第一篇：《合情演繹推理與直接間接證明》練習題

《合情、演繹推理與直接、間接證明》練習題

一、選擇題：

1．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是（）

Ａ．將結(jié)論與條件同時否定，推出矛盾Ｂ．肯定條件，否定結(jié)論，推出矛盾

Ｃ．將被否定的結(jié)論當條件，經(jīng)過推理得出的結(jié)論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運用 Ｄ．將被否定的結(jié)論當條件，原題的條件不能當條件 2．下列表述正確的是()

①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．

13．對a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab(大前提)，x＋2x(小前提)，所以x＋2(結(jié)論)．以上

xxx

推理過程中的錯誤為()

A．大前提B．小前提C．結(jié)論D．無錯誤

4.計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字0?9和字母A?F共16個計數(shù)符號，例如，用十六進制表示,則（）A．6EB．72C．5FD．B0

5．已知m?1，a?b?，則以下結(jié)論正確的是（）Ａ．a(chǎn)?b

Ｂ．a(chǎn)?b

Ｃ．a(chǎn)?b

Ｄ．a(chǎn)，b大小不定

?)，觀察下列幾個式子：x?6．已知x?(0，∞x?

a

≥n?1(n?N?)，則a是（）nx

n

14xx

4≥2，x?2???2≥3，…，類比有xx22x

Ａ．nＢ．NＣ．n?

1Ｄ．n?1

7．如圖，圓周上按順時針方向標有1,2,3,4,5五個點．一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點跳到另一點．若它停在奇數(shù)點上，則下一次只能跳一個點；若停在偶數(shù)點上，則下一次跳兩個點．該青蛙從5這點跳起，經(jīng)2008次跳后它將停在的點是()

A．1B．2C．3D．4

二、填空題

8．若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?r(a?b?c)，根據(jù)類

2比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個面的面積分別是S1，S2，S3，S4，則四面體的體積V?．

tan20?tan20?tan60?tan60?tan10?1； 9．觀察：①tan10?

tan10?tan10?tan75?tan75?tan5?1．②tan5?由此猜出一個一般式為

10．定義集合A，B的運算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?A∩B}，則A?B?A＝____________.x111．方程f(x)＝x的根稱為f(x)的不動點，若函數(shù)f(x)＝且x1＝1000，xn＋1＝1a(x＋2)f??xn????????????

(n∈N*)，則x2011＝________.12.如右上圖，一個小朋友按如圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，...，4無名指，5小指，6無名指，一直數(shù)到2008時，對應(yīng)的指頭是(填

指頭的名稱).三、解答題

13．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．

.14．設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證

3315．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通過觀察上述兩等式的規(guī)律，22

請你寫出一般性的命題，并給出證明．

16．?ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：111111?????。2a2b2ca?bb?cc?a113??a?bb?ca?b?c

17.類比平面內(nèi)直角三角形特有的性質(zhì)，試給出空間四面體性質(zhì)的猜想,并給出證明.

第二篇：2.1-2 合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

2.1-2 合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

重難點：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用；了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點；了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過程、特點．

考綱要求：①了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．

②了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理． ③了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．

④了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點． ⑤了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過程、特點． 經(jīng)典例題：25.通過計算可得下列等式：

┅┅

將以上各式分別相加得：

即：類比上述求法：請你求出

當堂練習： 1.如果數(shù)列A.的值.．

是等差數(shù)列，則()B.C.D.2.下面使用類比推理正確的是()A.“若B.“若,則

”類推出“若”類推出“,則”

”

C.“若” 類推出“（c≠0）” D.“” 類推出“”

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)” 結(jié)論顯然是錯誤的，是因為()A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 4.設(shè)()A.B.－ C.D.－，那么在5進制中數(shù)碼2004折合成，n∈N，則5.在十進制中十進制為()A.29 B.254 C.602 D.2004 6.函數(shù)的圖像與直線

相切，則

=()A.B.C.D.1 7.下面的四個不等式：①④A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 8.拋物線上一點的縱坐標為4，則點

；②；③ ；

.其中不成立的有()

與拋物線焦點的距離為()A.2 B.3 C.4 D.5 9.設(shè) , 則()A.B.0 C.，D.1 ,且, 則由的值構(gòu)成的集合是()10.已知向量A.{2,3} B.{-1, 6} C.{2} D.{6} 11.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線

”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為()A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 12.已知，猜想的表達式為()A.B.C.D.13.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關(guān)系：

。若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.14.從

中，可得到一般規(guī)律為(用數(shù)學表達式表示)15.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是.16.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線點．若用，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一

= ；當ｎ＞４時，表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則＝（用含n的數(shù)學表達式表示）17.證明： 不能為同一等差數(shù)列的三項.18.在△ABC中，判斷△ABC的形狀.19.已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，判斷直線EF與平面ABD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20.已知函數(shù)

21.△ABC三邊長的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：角

.，求的最大值.22.在各項為正的數(shù)列（1）求

中，數(shù)列的前n項和滿足的通項公式；（3）求

；（2）由（1）猜想數(shù)列

23.自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用0.不考慮其它因素，設(shè)在第表示某魚群在第年年初的總量，且

＞成正

年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與

.成正比，死亡量與比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)（Ⅰ）求與的關(guān)系式；，（Ⅱ）猜測：當且僅當要求證明）

24.設(shè)函數(shù)（1）證明：

滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不

.；

（2）設(shè)

25.已知為的一個極值點，證明.恒不為0，對于任意

等式

恒成立.求證：是偶函數(shù).26.已知ΔABC的三條邊分別為

參考答案：

經(jīng)典例題： [解]

求證：

┅┅

將以上

各

式

分

別

相

加

得

：所以：

當堂練習：

1.B;2.C;3.C;4.D;5.B;6.B;7.A;8.D;9.D;10.C;11.A;12.B;13.14.;

15.f(2.5)>f(1)>f(3.5);

;16.5；

17.證明：假設(shè)=①n-②;、、=n-為同一等差數(shù)列的三項，則存在整數(shù)m,n滿足 +nd ② m=

(n-m)兩邊平方得： 3n2+5m2-

2mn=2(n-m)2 +md ① m得： 左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無理數(shù) 所以，假設(shè)不正確。即、、不能為同一等差數(shù)列的三項

18.ABC是直角三角形； 因為sinA=

ABC的三邊，所以 b+c

0 據(jù)正、余弦定理得 ：（b+c）(a2-b2-c2)=0； 又因為a,b,c為所以 a2=b2+c2 即ABC為直角三角形.19.平行； 提示：連接BD，因為E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，EF∥BD.20.提示：用求導的方法可求得的最大值為0 21.證明：=

為△ABC三邊，22.（1），；（2）

；（3）

..23.解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得

因為x1>0，所以a>b.猜測：當且僅當a>b，且24.證明：1）= 2)

=

時，每年年初魚群的總量保持不變.① 又 ②

由①②知25.簡證：令= 所以，則有，再令

即可

26.證明：設(shè)設(shè)是

上的任意兩個實數(shù)，且，因為，所以。所以在上是增函數(shù)。

由 知 即.

第三篇：《合情推理與演繹推理》復習專題(文科)

合情推理與演繹推理（文科）

★指點迷津★

一、歸納推理：

1、運用歸納推理的一般步驟是什么？

首先，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）；然后，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）；然后，對所得的一般性命題進行檢驗。

2、在數(shù)學上，檢驗的標準是什么？標準是是否能進行嚴格的證明。

3、歸納推理的一般模式是什么？

S1具有P；S2具有P；??；Sn具有P（S1、S2、?、Sn是A類事件的對象）所以A類事件具有P

二、類比推理：

1、類比推理的思維過程是什么？

觀察、比較

2、類比推理的一般步驟是什么？（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）。

3、類比推理的特點是什么？（1）類比推理是從特殊到特殊的推理；（2）類比推理是從人么已經(jīng)掌

握了的事物特征，推測出正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠。類比推理以舊的知識作基礎(chǔ)，推測性的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。

三、演繹推理：

1、什么是大前提、小前提？ 三段論中包含了3個命題，第一個命題稱為大前提，它提供了一個一般性的原理；第二個命題叫小前提，它指出了一個特殊對象。

2、三段論中的大前提、小前提能省略嗎？ 在運用三段論推理時，常常采用省略大前提或小前提的表達方式。

3、演繹推理是否能作為嚴格的證明工具？ 能。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理），按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。因此可以作為證明工具?！锘A(chǔ)與能力練習★

1.歸納推理和類比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確 2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是使用了（）

A．大前提錯誤B．小前提錯誤C． 推理形式錯誤D．非以上錯誤 3.三角形的面積為S?

2?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可得出四面體的體積為（）

A、V?

13abcB、V?13ShC、V?

13?S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）D、V?

13(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)4.當n?1，2，3，4，5，6時，比較2n和n

2的大小并猜想（）

A.n?1時，2n?n2B.n?3時，2n?n2C.n?4時，2n?n2D.n?5時，2n?n2

5.已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn，且a1?1,Sn?n2a*

n n?N，試歸納猜想出Sn的表達式為

（）A、2nn?1B、2n?1n?1C、2n?12n

n?1D、n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對應(yīng)密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16．當接受方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為（）．A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7 7.某地2011年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢一定是（）A．計算機行業(yè)好于化工行業(yè)B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C．機械行業(yè)最緊張D．營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

8.補充下列推理的三段論：

（1）因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，又因為a與b互為相反數(shù)且所以b=8.（2）因為又因為e?2.71828?是無限不循環(huán)小數(shù)，所以e是無理數(shù)． 9.在平面直角坐標系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；

則類似的，在空間直角坐標系中，平面的一般方程為________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.10.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB

2?AC2

?BC2

?！蓖卣沟娇臻g，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得妯的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.11.類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；已知數(shù)列?an?是等和數(shù)列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為____________．這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為______________________．

12.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個式子為．

13.對函數(shù)f(n),n?N*，若滿足f(n)???n?3

?n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測f??2?f??f?n?5??，?fn?31?100??.?，試由f?104?,f?103?和

14.若函數(shù)f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數(shù)點后第n位數(shù)字，例如f(15.定義?2)a*b??4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個f）是向量a和b的“向量積”，它的長度|?=.a*b|?|a|?|

b|?sin?,其中?為向量a和b的夾角，若u??(2,0),u???v?(1,則|u?*(u???

v)|=.16.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)=；當ｎ＞４時，f(n)＝（用n表示）.17.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂

巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=_____________．

18.在等差數(shù)列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2???an?a1?a2???a19?nn?19,n?N*成20.已知數(shù)列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a10,a11,?,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,?,a30是公差為d2的等差數(shù)列（d?0）.（1）若a20?40，求d；（2）試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數(shù)列，??，依此類推，把已知數(shù)列

推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

??立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列?bn?中，若b9?1，則有什么等式成立？請寫出并證明．

19.通過計算可得下列等式：

22?12?2?1?132?22?2?2?142?32?2?3?1┅┅

(n?1)2?n2?2?n?1將以上各式分別相加得：(n?1)2?12?2?(1?2?3???n)?n n(n?1)2222即：1?2?3???n?類比上述求法：請你求出1?2?3???n的值.2

第四篇：2.1合情推理與演繹推理 教學設(shè)計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）知識與技能：

了解演繹推理的含義、基本方法；正確地運用演繹推理、進行簡單的推理．（2）過程與方法：

體會運用“三段論”證明問題的方法、規(guī)范格式．（3）情感態(tài)度與價值觀：

培養(yǎng)學生言之有理、論證有據(jù)的習慣；加深對數(shù)學思維方法的認識；提高學生的數(shù)學思維能力．

2.教學重點/難點

【教學重點】：

正確地運用演繹推理進行簡單的推理． 【教學難點】：

正確運用“三段論”證明問題．

3.教學用具

多媒體

4.標簽

2.1 合情推理與演繹推理

教學過程

課堂小結(jié)

1．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情況；

（3）結(jié)論——據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． 三段論的基本格式為： 大前提：M是P 小前提：S是M 結(jié)

論：S是P 2．合情推理與演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系：

（1）推理形式不同（歸納是由特殊到一般的推理；類比是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理）；

（2）合情推理為演繹推理提供方向和思路；演繹推理驗證合情推理的正確性．

第五篇：2.1合情推理與演繹推理 教學設(shè)計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能：

（1）結(jié)合數(shù)學實例，了解歸納推理的含義（2）能利用歸納方法進行簡單的推理，2、過程與方法：

通過課例，加深對歸納這種思想方法的認識。

3、情感態(tài)度與價值觀：

體驗并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用。

2.教學重點/難點

【教學重點】：

（1）體會并實踐歸納推理的探索過程（2）歸納推理的局限 【教學難點】：

引導和訓練學生從已知的線索中歸納出正確的結(jié)論

3.教學用具

多媒體

4.標簽

2.1.1 合情推理與演繹推理

教學過程

課堂小結(jié) 1．歸納推理的幾個特點

1）歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2）歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性.3）歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上.注：歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論

2．歸納推理的一般步驟： 1)對已有的資料進行觀察、分析、歸納、整理； 2)猜想 3)檢驗