第一篇：21.1一元二次方程(第1課時)

21．1一元二次方程（第1課時）

教學內容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．

教學目標

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?應用一元二次方程概念解決一些簡單題目．

1．通過設置問題，建立數(shù)學模型，?模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義．

2．一元二次方程的一般形式及其有關概念．

3．解決一些概念性的題目．

4．通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情． 教學重難點關鍵

1．?重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題．

2．難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．

教學過程

一、復習引入

學生活動：列方程．

問題（1）詳見課本P25頁，題略。

解：設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為（100-2x）cm，寬為（50-2x）cm，則有：（100-2x）(50-2x)=3600.整理，得x?75x?350?0①

問題（2）如圖，如果2ACCB?，那么點C叫做線段AB的黃金分割點． ABAC

.cn

如果假設AB=1，AC=x，那么BC=2-x，根據(jù)題意，得：x?2(2?x)

整理得：x?2x?4?0．②

問題（3）要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？ 解：設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他（x-1）個隊各賽1場，由于甲對對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽時同一場比賽，所以全部比賽共221x(x?1)場。則有： 2

1x(x?1)?28整理，得x2?x?56?0③ 2

思考：方程①②③有什么共同點？

二、探索新知

學生活動：請口答下面問題．

（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？

（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

（3）有等號嗎？還是與多項式一樣只有式子？

老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）?都有等號，是方程．

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，?經過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

例1．將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等．

解：略

注意:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符號.例2．（學生活動：請二至三位同學上臺演練）將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項．

分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

解：略

三、鞏固練習

教材P32練習1、2

補充練習:判斷下列方程是否為一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0 x

四、應用拓展

例3．求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?≠0即可．證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

? 練習: 1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什

么條件下此方程為一元一次方程？

／4m／-42.當m為何值時,方程(m+1)x+27mx+5=0是關于的一元二次方程

五、歸納小結（學生總結，老師點評）

本節(jié)課要掌握：

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）?和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用．

六、布置作業(yè)

1．教材P34習題22．11(2)(4)(6)、2．

2m-12．選用作業(yè)設計．補充:若x-2x+3=0是關于x的一元二次方程,求m的值。

第二篇：實際問題與一元二次方程(第1課時)教案

21.3實際問題與一元二次方程（1）

課型：新課 課時：1 主備人：林玲 教學目標：

知識與技能：1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．

2.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理．

過程與方法：經歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述

情感態(tài)度價值觀：通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學知識應用的價值，提高學生學習數(shù)學的興趣，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用．

教學重難點

教學重點：列一元二次方程解有關傳播問題的應用題 教學難點：發(fā)現(xiàn)傳播問題中的等量關系 教學方法：引導發(fā)現(xiàn)法 教學過程

一、復習引入

1、解一元二次方程都是有哪些方法？

2、列一元一次方程解應用題都是有哪些步驟？

①審題；②設未知數(shù)；③找相等關系；④列方程；⑤解方程；⑥答

說明：為繼續(xù)學習建立一元二次方程的數(shù)學模型解實際問題作好鋪墊．

二、合作探究 【探究1】

有一人患了流感，經過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

思考：（1）本題中有哪些數(shù)量關系？

（2）如何理解“兩輪傳染”？

（3）如何利用已知的數(shù)量關系選取未知數(shù)并列出方程？

設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么患流感的這個人在第一輪傳染中傳染了 人；第一輪傳染后，共有 人患了流感；

在第二輪傳染中，傳染源是 人，這些人中每一個人又傳染了 人，那么第二輪傳染了 人，第二輪傳染后，共有 人患流感.（4）根據(jù)等量關系列方程并求解

解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則依題意第一輪傳染后有x+1人患了流感，第二輪傳染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121 解方程得

x1=10，x2=-12(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個人傳染了10個人．

(5)為什么要舍去一解？

（6）如果按照這樣的傳播速度，三輪傳染后，有多少人患流感？

說明：使學生通過多種方法解傳播問題，驗證多種方法的正確性；通過解題過程的對比，體會對已知數(shù)量關系的適當變形對解題的影響，豐富解題經驗． 【探究2】

兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現(xiàn)在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

思考：（1）怎樣理解下降額和下降率的關系？

（2）若設甲種藥品平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了 元，此時成本為 元；兩年后，甲種藥品下降了 元，此時成本為 元。（3）對甲種藥品而言根據(jù)等量關系列方程并求解、選擇根？

解：設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1-x）元．

依題意，得5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合題意，舍去）

（4）同樣的方法請同學們嘗試計算乙種藥品的平均下降率,并比較哪種藥品成本的平均下降率較大。

設乙種藥品成本的平均下降率為y．

則：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大

（5）思考經過計算，你能得出什么結論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？

三、鞏固練習

說明：通過練習加深學生列一元二次方程解應用題的基本思路

四、課堂小結：1.列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答。最后要檢驗根是否符合實際意義。

2.用“傳播問題”建立數(shù)學模型，并利用它解決一些具體問題．

3.對于變化率問題，若平均增長（降低）率為x，增長（或降低）前的基數(shù)是a，增長（或降低）n次后的量是b,則有：a(1?x)n?b（常見n=2）

作業(yè)：練習冊

板書設計： 實際問題與一元二次方程（1）

1.歸納

2.實際問題探究 3.小結 4.作業(yè)

教學反思：

第三篇：第15課時一元二次方程的應用2

初三代數(shù)教案 第十二章：一元二次方程

第15課時：一元二次方程的應用

（二）教學目標：

1、使學生會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用問題．

2、進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學的意識．

教學重點：

會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用題．

教學難點：

找等量關系．

教學過程：

初一學過一元一次方程的應用，實際上是據(jù)實際題意，設未知數(shù)，列出一元一次方程求解，從而得到問題的解決，但有的實際問題，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，這就是我們本節(jié)課要研究的一元二次方程的應用——有關面積和體積方面的實際問題．

本小節(jié)是“一元一次方程的應用”的繼續(xù)和發(fā)展．由于能用一元一次方程（或一次方程組）解的應用題，一般都可以用算術方法解，而需用一元二次方程來解的應用題，一般說是不能用算術法來解的，所以，講解本小節(jié)可以使學生認識到用代數(shù)方法解應用題的優(yōu)越性和必要性．

從列方程解應用題的方法來說，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關系列出方程、解方程、判斷根是否適合題意，作出正確的答案．列出一元二次方程，其應用相當廣泛，如在幾何、物理及其他學科中都有大量問題存在；本節(jié)課的內容是關于面積、體積的實際問題．

通過本節(jié)課學習，培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力以及用數(shù)學的意識，滲透轉化的思想、方程的思想及數(shù)形結合的思想．

一、新課引入：

（1）列方程解應用題的步驟？

（2）長方形的周長、面積？長方體的體積？

二、新課講解：

例1 現(xiàn)有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長是多少

2的小正方形才能做成底面積為77cm的無蓋長方體型的紙盒？

解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm，則盒底面長方形的長為（19-2x）cm，寬為（15-2x）cm，據(jù)題意：（19-2x）（15-2x）=77．

2整理后，得x-17x+52=0，解得x1=4，x2=13．

∴ 當x=13時，15-2x=-11（不合題意，舍去．）

答：截取的小正方形邊長應為4cm，可制成符合要求的無蓋盒子． 本題教師啟發(fā)、引導、學生回答，注意以下幾個問題．

2（1）因為要做成底面積為77cm的無蓋的長方體形的盒子，如果底面的長和寬分別能用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，這樣依據(jù)長×寬=長方形面積，便可以找準等量關系，列出方程，這是解決本題的關鍵．

（2）求出的兩個根一定要進行實際題意的檢驗，本題如果截取的小正方形邊長為13時，得到底面的寬為-11，則不合題意，所以x=13舍去．

（3）本題是一道典型的實際生活的問題，在學習本章之前，這個問題無法解決，但學了一元二次方程的知識之后，這個問題便可以解決．使學生深刻體會數(shù)學知識應用的價值，由此提高學生學習數(shù)學的興趣和用數(shù)學的意識．

練習1．章節(jié)前引例． 學生筆答、板書、評價． 練習2．教材P.42中4． 學生筆答、板書、評價．

注意：全面積=各部分面積之和． 剩余面積=原面積-截取面積．

3例2 要做一個容積為750cm，高是6cm，底面的長比寬多5cm的長方形匣子，底面的長及寬應該各是多少（精確到0.1cm）？

分析：底面的長和寬均可用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，則長×寬×高=體積，這樣便可得到含有未知數(shù)的等式——方程．

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，據(jù)題意，6x（x+5）=750，整理后，得x+5x-125=0．

解這個方程x1=9.0，x2=-14.0（不合題意，舍去）． 當x=9.0時，x+17=26.0，x+12=21.0．

答：可以選用寬為21cm，長為26cm的長方形鐵皮． 引導，學生板書，筆答，評價．

三、課堂小結：

1、有關面積和體積的應用題均可借助圖示加以分析，便于理解題意，搞清已知量與未知量的相互關系．

2、要深刻理解題意中的已知條件，正確決定一元二次方程的取舍問題，例如線段的長不能為負．

3、進一步體會數(shù)字在實踐中的應用，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．

四、作業(yè)：

教材P.43中A4、5、6、7． 教材P.43中B1． 2

第四篇：一元二次方程解法第2課時配方法1（共）

一元二次方程解法第2課時配方法

1一、課前回顧與預習

1.根據(jù)完全平方公式填空：

⑴ x2＋6x＋9＝﹙﹚2⑵ x2－8x＋16＝﹙﹚2

⑶ x2＋10x＋﹙ ﹚2＝﹙﹚2 ⑷ x2－3x ＋﹙ ﹚2＝﹙﹚2

（5）x2＋12x＋____＝(x＋6)2；（6）x2＋4x＋____＝(x＋_____)2；

（7）x＋8x＋____＝(x＋______)．

2.解下列方程：（1）((x?3)2＝25；（2）12(x?2)2－9＝0．

二、合作交流

例1.你會解方程 x＋6x－16＝0嗎?你會將它變成(x＋m)＝n（n為非負數(shù)）的形式嗎？

用配方法解一元二次方程的步驟：

（1）將一元二次方程整理成二次項系為1的一般形式。

（2）在二次項和一次項之后加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)。

（3）把原方程配方成(x?a)?b?0的形式；

（4）運用直接開平方法求解。22 22

2例

2、解下列方程：

（1）x＋10x＋9＝0；（2）x－3x－4＝0．

（3）x－2x－2＝0；（4）x＋

3＝；

例

3、應用配方法把關于x的二次三項式x2－4x＋6變形，然后證明：無論x取任何實數(shù)值，此二次三項式的值都是正數(shù)，再求出當x取何值時，這個代數(shù)式的值最小，最小值是多少？ 222

2(三)當堂檢測：

1．x2?px?_______＝(x－_______)2．

2、將一元二次方程x2-6x-1=0配方后，原方程可化為（）

A、（x-3）2=10B、（x-6）2=35C、（x-3）2=8D、（x-6）2=373、二次三項式x2-4x+3配方的結果是（）

A、（x-2）2+7B、（x-2）2-1C、（x+2）2+7D、（x+2）2-

14、用配方法解方程x2＋x－1＝0，配方后所得方程是（）

1313A．(x2B．(x＋)2＝ 242

41515C．(x2D．(x2＝ 24245、配方法解方程：

（1）．x2－2x－1＝0（2）x?22x?3?0

26、若a、b、c是△ABC的三條邊，且a?b?c?50?6a?8b?10c，判斷這個三角形的形狀。

四、課后練習

一、選擇題：

1．用配方法解方程x?2x?5?0時，原方程應變形為（）

A．(x?1)?6 B．(x?2)?9 222222C．(x?1)?62D．(x?2)?9

22．把x2－4x配成完全平方式需加上()．

(A)4(B)16(C)8(D)

13．若x2＋px＋16是一個完全平方式，則p的值為()．

(A)±2(B)±4(C)±8(D)±16

二、用配方法解一元二次方程

（1）． x2?22x?2?0.（2）、x?4x?2?0

（3）、x+12x-15=0(4)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).． 2

2三、已知代數(shù)式x-5x+7,先用配方法說明，不論x取何值，這個代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當x取何值時，這個代數(shù)式的值最小，最小值是多少？ 2

第五篇：《一元二次方程》教案1

22.1一元二次方程

教學內容

本節(jié)課主要學習一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．

教學目標

知識技能

探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項系數(shù)；能夠從實際問題中抽象出方程知識。

數(shù)學思考

在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯(lián)系。

解決問題

培養(yǎng)學生良好的研究問題的習慣，使學生逐步提高自己的數(shù)學素養(yǎng)。

情感態(tài)度

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學知識應用的價值，提高學生學習數(shù)學的興趣，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用．

重難點、關鍵

重點：一元二次方程的定義、各項系數(shù)的辨別，根的作用． 難點：根的作用的理解．

關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念

教學準備

教師準備：制作課件，精選習題

學生準備：復習有關知識，預習本節(jié)課內容

教學過程

一、情境引入 【問題情境】

問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

/ 5

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應該邀請多少個隊參賽？ 【活動方略】

教師演示課件，給出題目．

學生根據(jù)所學知識，通過分析設出合適的未知數(shù)，列出方程回答問題． 【設計意圖】

由實際問題入手，設置情境問題，激發(fā)學生的興趣，讓學生初步感受一元二次方程，同時讓學生體會方程這一刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學模型．

二、探索新知 【活動方略】

學生活動：請口答下面問題．

（1）上面幾個方程整理后含有幾個未知數(shù)？

（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）?都有等號，是方程．

歸納：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，?經過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

【設計意圖】

主體活動，探索一元二次方程的定義及其相關概念．

三、范例點擊

/ 5

例1 將方程3x(x?1)?5(x?2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各項系數(shù)． 解：去括號得

3x2?3x?5x?10，移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式

3x2?8x?10?0．

其中二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是－8，常數(shù)項是－10． 【活動方略】 學生活動：

學生自主解決問題，通過去括號、移項等步驟把方程化為一般形式，然后指出各項系數(shù)．

教師活動：

在學生指出各項系數(shù)的環(huán)節(jié)中，分析可能出現(xiàn)的問題（比如系數(shù)的符號問題）． 【設計意圖】

進一步鞏固一元二次方程的基本概念． 例2 猜測方程x2?x?56?0的解是什么？ 【活動方略】 學生活動：

學生可以采取多種方法得到方程的解，比如可以用嘗試的方法取x＝1、2、3、4、5等，發(fā)現(xiàn)x＝8時等號成立，于是x＝8是方程的一個解，如此等等．

教師活動：

教師引導學生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎上讓學生進行總結： 使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【設計意圖】

探究一元二次方程根的概念以及作用．

四、反饋練習

課本P32 練習1，2 課本P33 練習1、2題 補充習題：

1．將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中

/ 5 的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項．

2．你能根據(jù)所學過的知識解出下列方程的解嗎？（1）x2?36?0； 【活動方略】

學生獨立思考、獨立解題．

教師巡視、指導，并選取兩名學生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學生的解答過程）

【設計意圖】

檢查學生對基礎知識的掌握情況.五、應用拓展

例3：求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?≠0即可．

證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

例4：有人解這樣一個方程(x?5)(x?1)?7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

由(x?5)(x?1)?7得到x+5=1或x－1=7，應該是x+5=1且x－1=7，同時成立才行，此時得到x=－4且x=8，顯然矛盾，因此上述解法是錯誤的．

【活動方略】

教師活動：操作投影，將例

3、例4顯示，組織學生討論． 學生活動：合作交流，討論解答?！驹O計意圖】

使學生進一步理解一元二次方程的概念，對一元二次方程的根有更深刻的理解.4 / 5（2）4x2?9?0．

六、小結作業(yè)

1．問題：本節(jié)課你學到了什么知識？從中得到了什么啟發(fā)？（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）?和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用；

（3）一元二次方程根的概念以及作用 2．作業(yè)：課本P34習題22．1 第1、2題

【活動方略】

教師引導學生歸納小結，學生反思學習和解決問題的過程．學生獨立完成作業(yè)，教師批改、總結．

【設計意圖】通過歸納總結，課外作業(yè)，使學生優(yōu)化概念，內化知識。5 / 5