第一篇：第五章--多元函數(shù)微積分

第五章 多元函數(shù)微積分

學(xué)習(xí)目的和要求

學(xué)習(xí)本章，要求讀者掌握多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的概念、偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及利用偏導(dǎo)數(shù)討論多元函數(shù)的極值、最大值和最小值，學(xué)會(huì)使用拉格朗日乘數(shù)法研究條件極值并應(yīng)用最小二乘法等討論經(jīng)濟(jì)問題，了解二重積分的數(shù)學(xué)含義，學(xué)會(huì)計(jì)算一些簡單的二重積分．

第一節(jié) 多元函數(shù)

1．二元函數(shù)

設(shè)有3個(gè)變量 的二元函數(shù)．記作 為因變量．

如果當(dāng)變量

在一定的范圍D內(nèi)任意取定一對值或稱為自變量，D稱為定義域，z時(shí)，變量z按照一定的規(guī)律，總有確定的數(shù)值和它們對應(yīng)，則變量z叫做變量

類似地，可以定義三元函數(shù)及更多元函數(shù)，二元以及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù)．

2．二元函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)有定義，是該鄰域內(nèi)

以任何方式趨近于 時(shí)，函數(shù)的對應(yīng)值

時(shí)的異于 的任意一點(diǎn)．如果點(diǎn)

趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，我們就說 二重極限，記作

或

3．二重極限和二次極限

對于二元函數(shù) 的極，這個(gè)極限稱為二次極限，記限，可得極限函數(shù) 為

.4．有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(不作證明)有最大最小值定理、中間值定理、有界性定理、零點(diǎn)存在定理．

第二節(jié) 偏 導(dǎo) 數(shù)

1．定義 設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)有定義.當(dāng) 固定在

時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量

如果極限 在點(diǎn)

存在，則稱此極限值為函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)，記作

類似地，可定義函數(shù) 2．求導(dǎo)法則

(1)和：設(shè)

(2)積：設(shè)

則 的偏導(dǎo)數(shù)。

2(3)商：設(shè)

3．高階偏導(dǎo)數(shù)

高階偏導(dǎo)數(shù)可定義為相應(yīng)的低一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

例如：

第三節(jié) 全 微 分

二元函數(shù)全微分的定義 若二元函數(shù) 的全增量

可表示為

其中

階無窮小量，則稱函數(shù) 點(diǎn)(x,y)的全微分.可微，并稱

進(jìn)一步討論可知： 的高在故得

關(guān)于二元函數(shù)，有如下結(jié)論：若

及其某一鄰域內(nèi)存在，且在該點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微．

第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)求導(dǎo)公式 1.設(shè)函數(shù)

.若成立條件： 的函數(shù)，(1)在點(diǎn)

處存在編導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)點(diǎn)可微，則有

(2)

2．隱函數(shù)求導(dǎo)公式 設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ,偏導(dǎo)數(shù)可由

它滿足條件

即

來確定.第五節(jié) 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．多元函數(shù)的極值

設(shè)函數(shù)值

如果都有 反之，若成立 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于，則稱函數(shù)在點(diǎn)(，則稱函數(shù)在點(diǎn))有極大

有極小值

.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．(1)極值存在的必要條件 設(shè)函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)

(2)極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù) 且有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 記 ① 小值； ② ⑧ 時(shí)無極值； 時(shí)待定．

則

處取極值，且當(dāng)AO時(shí)取極

可微分(或存在)處有極值，則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即 的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)2．條件極值、拉格朗日乘數(shù)法

在討論極值問題中，除對自變量給出定義域外，并無其他條件，則稱為無條件極值，而若對自變量還附有其他條件的極值問題稱為條件極值． 拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù) 以先構(gòu)造函數(shù) 其中λ為某一常數(shù)，求 程 聯(lián)立起來： 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方

下的極值可疑點(diǎn)，可 5

由上述方程組解出 3．最小二乘法

即為極值可疑點(diǎn)．

在經(jīng)濟(jì)分析中，我們經(jīng)常要研究一些經(jīng)濟(jì)變量間的相互關(guān)系，其中最簡單最常見的則為線性關(guān)系 有數(shù)據(jù)．記

稱為計(jì)算誤差或殘差.我們希望利用一組已有的資料

能很好地吻合已來尋找這一線性關(guān)系，使找到的

我們希望找到這樣的 條件來選擇常數(shù)

取到最小值，這種根據(jù)殘差的平方和為最小的的方法叫做最小二乘法．

必須滿足 由極值存在的必要條件，使

從而可解得

若記 則又可得下面比較簡單的表達(dá)式：

4．應(yīng)用舉例

(1)生產(chǎn)函數(shù) 考察一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)能力常常涉及各種因素，但就其根本來說，決定企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)能力的主要因素是勞動(dòng)力

．

在經(jīng)濟(jì)分析中，有所謂要素報(bào)酬遞減定律，也就是邊際收益會(huì)遞減．例如我們假定資金保持不變，則隨著勞動(dòng)力的增加，產(chǎn)量也將隨著增加，但勞動(dòng)力的邊際產(chǎn)量將會(huì)下降，如圖7．1所示．，因而可記生產(chǎn)函數(shù)為

如果資金和勞動(dòng)力是可以相互替代的，則為得一不變產(chǎn)量水平可以有各種不同的勞動(dòng)力和資金投入，而且若擁有資金越來越少，此時(shí)勞動(dòng)力就要大量增加．同樣，如果只有極少的勞動(dòng)力，此時(shí)若再減少一些勞動(dòng)力，則資金增量就要大得多，7 這樣我們就可得到一族等量線K＝K(L)，且等量線為單調(diào)下降的下凸曲線(兩階導(dǎo)數(shù)大于零)，如圖7．2所示

在等量線上，Q為常數(shù)，所以

故得

定義為技術(shù)替代率，或要素的邊際替代率．

(2)Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù) 20世紀(jì)30年代，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)界提出如下形式: 的生產(chǎn)函數(shù)，稱為Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù),這類函數(shù)有如下一些優(yōu)點(diǎn),因而得到較廣泛的應(yīng)用: ① 它是 次齊次函數(shù)；

② 等量線為單調(diào)下降和下凸的；

③ 常彈性，資金彈性為α,勞力彈性為β； ④ 系數(shù)A表示技術(shù)進(jìn)步。(3)齊次函數(shù)和歐拉定理 若

特別地，當(dāng) 時(shí)，有

次齊次函數(shù)，則

它表示：資本投入量乘以邊際產(chǎn)量加上勞力投入量乘以勞動(dòng)力邊際產(chǎn)量等于總產(chǎn)量。

第六節(jié) 二重積分

2．二重積分的概念

設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域 D上連續(xù)，將區(qū)域D任意分成 n個(gè)小區(qū)域 在每個(gè)小區(qū)域

(i=1,2,…,n)，并作和

如果各小區(qū)域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)，即，作乘積，其中 叫做被積函數(shù)，為積分區(qū)域.2．二重積分的性質(zhì)(1)

.(2)

(3)

這里假定將區(qū)域 D分成兩個(gè)區(qū)域 D1與 D2.(4)若在 D上，成立，則有不等式：

特別地有：

(5)設(shè) 則有

上的最大值和最小值, 的面積，(6)設(shè)函數(shù) 存在一點(diǎn)

在閉區(qū)域

上連續(xù)，的面積，則在

上至少，成立

3．二重積分的計(jì)算(1)化二重積分為二次積分(a)先對y后對x積分

(b)先對x后對y積分

(2)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 令

則

若

第五章 多元函數(shù)微積分

例1．下列平面方程中，過點(diǎn)（1，1，-1）的方程是（）

（A）x+y+Z=0（B）x+y+Z=1（C）x+y-Z=1（D）x+y-Z=0 解：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在平面上，只需將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，看看是否滿足相應(yīng)的平面方程即可。易見應(yīng)選（B）。例2．指出下列平面的特殊位置

（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：設(shè)平面方程為 Ax+By+Cz+D=0

（1）方程中y的系數(shù)為B=0，故該平面平行于oy軸（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系數(shù)C=0且D=0，故平面過oz軸；

（3）方程中常數(shù)D=0，故該平面過原點(diǎn)；

（4）方程中x的系數(shù)A=0 且y的系數(shù)B=0，故該平面垂直于oz軸（平行于xoy平面）。

例3．求過點(diǎn)（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。

解：平行于yoz平面即垂直于ox軸，故可設(shè)所求平面方程為Ax+D=0，將已知點(diǎn)（3，2，1）的坐標(biāo)代入上式，得D=-3A，從而所求方程為x-3=0。

注意：在求平面方程時(shí)，Ax+By+Cz+D=0中的四個(gè)待定常數(shù)不是完全獨(dú)立的，計(jì)算時(shí)可用其中的一個(gè)表示其余的三個(gè)，然后通過化簡得出所求結(jié)果。例4．求點(diǎn)M（2，-3，1）分別關(guān)于xOy平面、Oy軸和原點(diǎn)的對稱點(diǎn)。解：點(diǎn)M關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)是第三個(gè)分量變號，即（2，-3，-1），關(guān)于Oy軸的對稱點(diǎn)是第一，第三分量變號，即（-2，-3，-1），關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是三個(gè)分量都變號即（-2，3，-1）。

例5．求平面3x+2y-z-6=0分別在三條坐標(biāo)軸上的截距。

解：將平面方程化為截距式方程，得

因此該平面在Ox軸、Oy軸和Oz軸上的截距依次為2、3、和-6。例6．求球面 的球心坐標(biāo)和半徑。

解：對方程進(jìn)行配方，化為一般形式的球面方程

從而球心坐標(biāo)為（3，-1，0），半徑為。

例7．下列方程在空間直角坐標(biāo)系中，表示施轉(zhuǎn)拋物面的方程是（）（A）解：

（B）

（C）

（D）

只能x=y=z=0，它表示空間直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)。

是一次方程，D=0表示過原點(diǎn)的一個(gè)平面。

即

物面。

表示繞z軸旋轉(zhuǎn)張口朝z軸負(fù)方向的旋轉(zhuǎn)拋表示雙曲拋物面（馬鞍面）故應(yīng)選（C）

例8．函數(shù)

（A）（B）的定義域是（）。

（C）（D）

解:由函數(shù)的表達(dá)式知函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

即，故應(yīng)選（C）。

例9．設(shè)

（A）（B）

（C）

（D）

解：由題設(shè),（A）。例10．設(shè) 在點(diǎn)

處偏導(dǎo)數(shù)存在，則

故應(yīng)選

（A）

（B）（C）

（D）

解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，有

故應(yīng)選（C）。

例11．設(shè) 證明

證明：

于是 左

注意，本例還可以利用二元函數(shù)隱函數(shù)來解偏導(dǎo)數(shù)：

兩邊取對數(shù)

代入左端即可得結(jié)論。例12．設(shè)

(A)

其中f為可微函數(shù)，則

(B)

(C)

(D)

故應(yīng)選（D）。例13．設(shè)

因此，例14．設(shè)

例15．設(shè)z=z(x,y)是由方程

確定的函數(shù)，求

注意：在求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，其結(jié)果中可以有變量度z的出現(xiàn)，結(jié)果表達(dá)式也常常不是惟一的，如本例用 代入兩個(gè)偏導(dǎo)還可以表示成

例16．設(shè)（A）

（B）

（C）

（D）

解1：變量之間的關(guān)系圖為

故應(yīng)選（A）

注意：這里解法2經(jīng)過代入后變成了一個(gè)一元函數(shù)求導(dǎo)問題，簡潔明了。

例17．

證明：設(shè)

變量之間的關(guān)系為

例18．求函數(shù)

解：函數(shù) 的定義域?yàn)榈臉O值。

全平面，得駐點(diǎn)

例19．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單位分別為10萬元和9萬元，若生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本，又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤時(shí)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？

例20．計(jì)算二重積分

解：作積分區(qū)域D的草圖，如圖7-1

(圖7-1)19

例21.求

解：作積分區(qū)域D的草圖，如圖7-2

(圖7-2)

例22.計(jì)算二重積分

解： 積分區(qū)域D是一個(gè)圓環(huán):內(nèi)半徑為

用極坐標(biāo)系計(jì)算。

注意：當(dāng)積分區(qū)域是圓及其部分，被積函數(shù)又比較容易化成極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)考慮使用在極坐標(biāo)系之下積分。

本例關(guān)于 和關(guān)于r的積分上下限均是常數(shù)，同時(shí)被積函數(shù)可以分離，這時(shí)二重積分可化成兩個(gè)定積分的乘積。

例23.計(jì)算

其中

解法1：

即圓心在（0,a）半徑為a的圓。又 ,因此是右半半圓（如圖7-3）。

(圖7-3)用極坐標(biāo)系計(jì)算。

解法2：用直角坐標(biāo)系計(jì)算，先對x后對y積分右半圓的方程為

第五章 多元函數(shù)微積分

單元測試

一、選擇題

1、點(diǎn)

，則 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A、（0，2，-2）B、（1，-2，1）C、（0，4，-4）D、（2，4，2）

2、點(diǎn) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（）

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）

3、點(diǎn) 關(guān)于XOY平面的對稱點(diǎn)是（）

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）

4、過Y軸上的點(diǎn)（0，1，0）且平行與XOZ平面的平面方程是（）

5、下列方程中，其圖形是下半球的是（）

6、設(shè)，則

（）

7、函數(shù) 的定義域是（）

8、設(shè)

在（0，0）點(diǎn)連續(xù)，則 K=（）

A、1 B、0 C、1/2 D、不存在

9、設(shè)

（）

10、若

11、設(shè) 則

=（）

（）

A、0 B、1/2 C、-1 D、1

12、設(shè)，則

=（）

13、設(shè)，則

（）

14、若，則

（）

A、10 B、-10 C、15 D、-15

15、設(shè)

則

（）

16、若，則

（）

17、設(shè)

（）

18、若

（）

19、設(shè)

（）

20、設(shè)函數(shù)

（）

21、設(shè)

（）

22、函數(shù) z=f(x，y)在點(diǎn) 函數(shù)在該點(diǎn)存在全微分的（處具有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)）

是

A、充分條件 B、充要條件 C、必要條件 D、既不是充分條件，又不是必要條件

23、若函數(shù)，則

（）

24、設(shè) 是由方程

確定的隱函數(shù)，則

=（）

25、若

則

26、二元函數(shù) 的駐點(diǎn)為（）

=（）

27、若，則

在

處（）

A、一定連續(xù) B、一定偏導(dǎo)數(shù)存在 C、一定可微 D、一定有極值

28、設(shè)二元函數(shù)（）

有極大值且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則必有

29、設(shè)函數(shù) 是它的駐點(diǎn)，在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且

則）是極大值的充分條件是（A、B、C、D、30、設(shè) 是函數(shù) 的駐點(diǎn)且有

若，則

一定（）

A、是極大值 B、是極小值 C、不是極值 D、是極值

31、函數(shù)

在點(diǎn)（0，0）處（）

A、有極大值 B、有極小值 C、無極值 D、不是駐點(diǎn)

32、對于函數(shù)，原點(diǎn)（0，0）（）

A、不是駐點(diǎn) B、是駐點(diǎn)但非極值點(diǎn) C、是駐點(diǎn)且為極大值點(diǎn) D、是駐點(diǎn)且為極小值點(diǎn)

33、若D是由

所圍成的平面區(qū)域，則

（）

34、若D是平面區(qū)域，則二重積分

（）

35、設(shè)D：，則

（）

36、設(shè)二重積分的積分區(qū)域D是

37、若D是平面區(qū)域，y≥0則

二、計(jì)算題(一）

（），則

（）

1、設(shè) 解：設(shè)

則。

2、設(shè) 解：

3、計(jì)算二重積分 的第一象限的圖形。，其中區(qū)域D是由

所圍成解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為

于是 =

三、計(jì)算題(二）

1、設(shè)

解：

2、已知

解：

3、設(shè) 解法一：在。

兩邊分別對 和 求偏導(dǎo)數(shù)，得

整理得

解法二：

4、設(shè) 確定函數(shù)，求

解：令

∴

5、設(shè)函數(shù)，由方程

確定，其中

解： 同理

6、設(shè)D是由

所圍成的區(qū)域，計(jì)算

解：先對x積分，再對y積分。

7、計(jì)算二重積分

所圍成.，其中區(qū)域由拋物線 及直線

解：

8、計(jì)算二重積分，其中D為

解：采用極坐標(biāo)系

9、計(jì)算二重積分 成且在直線，其中D是由直線 和圓

所圍下方的平面區(qū)域。

解法一：用極坐標(biāo)系

解法二：用直角坐標(biāo)系

=

=

=

10、計(jì)算二重積分

圓

圍成的區(qū)域。

解：圓 的極坐標(biāo)方程是

因此

四、證明題

1、設(shè)

（a，b 均為常數(shù)）

求證：

證：∵

∴

2、設(shè) ∵ ∴

∴

3、設(shè)

證：∵

∴

即

4、設(shè)，證明它滿足等式：

證：

故

第二篇：多元函數(shù)

第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

分布圖示

★ 領(lǐng)域★平面區(qū)域的概念

★ 多元函數(shù)的概念★ 例1★ 例

2★ 二元函數(shù)的圖形

★ 二元函數(shù)的極限★ 例3★ 例

4★ 例5★ 例6★ 例7

★ 二元函數(shù)的連續(xù)性★ 例 8

★ 二元初等函數(shù)★ 例 9-10

★ 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

★ 內(nèi)容小結(jié)★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題6-2

內(nèi)容提要：

一、平面區(qū)域的概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域

二、多元函數(shù)的概念

定義1 設(shè)D是平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果對于D內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的函數(shù)值記為f(x,y)，即z?f(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集{z|z?f(x,y),(x,y)?D}稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)n?2時(shí), n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限

定義2 設(shè)函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無限趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z?f(x,y)當(dāng)(x,y)?(x0,y0)時(shí)的極限.記為

x?x0y?y0limf(x,y)?A.或f(x,y)?A（(x,y)?(x0,y0)）

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)P?P0

二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0),則稱z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z?f(x,y)在(x0,y0)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個(gè)結(jié)論，當(dāng)要求某個(gè)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極限時(shí)，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 若在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講：

多元函數(shù)的概念

例1某公司的總成本（以千元計(jì)）為

C(x,y,z,w)?5x?4y?2z?ln(w?1)

其中x是員工工資，y是原料的開銷，z是廣告宣傳的開銷，w是機(jī)器的開銷.求2C(2,3,0,10).解 用2替換x，3替換y，0替換z，10替換w，則C(2,3,0，10)?5?2?4?3?0?ln(10?1)

?29.6（千元）。

例2（E02）求二元函數(shù)f(x,y)?2arcsin(3?x2?y2)

x?y2的定義域.22??3?x?y?1解? 2??x?y?0

?2?x2?y2?4 ?2?x?y

所求定義域?yàn)镈?

{(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}.例3（E03）已知函數(shù)f(x?y,x?y)?解設(shè)u?x?y,v?x?y,則 x2?y2x2?y2, 求f(x,y).x?u?vu?v,y?, 22

22?u?v??u?v??????2uv2??2??故得f(u,v)??, 2222u?v?u?v??u?v???????2??2?

即有f(x,y)?2xy.x2?y2

二元函數(shù)的極限

例4（E04）求極限 lim(x2?y2)sinx?0y?01.22x?y

解令u?x2?y2,則

lim(x2?y2)sinx?0

y?011=0.?limusin22u?0ux?y

例5 求極限limx?0

y?0sin(x2y)x?y22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2u?xy?1, ?22, 其中l(wèi)im解li22?li2limx?0x?0x?yx?0u?0uxyx?yx2yy?0y?0y?0x2y

x2?y2?12xy1?x?x2x2?y22x?0????0, sin(x2y)所以lim22?0.x?0x?yy?0

例6求極限 limx?y.x??x2?y2

y??

解當(dāng)xy?0時(shí)，0?x?yx?y11x?y???0(x??,y??), ??2y2x2xyx2?y2x2?y2

所以limx?y

x???0.y??x2?y2

例7（E05）證明limxy

x?0x2?y2不存在.y?0

證取y?kx(k為常數(shù)),則

limxy

x?0x2?y2?limx?kxk

x?0?2,y?0y?kxx2?k2x21?k易見題設(shè)極限的值隨k的變化而變化,故題設(shè)極限不存在.例8 證明limx3y

x?06不存在.y?0x?y2

證取y?kx3,limx3y

x?0x6?y2?limx3?kx3k

x?0x6?2,其值隨k的不同而變化,y?0y?kx3?k2x61?k

限不存在.二元函數(shù)的連續(xù)性

?x3?y3

例9討論二元函數(shù)f(x,y)???x2?y2,(x,y)?(0,0)在(0,0)處的連續(xù)性.??0,(x,y)?(0,0)

解由f(x,y)表達(dá)式的特征，利用極坐標(biāo)變換： 令x??cos?,y??sin?,則

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?lim??0?(sin3??cos3?)?0?f(0,0), 所以函數(shù)在(0,0)點(diǎn)處連續(xù).例10（E06）求lim??ln(y?x)y?

x?0?.y?1????x2?

?

解l?

x?i0m?lny(?x)?y???1???1.y?1??x???ln1(?0)????02?

?

例11求limex?y

x?0x?y.y?1故極

ex?ye0?1ex?y??2.解因初等函數(shù)f(x,y)?在(0,1)處連續(xù)，故limx?0x?y0?1x?y

y?1

課堂練習(xí)

y??1.設(shè)f?x?y,??x2?y2, 求f(x,y).x??

2.若點(diǎn)(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)(x0,y0)時(shí), 函數(shù)f(x,y)都趨向于A, 能否斷定

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? ?xy2,x2?y2?0?243.討論函數(shù)f(x,y)??x?y的連續(xù)性.?2x?y2?0?0,

第三篇：多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

（一）平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點(diǎn)集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環(huán).圓的個(gè)部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.（二）點(diǎn)集的基本概念: 1.內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E, 界點(diǎn)不定.2.聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集、邊界和聚點(diǎn).intE?E時(shí)稱E為開集,E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.5.有界集與無界集: 6.點(diǎn)集的直徑d(E)：兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數(shù): 1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數(shù): 4.n元函數(shù): 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數(shù)的極限

（一）.二元函數(shù)的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗(yàn)證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設(shè)f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個(gè)子集E ,只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn),就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?D推論1 設(shè)E1?D,P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設(shè)E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數(shù)列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設(shè)f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設(shè)f(x,y)???1,0,當(dāng)0?y?x2,???x???時(shí)，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設(shè)f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.22x?yx2?y2例9 設(shè)f(x,y)?2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.2x?y例10 設(shè)f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1y在點(diǎn)(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí), 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí), 全面極限不存在.注: 兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在,另一個(gè)不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數(shù)的連續(xù)性

（一）二元函數(shù)的連續(xù)概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設(shè)f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設(shè)f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(diǎn)(0 , 0)f對x和y分別連續(xù).2.函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.3.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.4.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.

第四篇：多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)

第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

6.1 多元函數(shù)的基本概念 一、二元函數(shù)的極限

定義 f(P)= f(x，y)的定義域?yàn)镈, oP0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).對常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，使得當(dāng)點(diǎn)P(x，y)∈D? U(P0,?)，即

0?|P0P|?

(x?x0)?(y?y0)??22

時(shí)，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<

?

成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，(x,y)?(x0,y0)y0)時(shí)的極限，記作

y0)), lim f(x,y)?A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作

P?P0limf(P)?A

或

f(P)→A(P→P0)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，上述二元函數(shù)的極限也稱做二重極限.二、二元函數(shù)的連續(xù)性

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f

(x0,y0)，(?x,?y)?(0,0)lim?z?0

如果函數(shù)f(x , y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)f(x , y)在D上連續(xù)，或者稱f(x , y)是D上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)f(x , y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x , y)的間斷點(diǎn).多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.多元初等函數(shù)的極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即

p?p0limf(P)?f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取復(fù)介于最大值和最小值之間的任何值。

三、例題 例1 設(shè)f(x,y)?x?y?g(x?y)，已知f(x,0)?xf(x,0)?x?g(x)?x222，求

f(x,y)的表達(dá)式。

2解 由題設(shè)，有g(shù)(x)?x?x2，于是

。f(x,y)?x?y?[(x?y)?(x?y)]，即 f(x,y)?(x?y)?2y例2 證明極限limxyx?y623不存在。

x?0y?0 證 當(dāng)(x,y)沿三次拋物線y?kx

3趨于(0,0)時(shí)，有

limxyx?yxyx?y。

623623x?0y?0?limx?kx62336x?0y?0x?kx?limk1?k2

x?0y?0其值隨k去不同值而取不同值。故極限lim不存在。

x?0y?0 例3 求極限limxy?1?1x?y2222x?0y?0 解

原式?limxy2222x?0y?0x?y?1xy?1?1?z?x22?12limxx?0y?022y22x?y?0

6.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)

一、概念

說明對x求導(dǎo)視z?f(x,y)，y?limf(x??x,y)?f(x,y)?x

?x?0為常數(shù)，幾何意義也說明了這個(gè)問題

二元函數(shù)z=f(x , y)在點(diǎn)M0(偏導(dǎo)數(shù)數(shù)

x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.0fx?(x0,y0)，就是曲面z?f(x,y)與平面y?y0的交線在點(diǎn)M0處的切線M0Tx對x軸的斜率.同樣，偏導(dǎo)fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z?f(x,y)與平面x=x0的交線在點(diǎn)M 2 基于如上理由，求

處的切線M0Ty對y軸的斜率.?z?x(x0,y0)時(shí)，（因此可能簡化函數(shù)）再對xy0可先代入，求導(dǎo)

例 f(x,y)?x?arctany(x?arctany(x??arctany)?)，求fx?(1,0)。

?n重 解 f(x,0)?x，fx?(x,0)?1，fx?(1,0)?1

二、可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)的關(guān)系

?偏導(dǎo)數(shù)存在可微???連續(xù)

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(x , y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)?可微，??fxy和

??fyx都連續(xù)，則

??fxy=

??fyx;

?z?x2?fx(x,y),?z?y?fy(x,y)，則這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x , y)的二階

2偏導(dǎo)數(shù)。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

???z??z???z??z?f(x,y),??fxy(x,y),?????xx2?x??x??x?y??x??x?y???z???x??y??z????f(x,y),yx??y??y?x2??z????y??z??fyy(x,y).2???y?2

四、偏導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算公式 1．z 2．dz ?f(x,y)，u?u(x,y)，v?v(x,y)

?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x

?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y

?fu?du?fv?dv?fu??(u?dx?u?ydy)?fv??(v?dx?v?ydy)xx?(fu??u??fv??v?)dx?(fu??u?y?fv??v?y)dyxx

d(u?v)?du?dvd(u?v)?udv?vdu?z?x??2

?u?vdu?udvd???2v?v?

3．F(x,y,z)?0 確定z?z(x,y)，F(xiàn)x?Fz?；

?z?y2??Fy?Fz?6.2.2 求偏導(dǎo)數(shù)算例 例1（1）z?arctanx?y1?xy，求

?z?x，?z?y，?z?x22，?z?x?y。

解 ?z?x?1?x?y1???1?xy??11?y2????2?1?(1?xy)?(x?y)(?y)(1?xy)?11?x2

由對稱性 ?z?y2，?z?x22?2?2x(1?x)，求

22；

2?z?x?y22?0；（2）u?lnx?y?z2?u?x22??u?y2??u?z2。

解?u?x?122x222x?y?z?xx?y?z22，2 ?u?x由對稱性 22?2x?y?z?x?2x(x?y?z)22222222222??x?y?z2222222222(x?y?z)22

?u?y222??x?y?z222，?u?z1222(x?y?z)?u?y22?x?y?z2(x?y?z)2

故 ?u?x2??u?z22?x?y?z222。

（3）?xy?22f(x,y)??x?y?0??x?022x?y?0，求

fx?(0,0)，fy?(0,0)

x?y?022 解 fx?(0,0)?lim?x?0?x?0?x22?0，同理fy?(0,0)?0；

?u?x，例2 u?yf(x?y,xy)，求

?u?x?y2。

解 ?u?x22?y?f1??2x?f2??y??2xyf1??yf2?

?u?x?y

??(?2y)?f12??x??2yf2??y2?f21??(?2y)?f22??x? ?2xf1??2xy?f112???2x2yf12???2yf2??2y3f21???xy2f22?? ?2xf1??4xyf11

例3

?z?y?z?f(xy,)?g??，求

?x?yx?x?y2

解

y?y????f1??y?f2????2??g???2??x?x??x?2?z

1?1y?1?????x?f12????????f1??y?f11?f?fx?f?22222?21???x?yx?xx?x??y1yy1??????2f2?????3f22???2g??f12f?f1??xyf11xxxxxy)，求du。例4 u?f(x?y,x?y,x解（1）?z1xx2g??g??

yx2g??1x

y3 du??u?xdx??u?ydy

?u1y??u??f1??f2?(?1)?f3??f1??f2??f3????2?；?xx?x??y

故

y1????du??f1??f2??2f3??dx??f1??f2??f3??dy xx????xdy?ydxd(x?y)?f2?d(x?y)?f3?解（2）du?f1?2x

?f1?(dx?dy)?f2?(dx?dy)?f3??[f1??f2??yx2xdy?ydxx1x2

f3?]dx?[f1??f2??f3?]dy

例5 設(shè)z?z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0，確定，F(xiàn)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，求

?z?x，?z?y。

解（1）方程兩邊對x求導(dǎo)

?z????z??x?z??????0 F1??1??x??F2???x2y?x???????????zyz?F1??2F2??xyF1??F2??zxx??11?xxF1??yF2?F1??F2?yx；

方程兩邊對y求導(dǎo)

??z??y?z??1?z??y??F????F1??1?2?2??0 ??yx?y??????zxz??F?FF??xyF2?122?zyy ??11?yxF1??yF2?F1??F2?yxzy)?F2?d(y?zx2；

解（2）方程兩邊取微分 F1?d(x?)?0)?F2?(dy?zy2F1?(dx?ydz?zdyyzx2xdz?zdxx2)?0

(?F1??

F2?)dx?(1yF1??1xF1??F2?)dy dz?F2??xyF1???yzF2?； 則 ?z?x?F1???1yF1??zx12F2??F2??xyF1??yzxxF1??yF2?F2?；

?z?xxxF1??yF2?dydxx 例6 設(shè)y?f(x,t)，t?t(x,y)由F(x,y,t)?0確定F,f可微，求。

解（1）對方程取微分

?(1)?dy?fx?dx?ft?dt?????Fxdx?Fydy?Ftdt?0?(2)dy?fx?dxft??0

由（1）解得dt代入（2）得 Fx?dx?Fy?dy?Ft?

則 ?Fx??Ft?fx?/ft??Fx?ft??Ft?fx?dy?dx?dxFt????Ff?FytFy??ft?解（2）

dy，即

dx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?

y?f(x,t(x,y))

dy??t?tdy??fx??ft?????dx??x?ydx?

dydxfx??ft??1?ft???t 而?x?tyx?t?x??Fx?Ft?；

?t?y?u?x22??Fy?Ft?，則

dydx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?2

?y，? 例7 證明：當(dāng)??y時(shí)，方程x2?2xy?u?x?y2?y2?u?y2?0可化成標(biāo)準(zhǔn)形式

?u??22?0，其中u?u(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

證明：將u看成由u(?,?)，而???yx，??y復(fù)合成x,y的函數(shù)，u?u(?(x,y),?(y))

則 ?u?x?2?u??????x2?u???u???u1?u?u?y??u??????????2?；

???x??y???y???y??x??22y??u1?u???2?2??；

?2?x?yx??x???x?????

?u?x222?u?y??uy???2??223???x???x?u21?u

?u22221??u1?u??u1?u?????1

??222?yx???x?????????x??2則 x?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u??22???y2?u??22?0??u??22?0

小結(jié)

① 顯函數(shù)（復(fù)合）二階混合偏導(dǎo)數(shù)

② 隱函數(shù)求偏導(dǎo)，會(huì)用微分法，用復(fù)合法習(xí)題 1．z?f(u)，u由方程u??(u)?

?xyp(t)dt確定的x,y的函數(shù)，f,?可微，P,??連續(xù)，??(u)?1，求P(y)?z?x?P(x)?z?y

（答案：0）（蔡 P146）

22．z?z(x,y)由z?e?xyz確定，求

?z?x?y；

23．F(x?y,y?z)?1確定了隱函數(shù)z?z(x,y)，F(xiàn)y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和

具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)求

?z?y?x

4．設(shè)5．t6．zF(x,y,z)?0確定，f,F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

dzdx。

?0，f可微且滿足

kf(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，證明 xfx??yfy??zfz??kf。

。?f(x,y)于(1,1)點(diǎn)可微，且f(1,1)?1，fx?(1,1)?23x?1。，fy?(1,1)?3。?(x)?f(x,f(x,x))求ddx[?(x)]?u?x?2y7．設(shè)變換??v?x?ay8．設(shè)可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?yx22?0化簡為

?z?u?v?z?x222?02，求常數(shù)a的值。（a＝3）。

f(u)u有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，而?uz?f(esiny)滿足

??z?y2?ez2x，求

f(u)。（f(u)?c1e?c2e）

6.2 偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用注意四個(gè)方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向?qū)?shù)；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。

6.3.1 內(nèi)容小結(jié)

1． 空間曲線切線與法平面

?x?x(t)?1）?y?y(t)

?z?z(t)??切向量v?(xt?,yt?,zt?)

切線方程：

x?x0xt??y?y0yt??z?z0zt?

?(x法平面方程：xt?x0)?yt?(y?y0)?zt?(z?z0)?0

?x?x?y?y(x)???y?y(x)2）??z?z(x)?z?z(x)?切線方程：

?v??(1,y?,z?)類似的

x?x01?y?y0y??z?z0z?

法平面方程：x?x0?y?(y?y0)?z?(z?z0)?0

??Fz?z??0??F(x,z,y)?0xx?Fx??Fy?y?3）????v?(1,y?,z?)xx???????G(x,y,z)?0?Gx?Gyyx?Gzzx?02． 空間曲面切平面與法線

?1）F(x,y,z)?0,n?(Fx?,Fy?,Fz?)|P0切平面：Fx?|p0法線：

(x?x0)?Fy?|p0(y?y0)?Fz?|p0(z?z0)?0x?x0Fx?|p0?y?y0Fy?|p0?z?z0Fz?|p0

?2）z?f(x,y)?F?f(x,y)?z?n?(fx?,fy?,?1)

切平面：類似地

fx?(x?x0)?fy?(y?y0)?(z?z0)?0

法線：x?x0fx??y?y0fy??z?z0?1

?x?x(u,v)?3）*?y?y(u,v)

?z?z(u,v)??（參數(shù)方程形式）

?切線 ?,yu?,zu?),v2?(xv?,yv?,zv?)v1?(xu??????i?xvj?yu?yv?n?v1?v2?xu??(y,z)?(z,x)?(x,y)????zu??(u,v),?(u,v),?(u,v)?????zvk

3． 方向?qū)?shù)

u?u(x,y,z)?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos??gradu?l???（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

?????????，??

??x?y?z???u?u?u??gradu??u??，????x?y?z??

????divA??A??P?x??Q?y??R?z??

rotA???A?i??xPj??yQk??zR

6.3.2 例題

例1 求曲線x??t,y??t,z?t2?23上與平面x?2y?z?4平行的切線方程。

????解 切向量?2?(1,?2t,3t)，n?(1,2,1)由??n，則??n?0，即，1?4t?3t?0?t1?1,t2??當(dāng)t?1時(shí) ??(1,?2,3),x1?1,y1??1,z1?1，切線方程為?13?x?11?y?1?2?z?13

當(dāng)t時(shí) ?2?(1,?21111,),x2?,y1??,z1?333927，x?切線方程為13?y??119?23z?13127

22??x?y?10例2 求空間曲線?22??x?z?10在點(diǎn)(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。

解 22??x?y?10?22??x?z?10確定了

y?y(x),z?z(x)，對x求導(dǎo)??2x?2yy??0?2x?2zz??0x?3y?1?3，y???z????z?1?3

xyxz

?于

1法平面方程為x?3?3(y?1)?3(z?1)?0，即x?3y?3z?3?0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點(diǎn)：y???3,z???3,v?(1,?3,?3)切線方程為 ??y?z?x的切平面。使之與平面x?y???22z2?2?垂直，同時(shí)也與x?y?z?2垂直。

?解 切平面法向量n??(2x?1,2y,2z)，n1?(1,?1,?12)，n2?(1,?1,?1)，依題意

n1?n?0

??既有2x ?1?2y?z?0

（1）

（2）n2?n?0 2x?1?2y?12z?0

聯(lián)立（1）（2）和原方程 ?2?2x??4??2得解?y?4??z?0???2?2x??4??2，?y??4??z?0??

? n01??2?2?22???，0?，n02???,?,0? ?2???222????切平面22(x?2?42)?22(y?24)?0

即

x?y?x?y?1?21?222

得

?2?2?2?22?x???(y?)?0 ??2?424??x?2y?3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)點(diǎn)沿x2?y?z?3的外法線方向的方向?qū)?shù)。

22222F(x,y,z)?x?y?z?3，F(xiàn)x??2x,Fy??2y,Fz??2z?于P(1,1,1)點(diǎn)n?(2,2,2)，n?(??13,13,13)

?u?n??u?xcos???u?ycos???u?zcos?111?12???2x??4y?6z|??43?(1,1,1)3333???

例5 設(shè)f(x,y)在?f?L3?|p0??f?x1??11??1?p0點(diǎn)可微，L1??，?,L2????2222????7。，?f?L1?1,?f?L2?0

?試確定L3使52?f?ycos?1?1，?f?L2??f?xcos?2??f?ycos?2?0，則 解 ?f?L1cos?1? ??f??x????f???x12??f?y12?1??f?x?12?y,?f?12

1??f1??0?????y2?2?? 設(shè)L3?(cos?3,cos?3)

從而?f?L3??f?xcos?3?75?f?xcos?3?75235 即

1245cos?3? 此時(shí)cos12cos?3?45或cos752

cos?3?sin?3??，解得cos??3?或cos?3??3??3?35

?34?即L3??,?55??例6 或L32?43???,? ?55?2 u?lnx?y?z2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)???(?u)??u?12ln(x?y?z)222?u?x22??u?y222??u?z22。

u?，2?u?x22?xx?y?z222222，2222?u?x22?x?y?z?x?2x(x?y?z)??x?y?z222(x?y?z)

由對稱性 ?u?y22?x?y?z222222(x?y?z)2，?u?z22?x?y?z222222(x?y?z)2

從而 div(gradu)?1x?y?z222

例7 設(shè)a, b, c為常數(shù)，F(xiàn)證明(u,v)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。

證 x?ay?b,)?0上任一點(diǎn)切平面都通過某定點(diǎn)。z?cz?c11x?ay?b?，F(xiàn)y??F2??，F(xiàn)???F??Fx??F1???F?z1222z?cz?c(z?c)(z?c)F（則切平面方程為 F1??取1z?c(X?x)?F2??1z?c(Y?y)?1(z?c)2?F?(x?a)?F2?(y?b)?(z?y)?0

x?a,Y?b,Z?c，則對任一的(x,y,z)點(diǎn)上式均滿足，即過任一點(diǎn)的切平面都過(a,b,c)點(diǎn)。

。(x?az,y?bz)?0上任一點(diǎn)切平面都通過某定直線平行（F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）

?例8 設(shè)a,b為常數(shù)，證明曲面F證

?Fx??F1?，F(xiàn)y??F2?，F(xiàn)z???aF1??bF2?，即n?(F1?,F2?,?aF1??bF2?)，????取l?(a,b,1)，則n?l?0，n?l，曲面平行l(wèi)，取直線

x?x0a??y?y0b?z?z01，則曲面上任一點(diǎn)的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數(shù)u5方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大的方向?qū)?shù)值是多少？u沿那個(gè)方向減少得最快，沿哪個(gè)方向u的值不變？

解 ?x?xy?y22在點(diǎn)M(?1,1)沿方向n?1(2,1)的方向?qū)?shù)，并指出u在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向的gradu|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3)，u?M在點(diǎn)M(?1,1)沿n?方向的方向?qū)?shù)為

?u?n1?3?2??(gradu)?n|M?(?3,3)??,???5?5?5，方向?qū)?shù)取得最大值的方向?yàn)樘荻确较?，其最大值為為求使u變化的變化率為零的方向，令l

?gradu|M?32，u沿負(fù)梯度方向減少最快。

?(cos?,sin?)，則，?u?l?u?lM?????(gradu|M)?l??3cos??3sin??32sin????4???4或?令?0，得??????4，故在點(diǎn)(?1,1)處沿???4和???4函數(shù)u得值不變化。

例10 一條鯊魚在發(fā)現(xiàn)血腥味時(shí)，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進(jìn)行試驗(yàn)表明，如果血源在海平面上，建立坐標(biāo)系味：坐標(biāo)原點(diǎn)在血源處，xOy2坐標(biāo)面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(diǎn)(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬份水中所含血的份數(shù)）的近似值C?e?(x?y?2z)/10。

（1）求鯊魚從點(diǎn)?1,1,??1??（單位為海里）出發(fā)向血源前進(jìn)的路線?2???的方程；

（2）若鯊魚以40海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，鯊魚從?1,1,1??點(diǎn)出發(fā)需要用多少時(shí)間才能到達(dá)血源處？ 2?解（1）鯊魚追蹤最強(qiáng)的血腥味，所以每一瞬時(shí)它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進(jìn)。由梯度的計(jì)算公式，得

2224??C?C?C??4?(x?y?2z)/10?gradC??，?10e(?2x.?2y,?4z)????x?y?z?設(shè)曲線?的方程為x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)，則?的切線向量??(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx?2x?dy?2y?dz?4z

解初始值問題

dy?dx???2y??2x?y|?1?x?1dz?dx????2x?4z??z|?1x?1?2?

得

y?x

解初始值問題

得

z?12x2，所以所求曲線?的方程為

x?x，y?x，z? 12（2）曲線?的長度 x2(0?x?1)s??101?y??z?dx?xx?ln(3?1)??22?10?x2?xdx???22x?2?ln(x?2?x?1)?

?0?3212ln2（海里）

3?1)?1?。ln2?（小時(shí)）

2?因此到達(dá)血源處所用的時(shí)間為T6.4 多元函數(shù)的極值

1?3?ln(?40?2

一、無條件極值 限于二元函數(shù)z?f(x,y)

1． ??z?0???x?求駐點(diǎn)??z??0???y駐點(diǎn)P

2． 于駐點(diǎn)P處計(jì)算A??z?x22，B??z?x?y2，C??z?y22。B2?AC?0是極值點(diǎn)，A?0可取得極小值，A?0可取極大值。

3． 條件極值：??minu?f(x,y,z)?S.t.?(x,y,z)?0，令

L?f(x,y,z)???(x,y,z)求無條件極值。

例1 求內(nèi)接于橢球面，且棱平行對稱軸的體積最大的長方體。

解 設(shè)橢球面方程為 xa22?yb22?zc22?1，長方體于第一卦限上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，則

V?8xyz，s.t.xa 22?yb22?zc22?1，令

2?xa222?x2?yz? L?8xyz??????1?a2b2c2?????8yz?LxL??8xz?y??8xy?Lz及?0?(1)?0?(2)?0?(3)2?yb2?zc22xa22?yb22?zc22?1

由（1）（2）（3）得xa22?b3yb22?zc22?tc3，代入（3）得t?13，從而 x?a3，y?2，z2??2，此時(shí)V?8abc33?839abc。

例2 求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所確定的二元函數(shù)z?f(x,y)的極值。解

方程兩邊對x,y求偏導(dǎo)數(shù)得：

4x?2z?z?x?8z?8x?z?x??z?x?0

?（1）

4y?2z?z?y?8x?z?y??z?y?0

?（2）

?4x?8z?016和原方程聯(lián)立得駐點(diǎn)(?2,0)，(,0)?0，得??x74y?0?y?方程（1）對x,y再求偏導(dǎo)，方程（2）對y求偏導(dǎo) 令?z?0，?z。

?z?z?z?z?z??z?4?2??8?8?8x??0 ??2z222?x?x?x?x?x?x??2?z?z?y?x?2z22222?（3）

?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0

?（4）

??z??z?z?z?

4?2??2z?8x??0

222??y??y?y?y??將駐點(diǎn)(?2,0)代入（此時(shí)z?1）

?（5）

4?2A?16A?A?0

A?C?415415

2B?16B?B?0

B?0

24?2C?16C?C?0

B?AC?0，z?1是極小值（因A>0）

將駐點(diǎn)?8?（4）（5）（此時(shí)z??,0?代入（3）

7?7??16），同上過程有

A?? 415，B?0，C??415，2B?AC?0，A?0，z??87是極大值。

習(xí)題： 1 設(shè)u?F(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0限制下，在P0(x0,y0,z0)處取得極值m??Fx???1??Lx??2???0xx

。證明F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在P0點(diǎn)法線共面。

正：L ?F(x,y,z)?m??1???2?L??Fy???1????2???0yyy

??Fz???1??Lz??2???0 zzFx???x??y??z??x???0y??zx?y?z?5r2222由于(1,?1,?2)?0，從而原方程有非零解，及系數(shù)矩陣為0Fy?Fz?，即三法向量共面。

2． 設(shè)f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz。點(diǎn)

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對任意正數(shù)a,b,c成立abc

?a?b?c??27??5??。

習(xí)題課

y?e?例1 設(shè)f(x?y,lnx)??1?，求f(x,y)?yxxeln(x)??解 令x?y?u，lnx?v。

y?e?f(u,v)?f(x?y,lnx)??1??yxx?eln(x)?

xx??x?yxueveu2v?ex?yxlnx?(x?y)ee2lnxx?ylnx

所以

f(x,y)?xeyex2y.例2 討論limxyx?y是否存在.x?0y?0 解

當(dāng)點(diǎn) P(x,y)沿直線y?kx趨向（0，0）時(shí)，limxyx?y2y?kxx?0?limx?kxx?kxx?0?limkx1?kx?0?0

(k??1)，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y?x?xlim2xyx?y趨向（0，0）時(shí)，y?x?xx?0?lim2x(x?x)x?(x?x)22?lim(x?1)1y?x?xx?0x?0??1，所以limxyx?y不存在.x?0y?0 例3 ?22?(x?y)sinz?f(x,y)????0在（0，0）處是否連續(xù)？

1x?y22(x?y?0)，22(x?y?0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)？

f(x,y)在（0，0）處是否可微？

f(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因?yàn)?/p>

x?0y?0解

（1）函數(shù) limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0221x?y22

x?0y?0

?lim?sin??021??0?f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）處連續(xù).（2）如同一元函數(shù)一樣，分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)按定義來求.因?yàn)?/p>

(?x)sin?x?021(?x)?x1(?x)22?0 limf(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?0?lim?xsin?x?0?0,所以

(3)fx(0,0)?0，類似地可求得fy(0,0)?0.當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)

fx(x,y)?2xsin

1x?y1x?y2222?(x?y)cosxx?y22221x?y22?1????2?22x?x2?y23?????

?2xsin?cos1x?y2.因?yàn)??limfx(x,y)?lim?2xsinx?0x?0?y?0y?0?1x?y22?xx?y22cos??不存在.22x?y??1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續(xù)。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續(xù)

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續(xù)，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）處是否可微.fx(0,0)?0，fy(0,0)?0，故

?x?0?y?0lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y](?x)?(?y)222

[(?x)?(?y)]sin?lim?x?0?y?02221(?x)?(?y)22?0(?x)?(?y)(?x)?(?y)sin122 ?lim1(?x)?(?y)22

?x?0?y?0?lim?sin?x?0?y?0??0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)?0.?f(x,y,z)，z?g(x,y)，y?h(x,t)，t 例4 設(shè)u??(x)，求

dudx.解

對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來說，最主要的是搞清變量之間的關(guān)系.哪些是自變量，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”來分析.圖9－1 由上圖可見，u最終是x的函數(shù)，y，z，t都是中間變量.所以

dudx???f?x?f?x???f??h?hd???f??g?g??h?hd??????????y??x?tdx??z??x?y??x?tdx?f?h?y?x??f?hd??y?tdx??f?g?z?x??f?g?h?z?y?x???????.?f?g?hd??z?y?tdx 從最后結(jié)論可以看出:若對x求導(dǎo)數(shù)(或求偏導(dǎo)數(shù)),有幾條線通到”樹梢”上的x,結(jié)果中就應(yīng)有幾項(xiàng),而每一項(xiàng)又都是一條線上的函數(shù)對變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡言之,按線相乘,分線相加 例5 z?1?2x??f?x???y??1f2，f 可導(dǎo)，求zx.解 zx???1???f???2x???.y??

例6 已知y?ety?x，而t是由方程y?t?x?1確定的x，y的函數(shù)，求

ty222dydx.解

將兩個(gè)方程對x求導(dǎo)數(shù)，得

y??e(t?y?y?t)?12yy??2tt??2x?0

解方程可得

2dydx?t?xye2ty2tyt?(y?t)e.例7 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程.解

曲面在點(diǎn)(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因?yàn)榍衅矫媾c已知平面平行，所以n//n1,從而有

??6z6（1）

又因?yàn)辄c(diǎn)在曲面上，應(yīng)滿足曲面方程

x?2y?3z?212

（2）

由（1）、（2）解得切點(diǎn)為(1,2,2)及(?1,?2,?2), 所求切平面方程為：

或(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?012,1,1)。

這里特別要指出的是不要將n//n1不經(jīng)意的寫成n=n1,從而得出切點(diǎn)為(例8 在橢球面2x222的錯(cuò)誤結(jié)論.222?2y?z?1上求一點(diǎn)，使函數(shù)f(x,y,z)?x?y?zel在該點(diǎn)沿l＝(1,–1,0)方向的方向?qū)?shù)最大.1?1???,?,0?，2??2所以 ?f?l ??f?x?12??f?y12??f?z2?0

2(x?y)2(x?y)在條件2x由題意，要考查函數(shù)

?2y?z?1下的最大值，為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

222F(x,y,z)?2(x?y)??(2x?2y?z?1)，14

?Fx?2?4?x?0,??Fy??2?4?y?0, ??Fz?2?z?0,?222?2x?2y?z?1.解得可能取極值的點(diǎn)為 1??1,?,0? ?2??2 及

?11???，0?.?22??2，因?yàn)樗蟮淖畲笾狄欢ù嬖?，比較

?f?l1??1?,?,0?22???f?l?11???，0??22?2??2知??1?2,?1?,0?2?為所求的點(diǎn).例9 求函數(shù)z?x?y222在圓(x2?2)?(y?22)?9上的最大值與最小值.?0,zy?0，解得點(diǎn)(0,0).顯然z(0,0)=0為最小值.解

先求函數(shù)z再求z2?x?y2在圓內(nèi)的可能極值點(diǎn).為此令zx?x?y在圓上的最大、最小值.為此做拉格朗日函數(shù)

22F(x,y)?x?y??[(x?2)?(y?22)?9]，2?Fx?2x?2?(x?2)?0,???Fy?2y?2?(y?2)?0,?22(x?2)?(y?2)?9.??，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知x?y x?y?522，和

x?y??22，?5252z?,?22????25???22???1.z??,??22???2)?(y?2?5252,?22?為z?25，最小值為z?0.比較z(0,0)、z?

??22??、z???三值可知：在(x?,??22????2)?92上，最大值

第五篇：多元函數(shù)的極限

三． 多元函數(shù)的極限

回憶一元函數(shù)極限的定義：

limf(x)?A?設(shè)是定義域Df的聚點(diǎn)。x?x0x00對???0，總???0,?x?U(x0,?)Df時(shí)，都有f(x)?A??成立。

定義1 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，P(x0,y0)是Df的聚點(diǎn)。如果

0Df時(shí)，都有存在常數(shù)A，對???0，總???0,?P(x,y)?U(P0(x0,y0),?)f(x,y)?A??成立，那么稱A為P(x,y)趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x,y)的極限，lifmP?(A)記作P或者?P0(x,y)?(x0,y0)limf(P)?A或者xl?xi0fmP?(A)或者

y?y0f(x,?y)A,(P?(x(x0,y0)。0P,y))Df趨于P0； 注：1.P(x,y)?P0(x0,y0)是指點(diǎn)P沿著任意路徑在2.為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，把二元函數(shù)的極限也稱之為二重極限；

3.二元及其多元函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則與一元函數(shù)一致。

22例1 設(shè)f(x,y)?(x?y)sin1limf(x,y)?0。22，求證x?x0y?y0x?y2證明 顯然函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈f?R{(0,0)}，(0,0)是Df的聚點(diǎn)。因?yàn)?/p>

(x2?y2)sin只須112222?0?x?y(x?y)sin?0??，???0，所以對，要使2222x?yx?yx2?y2??成立即可。也就是說，對???0，總?????0，22?P(x,y)?U0(O(0,0),?)時(shí)，總有(x?y)sin1?0??成立，故

x2?y2x?x0y?y0lim(x2?y2)sin1?0。22x?ysin(x2y)?? 例2 求極限limx?0x2?y2y?0提示：四則運(yùn)算，并考慮重要極限和基本不等式。x3y例3 證明函數(shù)lim不存在？ x?0x6?y2y?0提示：設(shè)y?kx3。學(xué)生練習(xí)1.求極限limsin(xy)??

x?0xy?2?xy,x2?y2?0?2limf(x,y)2學(xué)生練習(xí)2.證明函數(shù)f(x,y)??x?y的極限x?0不存在？

y?0?0,x2?y2?0? 四.多元函數(shù)的連續(xù)連

回憶一元函數(shù)連續(xù)的定義：

limf(x)?f(x0)。f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)?x?x0Df的聚點(diǎn)，且定義2 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，P0(x0,y0)是limf(x,y)?f(x0,y0)P?Dx?x0。如果，那么稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P 0f0(x0,y0)處連續(xù)。y?y0定義3 設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，且Df內(nèi)每一點(diǎn)都是聚點(diǎn)。如果函數(shù)z?f(x,y)在Df內(nèi)的沒一點(diǎn)處都連續(xù)，那么稱z?f(x,y)在Df上聯(lián)系或者稱z?f(x,y)為Df上的連續(xù)函數(shù)。

注：1.定義2和定義3可以推廣至n元函數(shù)的情形。

例1 設(shè)f(x,y)?sinx，證明函數(shù)f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)？

limf(x,y)?sinx02x?x0(x,y)?R分析：對P,證明（???語言）。000y?y0證明

Df的聚點(diǎn)，P定義4.設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，且P0?Df。0(x0,y0)是如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P則稱點(diǎn)P0(x0,y0)處不連續(xù)，0(x0,y0)為函數(shù)z?f(x,y)的間斷點(diǎn)。

?xy,x2?y2?0?22例2 函數(shù)f(x,y)??x?y在點(diǎn)O(0,0)的連續(xù)性？

?0,x2?y2?0?解：點(diǎn)O(0,0)雖為定義域R2的聚點(diǎn)，但由于f(x,y)在點(diǎn)O(0,0)無極限，故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)O(0,0)間斷。

例3 函數(shù)f(x,y)?sin122的定義域?yàn)镈f?{(x,y)x?y?1}，但22x?y?1C?{(x,y)x2?y2?1}上的點(diǎn)為Df的聚點(diǎn)，又由于f(x,y)在C上沒有定義。故C上的點(diǎn)是f(x,y)的間斷點(diǎn)。

1.函數(shù)極限存在；??2.有定義； 連續(xù)??

?3.極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值；?

多元函數(shù)的連續(xù)性的性質(zhì)與一元函數(shù)一致：

1.多元連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為其定義域上的連續(xù)函數(shù)； 2.多元連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零的點(diǎn)處任連續(xù)； 3.多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；

4.多元初等函數(shù)是其定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)（定義區(qū)域：半酣定義域的區(qū)域或者閉區(qū)域）。

可以利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。例4 limx?y??

x?1xyy?2,2)?Df是內(nèi)點(diǎn)，因此存在U(P分析：Df?{(x,y)x?0且y?0}，P0(10;?)?Df是x?y3?f(1,2)?。Df內(nèi)的區(qū)域，因此limx?1xy2y?2一般地，若f(x,y)是初等函數(shù)，且P0(x0,y0)是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)。

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的最值定理類似，有

性質(zhì)1 定義在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值。性質(zhì)2（介值定理）有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間 的任何一個(gè)值。

性質(zhì)3 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。