有一些特殊角，特殊形狀等等他們的關(guān)系 當(dāng)一些題實(shí)在證不出來(lái)時(shí)，你要注意了，可能要添輔助線，比如剛才我說(shuō)的 還差什么條件，你就可以畫一個(gè)線段，平行線什么的來(lái)補(bǔ)充條件，你下子你就一目了然了，不過(guò)有些很難的看出的輔助線就要靠你的做題的作戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)了，你還要認(rèn)真做題。

把這些牢牢記住，在記住老師教你們的公里定理些，你就已經(jīng)成功大半了 作輔助線的方法和技巧

題中有角平分線，可向兩邊作垂線。

線段垂直平分線，可向兩端把線連。

三角形中兩中點(diǎn)，連結(jié)則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線同樣長(zhǎng)。

成比例，正相似，經(jīng)常要作平行線。

圓外若有一切線，切點(diǎn)圓心把線連。

如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線。

兩圓相交于兩點(diǎn)，一般作它公共弦。

是直徑，成半圓，想做直角把線連。

作等角，添個(gè)圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。

圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。

要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。

解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。

分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線

實(shí)戰(zhàn)演練

1.（10分）如圖，矩形ABCD中，CE⊥BD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EC，與∠BAD的平分線AF相交于

點(diǎn)F，求證：CF=BD.2.（6分）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別交于點(diǎn)E、F、O.求證：四邊形AFCE是菱形.3．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB邊上,取AE的中點(diǎn)F,CD的中點(diǎn)G,連結(jié)GF.（1）FG與DC的位置關(guān)系是,FG與DC的數(shù)量關(guān)系是；

（2）若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變,請(qǐng)完成下圖，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立? 請(qǐng)證明你的結(jié)論.F

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以上知識(shí)來(lái)源于網(wǎng)絡(luò) B A C A C