第一篇：淺談導(dǎo)數(shù)的幾點應(yīng)用

淺談導(dǎo)數(shù)的幾點應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，很多數(shù)學(xué)問題如果利用導(dǎo)數(shù)探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點，而且能夠把復(fù)雜的分析推理轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算，達(dá)到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數(shù)的單調(diào)性、最值問題；數(shù)列，不等式等相關(guān)問題方面，導(dǎo)數(shù)都能發(fā)揮重要的作用。

一、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程

例1.已知函數(shù)f（x）=x3-3x過點A（0，16）作切線，求此切線的方程。

解：∵點A（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上

∴可設(shè)切點為B（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲線f（x）=x3-3x在點B（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切點B（-2，-2）

所求切線方程為9x-y+16=0。

二、討論方程的根的情況

例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個數(shù)。

解：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=3x2-2ax。

當(dāng)a>3，x∈［0，2］時f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一個根。

三、求參數(shù)的范圍

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍。

解:由題意有f'（x）=3x2-6則x∈（-∞，-）∪（）時，f（x）單調(diào)遞增；x∈（-，+）時，f（x）單調(diào)遞減。所以f（x）的極大值為f（-）=5+4，極小值為f=5-4。故f（x）恰有3個相異實根時，a∈（5-4，5+4）。

四、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問題

例4.函數(shù)f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，試求實數(shù)m的取值范圍。

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）當(dāng)m-1≤1即m≤2時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，不合題意。

（2）當(dāng)m-1>1即m>2時，函數(shù)f'（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，m-1）內(nèi)為減函數(shù)，在（m-1，+∞）上為增函數(shù)。根據(jù)題意有：當(dāng)x∈（1，4）時f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。

五、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值

例5.已知函數(shù)（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），時f'（x）>0

當(dāng)x∈（-1，1）時，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-1,1）為減函數(shù)。所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

例6.若函數(shù)y=f（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則y=f（x）在［a，b］圖象可能是：（C）

解析：依題意f'（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則f（x）的圖象上，各點的切線的斜率先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，觀察四哥選項中的圖象，只有C滿足要求，故選C。

七、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例7.對于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

設(shè)f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f'（x）=

證明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0處連續(xù)，f（x）在［0，+∞］上單調(diào)遞增，∴x>0時，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的前n項和

例8.求數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項和。

解：設(shè)數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項和為Sn，則

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即為數(shù)列nxn-1（x≠0，1）的前n項和。

九、利用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用問題

例9.某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：（1）（fx）=p?qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1）。

（1）為準(zhǔn)確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式。

（注：函數(shù)的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此類推）

（作者單位 四川省達(dá)縣石橋中學(xué)）

第二篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用復(fù)習(xí)

班級第小組，姓名學(xué)號

高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)題

8、偶函數(shù)f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(4,2)的切線方程。

4、設(shè)曲線y?

x?1

x?1

在點(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數(shù)y?x3

?3x的單調(diào)減區(qū)間是

6、已知函數(shù)f(x)?x3

?12x?8在區(qū)間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當(dāng)x?[?1,2]時，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是。

高二數(shù)學(xué)下導(dǎo)學(xué)案

函數(shù)y?f(x)的解析式。

9.已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數(shù)y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設(shè)函數(shù)f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數(shù)f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當(dāng)x?2函數(shù)f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

第三篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一例

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一例

石志群

13題：求一個正常數(shù)a，使得對于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等價于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，則由對于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知當(dāng)｜x|≤1時，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在區(qū)間的端點取得，就是在極值點處取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，從而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。????????????????（1）33

這個結(jié)果有何用呢？現(xiàn)在該考慮極值點了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，為極值333a3a3a

11‘點，考慮f(x)在兩側(cè)的符號可知f(為最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=?‘214a????????????????????（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

從這個題目的思維過程我們可以得到哪些啟示呢？

一是函數(shù)思想在處理不等式問題中的作用不可忽視，本題就是以函數(shù)觀點為突破口展開思維過程的。二是從簡單情形開始，不斷探索有效信息，并充分發(fā)揮所得到的信息的作用。本題中先從區(qū)間端點入手，對a的取值范圍作初步控制，而這個控制為后續(xù)思維的展開提供了依據(jù)：它確定了極值點的位置，為對a作進(jìn)一步的限制提供了可能。三是要學(xué)會運用等與不等的辯證關(guān)系從不等中構(gòu)造相等關(guān)系。本題給出的全是不等式，不等之中怎么能找到確定a的值的等式呢？聰明的你一定會想到，肯定是由區(qū)間端點與極值點這些可能取得最值的點之間的制約關(guān)系，構(gòu)造出需要的幾個不等式，并用這樣的不等式“夾”出a的值。

第四篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點來認(rèn)識不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當(dāng)h>0時有

1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們在初等數(shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻小?”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個駐點，沒有不可導(dǎo)點，又函數(shù)f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

第五篇：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(三)

課題：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（三）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．能利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的方程根的個數(shù)問題； 2．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題

五、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

二、重點、難點:

利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)的極值與最值有關(guān)的綜合問題

三、知識梳理：

1．函數(shù)的極值 2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟：

（1）（2）（3）（4）

3．如何利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題？

4．如何利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題？

5．恒成立問題如何轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題？

四、典型例題：

例1：設(shè)函數(shù)f(x)?x?6x?5,x?R

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值

（2）若關(guān)于的方程f(x)?a有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍（3）已知當(dāng)x?(1,??)時，f(x)?k(x?1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍

例2: 已知a,b為實數(shù)，b?a?e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).求證：ab

?ba

例3: 已知函數(shù)f(x)?alnxx?1?b

x，曲線y?f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x?2y?3?0．

（I）求a，b的值；（II）證明：當(dāng)x>0，且x?1時，f(x)?lnx

x?1

．

1．已知函數(shù)f(x)?x3?3x2?c，若當(dāng)x?[1,3]時，f(x)?1?4c2

恒成立.求實數(shù)c的取值范圍

2．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f?(x)，若f(x)?ax3

?ax2

???1f?(1)?1??

?2?

x,a?R

（1）求f?(1)；（2）若函數(shù)f(x)在R上不存在極值，求實數(shù)a的取值范圍.3．設(shè)函數(shù)f(x)?

xlnx

(x?0,x?1)11）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間（2）已知2x

?xa對任意x?(0,1)都成立，求實數(shù)a的取值范圍

【收獲總結(jié)】

（