第一篇：2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章 推理與證明第1課時 合情推理與演繹推理課時訓(xùn)練

n－mb答案： a解析：等差數(shù)列中bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am，等差數(shù)列中bn－am可以類

n－m

bbn－ambn

比等比數(shù)列中的，等差數(shù)列中.an－max7.設(shè)函數(shù)f(x)，觀察： x＋

2xxxf1(x)＝f(x)f2(x)＝f(f1(x))f3(x)＝f(f2(x))x＋23x＋47x＋8

xf4(x)＝f(f3(x))15x＋16

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．

x答案：（2－1）x＋2

解析：觀察知四個等式等號右邊的分母為x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x

n＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以歸納出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母為(2－1)x

x＋2n，故當(dāng)n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))（2－1）x＋238.觀察：① sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝ sin26°＋cos236°＋sin 6°

43cos36°＝4

由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想．

3解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°).4

證明如下：

2左邊＝sinα＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]

＝sin2α＋?α－1sinα??α＋1α? ?2??2?22313＝sin2α＋22α＝ 444

所以，猜想是正確的．

9.在Rt△ABC中，兩直角邊的長分別為a、b，直角頂點C到斜邊的距離為h，則易證11

1.在四面體S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，hab點S到平面ABC的距離為h，類比上述結(jié)論，寫出h與a、b、c之間的等式關(guān)系并證明．

1111解：類比得到：＋.habc

證明：過S作△ABC所在平面的垂線，垂足為O，連結(jié)CO并延長交AB于D，連結(jié)SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中，有

111111中，有＝＋＋.hSDcabc111，在Rt△CDSSDab 2210.老師布置了一道作業(yè)題“已知圓C的方程是x＋y＝r，求證：經(jīng)過圓C上一點

2M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r”，聰明的小明很快就完成了，完成后覺得該題很有意

思，經(jīng)過認(rèn)真思考后大膽猜想出如下結(jié)論：若圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則經(jīng)過圓

2C上一點M(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.你認(rèn)為小明的猜想正確

嗎？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．

解：小明的猜想正確．

(證法1)若x0≠a，y0≠b，則因圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圓C上

y0－b一點，所以直線MC的斜率為k1＝，設(shè)過M(x0，y0)的切線斜率為k，因直線MC與切x0－a

x0－ax0－a1線l垂直，所以k＝－＝－所以過M(x0，y0)的切線l方程為y－y0(x－x0)，k1y0－by0－b

22整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)＋(y0－b).又點M(x0，y0)在圓C上，所以有(x0

222－a)＋(y0－b)＝r，故此時過M(x0，y0)的圓C的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)2＝r.若x0＝a或y0＝b(同時成立不合題意)，則切線的斜率不存在或為0，可直觀看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此時切線方程分別為y＝y(tǒng)0或x＝x0，適合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)22＝r.綜上所述，過M(x0，y0)的圓C的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.→→→(證法2)設(shè)P(x，y)為切線上任一點，則PM＝(x0－x，y0－y)，CM＝(x0－a，y0－b)．又PM

→→→⊥CM，∴ PM·CM＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化簡得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2為所求切線．

11.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達式；

1111(3)＋＋?＋的值． f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1

解：(1)f(5)＝41.(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，?，由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因為f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋

1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝?＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋?＋4＝2n2－2n＋1.11111?，(3)當(dāng)n≥2＝?

f（n）－12n（n－1）2?n－1n?

1111所以＋＋?＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－111111111＝1＋(1－＋－?＋)222334n－1n

1131＝1＋1－＝－2n22n

第二篇：《合情推理與演繹推理》復(fù)習(xí)專題(文科)

合情推理與演繹推理（文科）

★指點迷津★

一、歸納推理：

1、運用歸納推理的一般步驟是什么？

首先，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）；然后，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）；然后，對所得的一般性命題進行檢驗。

2、在數(shù)學(xué)上，檢驗的標(biāo)準(zhǔn)是什么？標(biāo)準(zhǔn)是是否能進行嚴(yán)格的證明。

3、歸納推理的一般模式是什么？

S1具有P；S2具有P；??；Sn具有P（S1、S2、?、Sn是A類事件的對象）所以A類事件具有P

二、類比推理：

1、類比推理的思維過程是什么？

觀察、比較

2、類比推理的一般步驟是什么？（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）。

3、類比推理的特點是什么？（1）類比推理是從特殊到特殊的推理；（2）類比推理是從人么已經(jīng)掌

握了的事物特征，推測出正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠。類比推理以舊的知識作基礎(chǔ)，推測性的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。

三、演繹推理：

1、什么是大前提、小前提？ 三段論中包含了3個命題，第一個命題稱為大前提，它提供了一個一般性的原理；第二個命題叫小前提，它指出了一個特殊對象。

2、三段論中的大前提、小前提能省略嗎？ 在運用三段論推理時，常常采用省略大前提或小前提的表達方式。

3、演繹推理是否能作為嚴(yán)格的證明工具？ 能。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。因此可以作為證明工具?！锘A(chǔ)與能力練習(xí)★

1.歸納推理和類比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確 2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是使用了（）

A．大前提錯誤B．小前提錯誤C． 推理形式錯誤D．非以上錯誤 3.三角形的面積為S?

2?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可得出四面體的體積為（）

A、V?

13abcB、V?13ShC、V?

13?S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）D、V?

13(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)4.當(dāng)n?1，2，3，4，5，6時，比較2n和n

2的大小并猜想（）

A.n?1時，2n?n2B.n?3時，2n?n2C.n?4時，2n?n2D.n?5時，2n?n2

5.已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn，且a1?1,Sn?n2a*

n n?N，試歸納猜想出Sn的表達式為

（）A、2nn?1B、2n?1n?1C、2n?12n

n?1D、n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對應(yīng)密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16．當(dāng)接受方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為（）．A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7 7.某地2011年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢一定是（）A．計算機行業(yè)好于化工行業(yè)B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C．機械行業(yè)最緊張D．營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

8.補充下列推理的三段論：

（1）因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，又因為a與b互為相反數(shù)且所以b=8.（2）因為又因為e?2.71828?是無限不循環(huán)小數(shù)，所以e是無理數(shù)． 9.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；

則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.10.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB

2?AC2

?BC2

。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得妯的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.11.類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；已知數(shù)列?an?是等和數(shù)列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為____________．這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為______________________．

12.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個式子為．

13.對函數(shù)f(n),n?N*，若滿足f(n)???n?3

?n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測f??2?f??f?n?5??，?fn?31?100??.?，試由f?104?,f?103?和

14.若函數(shù)f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數(shù)點后第n位數(shù)字，例如f(15.定義?2)a*b??4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個f）是向量a和b的“向量積”，它的長度|?=.a*b|?|a|?|

b|?sin?,其中?為向量a和b的夾角，若u??(2,0),u???v?(1,則|u?*(u???

v)|=.16.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)=；當(dāng)ｎ＞４時，f(n)＝（用n表示）.17.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂

巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=_____________．

18.在等差數(shù)列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2???an?a1?a2???a19?nn?19,n?N*成20.已知數(shù)列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a10,a11,?,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,?,a30是公差為d2的等差數(shù)列（d?0）.（1）若a20?40，求d；（2）試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數(shù)列，??，依此類推，把已知數(shù)列

推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

??立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列?bn?中，若b9?1，則有什么等式成立？請寫出并證明．

19.通過計算可得下列等式：

22?12?2?1?132?22?2?2?142?32?2?3?1┅┅

(n?1)2?n2?2?n?1將以上各式分別相加得：(n?1)2?12?2?(1?2?3???n)?n n(n?1)2222即：1?2?3???n?類比上述求法：請你求出1?2?3???n的值.2

第三篇：選修1-2合情推理第1課時

第二章 推理與證明

2.1 合情推理與演繹推理

2.1.1合情推理

（一）〖課前準(zhǔn)備〗

【課型】新授課【課時】1教時

【課標(biāo)要求】

1.知識與能力

了解合情推理的含義，掌握歸納推理的技巧，并能運用解決實際問題．

2.過程與方法

通過參與課堂活動,經(jīng)歷歸納推理概念的獲得過程,了解歸納推理的含義．通過欣賞一些偉大猜想的產(chǎn)生過程，體會并認(rèn)識利用合情推理去猜測和發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，探索和提供解決一些問題的思路和方法．通過具體解題，進一步感受歸納推理的優(yōu)缺點及其使用方法．

3.情感態(tài)度與價值觀

學(xué)生樂于主動探究，積極思考，欣賞合情推理的價值，認(rèn)識到“大膽猜想，小心求證”的重要性。感受數(shù)學(xué)的人文價值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感．

【重點.難點】

重點：歸納推理及方法的總結(jié)．

難點：歸納推理的含義及其具體應(yīng)用．

【教學(xué)用具】多媒體.〖教學(xué)過程〗

一、數(shù)學(xué)知識引入：

【提問】從古到今數(shù)學(xué)中有各式各樣的猜想，同學(xué)們聽說過哪些？下面我們來介紹幾個猜想：

【數(shù)學(xué)猜想介紹】

1.哥德巴赫猜想：觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ??, 50=13+37, ??, 100=3+97，猜測：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素數(shù)）可以表示成兩個素數(shù)之和.1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想.1973年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個素數(shù)與至多兩個素數(shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”

.02.費馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王—費馬（1601-1665）在1640年通過對F0?22?1?3，F(xiàn)1?22?1?5，F(xiàn)2?22?1?17，F(xiàn)3?22?1?257，F(xiàn)4?22?1?65537的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是123

4素數(shù)，于是提出猜想：對所有的自然數(shù)n，任何形如Fn?22?1的數(shù)都是素數(shù).后來瑞士數(shù)學(xué)家歐

拉，發(fā)現(xiàn)F5?22?1?4294967297?641?6700417不是素數(shù)，推翻費馬猜想

.5n

3.四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里,來到一家科研單位搞地圖著色工作，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明.4.哥尼斯堡七橋猜想：18世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯(lián)系起來（如左圖上）．有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點后來大數(shù)學(xué)家歐拉把它轉(zhuǎn)化成一個幾何問題（如左圖下）——一筆畫問題。他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的重要條件是它們是連通的，且奇頂點(通過此點弧的條數(shù)是奇數(shù))的個數(shù)為0或2.【思考】猜想是怎么提出來的呢？

【討論】略．

【總結(jié)】比如哥德巴赫提出猜想的推理過程：通過對一些偶數(shù)的驗證，他發(fā)現(xiàn)它們總可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和，而且沒有出現(xiàn)反例．于是，提出哥德巴赫猜想，整個猜想的過程就是歸納推理的過程．

二、新課講授

【概念】歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．

【解釋】歸納推理的特點：

⑴歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．

⑵歸納推理的前提是部分的、個別的事實，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的． ⑶人們在進行歸納推理的時候，總是先搜集一定的事實材料，有了個別性的、特殊性的事實作為前提，然后才能進行歸納推理，因此歸納推理要在觀察和實驗的基礎(chǔ)上進行．

⑷歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段．

【練習(xí)】

①由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？

②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，……，能歸納出什么結(jié)論？

③由三角形的內(nèi)角和是1800，凸四邊形的內(nèi)角和是3600，凸五邊形的內(nèi)角和是5400，……，能歸納出什么結(jié)論？

【解答】

①一切金屬都能導(dǎo)電．

②三角形內(nèi)角和是180度．

③凸n 邊形的內(nèi)角和是（n—2）×1800．

【問題】統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬于歸納推理？歸納推理的結(jié)果是否正確？歸納推理有何作用？

【討論】略.【回答】統(tǒng)計學(xué)中，用樣本估計總體屬于歸納推理．歸納推理的結(jié)果不一定正確，比如費馬猜想，就是經(jīng)過半世紀(jì)之后歐拉才推翻了的．應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段.下面咱們看看數(shù)學(xué)中的例子．

【例１】觀察等式：1?12,1?3?4?22,1?3?5?9?32,1?3?5?7?16?42,1?3?5?7?9?25?52，由上述具體事實能得出怎樣的結(jié)論？

【分析】第一，所謂“規(guī)律”，是指“項數(shù)”與它們的“和”之間的關(guān)系，因此要努力把“和”與“項數(shù)”聯(lián)系起來；第二，數(shù)學(xué)符號語言、圖形語言、日常語言等相互轉(zhuǎn)換，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【解】將上述事實分別敘述如下：１等于１的平方；前２個正奇數(shù)的和等于２的平方；前３個正奇數(shù)的和等于３的平方；前４個正奇數(shù)的和等于４的平方；前５個正奇數(shù)的和等于５的平方；??，*2由此猜想：前n(n∈N)個連續(xù)正奇數(shù)的和等于n的平方，即1+3+5+?+(2n-1)=n.【總結(jié)】歸納推理的一般步驟：首先，對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；然后，在此基礎(chǔ)上提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；最后，檢驗這個猜想．

【例2】已知數(shù)列?an?的第1項a1?2，且an?1?an(n?1,2,?)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式.1?an

【分析】數(shù)列的通項公式表示的是數(shù)列?an?的第n項an與序號n之間的對應(yīng)關(guān)系．為此，我們先根

據(jù)已知的遞推公式，算出數(shù)列的前幾項．

【解】當(dāng)n=1時，a1?1;

當(dāng) n =2時，a2?1?1； 1?1

2當(dāng)n =3時，a??1；

3131?2

當(dāng)n=4時，a??1．

4141?

3觀察可得，數(shù)列的前 4 項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)．由此猜想，這個數(shù)列的通項公式為an?

【補例】數(shù)列?an?中，a1?2,a2?1,a3?1． n21,a4?，求an?? 32

【分析】當(dāng)有整數(shù)和分?jǐn)?shù)時，往往將整數(shù)化為分?jǐn)?shù)；當(dāng)分子分母都在變化時，往往統(tǒng)一分子(或分母)，再尋找另一部分的變化規(guī)律． 22222【解】因為a1?,a2?,a3?,a4?，所以猜想：an?． n123

4〖課時小結(jié)〗

【課后小結(jié)】

⑴歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理．

⑵歸納推理的一般步驟：首先，對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；然后，在此基礎(chǔ)上提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；最后，檢驗這個猜想．

【板書設(shè)計】

略

【課后作業(yè)】

課本P35習(xí)題2.1 Ａ組第１,2,4,5題；Ｂ組第1,3題．

第四篇：合情推理-歸納推理(第1課時)教案1

歸納猜想

廣州市86中學(xué) 張科

【教學(xué)目標(biāo)】

知識與技能目標(biāo)：1：理解歸納推理的思想；

2：能夠通過觀察一些等式，猜想、歸納出它們的變化規(guī)律。3：能夠歸納、猜想出某些數(shù)列的通項公式。

過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識與實際生活的普遍聯(lián)系，通過讓學(xué)生的積極參與，親身經(jīng)歷歸納推理定義的獲得過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的思想。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過學(xué)生主動探究、合作學(xué)習(xí)、相互交流，培養(yǎng)學(xué)生不怕困難、勇于探索的優(yōu)良作風(fēng)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生成功的體驗，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度。

【教學(xué)重點與難點】

重點：歸納推理的概念及應(yīng)用。難點：歸納推理的應(yīng)用?！窘虒W(xué)方法】 啟發(fā)、探索 【教學(xué)手段】

運用多媒體輔助教學(xué) 【教學(xué)過程】

一：創(chuàng)設(shè)情景，引入概念

師：今天我們要學(xué)習(xí)第二章：推理與證明。那么什么是推理呢？下面請大家仔細看這段flash，體驗一下flash動畫中，人物推理的過程。

（學(xué)生觀看flash動畫）。

師：有哪位同學(xué)能描述一下這段flash動畫中的人物的推理過程嗎？

生：flash中人物通過觀察，發(fā)現(xiàn)7只烏鴉是黑色的于是得到推理：天下烏鴉一般黑。

師：很好！那么能不能把這個推理的過程用一般化的語言表示出來呢？

生：這是從一個或幾個已有的判斷得到一個新的判斷的過程。

師：非常好！

（引出推理的概念）。師：推理包括合情推理和演繹推理，而我們今天要學(xué)的知識就是合情推理的一種——歸納推理。那么，什么是歸納推理呢？下面我們通過介紹數(shù)學(xué)中的一個非常有名的猜想讓大家體會一下歸納推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）

師：據(jù)說哥德巴赫無意中觀察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，這3個等式。大家看這3個等式都是什么運算？

生：加法運算。

師：對。我們看來這些式子都是簡單的加法運算。但是哥德巴赫卻把它做了一個簡單的變換，他把等號兩邊的式子交換了一下位置，即變?yōu)椋?0=3+7，20=3+17，30=13+17。大家觀察這兩組式子，他們有什么不同之處？

生：變換之前是把兩個數(shù)加起來，變換之后卻是把一個數(shù)分解成兩個數(shù)。

師：大家看等式右邊的這些數(shù)有什么特點？ 生：都是奇數(shù)。

師：那么等式右邊的數(shù)又有什么特點呢？ 生：都是偶數(shù)。

師：那我們就可以得到什么結(jié)論？ 生：偶數(shù)=奇數(shù)+奇數(shù)。

師：這個結(jié)論我們在小學(xué)就知道了。大家在挖掘一下，等式右邊的數(shù)除了都是奇數(shù)外，還有什么其它的特點？

（學(xué)生觀察，有人看出這些數(shù)還都是質(zhì)數(shù)。）

師：那么我們是否可以得到一個結(jié)論：偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)？（學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)錯誤?。?。

生：不對！2不能分解成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。師：非常好！那么我們看偶數(shù)4又行不行呢？ 生：不行！

師：那么繼續(xù)往下驗證。

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）師：那我們可以發(fā)現(xiàn)一個什么樣的規(guī)律？

生：大于等于6的偶數(shù)可以分解為兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

師：這就是哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想的過程就是一個歸納推理的過程。他根據(jù)上述部分等式的基本特征，（什么特征呢？即等式左邊的數(shù)都是大于6的偶數(shù)，右邊是兩個奇質(zhì)數(shù)之和），就猜想出：任何大于等于6的偶數(shù)可以分解為兩個奇質(zhì)數(shù)之和?；蛘哒f，由這些個別等式的特征，就得出一個一般性的猜想。那么現(xiàn)在大家能不能用一般性的語言來描述歸納推理的定義？（學(xué)生得出歸納推理的概念）。

師：歸納推理的思想我們在日常生活中也經(jīng)常用到。大家能不能結(jié)合自己生活的實際，舉出幾個例子說明歸納推理的運用。（學(xué)生思考，討論，給出例子）。

二：講解例題，鞏固概念

師：應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論。我們來看一個數(shù)學(xué)中的例子。

例題1：觀察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？ 練習(xí)：觀察下列等式：

1=1

1+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？ 例題2：已知數(shù)列?an?的第一項a1?1，且an?1?an(n?1,2,3...)，試歸納1?an出這個數(shù)列的通項公式。

練習(xí)：已知an?(n2?5n?5)2，求a1,a2,a3,a4的值？根據(jù)a1,a2,a3,a4的值，你能夠猜想出an的值嗎？你能得到什么結(jié)論？

三：問題探究，加深理解

觀察下面的圖形,請指出每個圖形分別有幾個球？按照這個規(guī)律，猜想第5個圖形的形狀應(yīng)該是怎么樣的？它應(yīng)該由多少個球構(gòu)成？第n個圖形有幾個球？

四：布置作業(yè)，鞏固提高。

1：課本P44，A組1，2題，B組1題。

2：查閱相關(guān)資料，了解課本上提到的“四色猜想”，“費馬猜想”等。

第五篇：合情推理-歸納推理(第1課時)教案1

2.1.1歸納推理

涇川一中 權(quán)貴榮

【教學(xué)目標(biāo)】

知識與技能目標(biāo)：1：理解歸納推理的思想與步驟；

2：能夠利用歸納進行簡單的推理應(yīng)用；

過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識與實際生活的普遍聯(lián)系，通過讓學(xué)生的積極參與，親身經(jīng)歷歸納推理定義的獲得過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的思想；

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過學(xué)生主動探究、合作學(xué)習(xí)、相互交流，培養(yǎng)學(xué)生不怕困難、勇于探索的優(yōu)良作風(fēng)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生成功的體驗，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度；

【教學(xué)重點與難點】

重點：歸納推理的概念及應(yīng)用； 難點：歸納推理的應(yīng)用； 【教學(xué)過程】

一：創(chuàng)設(shè)情景，引入概念

今天我們要學(xué)習(xí)第二章：推理與證明。

在日常生活中，人們常常需要進行這樣那樣的推理。例如: 醫(yī)生診斷病人的病癥;警察偵破案件;氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài);考古學(xué)家推斷遺址的年代;數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?在數(shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。

那么什么是推理呢？

從一個或幾個已有的判斷得到一個新的判斷的思維過程就是推理。數(shù)學(xué)中幾個非常著名的猜想就是由歸納推理催生的，例如

哥德巴赫猜想、費馬猜想、地圖的“四色猜想”、哥尼斯堡七橋猜想等等。我們今天要學(xué)的知識就是合情推理的一種——歸納推理。那么，什么是歸納推理呢？下面我們通過哥德巴赫猜想讓大家體會一下歸納推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）

據(jù)說哥德巴赫無意中觀察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，這3個等式。他有意把上面的式子改寫成：10=3+7，20=3+17，30=13+17 其中反映出這樣一個規(guī)律：偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)

于是，哥德巴赫產(chǎn)生了一個想法：10,20,30,都是偶數(shù)，那么其他的偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律呢？

顯然第一個等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和的數(shù)是6，即6=3+3 再看看超過6的偶數(shù)：8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11… 1000=29+971,1002=139+863… 根據(jù)上述過程，哥德巴赫大膽猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

這就是哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想的過程就是一個歸納推理的過程。他根據(jù)上述部分等式的基本特征，（即等式左邊的數(shù)都是不小于6的偶數(shù)，右邊是兩個奇質(zhì)數(shù)之和），就猜想出：任何不小于6的偶數(shù)可以分解為兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

或者說，由這些個別等式的共同特征，就得出一個一般性的猜想。那么現(xiàn)在大家能不能用一般性的語言來描述歸納推理的定義？

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，稱為歸納推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。

歸納推理的思想我們在日常生活中也經(jīng)常用到。大家能不能結(jié)合自己生活的實際，舉出幾個例子說明歸納推理的運用。（學(xué)生思考，討論，給出例子）。

二：講解例題，鞏固概念

應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論。例1：已知數(shù)列?an?的第一項a1?1，且an?1?an，試歸納出(n?1,2,3...)1?an這個數(shù)列的通項公式。

例2：設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù).當(dāng)n ≥3 時, f(n)=.(用n表示)

x2例3:已知函數(shù)f(x)?1?x211(1)求f(2)與f(),f(3)與f()；231(2)猜想f(x)與f()有什么關(guān)系？并證明你的猜想；x(3)求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)++f(2013)+f(2014)+f(2015)+111111f()+f()+f()++f()+f()+f();***

在例1和例2中，我們通過歸納得到了兩個猜想。但猜想未必可靠，例如： 法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到2?1?5,2?1?17,2?1?257,2?1?65537

?2?1(n?N)都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如：

2n12223242 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)——這就是著名的費馬猜想。半個世紀(jì)之后，善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)

F?2?1?4294967297?641?67004175

不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費馬的猜想。

三：課堂練習(xí)，加深理解

1、已知a1?1,an?11(an?1?)(n?2)，試猜想出這個數(shù)列的通項公式。2an?

12、觀察下面的圖形,請指出每個圖形分別有幾個球？按照這個規(guī)律，猜想第5

個圖形的形狀應(yīng)該是怎么樣的？它應(yīng)該由多少個球構(gòu)成？第n個圖形有幾個球？

3、觀察下列等式： 1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…

你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？

四：小結(jié)、布置作業(yè)：

在進行歸納推理時，一般步驟是：首先是對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；然后，在此基礎(chǔ)上提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，；最后，檢驗這個猜想。

1、課本P83，A組1，2題，B組1題。

2、課后自己了解四色猜想、七橋猜想。

分析哥德巴赫猜想的提出過程，我們能得到什么啟示？

1、“猜想”有一定的偶然性；

2、數(shù)學(xué)研究中，有時對研究對象進行一些形式上的改變有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

3、在猜想提出的過程中，特例的驗證是必須的；

4、由于特例的屬性可能有許多，所以，特例也要盡量選的具有一般性；

5、猜想是從具體實例中概括出來的，因此對每一個具體事例的不同方面的特征進行細致分析很重要，這樣才有利于概括出不同事例的共同特征，進而做出猜想；

練習(xí)：已知a1?1,an?11(an?1?)(n?2)，試猜想出這個數(shù)列的通項公式。2an?1

在進行歸納推理時，一般步驟是：首先是對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；然后，在此基礎(chǔ)上提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，；最后，檢驗這個猜想。

1.如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.(1)每次只能移動1個金屬片；

(2)較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面；

試推測：把n個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動多少次？3

2.觀察下面的圖形,請指出每個圖形分別有幾個球？按照這個規(guī)律，猜想第5個圖形的形狀應(yīng)該是怎么樣的？它應(yīng)該由多少個球構(gòu)成？第n個圖形有幾個球？

四：小結(jié)、布置作業(yè)：歸納推理的關(guān)鍵是找出某類事物的部分對象的共同特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征。

1：課本P83，A組1，2題，B組1題。

2：查閱相關(guān)資料，了解課本上提到的“四色猜想”，“費馬猜想”等。

大家先看下面一個例子

佛教《百喻經(jīng)》中有這樣一則故事。從前有一位富翁想吃芒果,打發(fā)他的仆人到果園去買,并告訴他:“要甜的,好吃的,你才買.”仆人拿好錢就去了.到了果園,園主說:“我這里樹上的芒果個個都是甜的,你嘗一個看.”仆人說:“我嘗一個怎能知道全體呢 我應(yīng)當(dāng)個個都嘗過,嘗一個買一個,這樣最可靠.”仆人于是自己動手摘芒果,摘一個嘗一口,甜的就都買回去.帶回家去,富翁見了,覺得非常惡心,一齊都扔了.回答下面三個問題：

1：如果你是這個仆人，你會怎么做？ ○ ○2：說說你這么做的理由，3：那么能不能把這個推理的過程用一般化的語言表示出來呢？ ○