第一篇：導(dǎo)數(shù)學(xué)生（最終版）

導(dǎo)數(shù)定義

?x2

例1．y?f(x)???ax?bx?1在x?1處可導(dǎo)，則a?b?x?1

例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：

f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h)（1）lim；（2）lim ?h?0?h?02hh

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例6．求證下列不等式

x2x2

（1）x? x?(0,??)（相減）?ln(1?x)?x?22(1?x)

（2）sinx?2x

? x?(0,?

2)（相除）

（3）x?sinx?tanx?x x?(0,利用導(dǎo)數(shù)求和

例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：

（1）

（2）

單調(diào)區(qū)間討論 ?2)。

（2009浙江文）已知函數(shù)f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b(a,b?R)．

（I）若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是?3，求a,b的值；（II）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,1)上不．單調(diào)，求a的取值范圍． ．．

求取值范圍

（2009江西卷文）設(shè)函數(shù)f(x)?x?392x?6x?a．（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值；（2）2

若方程f(x)?0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

小題

14.【2014年全國(guó)大綱卷（07）】曲線y?xe

A．2eB．eC．2D．1 x?1在點(diǎn)（1,1）處切線的斜率等于（）

22.【2014年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ（理08）】設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=

A.0B.1C.2D.3

243.【2014年江蘇卷（理11）】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y?ax?b(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,?5)，且該曲線在x

點(diǎn)P處的切線與直線7x?2y?3?0平行，則a?b的值是．

47.【2014年江西卷（理13）】若曲線y?e上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x?y?1?0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.?x

第二篇：導(dǎo)數(shù)各類題型方法總結(jié)(學(xué)生版)

導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)

首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：

1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法

5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系（2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。最后，看例題時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)

一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；

1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：

第一步：令f'(x)?0得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知； 其中不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：

第一種：分離變量求最值-----用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-----（已知誰的范圍就把誰作為主元）；（2010省統(tǒng)測(cè)2）

例1：設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為f?(x)，f?(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g(x)，若在區(qū)間D上，g(x)?0恒成立，則稱函數(shù)y?f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，x4mx33x

2f(x)??? 1262

（1）若y?f(x)在區(qū)間?0,3?上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；

（2）若對(duì)滿足m?2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上都為“凸函數(shù)”，求b?a的最大值.2010第三次周考：

例2：設(shè)函數(shù)f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R)

3（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范圍.（二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）

第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值

題型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型

例3；已知函數(shù)f(x)?x3?ax2圖象上一點(diǎn)P(1,b)處的切線斜率為?3，t?62x?(t?1)x?3(t?0)

2（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）當(dāng)x?[?1,4]時(shí)，求f(x)的值域；

（Ⅲ）當(dāng)x?[1,4]時(shí)，不等式f(x)?g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。g(x)?x3?

二、題型一：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

解法1：轉(zhuǎn)化為f'(x)?0或f'(x)?0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型

解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；

做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函數(shù)f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 12

2（Ⅰ）如果函數(shù)g(x)?f?(x)是偶函數(shù)，求f(x)的極大值和極小值；

（Ⅱ）如果函數(shù)f(x)是(??,例

5、已知函數(shù)f(x)???)上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0).32（I）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想

三、題型二：根的個(gè)數(shù)問題

題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)======即方程根的個(gè)數(shù)問題 解題步驟

第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；

第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；

第三步：解不等式（組）即可；

例

6、已知函數(shù)f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在區(qū)間(2,??)上為增函數(shù)． 32

3（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

例

7、已知函數(shù)f(x)?ax?312x?2x?c

2（1）若x??1是f(x)的極值點(diǎn)且f(x)的圖像過原點(diǎn)，求f(x)的極值；

12bx?x?d，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的2

圖像恒有含x??1的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；否則說明理由。

（2）若g(x)?

題2：切線的條數(shù)問題====以切點(diǎn)x0為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)

例

7、已知函數(shù)f(x)?ax3?bx2?cx在點(diǎn)x0處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)f'(x)?0的x的取值范圍為(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若過點(diǎn)P(?1,m)可作曲線y?f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

題3：已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù) 解法：根分布或判別式法

例

8、其它例題：

（a?0）

1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在R上的函數(shù)f(x)?ax3?2ax2?b在區(qū)間??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；

2、（根分布與線性規(guī)劃例子）

（1）已知函數(shù)f(x)?x3?ax2?bx?c

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x?1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)(0,1)處的切線與直線3x?y?0平行, 求23f(x)的解析式；

(Ⅱ)當(dāng)f(x)在x?(0,1)取得極大值且在x?(1,2)取得極小值時(shí), 設(shè)點(diǎn)M(b?2,a?1)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.3、（根的個(gè)數(shù)問題）已知函數(shù)f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d(a?0)的圖象如圖所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為3x?y?11?0，求函數(shù)f(x)的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

4、（根的個(gè)數(shù)問題）已知函數(shù)f(x)?13x?ax2?x?1(a?R)

3（1）若函數(shù)f(x)在x?x1,x?x2處取得極值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a?

1125，討論曲線f(x)與g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 226

x325、（簡(jiǎn)單切線問題）已知函數(shù)f(x)?2圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)5a

3bxg(x)?f(x)?2?3． a

（Ⅰ）若函數(shù)g(x)在x?1處有極值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)g(x)在區(qū)間[?1,1]上為增函數(shù)，且b2?mb?4?g(x)在區(qū)間[?1,1]上都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

第三篇：2014高考導(dǎo)數(shù)

2014高考導(dǎo)數(shù)匯編

bex?1

（全國(guó)新課標(biāo)I卷，21）設(shè)函數(shù)f(x)?aelnx?，曲線y?f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的xx

切線方程為y?e(x?1)?2

（I）求a,b；

（II）證明：f(x)?1

（全國(guó)新課標(biāo)II卷，21）已知函數(shù)f(x)?ex?e?x?2x

（I）討論f(x)的單調(diào)性；

（II）設(shè)g(x)?f(2x)?4bf(x)，當(dāng)x?0時(shí)，g(x)?0，求b的最大值；（III）已知1.4142?2?1.4143，估計(jì)㏑2的近似值（精確到0.001）（福建卷，20）已知函數(shù)f(x)?ex?ax（a為常數(shù)）的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線y?f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1

（I）求a的值及函數(shù)f(x)的極值；

（II）證明：當(dāng)x?0時(shí)，x?e；

（III）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x?(x0,??)時(shí)，恒有x?ce

23（安徽卷，18）設(shè)函數(shù)f(x)?1?(1?a)x?x?x，其中a?0 2x2x

（I）討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

（II）當(dāng)x??0,1?時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值

（廣東卷，21）設(shè)函數(shù)f(x)?1

(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3222,其中k??2

（I）求函數(shù)f(x)的定義域D（用區(qū)間表示）；

（II）討論函數(shù)f(x)在D上的單調(diào)性；

（III）若k??6，求D上滿足條件f(x)?f(1)的集合（用區(qū)間表示）

第四篇：導(dǎo)數(shù)證明題

題目：已知x＞1，證明x＞ln（1+x）。

題型：

分值：

難度：

考點(diǎn)：

解題思路：令f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)f(x)在1)=1-ln2>0，從(1,+)上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f(x)>f（而證得不等式．

解析：解：設(shè)f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，f￠(x)=1-1x，=1+x1+x

又x>(x)>0，f(x)=x-ln(1+x)在(1,+)上單調(diào)遞增，1，f￠

f(x)>f(1)=1-ln2>0，即x-ln(1+x)>0，x>ln(1+x).答案：略.點(diǎn)撥：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)類型的函數(shù)的求導(dǎo)法則以及構(gòu)造函數(shù)法.本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)

證明題常用的一種方法.f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，構(gòu)造函數(shù)法是

第五篇：導(dǎo)數(shù)總結(jié)歸納

志不立，天下無可成之事！

類型二：求單調(diào)區(qū)間、極值、最值

例

三、設(shè)x?3是函數(shù)f(x)?(x?ax?b)e

（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b）

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間

（3）設(shè)a?0，求f(x)在區(qū)間?0,4?上的值域

23?x的一個(gè)極值點(diǎn)

類型三：導(dǎo)數(shù)與方程、不等式

例

四、設(shè)函數(shù)f(x)?(1?x)?2ln(1?x)

（1）若在定義域內(nèi)存在x0，使得不等式f(x0)?m?0成立，求實(shí)數(shù)m的最小值

（2）若函數(shù)g(x)?f(x)?x?x?a在區(qū)間?0,2?上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a22的取值范圍