第一篇：考研.數(shù)學(xué) 高數(shù)總結(jié)3

定積分理論

一、實(shí)際應(yīng)用背景

1、運(yùn)動(dòng)問題—設(shè)物體運(yùn)動(dòng)速度為v?v(t)，求t?[a,b]上物體走過的路程。

（1）取a?t0?t1???tn?b，[a,b]?[t0,t1]?[t1,t2]???[tn?1,tn]，其中?ti?ti?ti?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，S?

n?f(?)?t； iii?1

iin（3）取??max{?xi}，則S?lim1?i?n??0?f(?)?x i?12、曲邊梯形的面積—設(shè)曲線L:y?f(x)?0(a?x?b)，由L,x?a,x?b及x軸圍成的區(qū)域稱為曲邊梯形，求其面積。

（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，A?

n?f(?)?x； iii?1

iin（3）取??max{?xi}，則A?lim1?i?n??0?f(?)?x。i?1

二、定積分理論

（一）定積分的定義—設(shè)f(x)為[a,b]上的有界函數(shù)，（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，作

n?f(?)?x； iii?1

inax{?xi}，（3）取??m若lim1?i?n??0?f(?)?x存在，稱f(x)在[a,b]上可積，極限稱為f(x)i

i?1

在[a,b]上的定積分，記?b

af(x)dx，即?f(x)dx?lim?f(?i)?xi。abn??0i?1

【注解】

（1）極限與區(qū)間的劃分及?i的取法無關(guān)。

n

?1,x?Q

【例題】當(dāng)x?[a,b]時(shí)，令f(x)??，對(duì)lim?f(?i)?xi，??0

i?1?0,x?RQ

n

n

情形一：取所有?i?Q(1?i?n)，則lim

??0

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?lim??xi?b?a；

??0

i?1

情形二：取所有?i?RQ(1?i?n)，則lim

??0

n

?f(?)?x

i

i?1

i

?0，所以極限lim

??0

?f(?)?x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可積。

i

i

i?1

（2）??0?n??，反之不對(duì)。

112n?1n1,]，?xi?(1?i?n)；

nnnnnn

i?1i

取法：取?i?或?i?(1?i?n)，則

nn

分法：等分，即[0,1]?[0,]?[,]???[

?

1ni1ni?1

f(x)dx?lim?f()?lim?f()。

n??nn??nni?1ni?1

則

?

b

a

b?anif(x)dx?limf[a?(b?a)]。?n??ni?1n

1n2i【例題1】求極限lim??。

n??nni?1

11n2i

【解答】lim?????2xdx。

0n??nni?1

【例題2】求極限lim（n??

1n?1

?

?

1n?2

???

???

1n?n)。

22)

【解答】lim（n??

1n?1

?

1n?

21n?n1n

?()2

n

1?lim[n??n

11?()2

n

2?()2

n

???

]??

dx?x

三、定積分的普通性質(zhì)1、2、3、4、?[f(x)?g(x)]dx??

a

bb

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

?kf(x)dx?k?

a

bb

a

f(x)dx。

bc

?

b

a

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。

a

c

?

b

a

dx?b?a。

5、設(shè)f(x)?0(a?x?b)，則【證明】

?

b

a

f(x)dx?0。

?

b

a

f(x)dx?lim?f(?i)?xi，??0

i?1

n

因?yàn)閒(x)?0，所以f(?i)?0，又因?yàn)閍?b，所以?xi?0，于是

n

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?0，由極限保號(hào)性得

lim?f(?i)?xi?0，即?f(x)dx?0。

??0

i?1

b

a

（1）

?

b

a

f(x)dx??|f(x)|dx(a?b)。

a

b

（2）設(shè)f(x)?g(x)(a?x?b)，則

?

b

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

6（積分中值定理）設(shè)f(x)?C[a,b]，則存在??[a,b]，使得

四、定積分基本理論

定理1 設(shè)f(x)?C[a,b]，令?(x)?

?

b

a

f(x)dx?f(?)(b?a)。

?

x

a

f(t)dt，則?(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，即

??(x)?f(x)。

【注解】

（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。

dx

f(t)dt?f(x)，（2）?adx

d?(x)

f(t)dt?f[?(x)]??(x)。?adx

d?2(x)

?(x)?f[?1(x)]?1?(x)。f(t)dt?f[?2(x)]?2（3）

dx??1(x)

【例題1】設(shè)f(x)連續(xù)，且?(x)?【解答】?(x)?

x

?(x?t)f(t)dt，求???(x)。

0x0

x

?(x?t)f(t)dt?x?

0f(t)dt??tf(t)dt，x

??(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt，???(x)?f(x)。

xx

【例題2】設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且?(x)?【解答】?(x)?

x2?t2?u

?tf(x

x

?t2)dt，求??(x)。

?

x

tf(x2?t2)dt??

1x2222

f(x?t)d(x?t)2?0

101x2

???2f(u)du??f(u)du，2x20

f(x2)?2x?xf(x2)。2

??(x)?

定理2（牛頓—萊布尼茲公式）設(shè)f(x)?C[a,b]，且F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

【證明】由F?(x)?f(x),??(x)?f(x)得[F(x)??(x)]??f(x)?f(x)?0，從而F(x)??(x)?constant，于是F(b)??(b)?F(a)??(a)，注意到?(a)?0，所以?(b)?F(b)?F(a)，即

五、定積分的積分法

（一）換元積分法—設(shè)f(x)?C[a,b]，令x??(t)，其中?(t)可導(dǎo)，且??(t)?0，其中

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

?(?)?a,?(?)?b，則?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt。

a

b?

?

（二）分部積分法—

?udv?uv??vdu。

a

a

a

b

b

b

六、定積分的特殊性質(zhì)

1、對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)的定積分性質(zhì) 設(shè)f(x)?C[?a,a]，則（1）則

?

a

?a

f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx。

a

（2）若f(?x)?f(x)，則

?

a

?a

f(x)dx?2?f(x)dx。

a

（3）若f(?x)??f(x)，則

?

a

?a

f(x)dx?0。

【例題1】設(shè)f(x),g(x)?C[?a,a]，其中f(x)?f(?x)?A,g(x)為偶函數(shù)，證明：

?

a

?a

f(x)g(x)dx?A?g(x)dx。

a

【解答】

a

?

a

?a

f(x)g(x)dx??[f(x)g(x)?f(?x)g(?x)]dx

a0

a

??[f(x)?f(?x)]g(x)dx?A?g(x)dx。

?

（2）計(jì)算

??arctane

2?2

x

|sinx|dx。

?

?

【解答】

?

?

?

arctane|sinx|dx??2(arctanex?arctane?x)sinxdx，x

?x

x

exe?x

??0，因?yàn)?arctane?arctane)??2x?2x

1?e1?e

所以arctanex?arctane?x?C0，取x?0得C0?

?

?，于是

??arctane|sinx|dx?

2?2

x

?

?

2?

sinxdx?

?。

2、周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè)f(x)以T為周期，則（1）

?

a?T

a

。f(x)dx??f(x)dx，其中a為任意常數(shù)（周期函數(shù)的平移性質(zhì)）

T

如

?

3?

?

?

?

?

?

sinxdx??2?sinxdx?2?2sin2xdx。

（2）

?

nT

f(x)dx?n?f(x)dx。

T3、特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì)

?

?

（1）設(shè)f(x)?C[0,1]，則

?

?

f(sinx)dx??2f(cosx)dx，特別地，?

sinxdx??cosxdx?In，且In?

n

?

n

n?1?

In?2,I0?,I1?1。n2

sinx

【例題1】計(jì)算?2?dx。

?1?ex2

?

sin4xsin4xsin4x2【解答】??dx??(?)dx ?x01?ex?1?ex1?e2

??

1131?3?42sin4xdx?I???2(?)sinxdx????。4?x?01?ex0422161?e

??

【例題2】計(jì)算【解答】

?

?cos?xdx。

?

?cos?xdx?

??

?cos?xd(?x)?

??

100?

?cosxdx

?

?

?

?

2?

?cosxdx?

?

??

?

?

?cosxdx?

?

?

?

?cosxdx

?

?

?

?

1?cosx2?xx222

。dx?sind()?sinxdx???002?22??

第二篇：考研高數(shù)知識(shí)總結(jié)1

考研數(shù)學(xué)講座（17）論證不能憑感覺

一元微分學(xué)概念眾多，非常講究條件。討論問題時(shí)，要努力從概念出發(fā)，積極運(yùn)用規(guī)范的算法與爛熟的基本素材。絕不能憑感覺憑想象就下結(jié)論。

1． x趨于∞時(shí)，求極限 lim xsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等價(jià)無窮小替換?

分析 只憑感覺，多半不敢。依據(jù)定義與規(guī)則，能換就換。

x 趨于∞時(shí)，α = 2x∕(x平方+1)是無窮小，sinα 是無窮小，sinα（x）～ α（x）且 sinα 處于“因式”地位?？梢該Q。

等價(jià)無窮小替換后，有理分式求極限，是“化零項(xiàng)法”處理的標(biāo)準(zhǔn)∞∕∞型，答案為 2

2．設(shè)f(x)可導(dǎo)，若f(x)是奇（偶）函數(shù)（周期函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，有界函數(shù)），它的導(dǎo)函數(shù)fˊ(x)有什么樣的奇偶性（周期性，單調(diào)性，有界性）？

分析 有定義數(shù)學(xué)式的概念，一定要先寫出其定義式。簡(jiǎn)單一點(diǎn)也行。比如 奇函數(shù) f(－x)= －f(x)周期為T的函數(shù) f(x+T)= f(x)等式兩端分別求導(dǎo)，得 fˊ(－x)= fˊ(x)fˊ(x+T)= fˊ(x)（實(shí)際上，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x)(－x)ˊ= －fˊ(－x)）

所以，奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。（如果高階可導(dǎo)，還可以逐階說下去。）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是周期函數(shù)。很有趣的是，因?yàn)?x)ˊ= 1，有的非周期函數(shù)，比如y = x + sinx，的導(dǎo)數(shù)卻是周期函數(shù)。

（潛臺(tái)詞：周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù)。）

單調(diào)函數(shù)定義中沒有等式的概念，可以先在基本初等函數(shù)中舉例觀察。

如y = x單增，yˊ = 1不是單調(diào)函數(shù)。y = sinx在（0，π/2）單增，yˊ = conx 單減，沒有確定的結(jié)論。

有界性討論相對(duì)較為困難。如果注意到導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖形的切線斜率。即切線傾角的正切。就可以想到，在x趨于x0時(shí)，要是導(dǎo)數(shù)值無限增大，相應(yīng)的圖形切線就趨向于與x軸垂直。顯然，圓周上就有具豎直切線的點(diǎn)。

取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趨于 1 時(shí)，其導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值趨于正無窮。這個(gè)反例說明有界函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定有界。

（畫外音：寫出來很嚇人啊。x → 1 時(shí)，lim f(x)= 0，而 lim fˊ(x)= －∞）

3． 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)一定連續(xù)。有間斷點(diǎn)的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)就一定間斷嗎？

分析 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合，花樣更多。原因在于復(fù)合函數(shù)f（g（x））的定義域，是f（x）的定義域與g（x）值域的交。有“病”的點(diǎn)可能恰好不在“交”內(nèi)。因而，有間斷點(diǎn)的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)不一定間斷。比如：

取分段函數(shù) g（x）為，x ＞ 0 時(shí) g =1，x ≤ 0 時(shí) g = －1，0是其間斷點(diǎn)。取 f（u）=√u，則 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 時(shí)有定義且連續(xù)。還有一些原因讓“病態(tài)點(diǎn)”消失。

如果只圖簡(jiǎn)單，你可以取 f（u）為常函數(shù)。以不變應(yīng)萬變。

取 f（u）= u的平方，則 f（g（x））= 1，顯然是個(gè)連續(xù)函數(shù)。

4．設(shè) f(x)可導(dǎo)，若x趨于 +∞ 時(shí)，lim f(x)= +∞ ,是否必有l(wèi)im fˊ(x)= +∞ 分析 稍為一想，就知為否。例如 y = x 更復(fù)雜但頗為有趣的是 y = ln x，x 趨于 +∞ 時(shí)，它是無窮大。但是 yˊ = 1∕x 趨于0，這就是對(duì)數(shù)函數(shù)異常緩慢增長的原因。5．設(shè)f(x)可導(dǎo)，若 x 趨于+∞時(shí)，lim fˊ(x)= +∞ , 是否必有 lim f(x)= +∞ 分析 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，這是微積分的正道。首先要體念極限（見指導(dǎo)（3）。）： 因?yàn)?lim fˊ(x)= +∞，所以當(dāng) x 充分大時(shí)，不仿設(shè) x ＞ x0 時(shí)，總有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式給函數(shù)一個(gè)新的表達(dá)式

f(x)= f(x0)+ fˊ(ξ)(x－x0), x0 ＜ξ＜ x(潛臺(tái)詞: ξ=ξ(x)。你有這種描述意識(shí)嗎？)進(jìn)而就有, x ＞x0 時(shí), f(x)＞f(x0)+ 1(x－x0)（畫外音：這一步是高級(jí)動(dòng)作。）因?yàn)?f(x0)是個(gè)常數(shù)，x0是我們選擇的定點(diǎn)，所以上式表明，必有 lim f(x)= +∞ 6。設(shè) f(x)可導(dǎo)，若 x 趨于-∞ 時(shí)，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f(x)=-∞ 分析 否。你如果與上述問題5對(duì)比，認(rèn)為情形相仿，結(jié)論必有。那就太想當(dāng)然了。請(qǐng)你還是老老實(shí)實(shí)地象5中那樣寫出推理吧。結(jié)論是

若 x 趨于-∞ 時(shí)，lim fˊ(x)=-∞ , 則必有 lim f(x)= +∞

7．設(shè) f(x)可導(dǎo)，若x 趨于+∞時(shí)，lim f(x)= c（常數(shù)，）是否必有l(wèi)im f ˊ(x)= 0 分析 否。lim fˊ(x)有可能不存在。

這是最容易憑感覺想當(dāng)然的一個(gè)題目。我讀本科時(shí)，最初的想法就是，“l(fā)im f(x)= c 表示函數(shù)圖形有水平漸近線，函數(shù)又可導(dǎo)，當(dāng)然在 x 趨于+∞時(shí)，切線就趨于水平了。”

想當(dāng)然的原因之一是我們見識(shí)太少，腦子里的函數(shù)都較簡(jiǎn)單，圖形很光滑漂亮。之二則是對(duì)于漸近線的初等理解有慣性。

由極限定義的水平漸近線，并不在乎曲線中途是否與其相交。比如，曲線可以以漸近線為軸震蕩，最終造成 lim fˊ(x)不存在的后果。對(duì)比條件強(qiáng)化 —— 如果 lim fˊ(x)存在，則必有 lim fˊ(x)= 0 用反證法證明。且不仿設(shè) x 趨于 +∞ 時(shí) lim fˊ(x)= A ＞0 與前述5中同樣，可以選定充分大的正數(shù) x0，使 x＞x0 時(shí)，總有 fˊ(x)＞A/2，然后用拉格朗日公式給函數(shù)一個(gè)新的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)條件管住ξ，從而有

f(x)＞f(x0)+ A(x－x0)/2 —→+∞ 矛盾。

8．函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)大于0，能說函數(shù)在這一點(diǎn)單增嗎？

分析 不能。函數(shù)的單調(diào)性是宏觀特征，背景是區(qū)間。函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)大于0，其間所蘊(yùn)含的信息只能通過可導(dǎo)的定義去挖掘。即先把條件還原成定義算式，即 x 趨于x0 時(shí)，lim(f(x)－f（x0））/（x－x0）＞ 0 如果沒有別的條件，下一步就試試體念符號(hào)。即在x0鄰近，分子分母同號(hào)。進(jìn)而在其右側(cè)鄰近，分子分母皆為正，f(x)＞ f（x0）。但是，我們不知道函數(shù)值相互間的大小。

*9 設(shè)f(x)可導(dǎo)，若fˊ(a)·fˊ(b)＜ 0，則（a，b）內(nèi)必有點(diǎn)c，fˊ(c)= 0

分析 對(duì)。盡管可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù)。但是，導(dǎo)函數(shù)天然地滿足介值定理。這個(gè)結(jié)論在微積分中叫“達(dá)布定理”。

在本篇問題8中，我們講了“一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于0”的邏輯推理?，F(xiàn)在不仿設(shè) fˊ(a)＞ 0 而 fˊ(b)＜ 0 分別在a，b兩點(diǎn)處寫出導(dǎo)數(shù)定義式，體念極限符號(hào)，（本篇問題8。）可以綜合得到結(jié)論：

函數(shù)的端值 f(a)，f(b)都不是 f(x)在[a，b] 上的最大值。最大值只能在（a，b）內(nèi)一點(diǎn)實(shí)現(xiàn)，該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0 好啊，多少意外有趣事，盡在身邊素材中。要的是腳踏實(shí)地，切忌空想?？佳袛?shù)學(xué)講座（18）泰勒公式級(jí)數(shù)連

中值定理是應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)變化特點(diǎn)的橋梁。中值定理運(yùn)用函數(shù)在選定的中心點(diǎn)x0的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值以及可能的高階導(dǎo)數(shù)值，把函數(shù)表示為一個(gè)多項(xiàng)式加尾項(xiàng)的形式。再利用已知導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來處理尾項(xiàng)，對(duì)函數(shù)做進(jìn)一步討論。

中值定理的公式（可微分條件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的數(shù)學(xué)公式。描述型的數(shù)學(xué)公式并不難學(xué)。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫出來不就行了。公式中的“點(diǎn)ξ”理解為客觀存在的點(diǎn)。

在選定的中心點(diǎn)x0，函數(shù)的已知信息越豐富，相應(yīng)的泰勒多項(xiàng)式與函數(shù)越貼近。1.“微分是個(gè)新起點(diǎn)” —— 若函數(shù) f（x）在點(diǎn)x0可微，Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高階的無窮小。” 則函數(shù)實(shí)際上就有了一個(gè)新的（微局部的）表達(dá)式：

f（x）= f(x0)+ f ′(x0)(x－x0)+ ο(Δx)（ο(Δx)尾項(xiàng)，比Δx高階的無窮小）

（潛臺(tái)詞：只有|Δx |充分小，“高階無窮小”才有意義。）

歷史上，這個(gè)表達(dá)式稱為，“帶皮阿諾余項(xiàng)的一階泰勒公式”。

2.拉格郎日公式 —— 若 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f(b)－f(a)= f ′(ξ)（b－a）

定理說的是區(qū)間，應(yīng)用時(shí)不能太死板。在滿足條件的區(qū)間內(nèi)取任意兩點(diǎn)，實(shí)際上也組成一個(gè)（子）區(qū)間。比如，在區(qū)間內(nèi)任意選定一點(diǎn)x0，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x，（任給一點(diǎn)，相對(duì)不變。）也可以有 f(x)－f(x0)= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 與 x0之間，（潛臺(tái)詞：任意一點(diǎn)x，對(duì)應(yīng)著一個(gè)客觀存在的“點(diǎn)ξ”，ξ=ξ（x））即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 與 x0之間，3.泰勒公式 —— 如果函數(shù)在點(diǎn)x0 鄰近有二階導(dǎo)數(shù)

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(ξ)/2）（x－x0）2，ξ 在x與x0之間 式中的尾項(xiàng)叫拉格郎日尾項(xiàng)。有時(shí)也把 ξ 表示為 x0 +θ(x－x0)，0＜θ＜1 一般情況下，我們無法知道

ξ=ξ（x）的結(jié)構(gòu)、連續(xù)性等，只能依靠已知導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來限定尾項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用目的。

如果函數(shù)僅在點(diǎn)x0二階可導(dǎo)，我們可以用高階無窮小尾項(xiàng)（皮阿諾余項(xiàng)）

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(x0)/2）（x－x0）2+ ο（|Δx| 2）泰勒系數(shù) —— 如果在點(diǎn)x0 鄰近f（x）n+1 階可導(dǎo)，則有泰勒系數(shù) f（x0），f ′(x0)，f ″(x0)/ 2！，f ′ ″(x0)/ 3！，??

可以寫出，f（x）= n 次泰勒多項(xiàng)式 + 拉格朗日尾項(xiàng)

4.泰勒級(jí)數(shù) —— 如果在點(diǎn)x0鄰近f（x）無窮階可導(dǎo)，不妨取x0 = 0，則利用泰勒系數(shù)可以寫出一個(gè)冪級(jí)數(shù)

f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x2+（f ′ ″(0)/ 3?。﹛3 + ?? 這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是否就是f（x）呢？不一定！

（畫外音：太詭異了，f（x）產(chǎn)生了泰勒系數(shù)列，由此泰勒系數(shù)列生成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它的和函數(shù)卻不一定是 f（x）。就象雞下的蛋，蛋孵出的卻不一定是雞。）

關(guān)鍵在余項(xiàng)。當(dāng)且僅當(dāng) n → ∞ 時(shí)，泰勒公式尾項(xiàng)的極限為 0，f（x）一定是它的泰勒系數(shù)列生成的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。稱為 f（x）的泰勒展開式。驗(yàn)證這個(gè)條件是否成立，往往十分困難。故通常利用五個(gè)常用函數(shù)的泰勒展開式，依靠唯一性定理，用間接法求某些別的函數(shù)的泰勒展開式。

美國的學(xué)生特別輕松，他們的大學(xué)數(shù)學(xué)教材很有創(chuàng)意，早在極限部分就要求他們,當(dāng)成定義記住指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的泰勒展開式。

exp（x）= 1 + x + x2/2！+ x3/3！+ ?? －∞＜x＜∞ sin x = x － x3/3！+ ?? －∞＜x＜∞

（逐項(xiàng)求導(dǎo)，cos x = 1－ x2/2！+ ??

－∞＜x＜∞）此外還有 ln（1+x）= x － x2/2 + x3/3 + ?? －1＜x＜ 1（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ(μ－1)/ 2?。﹛2+（μ(μ－1)(μ－2)/ 3?。﹛3+ ?? 1/(1－x)= 1 + x2 + x3 + ?? －1＜x＜ 1，上同

泰勒公式基本應(yīng)用（1）—— 等價(jià)無窮小相減產(chǎn)生高階無窮小。關(guān)鍵在于低階項(xiàng)相互抵消。應(yīng)用泰勒公式直接有，x → 0 時(shí)，exp（x）－ 1 ~ x，exp(x)－1－x ~ x2 / 2

sin x ~ x，sin x － x ~ － x3 / 3！，cos x －1 ~ － x2/2 ln（1+x）~ x，ln(1+x)－x ~ －x2/2（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1時(shí)，lim(√(x3+3)－A－B(x －1)－(x －1)2)/(x －1)2 = 0，試確定常數(shù)，A，B，C 分析

已知表明 x → 1 時(shí)，分子是較分母高階的無窮小。

題面已暗示，應(yīng)將函數(shù)y =√(x3+3)在點(diǎn) x = 1 表示為帶皮阿諾余項(xiàng)的泰勒公式，且必有

常數(shù)項(xiàng) = A 一次項(xiàng)系數(shù) = B 二次項(xiàng)系數(shù) = C 這些低階項(xiàng)相互抵消，分子才能成為高于二次方級(jí)的無窮小。

于是 A = y(1)= 2，B = y ′(1)= 3/4，C = y″(1)/ 2 = 39/64（畫外音：有的人一遇上這類題就想用洛必達(dá)法則，這在邏輯上是錯(cuò)的。不懂得無窮小的變化機(jī)理。如果只有兩個(gè)參數(shù)，可看講座（9）。）

泰勒公式基本應(yīng)用（2）—— 帶皮阿諾余項(xiàng)的泰勒公式用于求極限

例88 若 x→ 0 時(shí)，極限 lim(sin6 x+ f（x）)/ x3 = 0，則

x→ 0 時(shí)，極限 l im(6 + f（x）)/ x2 = ? 分析

分子有兩項(xiàng)。決不能把 sin6 x 換為 6x，（潛臺(tái)詞：sin6 x不是分子的因式，是分子的一項(xiàng)。）

這時(shí)正好用“帶皮阿諾余項(xiàng)的一階泰勒公式”，sin 6x = 6 x －（6x）3/3！+ ο（|Δx| 3）代入已知極限，移項(xiàng)得 lim(6 + f（x）)/ x2 = 36

例89 設(shè)函數(shù) f(x)在 x = 0 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 f(0)≠0，f ′(0)≠0, 記 F(h)= λ1 f(h)+ λ2 f(2h)+ λ

f(3h)一 f(0)，試證，存在唯一的實(shí)數(shù)組 λ1，λ2，λ3，使 h → 0 時(shí)，F(xiàn)(h)是比 h 2 高階的無窮小。分析 討論極限問題，有高階導(dǎo)數(shù)信息，先寫帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x2+ ο（|x| 2）

這是函數(shù) f（x）的一個(gè)新的（微局部的）表達(dá)式，當(dāng)然可以表示 f(h)，f(2h)，f(3h)f(h)= f（0）+ f ′(0)h +（f ″(0)/2）h 2+ ο（| h | 2）

f(2h)= f（0）+ f ′(0)2 h +（f ″(0)/2）（2h）2+ ο（| h | 2）f(3h)= f（0）+ f ′(0)3 h +（f ″(0)/2）（3h）2+ ο（| h | 2）（潛臺(tái)詞：常數(shù)因子不影響尾項(xiàng)。）將各式代入F(h),整理得

F(h)=(λ1+λ2+λ3一1)f（0）+(λ1+2λ2 + 3λ3)f ′(0)h +(λ1+ 4λ2 + 9λ3)f ″(0)h 2/2 + ο（| h | 2）

要讓 h → 0 時(shí)，F(xiàn)(h)是比 h 2高階的無窮小。，只需令上式中的常數(shù)項(xiàng)及 h 和 h 2項(xiàng)的系數(shù)全為 0，這就得到未知量

λ1，λ2，λ3 的一個(gè)齊次線性方程組，它的系數(shù)行列式是三階的范德蒙行列式，其值不為 0，故可以相應(yīng)算得唯一的一組 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本應(yīng)用（3）——帶拉格郎日尾項(xiàng)的泰勒公式用于一般討論 例90 —— 凸函數(shù)不等式

如果函數(shù) f(x)二階可導(dǎo)且二階導(dǎo)數(shù)定號(hào)，（稱為凸函數(shù)），則應(yīng)用泰勒公式可以得到不等式

f(x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)（或≤）

實(shí)際上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)+(f ″(ξ)/2)(x－x0)2，ξ 在 x 與 x0之間

設(shè) f ″(x)＞ 0，自然有(f ″(ξ)/2)(x－x0)2 ＞ 0，舍掉此項(xiàng)就得到不等式。

*例91 函數(shù) f(x)在 [－1，1] 上有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且 f(－1)= 0，f(1)=1，f ′(0)= 0，試證明在區(qū)間 內(nèi)至少有一點(diǎn) ξ，使得 f ″′(ξ)= 3 分析 選中心點(diǎn) x0 = 0，在區(qū)間內(nèi)討論，寫出帶拉格郎日尾項(xiàng)的泰勒公式

f（x）= f（0）+（f ″(0)/2）x2+（f ′ ″(η)/ 3?。﹛3 , η在0與x之間 既然這是 f(x)的又一個(gè)表達(dá)式，當(dāng)然可以代入x = －1 , 1，它們分別相應(yīng)有 ξ 1，ξ 2 0 = f（－1）= f（0）+（f ″(0)/2）(－1)2+（f ′ ″(ξ 1)/ 3?。?－1)3 , －1＜ξ 1＜0 1 = f（1）= f（0）+（f ″(0)/2）12 +（f ′ ″(ξ 2)/ 3?。?3 , 0 ＜ξ 2 ＜ 1 到了這一步，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，兩式相減，能得到只剩下有關(guān)三階導(dǎo)數(shù)值的表達(dá)式。f ′″(ξ 2)+ f ′″(ξ 1)= 6 或著兩個(gè)三階導(dǎo)數(shù)值都等于3，本題得證。或者它們一大于3，一小于3，而函數(shù) f ″′(x)連續(xù)，可以應(yīng)用介值定理完成本題證明。

第三篇：考研高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

綜合理解是在基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)上進(jìn)行的,加強(qiáng)綜合解題能力的訓(xùn)練,熟悉常見的考題的類型，下面是小編為你帶來的考研高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，希望對(duì)你有所幫助。

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)的重中之重，所占的比重較大，在數(shù)學(xué)一、三中占56%，數(shù)學(xué)二中占78%，重點(diǎn)難點(diǎn)較多。具體說來，大家需要重點(diǎn)掌握的知識(shí)點(diǎn)有幾以下幾點(diǎn)：

1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計(jì)算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點(diǎn)類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個(gè)數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關(guān)的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟(jì)等方面實(shí)際應(yīng)用;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計(jì)算;變上限積分的求導(dǎo)、極限等;積分中值定理和積分性質(zhì)的證明;定積分的應(yīng)用，如計(jì)算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。

4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會(huì)計(jì)算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

5.多元函數(shù)的積分學(xué)：包括二重積分在各種坐標(biāo)下的計(jì)算，累次積分交換次序。數(shù)一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關(guān)的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一階微分方程的通解或特解;二階線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;微分方程的建立與求解。差分方程的基本概念與一介常系數(shù)線形方程求解方法

由于微積分的知識(shí)是一個(gè)完整的體系，考試的題目往往帶有很強(qiáng)的綜合性，跨章節(jié)的題目很多，需要考生對(duì)整個(gè)學(xué)科有一個(gè)完整而系統(tǒng)的把握。最后凱程考研名師預(yù)祝大家都能取得好成績(jī)。

凱程教育張老師整理了幾個(gè)節(jié)約時(shí)間的準(zhǔn)則：一是要早做決定，趁早備考;二是要有計(jì)劃，按計(jì)劃前進(jìn);三是要跟時(shí)間賽跑，爭(zhēng)分奪秒。總之，考研是一場(chǎng)“時(shí)間戰(zhàn)”，誰懂得抓緊時(shí)間，利用好時(shí)間，誰就是最后的勝利者。

1.制定詳細(xì)周密的學(xué)習(xí)計(jì)劃。

這里所說的計(jì)劃，不僅僅包括總的復(fù)習(xí)計(jì)劃，還應(yīng)該包括月計(jì)劃、周計(jì)劃，甚至是日計(jì)劃。努力做到這一點(diǎn)是十分困難的，但卻是非常必要的。我們要把學(xué)習(xí)計(jì)劃精確到每一天，這樣才能利用好每一天的時(shí)間。當(dāng)然，總復(fù)習(xí)計(jì)劃是從備考的第一天就應(yīng)該指定的;月計(jì)劃可以在每一輪復(fù)習(xí)開始之前，制定未來三個(gè)月的學(xué)習(xí)計(jì)劃。以此類推，具體到周計(jì)劃就是要在每個(gè)月的月初安排一月四周的學(xué)習(xí)進(jìn)程。那么，具體到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或者是在每一天晚上做好第二天的學(xué)習(xí)計(jì)劃。并且，要在每一天睡覺之前檢查一下是否完成當(dāng)日的學(xué)習(xí)任務(wù)，時(shí)時(shí)刻刻督促自己按時(shí)完成計(jì)劃。

方法一：規(guī)劃進(jìn)度。分別制定總計(jì)劃、月計(jì)劃、周計(jì)劃、日計(jì)劃學(xué)習(xí)時(shí)間表，并把它們

貼在最顯眼的地方，時(shí)刻提醒自己按計(jì)劃進(jìn)行。

方法二：互相監(jiān)督。和身邊的同學(xué)一起安排計(jì)劃復(fù)習(xí)，互相監(jiān)督，共同進(jìn)步。

方法三：定期考核。定期對(duì)自己復(fù)習(xí)情況進(jìn)行考察，靈活運(yùn)用筆試、背誦等多種形式。

2.分配好各門課程的復(fù)習(xí)時(shí)間。

一天的時(shí)間是有限的，同學(xué)們應(yīng)該按照一定的規(guī)律安排每天的學(xué)習(xí)，使時(shí)間得到最佳利用。一般來說上午的頭腦清醒、狀態(tài)良好，有利于背誦記憶。除去午休時(shí)間，下午的時(shí)間相對(duì)會(huì)少一些，并且下午人的精神狀態(tài)會(huì)相對(duì)低落。晚上相對(duì)安靜的外部環(huán)境和較好的大腦記憶狀態(tài)，將更有利于知識(shí)的理解和記憶。據(jù)科學(xué)證明，晚上特別是九點(diǎn)左右是一個(gè)人記憶力最好的時(shí)刻，演員們往往利用這段時(shí)間來記憶臺(tái)詞。因此，只要掌握了一天當(dāng)中每個(gè)時(shí)段的自然規(guī)律，再結(jié)合個(gè)人的生活學(xué)習(xí)習(xí)慣分配好時(shí)間，就能讓每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按習(xí)慣分配。根據(jù)個(gè)人生活學(xué)習(xí)習(xí)慣，把專業(yè)課和公共課分別安排在一天的不同時(shí)段。比如：把英語復(fù)習(xí)安排在上午，練習(xí)聽力、培養(yǎng)語感，做英語試題;把政治安排在下午，政治的掌握相對(duì)來說利用的時(shí)間較少;把專業(yè)課安排在晚上，利用最佳時(shí)間來理解和記憶。

方法二：按學(xué)習(xí)進(jìn)度分配。考生可以根據(jù)個(gè)人成績(jī)安排學(xué)習(xí)，把復(fù)習(xí)時(shí)間向比較欠缺的科目上傾斜，有計(jì)劃地重點(diǎn)復(fù)習(xí)某一課程。

方法三：交叉分配。在各門課程學(xué)習(xí)之間可以相互穿插別的科目的學(xué)習(xí)，因?yàn)殚L時(shí)間接受一種知識(shí)信息，容易使大腦產(chǎn)生疲勞。另外，也可以把一周每一天的同一時(shí)段安排不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

第四篇：考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)

考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)

摘要：從整個(gè)學(xué)科上來看，高數(shù)實(shí)際上是圍繞著、導(dǎo)數(shù)和積分這三種基本的運(yùn)算展開的。對(duì)于每一種運(yùn)算，我們首先要掌握它們主要的計(jì)算方法;熟練掌握計(jì)算方法后，再思考利用這種運(yùn)算我們還可以解決哪些問題，比如會(huì)計(jì)算以后：那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)間斷點(diǎn)的分類，導(dǎo)數(shù)的定義這些問題。這樣一梳理，整個(gè)高數(shù)的邏輯體系就會(huì)比較清晰。

函數(shù)部分：

函數(shù)的計(jì)算方法很多，總結(jié)起來有十多種，這里我們只列出主要的：四則運(yùn)算，等價(jià)無窮小替換，洛必達(dá)法則，重要，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調(diào)有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細(xì)的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對(duì)應(yīng)的章節(jié)看一看。

接下來，我們來說說直接通過定義的基本概念：

通過，我們定義了函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在處連續(xù)的定義是，根據(jù)的定義，我們知道該定義又等價(jià)于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計(jì)算。然后是間斷點(diǎn)的分類，討論函數(shù)間斷點(diǎn)的分類，需要計(jì)算左右。

再往后就是導(dǎo)數(shù)的定義了，函數(shù)在處可導(dǎo)的定義是存在，也可以寫成存在。這里的式與前面相比要復(fù)雜一點(diǎn)，但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義，函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與無關(guān)的常數(shù)使得時(shí)，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)和可微是等價(jià)的，它們都強(qiáng)于函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

以上就是這個(gè)體系下主要的知識(shí)點(diǎn)。

導(dǎo)數(shù)部分：

導(dǎo)數(shù)可以通過其定義計(jì)算，比如對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)。但更多的時(shí)候，我們是直接通過各種求導(dǎo)法則來計(jì)算的。主要的求導(dǎo)法則有下面這些：四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，變上限積分求導(dǎo)。其中變上限積分求導(dǎo)公式本質(zhì)上應(yīng)該是積分學(xué)的內(nèi)容，但出題的時(shí)候一般是和導(dǎo)數(shù)這一塊的知識(shí)點(diǎn)一起出的，所以我們就把它歸到求導(dǎo)法則里面了。

能熟練運(yùn)用這些基本的求導(dǎo)法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)。我們對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求是不能有不會(huì)算的導(dǎo)數(shù)。這一部分的題目往往不難，但計(jì)算量比較大，需要考生有較高的熟練度。

然后是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)主要有如下幾個(gè)方面的應(yīng)用：切線，單調(diào)性，極值，拐點(diǎn)。每一部分都有一系列相關(guān)的定理，考生自行回顧一下。

這中間導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是核心的考點(diǎn)，考試在考查這一塊時(shí)主要有三種考法：

①求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性;

②證明不等式;

③討論方程根的個(gè)數(shù)。

同時(shí)，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系還是理解極值與拐點(diǎn)部分相關(guān)定理的基礎(chǔ)。另外，數(shù)學(xué)三的考生還需要注意導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生還要掌握曲率的計(jì)算公式。

積分部分：

一元函數(shù)積分學(xué)首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計(jì)算定積分的基礎(chǔ)。對(duì)于不定積分，我們主要掌握它的計(jì)算方法：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法。這三種方法要融會(huì)貫通，掌握各種常見形式函數(shù)的積分方法。

熟練掌握不定積分的計(jì)算技巧之后再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對(duì)定積分的定義的要求其實(shí)就是兩個(gè)方面：會(huì)用定積分的定義計(jì)算一些簡(jiǎn)單的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可積性的嚴(yán)格定義，考生沒有必要掌握。

然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì)，這中間我們就提醒考生注意兩個(gè)定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個(gè)定理的條件要記清楚，證明過程也要掌握，考試都直接或間接地考過。

至于定積分的計(jì)算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對(duì)稱區(qū)間上的積分)。

一般來說，只要不定積分的計(jì)算沒問題，定積分的計(jì)算也就不成問題。定積分之后還有個(gè)廣義積分，它實(shí)際上就是把積分過程和求的過程結(jié)合起來了?？荚噷?duì)這一部分的要求不太高，只要掌握常見的廣義積分收斂性的判別，再會(huì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以了。

會(huì)計(jì)算積分了，再來看一看定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用分為幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其中幾何應(yīng)用包括平面圖形面積的計(jì)算，簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算，曲線弧長的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算。物理應(yīng)用主要是一些常見物理量的計(jì)算，包括功，壓力，質(zhì)心，引力，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。其中數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生需要全部掌握;數(shù)學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計(jì)算，簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算。這一部分題目的綜合性往往比較強(qiáng)，對(duì)考生綜合能力要求較高。

這就是高等數(shù)學(xué)整個(gè)學(xué)科從三種基本運(yùn)算的角度梳理出來的主要知識(shí)點(diǎn)。除此之外，考生需要掌握的知識(shí)點(diǎn)還有多元函數(shù)微積分，它實(shí)際上是將一元函數(shù)中的，連續(xù)，可導(dǎo)，可微，積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況，考生可以按照上面一樣的思路來總結(jié)。

第五篇：2015考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題解析

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2015考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題解析

[摘要]2015年考研結(jié)束后，凱程考研不斷的為大家整理各類真題，按題型、考點(diǎn)、科目等進(jìn)行剖析，希望能幫助大家更好的復(fù)習(xí)！

2014年12月28日凱程考研數(shù)學(xué)教研組第一時(shí)間解析了2015考研數(shù)學(xué)(一)(二)(三)真題，今年的試題難度和去年相比差不多，出題的方向和題目的類型完全在預(yù)料之中。沒有偏題怪題，也沒有計(jì)算量特別大的題目，完全按照考試大綱的要求，只要考生有比較扎實(shí)的基本功，復(fù)習(xí)比較全面，是比較容易拿到高分的。相信同學(xué)們都能做的不錯(cuò)。

證明題是研究生考試幾乎每年必考的內(nèi)容，今年考研數(shù)學(xué)(一)(三)證明題與以往不同，之前經(jīng)?？嫉降氖怯嘘P(guān)中值等式的證明或不等式的證明等等，而今年的證明題是導(dǎo)數(shù)公式的證明，題目如下

以上是這道證明題的解題過程，這道題也是咱們同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上冊(cè)教材88頁的原定理，所以同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)課本的時(shí)候，一定要重視定理、公式、法則、性質(zhì)等的證明，近幾年考研真題都有考過原定理的證明，比如08年考了邊上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的證明，09年考查了拉格朗日中值定理的證明。所以對(duì)于2016屆考研的學(xué)子來說，一定要重視書中定理、公式、法則、性質(zhì)等的證明。在此對(duì)準(zhǔn)備2016年考試的考生來說，復(fù)習(xí)安排應(yīng)注意以下方面：

首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，書本上每一個(gè)概念、每一個(gè)原理都要理解到位。象今年考查的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，就是教材上的一個(gè)定理，選擇題和部分填空題也是考查基本概念和基本原理，基礎(chǔ)知識(shí)的考查占有相當(dāng)大的比例，切不可開始就看復(fù)習(xí)資料而放棄課本的復(fù)習(xí)。

其次，注重公式的記憶，方法的掌握和應(yīng)用。填空題部分和一部分大題難度不大，需要能夠理解原理，熟悉公式，靈活運(yùn)用方法。

基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段非常重要，只要掌握好基礎(chǔ)，對(duì)于后期題型的訓(xùn)練和方法的掌握都有很大的幫助，只有打好基礎(chǔ)才能做題達(dá)到游刃有余。

再次，注重綜合問題、實(shí)際問題，這部分內(nèi)容是強(qiáng)化階段重點(diǎn)關(guān)注的問題和需要培養(yǎng)的能力，需要大家練習(xí)一定量的問題，以達(dá)到鞏固概念方法和原理、提高所學(xué)知識(shí)解決問題能凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊(duì)合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。凱程考研輔導(dǎo)班，中國最強(qiáng)的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，http://004km.cn

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力的目的。

最后，凱程考研衷心地祝愿廣大考生2016年考研成功!2015考研剛剛結(jié)束，在這里首先祝福各位考生金榜題名!根據(jù)今年考研真題，凱程考研數(shù)學(xué)名師李擂為2016考研的學(xué)子介紹一下真題中線性代數(shù)的出題特點(diǎn)，以便大家在接下來的復(fù)習(xí)中能夠更好的把握線性代數(shù)的復(fù)習(xí)方法。

從真題上可以看出，對(duì)基本概念、基本性質(zhì)和基本方法的考查才是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。下面以真題中的幾道題目為例，例如：數(shù)學(xué)三第13題，考查的內(nèi)容就是特征值的基本運(yùn)算性質(zhì)，如果考生能夠掌握特征值之積等于行列式的值，那么該題很容易求解;數(shù)學(xué)三第5題，考查的內(nèi)容是非齊次線性方程組解的判定，如果考生能夠清楚的知道非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件為r(A)=r(A,b)

針對(duì)以上特點(diǎn)，老師建議各位2016考研的學(xué)子在進(jìn)行線性代數(shù)復(fù)習(xí)時(shí)，一定要注重基本概念、基本性質(zhì)和基本方法的復(fù)習(xí)。很多考生由于對(duì)這些基礎(chǔ)內(nèi)容掌握不夠牢固，理解不夠透徹，導(dǎo)致許多失分現(xiàn)象，這一點(diǎn)在線性代數(shù)這個(gè)模塊上體現(xiàn)的更加明顯。

比如，線性代數(shù)中經(jīng)常涉及到的基本概念，余子式，代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性表示，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，特征值與特征向量，矩陣相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定矩陣與正定二次型，合同變換與合同矩陣等等，這些概念必須理解清楚。

對(duì)于線性代數(shù)中的基本運(yùn)算，行列式的計(jì)算(數(shù)值型、抽象型)，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)性的判定，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量，判斷矩陣是否可以相似對(duì)角化，求相似對(duì)角矩陣，用正交變換法化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等等。一定要注意總結(jié)這些基本運(yùn)算的運(yùn)算方法。例如，復(fù)習(xí)行列式的計(jì)算時(shí)，就要將各種類型的行列式計(jì)算方法掌握清楚，如，行(列)和相等型、爪型、三對(duì)角線型，范德蒙行列式等等。

最后，凱程考研衷心地祝愿廣大考生2016年考研成功!

凱程教育：

凱程考研成立于2005年，國內(nèi)首家全日制集訓(xùn)機(jī)構(gòu)考研，一直從事高端全日制輔導(dǎo)，由李海洋教授、張?chǎng)谓淌?、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級(jí)考研教研隊(duì)伍組成，為學(xué)員全程高質(zhì)量授課、答疑、測(cè)試、督導(dǎo)、報(bào)考指導(dǎo)、方法指導(dǎo)、聯(lián)系導(dǎo)師、復(fù)試等全方位的考研服務(wù)。凱程考研的宗旨：讓學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣；

凱程考研的價(jià)值觀口號(hào)：凱旋歸來，前程萬里；

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考研就找凱程考研，學(xué)生滿意，家長放心，社會(huì)認(rèn)可！

信念：讓每個(gè)學(xué)員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務(wù)：以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊(duì)合作，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

如何選擇考研輔導(dǎo)班：

在考研準(zhǔn)備的過程中，會(huì)遇到不少困難，尤其對(duì)于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報(bào)輔導(dǎo)班來彌補(bǔ)自己復(fù)習(xí)的不足，可以大大提高復(fù)習(xí)效率，節(jié)省復(fù)習(xí)時(shí)間，大家可以通過以下幾個(gè)方面來考察輔導(dǎo)班，或許能幫你找到適合你的輔導(dǎo)班。

師資力量：師資力量是考察輔導(dǎo)班的首要因素，考生可以針對(duì)輔導(dǎo)名師的輔導(dǎo)年限、輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)、歷年輔導(dǎo)效果、學(xué)員評(píng)價(jià)等因素進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，詢問往屆學(xué)長然后選擇。判斷師資力量關(guān)鍵在于綜合實(shí)力，因?yàn)槿魏我婚T課程，都不是由

一、兩個(gè)教師包到底的，是一批教師配合的結(jié)果。還要深入了解教師的學(xué)術(shù)背景、資料著述成就、輔導(dǎo)成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張?chǎng)谓淌凇⒎胶平淌?、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機(jī)構(gòu)只是很普通的老師授課，對(duì)知識(shí)點(diǎn)把握和命題方向，欠缺火候。

對(duì)該專業(yè)有輔導(dǎo)歷史：必須對(duì)該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導(dǎo)學(xué)員考取該校。在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝煌的成績(jī)：凱程教育拿下2015五道口金融學(xué)院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個(gè)，中財(cái)和貿(mào)大金融碩士合計(jì)20人，北師大教育學(xué)7人，會(huì)計(jì)碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學(xué)方面，凱程在人大、北大、貿(mào)大、政法、武漢大學(xué)、公安大學(xué)等院校斬獲多個(gè)法學(xué)和法碩狀元，更多專業(yè)成績(jī)請(qǐng)查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學(xué)員經(jīng)驗(yàn)談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績(jī)的最好證明。對(duì)于如此高的成績(jī)，凱程集訓(xùn)營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績(jī)，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競(jìng)爭(zhēng)激烈，沒有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成績(jī)。最好的辦法是直接和凱程老師詳細(xì)溝通一下就清楚了。

建校歷史：機(jī)構(gòu)成立的歷史也是一個(gè)參考因素，歷史越久，積累的人脈資源更多。例如，凱程教育已經(jīng)成立10年（2005年），一直以來專注于考研，成功率一直遙遙領(lǐng)先，同學(xué)們有興趣可以聯(lián)系一下他們?cè)诰€老師或者電話。

有沒有實(shí)體學(xué)校校區(qū)：有些機(jī)構(gòu)比較小，就是一個(gè)在寫字樓里上課，自習(xí)，這種環(huán)境是不太好的，一個(gè)優(yōu)秀的機(jī)構(gòu)必須是在教學(xué)環(huán)境，大學(xué)校園這樣環(huán)境。凱程有自己的學(xué)習(xí)校區(qū)，有吃住學(xué)一體化教學(xué)環(huán)境，獨(dú)立衛(wèi)浴、空調(diào)、暖氣齊全，這也是一個(gè)考研機(jī)構(gòu)實(shí)力的體現(xiàn)。此外，最好還要看一下他們的營業(yè)執(zhí)照。

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