第一篇：函數(shù)與極限(上)

第一章 函數(shù)與極限

第一節(jié) 映射與函數(shù)

A.集合的表達(dá)方式：很基礎(chǔ)，要求快速準(zhǔn)確地寫出。

注：*表數(shù)集內(nèi)排除0；+表示數(shù)集內(nèi)排除0和負(fù)數(shù)；真子集符號。

B.集合運(yùn)算：這些在概率里會有應(yīng)用，但部分含義是有區(qū)別的。（具體內(nèi)容見概率部分）注：差集的表示AB；集合運(yùn)算的四個定律，尤其是對偶律。

C.映射：這些內(nèi)容的理解直接影響著對函數(shù)概念的深入理解。

注：構(gòu)成映射的三個要素與判斷函數(shù)是否相同的兩個要素；逆映射和復(fù)合映射與反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的聯(lián)系。

D.函數(shù)：概念，參照上面C。

E.函數(shù)的幾種特性：這些應(yīng)該很Easy了，但不要馬虎。

注：有界?既有上界也有下界；單調(diào)性是對包含在定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的；奇偶性的前提是函數(shù)定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱；周期性的前提是函數(shù)定義域是無窮集。

F.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)：參照C。

注：復(fù)合函數(shù)經(jīng)?？疾榈闹R點(diǎn)，比如求解定義域，書寫表達(dá)式等，這些從它的定義出發(fā)去求解是個很好的方法，詳見后面例題。

G.基本初等函數(shù)和初等函數(shù)：要對5類基本初等函數(shù)的各方面性質(zhì)十分熟悉，能畫草圖。

例題

【課后習(xí)題】

P21第5題，考查函數(shù)二要素：定義域和對應(yīng)法則。（3）是同一函數(shù)，其他的定義域均不同。推薦做一下6題（畫草圖）、16題（復(fù)合函數(shù)）、17題（寫函數(shù)表達(dá)式一定不要遺忘定義域）。

【相關(guān)真題】

90年：設(shè)函數(shù)f(x)????1,x?

1??0,x?1,則f[f(x)]=________。

分析：復(fù)合函數(shù)f·g的定義要求中間函數(shù)g的值域要在“外”函數(shù)f的定義域內(nèi)，所以從g的值域入手，按定義求解，這里的g即f(x)。

解： “內(nèi)”函數(shù)f(x)當(dāng)|x|≤1時，其值為1，此時1屬于“外”函數(shù)定義區(qū)間 |x|≤1，所以復(fù)合后的值為“外”函數(shù)|x|≤1時的值，即等于1；

“內(nèi)”函數(shù)f(x)當(dāng)|x|>1時，其值為0，此時0屬于“外”函數(shù)定義區(qū)間 |x|≤1，所以復(fù)合后的值為“外”函數(shù)|x|≤1時的值，同樣等于1。

綜上，此題結(jié)果f[f(x)]=1。

注：這一節(jié)的題目大多會作為其他題目的一個解題環(huán)節(jié)，很基礎(chǔ)，但一定要掌握扎實(shí)。

第二節(jié) 數(shù)列的極限

A.概念：任意給定正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N,對于n>N的一切xn均滿足極限不等式。

注：1.極限等于無窮只是一種極限不存在的特殊情況的描述，并非極限存在2.對極限定義任意方式的描述，必須滿足以上三點(diǎn)紅色字體內(nèi)容。（即可以等價過來）

B.收斂(極限存在)數(shù)列的性質(zhì)：唯一性(多用于反證)、有界性、保號性、任一子數(shù)列同收斂 注：此處的數(shù)列極限有界性和保號性與函數(shù)極限相應(yīng)性質(zhì)的區(qū)別（見后）

第三節(jié) 函數(shù)的極限

A.概念：對于自變量趨于有限值的情況，描述中重點(diǎn)是鄰域，且可以是去心鄰域，也就是某點(diǎn)有無定義不影響此點(diǎn)是否有極限；自變量趨于無窮時，表達(dá)類似于數(shù)列極限。注：雙側(cè)極限，即左右極限，尤其在分段點(diǎn)處。

B.函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、有界性(局部)、保號性(局部)及其兩個推論、與數(shù)列極限的關(guān)系

注：1.函數(shù)的有界性和保號性都是局部性質(zhì)，都是指在極限存在的前提下，會存在自變量的某個去心鄰域滿足有界性和保號性，且此去心鄰域包含在滿足極限存在的去心鄰域中。2.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的三個前提條件：自變量趨于某個有限值時函數(shù)極限存在、數(shù)列為函數(shù)定義域內(nèi)收斂于那個有限值的數(shù)列、數(shù)列元素不包含那個有限值。

例題

【課后習(xí)題】

P37、38第1、2、3題，建議做一下，考查函數(shù)極限定義，很基本，別馬虎

P39第12題，函數(shù)極限局部有界性的定義擴(kuò)展。實(shí)質(zhì)是當(dāng)函數(shù)極限存在時，都可以找到兩個參數(shù)來描述有界：1.x趨于有限值的兩個參數(shù)：某個去心鄰域，某個界定函數(shù)值M，當(dāng)x在此鄰域內(nèi)函數(shù)滿足有界性。2.x趨于無窮時的兩個參數(shù)：某個大X，某個界定函數(shù)值M，當(dāng)|x|>X時函數(shù)滿足有界性。

【相關(guān)真題】

此部分相關(guān)知識點(diǎn)的考查，大多為其他題目的一個解題環(huán)節(jié)，比如局部有界性和局部保號性（后面章節(jié)會提及），還有雙側(cè)極限的考查頻率很高，但大多注意分段點(diǎn)及某些特殊點(diǎn)處求解左右極限即可，難度一般不大。92年：當(dāng)x趨于1時，求解函數(shù)

x?1x?

1e

x?1的極限。（原題是選擇題）

分析：顯然x=1是此函數(shù)的特殊點(diǎn)，需要分雙側(cè)極限討論。

lim?

x?1x?1x?1x?1

2解：

x?1

ex?1?lim?(x?1)ex?1???(此時

x?1

1x?11

???)

x?1

lim?ex?1?lim?(x?1)ex?1?0(此時

x?1

x?1

???)

所以極限不存在，也不是無窮。

第四節(jié) 無窮小與無窮大

A.概念：無窮小與去窮大即指函數(shù)在自變量的某個趨向下其極限值是0或無窮。B.性質(zhì)：1.函數(shù)極限存在?函數(shù)等于極限值+無窮?。ǘ嘤萌プC明中去掉極限符號）2.同一趨近下的無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系，注意何時要求f(x)≠0

C.漸近線：水平y(tǒng)=a(x趨于無窮時函數(shù)的極限值為a)、垂直x=a(x趨于有限值a函數(shù)極限值為無窮)、斜漸近線y=kx+b(x趨于無窮,分式

例題

【課后習(xí)題】

P42第5、6、7題，建議做一下,熟練掌握極限定義，區(qū)分無界與極限為無窮以及極限不存在的區(qū)別與聯(lián)系。

第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

A.定理：注意描述中的有限，如有限個無窮小的和與積也是無窮小，當(dāng)無限時情況不定；有界函數(shù)與無窮的乘積為無窮小（應(yīng)用頻率很高）、極限的四則運(yùn)算的前提（如必須每個參與運(yùn)算的函數(shù)其極限必須存在、再如極限的商以及數(shù)列的極限運(yùn)算）B.不等關(guān)系：極限保號性的應(yīng)用

C.復(fù)合函數(shù)的極限：1.滿足復(fù)合函數(shù)的存在前提；2.內(nèi)函數(shù)的極限值以及內(nèi)函數(shù)的函數(shù)值滿足使外函數(shù)在此值處極限存在的前提。此處求解時多用變量代換。

f(x)x的極限為k，算式f(x)?kx的極限為b)

例題

【課后習(xí)題】

P49第4、5題，對定理的理解考查，注意定理成立的各個前提條件?！鞠嚓P(guān)真題】

P49第4題本就是2003的一道選擇題。分析：（1）和（2）描述本質(zhì)一致，所以排除；（3）為0* ?，結(jié)果未定，故排除；選（4）解：極限不等式成立的條件，對于數(shù)列是“存在一個N，當(dāng)n>N時，一切…”，所以不是對于任意n成立，故（1）（2）、錯。同一趨近下無窮小與無窮大的乘積結(jié)果未定，如an?0,cn?n，此時滿足假設(shè)，二者乘積顯然為0，故極限為0；若an?

1n,cn?n，也滿足假設(shè)，但二者

乘積為n，此時極限為不存在，所以（3）錯。（4）可用反證法，若存在，則

bncnbn

極限存在，即cn極限存在，顯然與前提矛盾。當(dāng)然這里可以直接記住：非無窮小與無窮大的乘積極限不存在，這是肯定的。

第二篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時,考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時)g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第三篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運(yùn)用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重（難）點(diǎn)：

本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

§ 1 函數(shù)極限概念（3學(xué)時）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時函數(shù)的極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例4 驗(yàn)證

例5 驗(yàn)證

例6 驗(yàn)證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗(yàn)證

例8 驗(yàn)證(類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設(shè)

和都有 =

(現(xiàn)證對 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

補(bǔ)充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時）

教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對任何在點(diǎn)

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

教學(xué)難點(diǎn)：兩個重要極限的證明及運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

三． 等價無窮小：

Th 2(等價關(guān)系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí)題 課（2學(xué)時）

一、理論概述：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第四篇：函數(shù)極限

數(shù)學(xué)之美2006年7月第1期

函數(shù)極限的綜合分析與理解

經(jīng)濟(jì)學(xué)院 財政學(xué) 任銀濤 0511666

數(shù)學(xué)不僅僅是工具，更是一種能力。一些數(shù)學(xué)的方法被其它學(xué)科廣泛地運(yùn)用。例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、彈性分析等方法。函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中的一個重要問題。極限可以與很多的數(shù)學(xué)問題相聯(lián)系。例如，導(dǎo)數(shù)從根本上是求極限；函數(shù)連續(xù)首先要求函數(shù)在某一點(diǎn)的左極限等于右極限。有鑒于函數(shù)極限的重要性，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)心得，筆者寫下了此文。其目的在于歸納和總結(jié)解決函數(shù)極限問題的實(shí)用方法和技巧，以期對函數(shù)極限問題的學(xué)習(xí)有所幫助。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，歡迎批評指正。

一、函數(shù)極限的定義和基本性質(zhì)

函數(shù)極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運(yùn)用ε-δ定義更多的見諸于已知

極限值的證明題中。掌握這類證明對初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益。以x?x0的極限為例，f?x?在點(diǎn)x0以A極限的定義是：???0,???0,使當(dāng)0?x?x0??時，有f(x)?A??(A為常數(shù)).問題的關(guān)鍵在于找到符合定義要求的?，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。

函數(shù)極限性質(zhì)的合理運(yùn)用。常用的函數(shù)極限的性質(zhì)有函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限等等。如函數(shù)極限的唯一性（若lim存在，則在該點(diǎn)的極限是唯一的）可以體現(xiàn)在用海涅定理證明x?x0

''即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0處的極限不存在。?B（n??,xn和xn?x0）??

則f?x?在x0處的極限不存在。

運(yùn)用函數(shù)極限的性質(zhì)可以方便地求出一些簡單函數(shù)的極限值。例如對于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均為多項(xiàng)式，Q?x??0）。設(shè)P?x?的次數(shù)為n,Q?x?的Qx次數(shù)為m，當(dāng)x??時，若n?m，則f?x??0;若n?m，則f?x??P?x?與Q?x?的最高次項(xiàng)系數(shù)之比；若n?m，則f?x???。當(dāng)x?x0時,f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。Q(x0)

二、運(yùn)用函數(shù)極限的判別定理

最常用的判別定理包括單調(diào)有界定理和夾擠定理，在運(yùn)用它們?nèi)デ蠛瘮?shù)的極限時尤需注意以下關(guān)鍵之點(diǎn)。一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見附例2。二是應(yīng)用夾擠定理的關(guān)鍵是找到極限值相同的函數(shù)g?x?與

h?x?，并且要滿足g?x??f?x??h?x?，從而證明或求得函數(shù)f?x?的極限值。

三、應(yīng)用等價無窮小代換求極限

掌握常用的等價無窮小很重要。等價無窮小代換可以將復(fù)雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。

x?0時，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1?cosx與x2，xa，ax?1與xlna，?1?a?與ax（a?0）等等可ln?1?x?與x，loga?1?x?與lna

以相互替換。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積

sinx?x

因子，而對于加減法運(yùn)算則不能運(yùn)用。例如lim，不能直接把sinx替換

x?0x

3sinx?x

1??成x，得出極限值為0，實(shí)際上lim。

x?0x36

四、運(yùn)用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限

設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?在點(diǎn)a的某空心鄰域可導(dǎo)，且g'(x)?0。當(dāng)x?a時，f?x?f'?x?，f?x?和g?x?的極限同時為0或?時才適用?'?A（A為常數(shù)或?）

gxgx洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則實(shí)際上把求函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生較為拿手的求導(dǎo)數(shù)

0??、00、1?、?0等類型則需要問題。這使得求解思路簡單程序化。而對于???、0?

對式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或通分或取倒數(shù)或取對數(shù)等轉(zhuǎn)化為型，再使用洛必達(dá)法

0?

則求極限。例如f?x?

g?x?的極限轉(zhuǎn)化為求eg?x?lnf?x?的極限等等。然而，對于數(shù)列，則必須轉(zhuǎn)化為函數(shù)再運(yùn)用洛必達(dá)法則。這是因?yàn)槿绻褦?shù)列看作是自變量為n的函數(shù)時，它的定義域是一系列孤立的點(diǎn)，不存在導(dǎo)數(shù)。這是使用洛必達(dá)法則時必須要注意的一點(diǎn)。參見附例3。

五、泰勒公式的運(yùn)用

對于使用洛必達(dá)法則不易求出結(jié)果的復(fù)雜函數(shù)式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數(shù)式化為最高次項(xiàng)為相同或相近的式子，這時就變成了求多項(xiàng)式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初

等函數(shù)的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項(xiàng)保持一致。如

cosx?elimx?0x4x4)。

?x

2利用泰勒公式展開cosx,e

?

x22，展開到x4即可(原式x最高次項(xiàng)為

六、利用微分中值定理來求極限

f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使

f'(?)?

f(b)?f(a)'f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需

b?ab?a

要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。

另外，一些重要的結(jié)論往往在求極限時可以直接加以引用，例如

lim(1?x)?e，lim

x?0

1x

sinx

?

1，?

1，?1等等。

x?0nnx

求極限的方法和技巧更多的在于實(shí)踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和練習(xí)的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，敬請批評指正。

南開大學(xué)張陽和張效成老師的課堂教學(xué)給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。

附：例1：對任意給定的???0,1?，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n?N時，恒有。xn?a?2?，是數(shù)列?xn?收斂于a的（）

A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數(shù)學(xué)選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。

例2：若x1?a，y1?b（b?a?0），xn?1?xnyn，yn?1?明數(shù)列?xn?,?yn?有相同的極限。（見習(xí)題冊1 Page.18）

解析：由已知條件易知，b?y1?y2?……?yn?1?xn?1?……?x1?a，數(shù)列

xn?1?yn?

1，試證

2文中習(xí)題冊是指南開大學(xué)薛運(yùn)華，趙志勇主編的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊）》，為學(xué)生用數(shù)學(xué)練習(xí)冊。

x?yn

limyn?1?lin?xn?，?yn?單調(diào)有界，可以推出?xn?，?yn?收斂。n??n??

n??

。設(shè)

limyn?A，limxn?B，則?A?

n??

A?B,?A?B。2

例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 Page.153）

n??n

1??

解析：這是數(shù)列。設(shè)f?x???xtan?，則對limf?x?可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，x???x??且原式=limf?x?。

x???

x2

aa

?arctan),a?0

n??nn?1

arctan解析：如例題3，設(shè)f?x??a，則在?x,x?1?上f?x?連續(xù)，在?x,x?1?內(nèi)

x

例4：求limn2(arctan

可導(dǎo)。于是，????x,x?1?,f'(?)?arctan

aaa?arctan??2（使用微分中x?1xa??2

a)?a。22

a??

值定理可得）。x??,則???,原式=lim?2（???

參考書目

[1] 張效成主編，《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊）》，天津大學(xué)出版社，2005年7月 [2] 薛運(yùn)華，趙志勇主編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊）》，南開大學(xué) [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學(xué)（理工類、經(jīng)濟(jì)類）》，大連理工出版社，2004年11月

[4]《碩士研究生入學(xué)考試試題》，1984—2005

※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○

文中課本是指筆者使用的天津大學(xué)出版社05年7月版的《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊）》張效成主編

第五篇：第一章函數(shù)與極限（本站推薦）

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié) 映射與函數(shù)

一、集合1、集合的概念

集合是數(shù)學(xué)中的一個基本概念，我們先通過例子來說明這個概念。例如，一個書柜的書構(gòu)成一個集，一間教室里的學(xué)生構(gòu)成一個集合，全體實(shí)數(shù)構(gòu)成一個集合等等。所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個集合的事物為改集合的元素（簡稱元）。

通常用寫拉丁字母A,B,C、、、、、表示集合，用小寫字母a,b,b、、、表示集合的元素。如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A記作aA。一個集合，若他只含有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。

表示集合的方法通常有以下兩種：一種是列舉法，就是把集合的全體元素一一列舉出來 表示。例如，由元素a1,a2 ,、、、an組成的集合A，可表示成 A={a1,a2、、、an}；

另一種是描述法，若集合M是由具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成的，就可表示成 M={x|x具有性質(zhì)p}；

22例如，集合B是方程x-1=0的解集，就可表示為 B={x|x-1=0}.