第一篇：第五屆全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比教案-《函數(shù)的單調(diào)性》教案(綿陽中學趙志明)

高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家

函數(shù)的單調(diào)性（教案）

(綿陽中學數(shù)學組)

趙志明

一、教學目標：

1、理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義；

2、會利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

3、了解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的概念，并能根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

4、通過本節(jié)知識的學習，使學生理解數(shù)形結(jié)合等思想方法在分析解決問題中的作用,領會從特殊到一般,從直觀到抽象,從感性到理性的數(shù)學思維方法。

二、重點和難點:

1、教學重點:函數(shù)單調(diào)性的概念和判斷；

2、教學難點:利用函數(shù)單調(diào)性的定義或者函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性。

三、教學方法和手段:

1、教學方法:采用探索發(fā)現(xiàn)法和啟發(fā)式講解法；

2、教學手段:利用多媒體直觀、形象的動態(tài)功能，為函數(shù)單調(diào)性概念的理解

提供直觀、形象的認知基礎;同時對函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的變化趨勢進行動態(tài)演示，幫助學生理解。

四、教學過程：

（一）問題情境：

(1)近六屆世界杯進球數(shù)如下表：畫成折線圖：

規(guī)律，對我們的生活很有幫助。觀察滿足函數(shù)關系的數(shù)據(jù)變化規(guī)律往往是看：隨著自變量的變化，函數(shù)值是如何變化的，這就是我們今天要研究的函數(shù)的單調(diào)性。（板書課題）

（二）建構(gòu)定義:

1、引入直觀性定義：

觀察下列函數(shù)的圖象,由學生討論交流并回答下列問題（幾何畫板動態(tài)展示）

(1)f(x)?x?1(2)f(x)?x

問題3:這兩個函數(shù)圖象有怎樣的變化趨勢？（上升？下降？）

問題4:函數(shù)f(x)?x2在區(qū)間y隨x的增大而增大，在區(qū)間y隨x的增大而減小；

教師說明直觀性定義：稱左邊的函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增函數(shù)，右邊的函數(shù)則稱為區(qū)間I上單調(diào)遞減函數(shù)。

2、嚴格數(shù)學語言定義：

多媒體展示：圖象在區(qū)間D內(nèi)呈上升趨勢

當

xy也增大

1x2，當x1?x2時，有f(x1)?f(x2)

問題5：若區(qū)間內(nèi)有兩點x1?x2時，有f(x1)?f(x2)，能否推出f(x)是單調(diào)遞 增函數(shù)？

版權所有@高考資源網(wǎng)

構(gòu)造反例，動畫演示，引導學生對自變量取值的“任意性”的深刻理解。定義：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I:

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1?x

2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。由學生類比得到減函數(shù)的定義：

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。注:

(1)x1,x2三大特征：①屬于同一區(qū)間；②任意性；③有大?。和ǔＲ?guī)定x1?x2；(2)相對于定義域，函數(shù)的單調(diào)性可以是函數(shù)的局部性質(zhì)。

舉例：y?x2在(0,??)上是單調(diào)增函數(shù)，但在整個定義域上不是增（減）函數(shù)。(三)定義應用:

例

1、下圖是定義在[－5，5]上的函數(shù)y?f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù)y?f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，y?f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

分析：動畫演示，幫助學生理解。

解：y?f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。

其中y?f(x)在[－5，－2）,[1，3）上是減函數(shù)； 在[－2，1），[3，5）上是增函數(shù)。強調(diào)單調(diào)區(qū)間的寫法：

問題6：可否寫成[－5，－2）U[－2，1）？ 問題7：寫成[－5，－2）還是寫成[－5，－2]？ 多媒體展示構(gòu)造反例說明：

（1）單調(diào)區(qū)間一般不能求并集；

（2）當端點滿足單調(diào)性定義時，可開可閉。

版權所有@高考資源網(wǎng)

例

2、試判斷函數(shù)f(x)?x2?x 在區(qū)間（0，＋∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并給予證明。

分析：問1：除了圖象法判定函數(shù)單調(diào)性還有什么方法？2：如何用定義法判定函數(shù)單調(diào)性？

3：用定義判定函數(shù)單調(diào)性的關鍵是什么？（提示如何比較3和2的大小，從而引入作差法）

證明：函數(shù)f(x)?x2?x 在（0，＋∞）上是增函數(shù)

設x1、x2 是(0,＋∞)上的任意兩個值,且x1?

x2則f(x

1)?f(x2)

?(x1

2?

x1)?(x22?x

2)

?(x1?x2)?（x1?x2）

取值

?(x1?x2)(x1?x2)?（x1?x2）?(x1?x2)(x1?x2?1)

又0?x1?x2，故x1?x2?0，x1?x2?1?0 則f(x1)?f(x2)?0，即：f(x1)?f(x2)

因此，函數(shù)f(x)?x2?x 在（0總結(jié)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

1、取值:設任意x1、x2屬于給定區(qū)間，且x1?x2；

作差變形

定號 下結(jié)論

2、作差變形:f(x1)?f(x2)變形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

3、定號:確定f(x1)?f(x2)的正負號；

4、下結(jié)論:由定義得出函數(shù)的單調(diào)性。思考題：

在上面證明中，你能理解x1、x2的任意性的意義嗎？

解答：有了“任意性”在區(qū)間內(nèi)不管取哪兩個值，其證明過程都是一樣的。

四、課堂練習：

（1）課本P65頁1，（0，??）（2）證明:函數(shù)y?在上是減函數(shù)。（動畫演示幫助理解）x

版權所有@高考資源網(wǎng)

課后思考：

函數(shù)

f(x)在R上單調(diào)遞增，那么，f(x1)?f(x2)的符號有什么規(guī)律？若單調(diào)

x1?x

2遞減，又該如何?

五、回顧小結(jié)：

1、函數(shù)單調(diào)性的定義；

2、判定函數(shù)單調(diào)性：

（1）方法：圖象法，定義法；

（2）定義法步驟：取值，作差變形，定號，下結(jié)論。

六、課后作業(yè)：

1、必做題：課后練習1，4，6，2、選做題: 課后練習7

.精品資料。歡迎使用。

版權所有@高考資源網(wǎng)

第二篇：2010年第五屆卡西歐杯全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案-《曲線與方程》

2010年第五屆全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動精品教案

“曲線與方程”教學設計

一、教學內(nèi)容：人教版選修2—1第二章第一節(jié)：曲線與方程

二、教材分析

曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數(shù)”的范疇，它們通過直角坐標系而聯(lián)系在一起，曲線的方程是曲線幾何的一種代數(shù)表示，方程的曲線則是代數(shù)的一種幾何表示。在直角坐標系中，點可由它的坐標來表示，而曲線是點的軌跡，所以曲線可用含x、y的方程來表示?！扒€和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實的基礎，對解析幾何教學有著深遠的影響，曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)學方法論上的一次飛躍。

由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學習的入門之徑。求曲線與方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應該認識到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點內(nèi)容之一。本節(jié)中提出的曲線與方程的概念，它既是對以前學過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學知識的深化，又是學習圓錐曲線的理論基礎，它貫穿于研究圓錐曲線的全過程，根據(jù)曲線與方程的對應關系，通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，是幾何的研究實現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。

●教學目標：

1．通過感受曲線的方程和方程的曲線這一概念的生成過程，初步理解曲線的方程和方程的曲線的概念。

2．理解曲線的方程與方程的曲線的概念和集合相等的關系、滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想與數(shù)形結(jié)合的思想。

3．培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質(zhì)，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。

●教學重點

理解曲線的方程和方程的曲線的概念。

●教學難點

對曲線與方程對應關系的理解。

●學情分析

新課標強調(diào)返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、結(jié)論的發(fā)展背景，過程和本質(zhì)，揭示人們探索真理的道路。本節(jié)課在學生學習了集合和直線的方程、圓的方程知識的基礎上，使學生理解數(shù)學概念、結(jié)論產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程，體會孕育在其中的思想，把數(shù)學的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài)。為突破曲線的方程與方程的曲線定義的難點，選擇學生認知結(jié)構(gòu)中與新知最鄰近“直線的方程”，“ 圓的方程”入手，以集合相等，輔助理解 “曲線的方程”與“方程的曲線”，進一步強化了概念理解的深刻性。無論是判斷、證明，還是求解曲線的方程，都要緊扣曲線方程的概念，即始終以是否滿足概念中的兩條為準則。

教學過程設計

第三篇：2010年第五屆卡西歐杯全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案-《函數(shù)的概念》(重慶賀祠亮)

《函數(shù)的概念》教學設計

重慶市巴縣中學賀祠亮

【三維目標】

了解：通過豐富實例讓學生了解函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一個對應；了解構(gòu)成函數(shù)的三要素；

理解：函數(shù)概念的本質(zhì)；抽象的函數(shù)符號f(x)的意義；f(a)(a為常數(shù))與f(x)的區(qū)別

與聯(lián)系；會求一些簡單函數(shù)的定義域；

經(jīng)歷：讓學生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，函數(shù)的辨析過程，函數(shù)定義域的求解過程以及求

函數(shù)值的過程；滲透歸納推理、發(fā)展學生的抽象思維能力；

體驗：通過經(jīng)歷以上過程，讓學生體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學會用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用，體驗函數(shù)思想；通過師生互動、生生互動，讓學生在民主、和諧的課堂氛圍中，感受數(shù)學的抽象性和簡潔美．

【教學重點】函數(shù)概念的形成，正確理解函數(shù)的概念.【教學難點】發(fā)展學生的抽象思維能力，對函數(shù)概念本質(zhì)的理解．

【教法選擇】問題式教學法：本堂課的特點是概念教學,根據(jù)學生的心理特征和認知規(guī)律，我采取問題式教學法；以問題串為主線，通過設置幾個具體問題情景，發(fā)現(xiàn)問題中兩個變量的關系，讓學生歸納、概括出函數(shù)概念的本質(zhì),這也符合建構(gòu)主義的教學理論．

【學法選擇】探究式學法：新課程要求課堂教學的著力點是尊重學生的主體地位,發(fā)揮學生的主動精神,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力,使學生真正成為學習的主體，結(jié)合本堂課的特點，我倡導的是探究式學法；讓學生在探究問題的過程中,通過老師的引導歸納概括出函數(shù)的概念，通過問題的解決，達到熟練理解函數(shù)概念的目的,從而讓學生由“被動學會”變成“主動會學”．

【教學媒體選擇】教學中使用多媒體來輔助教學，其目的是充分發(fā)揮快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于適當增加課堂容量，提高課堂效率；同時與黑板板書相結(jié)合．

【教學過程設計】

(一)．結(jié)構(gòu)分析

為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為七個階段：

(二)．教學過程 課題引入

2010年9月5日0時14分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號乙”運載火箭，成功將“鑫諾六號”通信廣播衛(wèi)星送入太空．在“鑫諾六號”飛行期間，我們時刻關注著“鑫諾六號”離地面的距離隨時間是如何變化的，數(shù)學上可以用來描述這種運動變化中的數(shù)量關系.（函數(shù)）

1．回憶舊知，引出困惑

問題一：請舉出初中學過的一些函數(shù)．

y?2x，y?x2，y?

等． x

問題二：請同學們回憶初中函數(shù)的定義是什么?

在一個變化過程中，有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫自變量． 問題三：y?0(x?R)是函數(shù)嗎？

學生活動：先由學生思考回答，對產(chǎn)生的兩種意見展開小組討論．

由于受認知能力的影響，利用初中所學函數(shù)知識很難回答這些問題，形成認知沖突，從而引出本堂課的課題（用幻燈片打出課題）．讓學生帶著懸念、帶著認知沖突學習后面的知識，這樣有利于激發(fā)學生的學習欲望．

2.創(chuàng)設情境，形成概念

實例一：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律是：h?130t?5t． 問題四：１.t的范圍是什么？h的范圍是什么？

２.t和h有什么關系？這個關系有什么特點？（實例一由師生共同完成）

事實上生活中這樣的實例有很多，隨著改革開放的深入，我們的生活水平越來越高，需求越來越大，對環(huán)境的影響也越來越重，下面請同學們自學有關臭氧層空洞的問題和恩格爾系數(shù)的問題：

實例二：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題．圖1.2?1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979~2001年的變化情況．

實例三：國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．表1?1中恩格爾系數(shù)隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化．

通過先對兩個實例的學生自學，然后請學生談感受，老師提問，學生回答，師生共同完成.問題五：實例

一、實例

二、實例三的對應關系在呈現(xiàn)方式上有什么不同？ 問題六：以上三個實例有什么相同的特征？ 學生活動：讓學生分組討論交流，總結(jié)歸納出：

共同特點：①都有兩個非空數(shù)集A、B；②兩個數(shù)集之間都有一種確定的對應關系；③對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對應.問題七：滿足以上共同特點的兩個數(shù)集的對應關系，我們把它叫做什么呢？（先讓學生說，老師再做補充）

引導學生思考：在三個實例中，大家用集合與對應的語言分別描述了兩個變量之間的依賴關系，其中一個變量都是另一個變量的函數(shù).你能否用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，抽象概括出函數(shù)的概念呢？ 函數(shù)概念：

設A、B是非空的數(shù)集，如果按某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f:A?B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y?f(x),x?A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)x?A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． 問題八:請同學們根據(jù)現(xiàn)在函數(shù)的定義說說前面三個實例是否表示兩個集合的函數(shù)關系？ 問題九:y?0(x?R)是函數(shù)嗎?

問題十:用幾何畫板在平面直角坐標系中畫出一段弧，并作平移和旋轉(zhuǎn)，同時讓學生判斷這

些平移和旋轉(zhuǎn)中的弧是否表示函數(shù)圖象.方法引導：如何判斷給定的兩個變量間是否具有函數(shù)關系？

可依據(jù)定義，依據(jù)定義中的哪幾個要點？要注意函數(shù)概念中的哪些關鍵詞？

3．質(zhì)疑解惑,剖析概念

問題十一:請同學們勾畫出概念中的關鍵詞，并用簡潔的語言說明． 通過交流得出以下幾點： ① A、B都是非空的數(shù)集； ② 任意性與唯一性；

③ 確定的對應關系，對應關系f可以是解析式、圖象、表格．

問題十二:函數(shù)由幾部分組成?

三要素：定義域、值域、對應法則，缺一不可． 問題十三:怎樣理解符號f(x)?

在法則f下，x所對應的函數(shù)值，并結(jié)合生活實例說明．

4．討論研究，深化理解

【例1】已知函數(shù)f(x)?（1）求函數(shù)的定義域；（2）求f(?3),f()的值；

（3）當a?0時，求f(a),f(a?1)的值．

想一想：函數(shù)的定義域該怎么求？符號f(a)(a為常數(shù))與f(x)有哪些區(qū)別與聯(lián)系?（學生先思考、計算，老師提問，師生共同完成）

x?3?，x?

35．即時訓練，鞏固新知

練習1．求函數(shù)f(x)??x?

x?3?1的定義域：

練習2．已知函數(shù)f(x)?3x3?2x,求f(2)?f(?a)的值．

學生活動:抽兩位學生到講臺在黑板上分別完成（其他同學在下面完成），完成后，師生共同評價完善．

6．總結(jié)反思，提高認識

今天，我們在初中函數(shù)定義的基礎上，運用集合與對應的語言重新刻畫了函數(shù)，比較兩個函數(shù)的定義，同學們有什么新的認識． 引導學生思考回答，老師作適當補充．

7．分層作業(yè)，自主探究

作業(yè)：

一、舉出生活中函數(shù)的例子（兩個以上），并用集合與對應的語言來描述函數(shù)；

二、A組學生做：P241、2、3、4；

B組學生做：必做A組學生所做，選做P251題．

附板書設計（提綱式）

各位專家，以上就是我對這節(jié)課的教學設想，不足之處懇請各位專家批評指正．

謝謝！

第四篇：第五屆全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動：《幾類不同增長函數(shù)模型》教案與說課稿

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型（第一課時）

浙江省杭州第二中學 詹爽姿

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)是高中數(shù)學必修1（人教A版）第三章《函數(shù)的應用》的起始課．該課將經(jīng)歷運用和選擇函數(shù)模型解決實際問題的過程，從而認識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義；認識研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法；感受數(shù)學建模的思想．

對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應用這一核心，結(jié)合具體實例展開討論，讓學生在應用函數(shù)模型的過程中，體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點．

教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問題，接著運用信息技術從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義．

在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質(zhì)以及基本初等函數(shù)．本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學習的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數(shù)的方法的進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續(xù)學習各種不同的函數(shù)模型的應用舉例奠定基礎，．因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù)，又是函數(shù)模型應用學習的基礎，起著承前啟后的作用.本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想．

二．目標和目標解析 本節(jié)課的教學任務為：

（1）創(chuàng)設一個投資方案的問題情境，讓學生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象和性質(zhì)，體會直線上升和指數(shù)爆炸；

（2）創(chuàng)設一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會對數(shù)增長模型的特點；

（3）通過建立和運用函數(shù)基本模型，讓學生初步體驗數(shù)學建模的基本思想，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學應用意識.根據(jù)內(nèi)容解析和教學任務，本節(jié)課的教學目標確定為：

（1）通過實例的解決，運用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義；

（2）通過恰當?shù)剡\用函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數(shù)關系的操作，認識函數(shù)問題的研究方法：觀察—歸納—猜想—證明；

（3）經(jīng)歷建立和運用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗數(shù)學建模的基本思想，體會數(shù)學的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.這部分內(nèi)容教科書在處理上，以函數(shù)模型的應用這一內(nèi)容為主線，以幾個重要的函數(shù)

模型為對象，將前面已經(jīng)學習過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結(jié)合起來，使之成為一個整體．因此教學中應當注意貫徹教材的設計意圖，讓學生經(jīng)歷函數(shù)模型應用的全過程，能在這一過程中認識不同增長的差異，認識知曉函數(shù)增長差異的作用，認識研究差異的思想方法．

結(jié)合以上分析本節(jié)課的教學重點為：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義．

三．教學問題診斷

學生在前面已學過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，但由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長變化復雜，這就使得學生在研究過程中可能遇到困難．因此本節(jié)課教學難點確定為：如何結(jié)合實際問題讓學生體會不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題．

為了解決這一難點，教科書分三個步驟，創(chuàng)設問題情境，并通過恰點恰時而又層層遞進的問題串，讓學生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數(shù)間的增長差異，并培養(yǎng)分析問題解決問題的能力．第一步，教科書先創(chuàng)設了一個選擇投資方案的問題情境，在解決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學生一方面從中體會直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學會如何選擇恰當?shù)谋硎拘问綄栴}進行分析．第二步，教科書又創(chuàng)設了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會到對數(shù)增長模型的特點．第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的問題．先讓學生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長圖象，從中體會二者的差異；再通過兩個探究問題，讓學生對冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進行自主探究．這樣的安排內(nèi)容上層次分明，可以引導學生從不同的方面積極地開展觀察、思考和探究活動，對典型的問題，多視點寬角度地進行了研究．對學生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)將有積極的推動．由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以本節(jié)課我們只能重點解決其中的前兩個問題．

四．教學支持條件分析

要讓學生較為全面地體會函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異．這樣，就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學知識和思想方法．因此在本節(jié)內(nèi)容教學的處理上，通過學生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，利用計算器和計算機，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．

五．教學過程設計

一、創(chuàng)設情境，引入課題 1.介紹第三章章頭圖，提出問題．

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？ 澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？

2.在學生回答問題的基礎上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型． 3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型．

【設計意圖】運用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應用函數(shù)的需要，激發(fā)學生的學習愿望．

二、分析問題，建立模型

（一）提出問題

例1．假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的 回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番． 請問：你會選擇哪種投資方式？

（二）分析問題

1.引導審題，抓住關鍵詞“回報”

問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大小？

從解決問題的角度看：

（1）比較三種方案的每日回報；

（2）比較三種方案在若干天內(nèi)的累計回報.2.引導分析數(shù)量關系，建立函數(shù)模型

僅從日回報的角度引導學生根據(jù)數(shù)量關系，歸納概括出相應的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式.【設計意圖】引發(fā)學生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程．

【備注】累計回報的本質(zhì)是數(shù)列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠，現(xiàn)在僅限于通過對函數(shù)模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.三、組織探究，感性體驗 1.教師提出問題

問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由． 2.學生分組操作，比較不同增長 從解決問題的方式上：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數(shù)圖象來分析.【設計意圖】保成學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗研究函數(shù)增長差異的方法．

四、成果交流，階段小結(jié)

（一）學生交流

讓學生交流小組探究的成果（表格、圖象、結(jié)論）

（二）師生互動

1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點圖），引導學生關注增長量，感受增長差異． 2.通過教師多媒體動態(tài)演示，讓學生進一步體會增長差異．

在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點．他們的增長不在同一個“檔次”上，當自變量變得很大時，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多．

（三）歸納小結(jié)

1.通過教師的小結(jié)，增強學生對增長差異的認識．

常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）．

2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關系，把它抽象概括成一個函數(shù)問題，用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達形式來研究的．

【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗數(shù)學建模的基本思想，認識函數(shù)問題的研究方法．

五、深入探究，理性分析

（一）提出問題

例2．某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：y?0.25x y?log7x?1

y?1.002x．其中哪個模型能符合公司的要求？

（二）引導分析

問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？

問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學關系？ 問題7：我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件？

（三）解決問題

1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異； 2.結(jié)合限制條件，初步作出選擇；

3.通過計算，進一步確認，驗證所得結(jié)論；

4.體會對數(shù)增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長； 5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）．

【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數(shù)增長模型的特點．

【備注】對判斷模型二y?log7x?1是否滿足限制條件“l(fā)og7x?1?0.25x”，考慮到學生現(xiàn)在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構(gòu)造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象來解決（因為該函數(shù)單調(diào)性的判定，必須運用高二數(shù)學中的導數(shù)知識與方法才能解決）．

六、拓展延伸，創(chuàng)新設計

這個獎勵方案實施以后，立刻調(diào)動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？ 問題9：你能否設計出更合理的獎勵模型？

【創(chuàng)新設計】為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加,要求如下：

10萬～ 50萬，獎金不超過2萬；50萬～ 200萬，獎金不超過4萬；200萬～ 1000萬，獎金不超過20萬．請選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達你的設計方案．（四人一組，合作完成）

【設計意圖】設計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵學生學以致用，用以致優(yōu)，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程．

七、歸納總結(jié)，提煉升華

問題10：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結(jié)．

1.知識：對函數(shù)的性質(zhì)有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數(shù)，但其增長差異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對數(shù)函數(shù)（平緩增長）．

2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）

3.思想：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想，即把實際問題數(shù)學化：面對實際問題，我們要讀懂問題，運用所學知識，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，最終得到實際問題的解.【設計意圖】理解幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異，提煉數(shù)學思想方法，認識數(shù)學的應用價值．

八、布置作業(yè)，鞏固提高

1.課本98頁課后練習1，2；課本107頁習題3.2（A組）第1題；

2.收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應用．

【設計意圖】進一步體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述；培養(yǎng)學生對數(shù)學學科的深刻認識，體會數(shù)學的應用價值.

第五篇：2010年第五屆卡西歐杯全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案-《獨立性檢驗》(山西董凱)

新課標教材 人教A版《數(shù)學2-3》(選修)第三章 統(tǒng)計案例

《獨立性檢驗》教學設計說明

大同一中董凱

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

《獨立性檢驗》為新課標教材中新增加的內(nèi)容.雖然本節(jié)是新增內(nèi)容，理論比較復雜，教學時間也不

長(1-2課時)，但由于它貼近實際生活，在整個高中數(shù)學中，地位不可小視.在近幾年各省新課標高考試題中，本節(jié)內(nèi)容

屢屢出現(xiàn)，而且多以解答題的形式呈現(xiàn)，其重要性可見一斑.該內(nèi)容是前面學生在《數(shù)學3》(必修)中的統(tǒng)計知識的進一步應用，并與本冊課本前面提到的事件的獨立性一節(jié)關系緊密，此外還涉及到與《數(shù)學2-2》(選修)中講到的“反證法”類似的思想.本小節(jié)的知識內(nèi)容如右圖?！蔼毩⑿詸z驗”是在考察兩個分類變量之間是否具有相關性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分類變量的概念，并給出了考察兩個分類變量之間是否相關的一種簡單的思路，即借助等高條形圖的方法，隨后引出相對更精確地解決辦法——獨立性檢驗。

獨立性檢驗的思想，建立在統(tǒng)計思想、假設檢驗思想(小概

率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生)等基礎之上，通常按照如下步驟對數(shù)據(jù)進行處理：明確問題→確定犯錯誤概率的上界?及K的臨界值k0→收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→制列聯(lián)表→計算統(tǒng)計量K的觀測值k→比較觀測值k與臨界值k0并給出結(jié)論.本節(jié)的重點內(nèi)容是通過實例讓學生體會獨立性檢驗的基本思想，掌握獨立性檢驗的一般步驟.二、目標與目標解析

本節(jié)課的教學目標是主要有：

1.理解分類變量(也稱屬性變量或定性變量)的含義，體會兩個分類變量之間可能具有相關性；

2.通過對典型案例（吸煙和患肺癌有關嗎?）的探究，了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法、步驟及應用。

3.鼓勵學生體驗用多種方法(等高條形圖法與獨立性檢驗法)解決同一問題，并對各種方法進行比較。

4.讓學生對統(tǒng)計方法有更深刻的認識，體會統(tǒng)計方法應用的廣泛性，進一步體會科學的嚴謹性（如統(tǒng)計可能犯錯誤，原因可能是收集的數(shù)據(jù)樣本容量小或樣本采集不合理，也可能是理論上的漏洞，如在一次實驗中，我們假設小概率事件不發(fā)生，這一點本身就值得質(zhì)疑）.其中第2條是重點目標，也是《課程標準》中明確指出的教學要求之一.三、教學問題診斷分析

基于對學生已有數(shù)學水平的分析，在本節(jié)新學內(nèi)容時，有以下幾點是初學者不易理解或掌握的：

1.K的結(jié)構(gòu)比較奇怪，來的也比較突然，學生可能會提出疑問

.22

2關于這個問題的處理，要首先利用好前面對“比例”或者兩個分類變量“獨立”的分析。借助兩件事獨立的定義以及樣本容量較大時可以用頻率近似表示概率，可以得到

aaaaaa??，考慮到近似造成的誤差，?未必恰好為0，但不會太大，?na?ba?cna?ba?c

aaa

??

na?ba?c

于是這個值的平方占概率乘積的比例

?

a?ba?c

應該較小。由于

四B對事件的獨立具有等價性，故加和之后A,B;A,A,aaabbb

????na?ba?cnb?ab?d

?

aabb??a?ba?cb?ab?d

ccc

??

nc?ac?d?

cc?

c?ac?d

ddd??

nd?bd?c?

dd?

d?bd?c

應該很

n(ad?bc)2

小，而將此式化簡之后 即得K的表達式(這個推導過程是我借

(a?b)(a?c)(d?b)(d?c)

鑒人教B版教材相應章節(jié)知識內(nèi)容獲悉的).另，由此可知K越小說明兩件事越“獨立”，因此當它小于臨界值時有利于說明二者獨立，大于或等于臨界值時，有利于說明二者相關.2.如何理解獨立性檢驗的基本思想？ 這個問題需要和反證法做一個對比，學生可以通過完成表格(印在學案上)以對二者的基本思想作比較并加以區(qū)別。表格內(nèi)容如下：

由于教材一邊解決問題，一邊做講解，因此結(jié)題思路顯得有點散。然而細心提煉則不難

總結(jié)出步驟，具體可大致分為4個階段：①提出原假設H0:兩個分類變量獨立(無關)，備擇假設H1:兩個分類變量有關，并假設H0成立；②確定允許犯錯誤的概率的上界?，找到臨界值k0；③在H0下，計算K的觀測值k；④若k?k0,此時小概率事件發(fā)生，我們認為在一次試驗中，小概率事件是不可能發(fā)生，所以假設H0出錯，從而接受H1；若k?k0時，我們沒有充分理由拒絕H0，也就沒辦法接受H1了.其中②③兩個步驟屬平級關系，可以調(diào)換次序.4.為什么在最后表達結(jié)論的時候要出現(xiàn)“在犯錯誤的概率不超過XX的前提下”這樣的詞.這也是初學者較難理解的問題，原因就在于獨立性檢驗的過程中存在一個小小的漏洞，就是假設“在一次實驗中，小概率事件不發(fā)生”，而事實上，小概率事件是可能發(fā)生的(用反證法，如果始終不發(fā)生，就是不可能事件了)，而正是因為這一點點漏洞，導致獨立性檢驗的結(jié)果可能是錯誤的，但是犯錯誤的概率不會太大，我們就把犯錯誤的最大概率等同于小概率事件發(fā)生的概率了。至于小概率事件所對應的臨界值，則屬于大學的研究范疇，在此不必做過多解釋.四、教學特點與預期效果分析

1.教學特點

① 用學案輔助教學

由于本節(jié)內(nèi)容較散，理論部分較難，故需教師精心設計學案，提前發(fā)放給學生，以提高學生的預習效率.② “問題串”為主，“講授式”為輔的教學模式

在最初定奪本節(jié)課教學模式時比較為難，一方面，按照新課標的理念，注重學生自主探究為主，教師僅僅是引導者(實踐證明這有利于學生學會“學習”，尤其是提高自學能力和合作學習能力)，然而另一方面，本節(jié)內(nèi)容理論難度較大，而且涉及到很多大學數(shù)學的內(nèi)容，憑高中學生的數(shù)學水平難以完成自主探究.因此，在理論部分，還得需要教師講，教師的“講授”成為了無奈的選擇.不過好在《課程標準》中，不要求學生掌握這部分深奧的理論，只要體會獨立性檢驗的思想，掌握獨立性檢驗的操作步驟.因此，最終定下來的教學模式是“‘問題串’為主，‘講授式’為輔”的模式.在“問題串”的指引下，學生研究出解決問題所需要收集的數(shù)據(jù)，并自行研究課本上給出的解題過程，提煉出解決問題的操作步驟，然后再由教師講解操作規(guī)程背后的理論依據(jù).③ 游戲式導入

本節(jié)課采用“有獎競猜”的游戲方式作為課堂導入，提高了學生的學習熱情.獎品為本節(jié)課的錄像光盤，也有一定的紀念意義.④ 充滿生活氣息的數(shù)學課堂 在《課程標準》理念下，“數(shù)學在生活中的應用”地位空前提高，教材中引入、例題甚至是課后習題的編寫，都有大量生活的影子.而本節(jié)課《獨立性檢驗》正是一個貼近生活的數(shù)學范疇，它可以解決兩件撲朔迷離事情之間到底有關還是無關的問題.因此本課從引入(吸煙與患肺癌)到例題(禿頂與心臟病)到練習(經(jīng)常上網(wǎng)與考試及格)再到課后作業(yè)題，全部都有著實際生活的影子.2.預期效果分析

通過本節(jié)課的教學，學生應能掌握獨立性檢驗的操作步驟，并能夠解決相關的實際問題，同時也可以初步體會到獨立性檢驗的大致思想.而對獨立性檢驗思想的更進一步認識和一些細節(jié)性的說法，則應該放在下一個課時，通過更多正面和反面的例子予以進行.