第一篇：狹義相對(duì)論公式及證明(幽靈蝶)

狹義相對(duì)論公式及證明

單位符號(hào)單位符號(hào)

坐標(biāo)：m(x,y,z)力： NF(f)

時(shí)間：st(T)質(zhì)量:kgm(M)

位移：mr動(dòng)量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a沖量：N*sI

長度：ml(L)動(dòng)能：JEk

路程：ms(S)勢(shì)能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛頓力學(xué)（預(yù)備知識(shí)）

(一)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt

(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)

當(dāng)v不變時(shí)，(1)表示勻速直線運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)a不變時(shí)，(2)表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

只要知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程r=r(t)，它的一切運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可知了。

(二)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：

(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質(zhì)量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。

(4)萬有引力：兩質(zhì)點(diǎn)間作用力與質(zhì)量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

動(dòng)量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動(dòng)量的變化)

動(dòng)量守恒：合外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量保持不變。

動(dòng)能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動(dòng)能的變化)

機(jī)械能守恒：只有重力做功時(shí)，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛頓力學(xué)的核心是牛二：F=ma,它是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的橋梁，我們的目的是知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即求解運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),若知受力情況，根據(jù)牛二可得a,再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求之。同樣，若知運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),可根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。)

二：

狹義相對(duì)論力學(xué)：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u為慣性系速度。)

(一)基本原理：(1)相對(duì)性原理：所有慣性系都是等價(jià)的。

(2)光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑偈桥c慣性系無關(guān)的常數(shù)。

(此處先給出公式再給出證明)

(二)洛侖茲坐標(biāo)變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度變換：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

(四)尺縮效應(yīng)：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)鐘慢效應(yīng)：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效應(yīng)：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源與探測(cè)器在一條直線上運(yùn)動(dòng)。)

(七)動(dòng)量表達(dá)式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相對(duì)論力學(xué)基本方程：F=dP/dt

(九)質(zhì)能方程：E=Mc^2

(十)能量動(dòng)量關(guān)系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內(nèi)進(jìn)行，一種在四維時(shí)空中證明，實(shí)際上他們是等價(jià)的。)

三：

三維證明：

(一)由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的公理，無法證明。

(二)洛侖茲變換：

設(shè)(x,y,z,t)所在坐標(biāo)系(A系)靜止，(X,Y,Z,T)所在坐標(biāo)系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點(diǎn)處，x=0,B系中A原點(diǎn)的坐標(biāo)為X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內(nèi)的各點(diǎn)位置是等價(jià)的，因此k是與u有關(guān)的常數(shù)(廣義相對(duì)論中，由于時(shí)空彎曲，各點(diǎn)不再等價(jià)，因此k不再是常數(shù)。)同理，B系中的原點(diǎn)處有X=K(x-ut),由相對(duì)性原理知，兩個(gè)慣性系等價(jià)，除速度反向外，兩式應(yīng)取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對(duì)于y,z,Y,Z皆與速度無關(guān)，可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對(duì)性原理，要確定k需用光速不變?cè)?。?dāng)兩系的原點(diǎn)重合時(shí)，由重合點(diǎn)發(fā)出一光信號(hào)，則對(duì)兩系分別有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標(biāo)變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度變換：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

同理可得V(y),V(z)的表達(dá)式。

(四)尺縮效應(yīng)：

B系中有一與x軸平行長l的細(xì)桿，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時(shí)測(cè)量兩端的坐標(biāo))，則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)鐘慢效應(yīng)：

由坐標(biāo)變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測(cè)量)，故△t=γ△T.(注：與坐標(biāo)系相對(duì)靜止的物體的長度、質(zhì)量和時(shí)間間隔稱固有長度、靜止質(zhì)量和固有時(shí)，是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量。)

(六)光的多普勒效應(yīng)：(注：聲音的多普勒效應(yīng)是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原點(diǎn)處一光源發(fā)出光信號(hào)，A系原點(diǎn)有一探測(cè)器，兩系中分別有兩個(gè)鐘，當(dāng)兩系原點(diǎn)重合時(shí)，校準(zhǔn)時(shí)鐘開始計(jì)時(shí)。B系中光源頻率為ν(b),波數(shù)為N，B系的鐘測(cè)得的時(shí)間是△t(b),由鐘慢效應(yīng)可知，A△系中的鐘測(cè)得的時(shí)間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測(cè)器開始接收時(shí)刻為t1+x/c,最終時(shí)刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對(duì)運(yùn)動(dòng)不影響光信號(hào)的波數(shù)，故光源發(fā)出的波數(shù)與探測(cè)器接收的波數(shù)相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)動(dòng)量表達(dá)式:(注：dt=γdτ,此時(shí)，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因?yàn)閷?duì)于動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)可選自身為參考系，β=v/c)

牛二在伽利略變換下，保持形勢(shì)不變，即無論在那個(gè)慣性系內(nèi)，牛二都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對(duì)牛頓定律進(jìn)行修正，要求是在坐標(biāo)變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學(xué)中，v=dr/dt,r在坐標(biāo)變換下形式不變，（舊坐標(biāo)系中為（x,y,z）新坐標(biāo)系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個(gè)不變量（當(dāng)然非固有時(shí)dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對(duì)論速度。牛頓動(dòng)量為p=mv,將v替換為V，可修正動(dòng)量，即p=mV=γmv。定義M=γm(相對(duì)論質(zhì)量)則p=Mv.這就是相對(duì)論力學(xué)的基本量：相對(duì)論動(dòng)量。（注：我們一般不用相對(duì)論速度而是用牛頓速度來參與計(jì)算）

(八)相對(duì)論力學(xué)基本方程：

由相對(duì)論動(dòng)量表達(dá)式可知：F=dp/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內(nèi)涵不一樣。（相對(duì)論中質(zhì)量是變量）

(九)質(zhì)能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mc^2-mc^2

即E=Mc^2=Ek+mc^2

(十)能量動(dòng)量關(guān)系：

E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

四：

四維證明：

(一)公理，無法證明。

(二)坐標(biāo)變換：由光速不變?cè)恚篸l=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內(nèi)都成立。定義dS為四維間隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).則對(duì)光信號(hào)dS恒等于0，而對(duì)于任意兩時(shí)空點(diǎn)的dS一般不為0。dS^2〉0稱類空間隔，dS^2<0稱類時(shí)間隔，dS^2=0稱類

光間隔。相對(duì)論原理要求（1）式在坐標(biāo)變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量，dS^2dS^2光速不變?cè)硪蠊庑盘?hào)在坐標(biāo)變換下dS是不變量。因此在兩個(gè)原理的共同制約下，可得出一個(gè)重要的結(jié)論：dS是坐標(biāo)變換下的不變量。

由數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換公式有：（保持y,z軸不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)x和ict軸）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

當(dāng)X=0時(shí)，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)動(dòng)量表達(dá)式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)

令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=(γv,icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動(dòng)量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F為三維力)

四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

則f=mdV/dτ=mω

(九)質(zhì)能方程：

fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

故四維力與四維速度永遠(yuǎn)“垂直”，（類似于洛倫茲磁場(chǎng)力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達(dá)式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2

故E=Mc^2=Ek+mc^2

第二篇：狹義相對(duì)論公式及證明

狹義相對(duì)論公式及證明

單位符號(hào)單位符號(hào)

坐標(biāo)：m(x, y, z)力： NF(f)

時(shí)間：st(T)質(zhì)量:kgm(M)

位移：mr動(dòng)量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a沖量：N*sI

長度：ml(L)動(dòng)能：JEk

路程：ms(S)勢(shì)能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛頓力學(xué)（預(yù)備知識(shí)）

(一)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)

當(dāng)v不變時(shí)，(1)表示勻速直線運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)a不變時(shí)，(2)表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

只要知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程r=r(t)，它的一切運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可知了。

(二)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：

(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質(zhì)量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。

(4)萬有引力：兩質(zhì)點(diǎn)間作用力與質(zhì)量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)

動(dòng)量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動(dòng)量的變化)

動(dòng)量守恒：合外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量保持不變。

動(dòng)能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動(dòng)能的變化)

機(jī)械能守恒：只有重力做功時(shí)，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛頓力學(xué)的核心是牛二：F=ma,它是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的橋梁，我們的目的是知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即求解運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),若知受力情況，根據(jù)牛二可得a,再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求之。同樣，若知運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),可根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。)

二：

狹義相對(duì)論力學(xué)：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u為慣性系速度。)

(一)基本原理：(1)相對(duì)性原理：所有慣性系都是等價(jià)的。

(2)光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑偈桥c慣性系無關(guān)的常數(shù)。

(此處先給出公式再給出證明)

(二)洛侖茲坐標(biāo)變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度變換：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))

(四)尺縮效應(yīng)：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)鐘慢效應(yīng)：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效應(yīng)：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源與探測(cè)器在一條直線上運(yùn)動(dòng)。)

(七)動(dòng)量表達(dá)式：P=Mv=γmv, 即M=γm.(八)相對(duì)論力學(xué)基本方程：F=dP/dt

(九)質(zhì)能方程：E=Mc2

(十)能量動(dòng)量關(guān)系：E2=E02+P2c2

(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內(nèi)進(jìn)行，一種在四維時(shí)空中證明，實(shí)際上他們是等價(jià)的。)

三：

三維證明：

(一)由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的公理，無法證明。

(二)洛侖茲變換：

設(shè)(x, y, z, t)所在坐標(biāo)系(A系)靜止，(X,Y, Z,T)所在坐標(biāo)系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點(diǎn)處，x=0,B系中A原點(diǎn)的坐標(biāo)為X=-uT,即X+uT=0?？闪顇=k(X+uT),(1).又因在慣性系內(nèi)的各點(diǎn)位置是等價(jià)的，因此k是與u有關(guān)的常數(shù)(廣義相對(duì)論中，由于時(shí)空彎曲，各點(diǎn)不再等價(jià)，因此k不再是常數(shù)。)同理，B系中的原點(diǎn)處有X=K(x-ut),由相對(duì)性原理知，兩個(gè)慣性系等價(jià)，除速度反向外，兩式應(yīng)取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對(duì)于y, z, Y, Z皆與速度無關(guān)，可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對(duì)性原理，要確定k需用光速不變?cè)?。?dāng)兩系的原點(diǎn)重合時(shí)，由重合點(diǎn)發(fā)出一光信號(hào)，則對(duì)兩系分別有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標(biāo)變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度變換：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V(y),V(z)的表達(dá)式。

(四)尺縮效應(yīng)：

B系中有一與x軸平行長l的細(xì)桿，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時(shí)測(cè)量兩端的坐標(biāo))，則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)鐘慢效應(yīng)：

由坐標(biāo)變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地測(cè)量)，故

△t=γ△T.(注：與坐標(biāo)系相對(duì)靜止的物體的長度、質(zhì)量和時(shí)間間隔稱固有長度、靜止質(zhì)量和固有時(shí)，是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量。)

(六)光的多普勒效應(yīng)：(注：聲音的多普勒效應(yīng)是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原點(diǎn)處一光源發(fā)出光信號(hào)，A系原點(diǎn)有一探測(cè)器，兩系中分別有兩個(gè)鐘，當(dāng)兩系原點(diǎn)重合時(shí)，校準(zhǔn)時(shí)鐘開始計(jì)時(shí)。B系中光源頻率為ν(b),波數(shù)為N，B系的鐘測(cè)得的時(shí)間是△t(b),由鐘慢效應(yīng)可知，A△系中的鐘測(cè)得的時(shí)間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測(cè)器開始接收時(shí)刻為t1+x/c,最終時(shí)刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對(duì)運(yùn)動(dòng)不影響光信號(hào)的波數(shù)，故光源發(fā)出的波數(shù)與探測(cè)器接收的波數(shù)相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)動(dòng)量表達(dá)式:(注：dt=γdτ,此時(shí)，γ=1/sqr(1-v2/c2)因?yàn)閷?duì)于動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)可選自身為參考系，β=v/c)

牛二在伽利略變換下，保持形勢(shì)不變，即無論在那個(gè)慣性系內(nèi)，牛二都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對(duì)牛頓定律進(jìn)行修正，要求是在坐標(biāo)變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學(xué)中，v=dr/dt, r在坐標(biāo)變換下形式不變，（舊坐標(biāo)系中為（x, y, z）新坐標(biāo)系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個(gè)不變量（當(dāng)然非固有時(shí)dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對(duì)論速度。牛頓動(dòng)量為p=mv, 將v替換為V，可修正動(dòng)量，即p=mV=γmv。定義M=γm(相對(duì)論質(zhì)量)則p=Mv.這就是相對(duì)論力學(xué)的基本量：相對(duì)論動(dòng)量。（注：我們一般不用相對(duì)論速度而是用牛頓速度來參與計(jì)算）

(八)相對(duì)論力學(xué)基本方程：

由相對(duì)論動(dòng)量表達(dá)式可知：F=dp/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內(nèi)涵不一樣。（相對(duì)論中質(zhì)量是變量）

(九)質(zhì)能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2

=Mc2-mc2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十)能量動(dòng)量關(guān)系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c

2四：

四維證明：

(一)公理，無法證明。

(二)坐標(biāo)變換：由光速不變?cè)恚篸l=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意慣性系內(nèi)都成立。定義dS為四維間隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).則對(duì)光信號(hào)dS恒等于0，而對(duì)于任意兩時(shí)空點(diǎn)的dS一般不為0。dS2>0稱類空間隔，dS2<0稱類時(shí)間隔，dS2=0稱類光間隔。相對(duì)論原理要求（1）式在坐標(biāo)變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量，dS2dS2光速不變?cè)硪蠊庑盘?hào)在坐標(biāo)變換下dS是不變量。因此在兩個(gè)原理的共同制約下，可得出一個(gè)重要的結(jié)論：dS是坐標(biāo)變換下的不變量。

由數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換公式有：（保持y, z軸不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)x和ict軸）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

當(dāng)X=0時(shí)，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)動(dòng)量表達(dá)式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=(γv, icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動(dòng)量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F為三維力)

四維加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)

則f=mdV/dτ=mω

(九)質(zhì)能方程：

fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四維力與四維速度永遠(yuǎn)“垂直”，（類似于洛倫茲磁場(chǎng)力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達(dá)式))故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

關(guān)于第六條：

通過速度變換和質(zhì)能方程（E=Mc2）可以導(dǎo)出兩個(gè)坐標(biāo)系間的能量變換公式（證明很簡單，但很繁瑣，就不寫了）：E'=γE(1-u*v/c2)

(注：u、v都是矢量，u為參考系速度，v為光源速度，*表示點(diǎn)乘，也可以寫做： E'=γE(1-uv（x）/c2))

上式對(duì)任意粒子都成立，對(duì)于光子：E=hν代入得：

ν'=γν（1-ucosθ/c）(普遍公式)

對(duì)于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）)（特例）

利用速度變換和動(dòng)量關(guān)系（p=Mv）一樣可導(dǎo)出兩坐標(biāo)系之間的動(dòng)量變換公式：

p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))

p(y)'=p(y)

p(z)'=p(z)

動(dòng)量變換與能量變換不僅僅適用于光子，對(duì)所有的粒子都是適用的。

第三篇：公式及證明

初中數(shù)學(xué)幾何定理

1。同角（或等角）的余角相等。2。對(duì)頂角相等。3。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。4。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

5。同位角相等，兩直線平行。6。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。7。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

8。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。

9。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

10。一組對(duì)邊平行且相等、或兩組對(duì)邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。

11。有三個(gè)角是直角的四邊形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

12。菱形性質(zhì)：四條邊相等、對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

13。正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

14。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等。15。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。16。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

18．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

19。切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

20。切線的性質(zhì)定理①經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。②圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。③經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

21。切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結(jié)圓外一點(diǎn)和圓心的直線，平分從這點(diǎn)向圓所作的兩條切線所夾的角。

22。弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

23。相交弦定理； 切割線定理； 割線定理；

初中數(shù)學(xué)幾何一般證題途徑：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等 2.同一三角形中等角對(duì)等邊

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等

9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等

10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等

11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等 13.等于同一線段的兩條線段相等

證明兩個(gè)角相等

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 2.同一三角形中等邊對(duì)等角

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等 6.同圓（或等圓）中，等弦（或同?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角

10.等于同一角的兩個(gè)角相等

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行

3.平行四邊形的對(duì)邊平行 4.三角形的中位線平行于第三邊

5.梯形的中位線平行于兩底 6.平行于同一直線的兩直線平行 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平等行于第三邊

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直

10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?11.利用半圓上的圓周角是直角

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等

4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分線的定義

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊 2.垂線段最短

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大 5.全量大于它的任何一部分

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例 2.利用內(nèi)外角平分線定理

3.平行線截線段成比例 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理

5.與圓有關(guān)的比例定理：相交弦定理、切割線定理及其推論

6.利用比利式或等積式化得

證明四點(diǎn)共圓

1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓 2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓

3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）

4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓 5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓

二、空間與圖形

A：圖形的認(rèn)識(shí)：

1：點(diǎn)，線，面

點(diǎn)，線，面：①圖形是由點(diǎn)，線，面構(gòu)成的。②面與面相交得線，線與線相交得點(diǎn)。③點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個(gè)面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線，棱柱的所有側(cè)棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

一個(gè)幾何體：用一個(gè)平面去截一個(gè)圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個(gè)扇形。

2：角

線：①線段有兩個(gè)端點(diǎn)。②將線段向一個(gè)方向無限延長就形成了射線。射線只有一個(gè)端點(diǎn)。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點(diǎn)。④經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。比較長短：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。②兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。②一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。③從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。③平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個(gè)角的和是直角,那么稱和兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。②同角或等角的余角/補(bǔ)角相等。③對(duì)頂角相等。④同位角相等/內(nèi)錯(cuò)角相等/同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個(gè)銳角互余。⑥三角形中一個(gè)內(nèi)角的角平分線與他的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與他對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)。⑨從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向他的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個(gè)能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊/角相等。②條件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質(zhì)：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫他的對(duì)角線。③平行四邊形的對(duì)邊/對(duì)角相等。④平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形/一組對(duì)邊平行且相等的四邊形/兩組對(duì)邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領(lǐng)心的四條邊相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角。③判定條件：定義/對(duì)角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質(zhì)。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內(nèi)角和等于（N-2）180度。②多邊心內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，他們的和叫做這個(gè)多邊形的內(nèi)角和（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對(duì)稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。

B：圖形與變換：

1：圖形的軸對(duì)稱

軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。

軸對(duì)稱圖形：①角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段/對(duì)應(yīng)角相等。

2:圖形的平移和旋轉(zhuǎn)

平移：①在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。

旋轉(zhuǎn)：①在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。②經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形商店每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。3：圖形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。

黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比（根號(hào)5-1/2）。相似：①各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對(duì)應(yīng)

邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。②條件：AA/SSS/SAS。

相似多邊形的性質(zhì)：①相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)角平分線，對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。②相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。

D：證明

定義與命題：①對(duì)名稱與術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的定義。②對(duì)事情進(jìn)行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個(gè)命題是由條件和結(jié)論兩部分組成。④要說明一個(gè)命題是假命題，通常舉出一個(gè)離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子叫做反例。

公理：①公認(rèn)的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí)，經(jīng)過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線；平行，反之亦然；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度；三角形的一個(gè)外交等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角心的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和他不相鄰的內(nèi)角。④由一個(gè)公理或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)公理或定理的推論。

第四篇：三角公式證明

公式表達(dá)式

乘法與因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理

判別式 b2-4a=0 注：方程有相等的兩實(shí)根

b2-4ac>0 注：方程有一個(gè)實(shí)根

b2-4ac<0 注：方程有共軛復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'*h

正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h' 正棱臺(tái)側(cè)面積 S=1/2(c+c')h'

圓臺(tái)側(cè)面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積 V=S'L 注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h

-----------------------三角函數(shù)積化和差 和差化積公式

記不住就自己推，用兩角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

這兩式相加或相減，可以得到2組積化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相減：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

這兩式相加或相減，可以得到2組積化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相減：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

這樣一共4組積化和差，然后倒過來就是和差化積了

不知道這樣你可以記住伐，實(shí)在記不住考試的時(shí)候也可以臨時(shí)推導(dǎo)一下

正加正 正在前

正減正 余在前

余加余 都是余

余減余 沒有余還負(fù)

正余正加 余正正減

余余余加 正正余減還負(fù)

.3.三角形中的一些結(jié)論：(不要求記憶)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求證tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

第五篇：導(dǎo)數(shù)公式證明

導(dǎo)數(shù)的定義：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再標(biāo)明Δx→0了）用定義求導(dǎo)數(shù)公式（1）f(x)=x^n

證法一：（n為自然數(shù)）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim(x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)

證法二：（n為任意實(shí)數(shù)）

f(x)=x^n lnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx f'(x)=lim(sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim(sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx

（3）f(x)=cosx f'(x)=lim(cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim(cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim(cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim-sinxsinΔx/Δx=-sinx

（4）f(x)=a^x f'(x)=lim(a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（設(shè)a^Δx-1=m，則Δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna

若a=e，原函數(shù)f(x)=e^x 則f'(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x f'(x)=lim(loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim(x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)

若a=e，原函數(shù)f(x)=loge^x=lnx則f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanx f'(x)=lim(tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim(sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim(sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx f'(x)=lim(cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim(cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim(cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx f'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim(1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim(cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim(cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx f'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim(1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx =lim(sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)' f'(x)/f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim(f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim(f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim(f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx =lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim(f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim(f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)總結(jié)一下

（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)