第一篇：2013考研證明題系列-題目7

這是一個(gè)積分 等式問題。處理積分等式的方法通常有幾種，第一種是利用構(gòu)造輔助函數(shù)來證明，另外一種則是利用分部積分來證明。這道題，我們得仔細(xì)觀察下形式是怎樣的。不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)形式與泰勒的展開式極其相似。所以我們可以將關(guān)注的焦點(diǎn)放在泰勒展開上面。于是，很自然的，考慮構(gòu)造輔助函數(shù)。

注：這種構(gòu)造方法是很常見的，無論是在證明積分不等式還是積分等式！都可以先轉(zhuǎn)換成積分上限函數(shù)，通過其性質(zhì)來證明相關(guān)命題！

下一步是將這個(gè)積分上限函數(shù)展開成泰勒展開式。這里又涉及到兩個(gè)問題：

1）到底應(yīng)該展開成幾階的。這時(shí)候，我們應(yīng)該看看題目要證的命題需要我們展開到幾階。明顯，題目里面出現(xiàn)了條件具有二階導(dǎo)數(shù)，所以最多可以展開到二階，而命題中也有2階導(dǎo)數(shù)，所以，我們需要把這個(gè)積分上限函數(shù)展開到3階！

2）應(yīng)該在哪一點(diǎn)展開。從結(jié)論中也可以看出，需要在(a+b)/2點(diǎn)展開。

于是，展開式如下：

這個(gè)時(shí)候，離最后的證明還差一些，就是怎么在這樣的條件下得到需要的式子。令x=b，這個(gè)時(shí)候可以得到需要的左邊的式子。但是右邊還差一些

這時(shí)候可以再令x=a.此時(shí)，左邊等于0，右邊奇數(shù)次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和上面的式子的奇數(shù)次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，而偶數(shù)次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)相同，一旦相減，就離最后的結(jié)論更近了。

于是我們得到了如下的解法

最后一步利用連續(xù)介值定理（條件有說二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）來做的，這一步看似簡單實(shí)際上卻是很重要而且很容易被大家忽略的一步。不這樣做，容易出現(xiàn)以下的一種錯(cuò)誤！

這種方法是對知識掌握不牢固的同學(xué)容易犯的錯(cuò)誤。因?yàn)樵谔├展嚼锩?，ξ是一個(gè)變量，準(zhǔn)確的寫法應(yīng)該是f(ξ(x))，也就是說，ξ是關(guān)于x的函數(shù)，所以上面式子的最后一項(xiàng)的積分是積不出來的！

最后，對此題進(jìn)行小結(jié)。這道題是典型的將積分（不）等式先構(gòu)造相應(yīng)的積分上限函數(shù)來做的，其中涉及的知識有泰勒展開和連續(xù)性介值定理。題目的條件告訴了我們，一般來說，一

道題目是沒有無用的條件，如果條件沒有用完，那么很可能你的方法是錯(cuò)誤的。比如這道題的那種錯(cuò)誤的解法！沒有用到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)！

最后練習(xí)一道題吧！

第二篇：2013考研證明題系列-題目5

看見這道證明題，首先第一步是對比一下兩邊的差異。仔細(xì)觀察積分限，被積函數(shù)，發(fā)現(xiàn)只有抽象函數(shù)f里面的表達(dá)式變了，而且變的很有規(guī)律！

可以說，相當(dāng)于用一個(gè)變量去替換了x^2，所以此時(shí)此刻，我們很容易想到積分換元，于是

可是，這個(gè)時(shí)候麻煩又出現(xiàn)了。原因有兩點(diǎn)

（1）積分下限沒改變但是上限變了

（2）多了個(gè)系數(shù)2

這個(gè)時(shí)候，我們得想辦法處理，如何才能將這個(gè)東西向已知結(jié)論靠攏呢？考慮到積分區(qū)間的可加性，我們不妨將這個(gè)積分的區(qū)間分開成兩段，其分界點(diǎn)為a。

也許有人會(huì)問，你為什么想到要在a點(diǎn)取分界點(diǎn)，我個(gè)人認(rèn)為原因有兩點(diǎn)。

原因1：我們要證明的式子最后的積分上限就是a,所以我主動(dòng)構(gòu)造出來一個(gè)，后面那個(gè)看能不能用什么方法處理使得也變成結(jié)論形式

原因

注意到我給的這個(gè)式子，a對于抽象函數(shù)而言，相當(dāng)于是一個(gè)比例中項(xiàng)，也就是平衡位置。所以，選取這一點(diǎn)，對后面的問題處理也有一定幫助?。ú贿^這個(gè)理由有點(diǎn)抽象，需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能比較好的認(rèn)知）不過理由1是很明確的，是證明題的要素之一：朝著目標(biāo)轉(zhuǎn)化！接下來就是對這個(gè)表達(dá)式的處理了

還是同樣的思想，我們應(yīng)該朝著目標(biāo)轉(zhuǎn)化，也就是說，積分限需要變成1，a！那么我們需要找到一個(gè)適當(dāng)?shù)淖兓沟媚軌驖M足條件。其次，在這種變換下，我們不允許f內(nèi)的自變

量形式發(fā)生任何變化，一旦變化，由于是抽象函數(shù)，所以根本無法處理。

在這兩種條件的限制下，我們考慮下述變換。

這種變換的優(yōu)勢體現(xiàn)在兩點(diǎn)：一是f內(nèi)部函數(shù)形式?jīng)]變，二是積分限出現(xiàn)了a,1，也就是目標(biāo)！因此，我們有理由相信，這種方法是可以行得通。

PS：其實(shí)，在找出這種方法為正確的變換之前，我也嘗試了一些其他的變化

所以，證明不是一步就能看出來的，而需要不斷去修正，去嘗試。

具體解答如下

總結(jié)一下這道題目我們能夠?qū)W習(xí)到的東西。

（1）證明題的根本思想，朝著目標(biāo)轉(zhuǎn)化！

（2）定積分換元的技巧，考慮結(jié)論的形式

（3）對于解題過程中，也需要不斷的嘗試。失敗不可怕，因?yàn)槭≈?，也可能含有成功的線索！

下面兩道練習(xí)題，大家有興趣自己試試。

兩道題都不太難，練習(xí)2還有多種方法。

第三篇：2013考研證明題系列-題目4

這道題看上去就比較容易入手。因?yàn)轭}目有兩個(gè)問題，一般來說，第一問是為第二問做鋪墊的，往往第二問可以用到第一問的結(jié)論，就算用不到，第一問也會(huì)給第二問帶來很明確的方向。

還是條件入手，分析條件，從正向邊界，平面區(qū)域，不難得出此題是二重積分和曲線積分的轉(zhuǎn)換問題，應(yīng)該使用格林公式來做。于是分別對第一問左右兩邊用格林公式，轉(zhuǎn)換成二重積分。

對比二重積分的被積表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)其實(shí)并不完全一樣。所以這個(gè)時(shí)候我們又得考慮一下，是不是哪個(gè)條件沒有用上。仔細(xì)觀察下給的條件，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域沒用上，這個(gè)區(qū)域有個(gè)特點(diǎn)，就是很對稱，不過不關(guān)于x軸也不關(guān)于y軸對稱，而是關(guān)于y=x對稱。于是OK了。利用這種對稱性，成功的證明兩個(gè)二重積分是相等的了！

下面接著做第二問。

第二問是一個(gè)不等式問題，如果沒有第一問的鋪墊，也算是比較難的了，不過有了第一問，那么就相對簡單些了。

先做一些處理

這一步也算是得力于第一問了。就是利用y=x對稱的這個(gè)性質(zhì)！這樣一來，我們將多變量轉(zhuǎn)換成了單變量，這也是做題的一種策略！

可是即使做到這一步，我們也無法直接得出結(jié)論，并且e^sinx這種函數(shù)是無法積分（準(zhǔn)確說無法找出初等原函數(shù)），加上題目本身也不是讓你準(zhǔn)確積出來，而是證明不等式，所以聯(lián)想到放縮！

于是下一步考察e^x+e^（-x）這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)

為了能夠積分容易，泰勒公式是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，它將各種函數(shù)都弄成了冪函數(shù)的形式，而

冪函數(shù)正是很容易積分的形式。于是，將e^x+e^（-x）在x=0點(diǎn)展開。一放縮，本題就得出答案了，具體過程如下。

最后總結(jié)一下這道題目

題目分析過程不算特別難，主要就是格林公式的應(yīng)用和二重積分的對稱性，以及最后的泰勒公式展開。

但是有兩個(gè)地方值得挖掘

（1）題目可以一般化！

方法與上面一模一樣，這里不贅述。不過需要注意的是，第二問就無法證明大于等于5/2π^2,只能證明大于等于2π^2

（2）對于本題的第二問，我們可以從解答中看出，還可以繼續(xù)不斷的進(jìn)行更強(qiáng)的放縮

得到的結(jié)果也更加強(qiáng)！

這一種方法給我們的啟示就是：對于那種無法積出具體分的積分不等式，我們可以利用泰勒展開來做。適當(dāng)放縮就可以得到答案！

下面就這個(gè)方法，給一道習(xí)題

此題左邊比較容易，右邊稍微有點(diǎn)難，可以嘗試一下！

第四篇：2013考研證明題系列-題目3

題目3是一道積分不等式的證明，是李永樂或者陳文燈書上都可以找到的題目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是證明題中常用的，所以我把這道題弄出來進(jìn)行剖析，將自己的思路展現(xiàn)給大家看看。

拿到這道題目，大家可能都有點(diǎn)傻眼了。怎么表達(dá)式這么復(fù)雜？?。《医^對值，積分號，求導(dǎo)號讓人眼花繚亂，感覺根本不知道從何下手。我們不妨先從三個(gè)獨(dú)立的表達(dá)式分析起走。第一個(gè)表達(dá)式

首先要明白這個(gè)式子說的是什么東西。讀懂表達(dá)式，是你做證明題的根本！不難看出，這個(gè)式子說的就是|f(x)|的在區(qū)間[a,b]的最大值。寫的這么高深，弄得大家心里發(fā)慌，其實(shí)根本就是一只紙老虎嘛！我們并不關(guān)心最大值在哪一點(diǎn)取得，所以我們可以把取得最大值的這一點(diǎn)設(shè)為ξ，則這個(gè)式子可以化成|f(ξ)|.你看，這樣一簡化，是不是顯得更加簡潔和舒服，讓自己的信心也增加了不少。第二個(gè)表達(dá)式

這個(gè)式子對積分熟悉一點(diǎn)的看見了就應(yīng)該有一種很強(qiáng)烈的反應(yīng)，就是積分中值定理！所以這個(gè)式子我們也可以簡化一下成|f(η)|.這樣一來，不但大大簡化了表達(dá)式，而且成功的與第一個(gè)表達(dá)式聯(lián)系了起來！這樣對題目的認(rèn)知也就在簡化中一點(diǎn)一點(diǎn)的清晰化了！第三個(gè)表達(dá)式

這個(gè)表達(dá)式相對于前面兩個(gè)來說要復(fù)雜一些，因?yàn)樗鼪]有很好的化簡方式。所以我們只有暫且不管這個(gè)表達(dá)式，把它作為一個(gè)常量，擺在那里，考慮去處理表達(dá)式1,2，使得能夠得到表達(dá)式3！

為此，我們將表達(dá)式1和表達(dá)式2放在一起，于是移項(xiàng)，得到下面不等式，也就是我們需要證明的！

注意到左邊兩個(gè)式子|f(ξ)|-|f(η)|，看見這個(gè)，然后考慮到這是一道不等式的題目，并且ξ，η

都是未知的一個(gè)數(shù)，我們應(yīng)該立即聯(lián)想到放縮，用什么放縮？絕對值不等式！

|x|-|y|<=|x-y|，然后邏輯方向（也就是不等式的方向）也是正確的，所以放心大膽的做吧！如此一來，我們便可以一口氣做下去了。于是得到下面的解答！

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最后需要再多說兩句的就是放縮的后期有一步非常經(jīng)典

注意到?jīng)]有，第一步的那個(gè)等號是這道題里面最難也是最精華的部分。反用牛頓--萊布尼茨公式。成功將積分和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在了一起，破解了這個(gè)看似超級復(fù)雜的證明題！

后面的就是定積分的基本性質(zhì)

雖然這個(gè)式子平時(shí)看起來覺得再熟悉簡單不過了，可是真正使用的時(shí)候還是不簡單的。最后對這個(gè)題目打一個(gè)小結(jié)，這道題到底讓我們學(xué)到了哪些知識和思想方法。

知識1：積分中值定理，在某些時(shí)候可以簡化表達(dá)式

知識2：絕對值不等式以及定積分里面的絕對值不等式

知識3：牛頓--萊布尼茨公式的逆用

考察的知識不難，關(guān)鍵如何將這些知識串聯(lián)起來，這是需要不斷訓(xùn)練的，當(dāng)然，通過平時(shí)練習(xí)多總結(jié)多思考，就是提高的最快路徑了！

思想方法1：對證明的式子需要有個(gè)宏觀把握，能簡化的要簡化，這樣便于你看清楚整個(gè)題目間的關(guān)系。

思想方法2：不等式證明中間肯定有放縮，這個(gè)時(shí)候需要找出一定放縮的方法，而且更重要的是判斷放縮的方向是否正確，如果正確才可繼續(xù)往下做。

思想方法3：對公式的逆用。有些時(shí)候我們做題做多了，往往對有些公式只會(huì)順著用，反過來如何用未曾或者很少想過。其實(shí)，像這種難度較大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通過這道題目，我們也學(xué)習(xí)到了牛頓萊布尼茨公式逆用的威力?？梢月?lián)系積分與導(dǎo)數(shù)！總而言之，這道題目難度不小，不過也不是天馬行空的，仔細(xì)琢磨，會(huì)發(fā)現(xiàn)里面有很多思想是值得學(xué)習(xí)借鑒的！

最后選了一道題目，供大家練習(xí)

第五篇：考研數(shù)學(xué)證明題題目11

今天還是討論關(guān)于不等式的問題。

這次的這個(gè)不等式大家看見了一定不會(huì)陌生，因?yàn)樗悸泛苋菀拙湍贸鰜砹?。就是轉(zhuǎn)化成求一個(gè)函數(shù)的極值問題。然后解法一就誕生了。

上面的方法估計(jì)是絕大多數(shù)人都會(huì)采用的方法，算是一種通法了。也是必須得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是這個(gè)題目除了這種方法就沒有其他的辦法來做了呢？答案是否定的。

注意到需要證明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左邊的式子要和冪函數(shù)聯(lián)系起來，很容易想到的就是馬克勞林展開。于是可以嘗試著看看是否能夠利用這個(gè)來做。

首先可以試著將e^x展開到二階的，然后看看是否能夠證明需要的不等式。發(fā)現(xiàn)不行，然后再繼續(xù)多展開一階。于是，解法二橫空出世。

說句實(shí)話，就這道題而言，這種方法確實(shí)挺復(fù)雜的，而且還沒有求導(dǎo)的方法精確。不過，這種思想方法對于一些題目來說，卻可能是重要的突破口！下面看看一道習(xí)題吧。

由于這道題目比較難，所以直接給出解答。

這個(gè)題目可以說相當(dāng)于反用冪級數(shù)的展開，然后利用馬克老林余項(xiàng)的估值最后證明出結(jié)論。這個(gè)看似很一般的題目，中間卻蘊(yùn)含著無限的思想，需要大家細(xì)細(xì)品味！