第一篇：偏導數(shù)求二元函數(shù)最值

偏導數(shù)求二元函數(shù)最值

用偏導數(shù)可以求多元函數(shù)的極值及最值，不過要比一元函數(shù)復(fù)雜很多。

這個在高等數(shù)學教材里都有，極值求法與一元函數(shù)類似。不過極值點的判斷要比一元函數(shù)復(fù)雜很多。

求閉區(qū)域上的最值要更麻煩一些。為什么呢？你可以回憶一下閉區(qū)間上一元函數(shù)的最值，我們做法是先求極值，再與端點的函數(shù)值比大小。但多元函數(shù)就麻煩了，因為一元函數(shù)的區(qū)間端點只有兩個值，可以全求出來比就行了。但多元函數(shù)閉區(qū)域的邊界是無窮多個值，不可能全求出來了，因此邊界上我們還需要再求最大最小值，這個叫做條件最值。

如果能代入的話，就是代入求（將條件最值轉(zhuǎn)化為無條件最值）。如果有些函數(shù)很復(fù)雜不能代入，有另一個方法，叫做拉格朗日乘數(shù)法，就是解決條件最值的問題的。

第二篇：一類二元函數(shù)最值的求法

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一類二元函數(shù)最值的求法

作者：高海燕

來源：《數(shù)理化學習·高三版》2013年第05期

點評：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第三篇：求偏導數(shù)的方法小結(jié)

求偏導數(shù)的方法小結(jié)

（應(yīng)化2，聞庚辰，學號：130911225）

一，一般函數(shù)：

計算多元函數(shù)的偏導數(shù)時，由于變元多，往往計算量較大． 在求某一點的偏導數(shù)時，一般的計算方法是，先求出偏 導函數(shù)，再代人這一點的值而得到這一點的偏導數(shù)． 我們發(fā) 現(xiàn)，把部分變元的值先代人函數(shù)中，減少變元的數(shù)量，再計 算偏導數(shù)，可以減少運算量。

求函數(shù)f(x,y)在點（a,b）處的偏導數(shù)f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏導數(shù)的函數(shù)式，然后將（a,b）代入計算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函數(shù)f(x,y)是分段函數(shù)則一般采用定義來做.復(fù)合具體函數(shù)的導數(shù)求解:

?z?zx=?u 基本法則：??u?z?x+?v?u?y?v?x

?v?y ?z?y?zu=??zv+?

其本質(zhì)與一元函數(shù)的求導法則是一樣的，只不過是將暫時不求的變量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：設(shè)u=x+y,v=xy,則z=uv函數(shù)的復(fù)合關(guān)系為：z是u,v的函數(shù)，u,v分別是x,y的函數(shù).?z?zx=?u 則：??u?z?x+?v?v?x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(x?y)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(x?y)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表達式中的 x,y依次輪換，即x換y成，同時將換y成x，表達式不變，這叫做函數(shù)f(x,y)對自變量x,y交換具有輪換對稱性。具有輪換對稱性的函數(shù)，只要在f’x的表達式中將x,y調(diào)換即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(x?y)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函數(shù)的求導的實質(zhì)是一樣的。我們可以不引入中間變量，對某一自變量求導時，只要把其他自變量看成常數(shù)即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式兩邊求導得： z?zx?x=y[ln(x+y)+(x?y)] ?zxx=z y[ln(x+y)+(x?y)] 從而：?所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函數(shù)的對稱輪換性得：f’y（1，0）=0 例三：我們也可以利用全微分的不變性來解題。

?z?zyx+? 設(shè)z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求?在（1，1）處的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同類項得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy將點（1，1）代入得：

?z?zyx+? ?=2e(sin2+cos2).二，隱函數(shù)的求偏導。求隱函數(shù)的偏導時，我們一般有兩種方法選擇：

1)公式法

2)對函數(shù)兩邊直接求導。（但必須明確誰是誰的函數(shù)）。然后按復(fù)合函數(shù)求導法則來求。

例一：方程組{x?y?z?ox2?y2?z2?a2（注：x2為x的平方）

法一：題中有3個自變量，明確了x=x(z),y=x(z),既z是自變量。我們可以利用公式求但比較繁。我們可以采用下面的方法： 法二：對方程組兩邊對求z導得：

{ dx?dy?1?0dzdzdyzxdx?2y?2z?0dzdz

求得此解得： dxdzy?zdyz?x=x?y，dz=x?y

第四篇：怎樣求函數(shù)最值幾種方法

怎樣求函數(shù)最值

一.求函數(shù)最值常用的方法

最值問題是生產(chǎn),科學研究和日常生活中常遇到的一類特殊的數(shù)學問題,是高中數(shù)學的一個重點, 它涉及到高中數(shù)學知識的各個方面, 解決這類問題往往需要綜合運用各種技能, 靈活選擇合理的解題途徑, 而教材中沒有作出系統(tǒng)的敘述.因此, 在數(shù)學總復(fù)習中,通過對例題,習題的分析, 歸納出求最值問題所必須掌握的基本知識和基本處理方程.常見的求最值方法有:

1.配方法: 形如的函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的極值點或邊界點的取值確定函數(shù)的最值.2.判別式法: 形如的分式函數(shù), 將其化成系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此種方法易產(chǎn)生增根, 因而要對取得最值時對應(yīng)的x值是否有解檢驗.3.利用函數(shù)的單調(diào)性 首先明確函數(shù)的定義域和單調(diào)性, 再求最值.4.利用均值不等式, 形如的函數(shù), 及≥≤, 注意正,定,等的應(yīng)用條件, 即: a, b均為正數(shù), 是定值, a=b的等號是否成立.5.換元法: 形如的函數(shù), 令,反解出x, 代入上式, 得出關(guān)于t的函數(shù), 注意t的定義域范圍, 再求關(guān)于t的函數(shù)的最值.還有三角換元法, 參數(shù)換元法.6.數(shù)形結(jié)合法 形如將式子左邊看成一個函數(shù), 右邊看成一個函數(shù), 在同一坐標系作出它們的圖象, 觀察其位置關(guān)系, 利用解析幾何知識求最值.求利用直線的斜率公式求形如的最值.7.利用導數(shù)求函數(shù)最值.用判別式法求函數(shù)的值域是求值域的一種重要方法之一，它主要適用于分式型二次函數(shù)，或可通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的一些函數(shù)求值域問題 對于分式函數(shù)y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于對任意一個實數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實數(shù)解，把“求f(x)的值域”這問題可轉(zhuǎn)化為“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實數(shù)解，求y的取值范圍”把x當成未知量，y當成常量，化成一元二次方程，讓這個方程有根．先看二次項系數(shù)是否為零，再看不為零時只需看判別式大于等于零了．

此時直接用判別式法是否有可能出問題，關(guān)鍵在于對這個方程取分母這一步是不是同解變形。

這個問題進一步的等價轉(zhuǎn)換是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一個實數(shù)解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范圍”

這種方法不好有很多局限情況，如：定義域是一個區(qū)間的．定義域是R的或定義域是R且不等于某個數(shù)的還可以用．過程用上面的就可以了.

第五篇：二次函數(shù)最值問題

《二次函數(shù)最值問題》的教學反思

大河鎮(zhèn) 件，設(shè)所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉(zhuǎn)化怎樣求這個函數(shù)的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內(nèi)容，只能按照自己首先設(shè)計好的意圖引領(lǐng)學生去完成就行了。實際上，這節(jié)課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學生是學習的主人這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現(xiàn)實問題，讓學生“從問題的背景出發(fā)，建立數(shù)學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（?。健鉀Q問題”，讓學生在實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學，掌握數(shù)學。

反思三：教學應(yīng)當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統(tǒng)的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。