第一篇：2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

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2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

在考研數(shù)學(xué)中，有關(guān)中值定理的證明題型是一個(gè)重要考點(diǎn)，也是一個(gè)讓很多同學(xué)感到比較困惑的考點(diǎn)，不少同學(xué)在讀完題目后不知從何下手，不會(huì)分析證明，找不到思路，之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，主要是因?yàn)檫@些同學(xué)對(duì)中值定理證明題型的特點(diǎn)缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)其分析和證明方法沒有完全理解和掌握，為了協(xié)助這樣的同學(xué)克服這方面的困難，下面本文對(duì)這類題的特點(diǎn)和證明方法做些分析總結(jié)，供各位考生參考。

一、中值定理證明題的特點(diǎn)

中值定理證明題主要有以下一些特點(diǎn)：

1.中值定理證明題常常需要作輔助函數(shù)；

2.中值定理證明題經(jīng)常在一個(gè)題中需要結(jié)合運(yùn)用三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，分別是：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（包括最大值和最小值定理、零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理），微分中值定理和積分中值定理；

3.中值定理證明題可能需要在一個(gè)問題的證明中反復(fù)運(yùn)用同一個(gè)微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；

4.從歷年考研數(shù)學(xué)真題變化規(guī)律來看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。

二、中值定理證明題的常用方法

中值定理證明題有不同的類型，對(duì)不同的類型需要運(yùn)用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：

1.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)值的等式，而函數(shù)是連續(xù)的，則可能需要運(yùn)用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)進(jìn)行證明；對(duì)導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的情況也可以對(duì)導(dǎo)函數(shù)運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

2.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于定積分的等式，則可能需要運(yùn)用積分中值定理；

3.對(duì)于以下這類問題一般使用羅爾中值定理進(jìn)行證明：

6、如果是要證明兩函數(shù)差值比的中值等式，或證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進(jìn)行證明。

對(duì)于上面總結(jié)介紹的各種證明方法，在實(shí)際問題中要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用，另外，對(duì)于需要作輔助函數(shù)的證明題，常常通過還原法分析找出需要的輔助函數(shù)，對(duì)于含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數(shù)作為輔助函數(shù)，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結(jié)希望對(duì)大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最后預(yù)祝各位考研成功、金榜題名！

第二篇：2018考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)：中值定理證明題解題技巧

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2018考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)：中值定理證明題解

題技巧

考研數(shù)學(xué)中證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會(huì)涉及，在此著重說說應(yīng)用拉格朗日中值定理來證明不等式的解題方法與技巧。

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根據(jù)以上的攻關(guān)點(diǎn)撥和典例練習(xí)，相信同學(xué)們對(duì)該題型的解題訓(xùn)練有了一定的掌握。

需要提醒考生們，數(shù)學(xué)題目多，而且考查的知識(shí)點(diǎn)很綜合，很多人擔(dān)心自己做的少，碰到的知識(shí)點(diǎn)就會(huì)少一些，從而加快了解題速度，實(shí)際上考生最重要的是要注重對(duì)題目的理解，對(duì)基本知識(shí)的概括和各種題型解題技巧的能力訓(xùn)練，因此大家可以根據(jù)以上的攻關(guān)點(diǎn)撥和典例練習(xí)，這樣加以積累練習(xí)，為以后的快速準(zhǔn)確解題打下基礎(chǔ)。

另外，數(shù)學(xué)試題切忌眼高手低，實(shí)踐出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的復(fù)習(xí)程度，疏漏的內(nèi)容，如果題目確實(shí)做不出來，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己再把題目獨(dú)立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知識(shí)點(diǎn)。

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第三篇：有關(guān)中值定理的證明題

中值定理證明題集錦

1、已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，試證：在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少x存在一點(diǎn)?，使得f??(?)?0.證：由limf(x)，由此又得?0?0，可得limf(x)?0，由連續(xù)性得f(0)x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)f?(0)?lim?lim?0，由f(0)?f(1)?0及題設(shè)條件知f(x)在[0,1]x?0x?0x?0x上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn) c?(0,1)，使得f?(c)?0，又因?yàn)閒?(0)?f?(c)?0，并由題設(shè)條件知f?(x)在[0,c]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f??(?)?0.2、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點(diǎn)??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.證：分析：要證結(jié)論即為：[xf(x)]?x???0.令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)?F(a)?0，因此故存在一點(diǎn)??(0,a)，使得F?(?)?0，F(xiàn)(x)?xf(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，即f(?)??f?(?)?0.注1：此題可改為：

設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點(diǎn)??(0,a)，使得

nf(?)??f?(?)?0.)?nf??(?)（0給分析：要證結(jié)論nf(??)??f(??)等價(jià)于n?n?1f(??nn?1n，而n?f(?)??f?(?)?0即為[xf(x)]?x???0.nf(??)??f(??)兩端同乘以?n?1）故令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結(jié)論.注2：此題與下面例題情況亦類似：

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，?x?(0,1)，有f(x)?0，證：n?n?N?，???(0,1)，使得

nf?(?)f?(1??)?成立.f(?)f(1??)分析：要證結(jié)論可變形為nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0，它等價(jià)于nfn?1(?)f?(?)f(1??)?fn(?)f?(1??)?0(給nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0兩端同乘以fn?1(?))，而nfn?1(?f)??f(??)?(fn1?f?)???(即)為(1)0[fn(x)?f?x??1?(x，用羅爾中值定理)]0.以上三題是同類型題.3、已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?0，f()?1，證明：（1）存在一點(diǎn)??(,1)，使f(?)??.（2）存在一點(diǎn)??(0,?)，使f?(?)?1.（3）存在一點(diǎn)x0?(0,?)，使f?(x0)?1??(f(x0)?x0).證：（1）分析：要證結(jié)論即為：f(?)???0.12121211111顯然F(x)在[,1]上連續(xù)，且F()?f()???0，F(xiàn)(1)?f(1)?1??1?0，2222211因此F(x)在[,1]上滿足零點(diǎn)定理的條件，由零點(diǎn)定理知，存在??(,1)，使F(?)?0，22令F(x)?f(x)?x，則只需證明F(x)在(,1)內(nèi)有零點(diǎn)即可。即f(?)??.（2）又因?yàn)镕(0)?f(0)?0?0，由(1)知F(?)?0，因此F(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故存在一點(diǎn)??(0,?)，使F?(?)?0，即f?(?)?1?0，即f?(?)?1.（3）分析：結(jié)論f?(x0)?1??(f(x0)?x0)即就是F?(x0)??F(x0)或F?(x0)??F(x0)?0，F(xiàn)?(x0)??F(x0)?0?e??x0[F?(x0)??F(x0)]?0，即[e??xF(x)]?x?x0?0.故令G(x)?e??xF(x)，則由題設(shè)條件知，G(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且G(0)?e0F(0)?0，G(?)?e???F(?)?0,則G(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，命題得證.4、設(shè)f(x)在[0,x]上可導(dǎo)，且f(0)?0，試證：至少存在一點(diǎn)??(0,x)，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f(x)?f(0)?(1??)[ln(1?x)?ln1]f?(?),也就是f(x)?f(0)f?(?)，因此只需對(duì)函數(shù)f(t)和ln(1?t)在區(qū)間[0,x]上應(yīng)用柯西中值定理?1ln(1?x)?ln11??即可.5、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，且g(x)?0，證明：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f?(?)g(?)?f(?)g?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0,等價(jià)于

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0，2g(?)即就是[即可.f(x)f(x)在區(qū)間[a,b]上應(yīng)用羅爾中值定理]?x???0，因此只需驗(yàn)證函數(shù)F(x)?g(x)g(x)

6、設(shè)f(x)在[x1,x2]上可導(dǎo)，且0?x1?x2，試證：至少存在一點(diǎn)??(x1,x2)，使得x1f(x2)?x2f(x1)???f?(?)?f(?).x1?x2f(x2)f(x1)f(x)?()?x??x2x1x證：分析：要證結(jié)論即為： ,因此只需對(duì)函???f?(?)?f(?)?111?()?x??x2x1x數(shù)f(x)1和在區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用柯西中值定理即可.xx此題亦可改為：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若0?a?b，試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得af(b)?bf(a)?[f(?)??f?(?)](a?b).7、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，試證：（1）???(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0；（2）???(a,b)，使得?f(?)?f?(?)?0.證:（1）令F(x)?xf(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.（2）分析：?f(?)?f?(?)?0?e[?f(?)?f?(?)]?0?[e?22x22f(x)]?x???0，因此令F(x)?ex22f(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.8、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?1，試證：??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.[exf(x)]?x??e?[f(?)?f?(?)]證：分析：要證結(jié)論即為?1，即就是?1.?xe(e)?x??令F(x)?ef(x)，令G(x)?e，則F(x)和G(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)?eaf(a)eb?ea?，即就是e[f(?)?f?(?)]?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?aeb?eaeb?ea?，即就是e?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?ae?[f(?)?f?(?)]因此，有?1，即就是e???[f(?)?f?(?)]?1.?e9、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，試證：???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?0.證：分析：要證結(jié)論即為[f(x)?g(x)]??x??令F(x)?f(x)?g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的同一點(diǎn)處取得相同的最大值，不妨設(shè)都在c點(diǎn)處取得最大值，則F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，則F(x)分別在[a,c]、[c,b]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故??1?(a,c)，??2?(c,b)使得F?(?1)?0，F(xiàn)?(?2)?0.由題設(shè)又知，F(xiàn)?(x)在[?1,?2]上滿足洛爾定理?xiàng)l件，故存在???(?1,?2)，使得F??(?)?0，即就是f??(?)?g??(?)].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的不同的點(diǎn)處取得相同的最大值，不妨設(shè)f(x)在p點(diǎn)處、g(x)在q點(diǎn)處取得最大值，且p?q，則F(p)?f(p?)g(?p)，F(xiàn)(q)?f(q)?g(q)?0，由零點(diǎn)定理知，?c?(p,q)?(0,1)，使得F(c)?0，由此得 F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，后面證明與（1）相同.10、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)?0，若極限lim?x?af(2x?a)存在，x?a試證：（1）存在一點(diǎn)??(a,b)，使得

b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)22?b（2）在(a,b)內(nèi)存在異于?的點(diǎn)?，使得f?(?)(b?a)?f(x)dx.；

??a?a證：（1）令F(x)??xaf(t)dt，G(x)?x2，則F(x)、G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理

b2?a2ba條件，故存在一點(diǎn)??(a,b)，使得

?b2?a2af(t)dt??f(t)dta?2?成立，即就是f(?)?bab2?22成立，即就是2??f(x)dx?(b?a)f(?)成立.?af(x)dxf(?)（2）由（1）知，2??ba22因此要證f?(?)(b?a)?f(x)dx?(b2?a2)f(?)，2?bf(x)dx.，?a??a即要證f?(?)(b?a)?221??a(b2?a2)f?(，)即要證f?(?)(??a)?f(?，)由已知

x?alim?f(2x?a)f(2x?a)?0，可得，lim從而得f(a)?0，因此要證f?(?)(??a)?f(?)，x?a?x?a即要證f?(?)(??a)?f(?)?f(a)，顯然只需驗(yàn)證f(x)在[a,?]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件即可。

第四篇：【考研數(shù)學(xué)】中值定理總結(jié)

中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)（當(dāng)然理工類也常會(huì)考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個(gè)總結(jié)，希望能對(duì)各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個(gè)式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因?yàn)閇xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時(shí)要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時(shí)不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

f?(x)兩邊積分x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?g(x)dxf(x)?g(x)?lnf(?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對(duì)于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?pdx，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdx例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)?f(a)b?a分析：把所證式整理一下可得：f?(?)?f(?)?f(a)b?a?0 ?[f(?)?f(a)]??1b?a[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型1x 引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?－－xb?adx＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時(shí)會(huì)用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個(gè)結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點(diǎn) ①湊拉格朗日 例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點(diǎn)，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗(yàn)證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點(diǎn)②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個(gè)式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個(gè)函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對(duì)于數(shù)四，如果對(duì)柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個(gè) 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號(hào)的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個(gè)式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個(gè)對(duì) 那么進(jìn)入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗(yàn)證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時(shí)，泰勒法往往是可行的，而且對(duì)于有些題目，泰勒法反而會(huì)更簡(jiǎn)單。

3、所證試同時(shí)出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個(gè)更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時(shí)遇到ξ和η同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)候還需要多方考慮，可能會(huì)用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

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一、高數(shù)解題的四種思維定勢(shì)

1、在題設(shè)條件中給出一個(gè)函數(shù)f(x)二階和二階以上可導(dǎo)，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說。

2、在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達(dá)式時(shí)，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對(duì)該積分式處理一下再說。

3、在題設(shè)條件中函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4、對(duì)定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡(jiǎn)單形式f(u)再說。

二、線性代數(shù)解題的八種思維定勢(shì)

1、題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行（列）展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

2、若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

3、若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。

4、若要證明一組向量a1,a2,?,as線性無關(guān)，先考慮用定義再說。

5、若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

6、若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

7、若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

8、若要證明抽象n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。

第五篇：微分中值定理的證明題

微分中值定理的證明題

1.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：???R，???(a,b)使得：f?(?)??f(?)?0。

證：構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)e?x，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（a,b)，使F?(?)?0 且F(a)?F(b)?0，由羅爾中值定理知：??? 即：[f?(?)??f(?)]e???0，而e???0，故f?(?)??f(?)?0。

2.設(shè)a,b?0，證明：???(a,b)，使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 證：將上等式變形得：e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作輔助函數(shù)f(x)?xe，則f(x)在[,]上連續(xù)，在(,)內(nèi)可導(dǎo)，baba 由拉格朗日定理得：

11f()?f()ba?f?(1)1?(1,1)，11ba???ba11b1a1e?e1a?(1?)e?

1?(1,1)，即 b11ba???ba

即：

aeb?bea?(1??)e?(a?b)

??(a,b)。

3.設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)?0，有F(x)?x2f(x)證明：在(0,1)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得：F??(?)?0。

證：顯然F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)?F(1)?0，故由羅爾定理知：?x0?(0,1)，使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x)，故F?(0)?0，于是F?(x)在[0，x0]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在??(0,x0)，使得：F??(?)?0，而??(0,x0)?(0,1)，即證 4.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)?0，f(1)?1.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在?，使得f(?)?1??．

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?，?使得f/(?)f/(?)?1

【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】（I）

令F(x)?f(x)?1?x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.（II）在[0,?]和[?,1]上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個(gè)不同的點(diǎn)??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?于是，由問題（1）的結(jié)論有

f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1.?1???1??f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?

??01??5.設(shè)f(x)在[0，2a]上連續(xù)，f(0)?f(2a)，證明在[0,a]上存在?使得

f(a??)?f(?).【分析】f(x)在[0,2a]上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到

f(a??)?f(?)?f(a??)?f(?)?0?f(a?x)?f(x)?0

【證明】令G(x)?f(a?x)?f(x)，x?[0,a]．G(x)在[0,a]上連續(xù)，且

G(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)

G(0)?f(a)?f(0)

當(dāng)f(a)?f(0)時(shí)，取??0，即有f(a??)?f(?)；

當(dāng)f(a)?f(0)時(shí)，G(0)G(a)?0，由根的存在性定理知存在??(0,a)使得，G(?)?0，即f(a??)?f(?)．

6.若f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且當(dāng)x?[0,1]時(shí)有0?f(x)?1，且f?(x)?1，證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?使得f(?)?? 證明：存在性

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)?f(x)?x

則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且有F(0)?f(0)?0?0，F(xiàn)(1)?f(1)?1?0，?由零點(diǎn)定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得F(?)?0，即：f(?)??

唯一性：（反證法）

假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)?1,?2?(0,1)，且?1??2，使得F(?1)?F(?2)?0

F(x)在[0,1]上連續(xù)且可導(dǎo)，且[?1,?2]?[0,1] ?

?F(x)在[?1,?2]上滿足Rolle定理?xiàng)l件

?必存在一點(diǎn)??(?1,?2)，使得：F?(?)?f?(?)?1?0

即：f?(?)?1，這與已知中f?(x)?1矛盾

?假設(shè)不成立，即：F(x)?f(x)?x在(0,1)內(nèi)僅有一個(gè)根，綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?，使得f(?)??

17.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，f()=1。試

2(x)=1。證至少存在一個(gè)??(0，1)，使f￠分析：f'(?)=1?f'(x)=1?f(x)=x?f(x)?x=0 令 F(x)= f(x)?x 證明： 令 F(x)= f(x)?x

F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)= f(1)?1??1?0(?f(1)?0)F(11111)= f()???0(?f()?1)222221由介值定理可知，?一個(gè)??(，1)，使 F(?)=0 又 F(0)=f(0)?0=0 對(duì)F(x)在[0，1]上用Rolle定理，?一個(gè)??(0，?)?(0，1)使

F'(?)=0 即 f'(?)=1 8.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)試證存在?和?.滿足0?????1，使f?(?)?f?(?)?0。

證 由拉格朗日中值定理知，1f()?f(0)12?f?(?)??(0,)

12?021f(1)?f()12?f?(?)??(,1)

121?211f()?f(0)f(1)?f()2?0 f?(?)?f?(?)?2?11229.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b),f(a)?f(b), 證明: ??,??(a,b)使得 f?(?)?a?bf?(?).(1)2?證:(用(b?a)乘于(1)式兩端,知)(1)式等價(jià)于

f?(?)f?(?)2(b?a)?(b?a2).(2)12?

為證此式,只要取F(x)?f(x),取G(x)?x和x在[a,b]上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知

2f?(?)f?(?)2?(b?a)?(b?a2), f(b)?f(a)?12?其中?,??(a,b).10.已知函數(shù)f(x)在[0 ,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，證明存在?,??(a,b)，使3?2f/(?)?(a2?ab?b2)f/(?)

f/(?)f(b)?f(a)解：利用柯西中值定理 ?2333?b?a而f(b)?f(a)?f/(?)(b?a)

則

f/(?)f(b)?f(a)f/(?)(b?a)f/(?)（后面略）???22333323?b?ab?aa?ab?b/11.設(shè)f(x)在x?a時(shí)連續(xù)，f(a)?0，當(dāng)x?a時(shí)，f(x)?k?0，則在(a,a?f(a))k內(nèi)f(x)?0有唯一的實(shí)根

/解：因?yàn)閒(x)?k?0，則f(x)在(a,a?f(a))上單調(diào)增加 kf(a)f(a)f/(?)/f(a?)?f(a)?f(?)?f(a)[1?]?0（中值定理）

kkk而f(a)?0故在(a,a?f(a))內(nèi)f(x)?0有唯一的實(shí)根 k1?2t?0?tsin12.試問如下推論過程是否正確。對(duì)函數(shù)f(t)??在[0,x]上應(yīng)用拉t?t?0?0格朗日中值定理得：

1x2sin?0f(x)?f(0)111x??xsin?f??(?)?2si?nc(0s???x)

ox?0x?0x??

即：cos1??2?sin1??xsin1)

(0???x

x1xsin? lim?x?0??0，il2?nsi?0

因0???x，故當(dāng)x?0時(shí)，由m??0?1?0 x

得：lim?cosx?0

1??0，即limcos???01??0

解：我們已經(jīng)知道，lim?cos??01??0不存在，故以上推理過程錯(cuò)誤。

首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的?是個(gè)中值點(diǎn)，是由f和區(qū)間[0,x]的

端點(diǎn)而定的，具體地說，?與x有關(guān)系，是依賴于x的，當(dāng)x?0時(shí)，?不 一定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使limcos?x?01??0成

立，而lim?cos??01??0中要求?是連續(xù)地趨于零。故由limcos?x?01??0推不出

??0lim?cos1??0

13.證明：?0?x??2成立x?tgx?x。cos2x

證明：作輔助函數(shù)f(x)?tgx，則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理知：

f(x)?f(0)tgx1??(0,x)??f?(?)?x?0xcos2?即：tgx??1?x(0,)(0,)，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即： cos20cos2?cos2xcos2?cos2x內(nèi)單調(diào)遞增，故

即：x?tgx?1。cos2x

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間[a,b]，然后驗(yàn)證條件，利用定理得

??f?()(?b?a?(a,b)

f(b)?f(a)，再根據(jù)f?(x)在(a,b)內(nèi)符號(hào)或單調(diào)

證明不等式。?14.證明：當(dāng)0?x?時(shí)，sinx?tgx?2x。

證明：作輔助函數(shù)?(x)?sinx?tgx?2x

則??(x)?cosx?sec2x?2

1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)

2?

?(cosx??0

12)cosx??

故?(x)在(0,)上單調(diào)遞減，又因?(0)?0，?(x)在(0,)上連續(xù)，22

故 ?(x)??(0)=0，即：sinx?tgx?2x?0，即：sinx?tgx?2x。

注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當(dāng)x?I時(shí)f(x)?g(x)，常用輔助函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，則將問題轉(zhuǎn)化證?(x)?0，然后在I上

討論?(x)的單調(diào)性，進(jìn)而完成證明。

15.證明：若f(x)二階可導(dǎo)，且f??(x)?0，f(0)?0，則F(x)?,內(nèi)單調(diào)遞增。)

(0??

f(x)在 x證明：因F?(x)?xf?(x)?f(x)，要證F(x)單調(diào)遞增，只需證F?(x)?0，2x

即證xf?(x)?f(x)?0。

設(shè)G(x)?xf?(x)?f(x)，則G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x)，因?yàn)?/p>

f??(x)?0，x?0，故G(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，而G(0)?0f?(x)?0?0，因此G(x)?G(0)，即：xf?(x)?f(x)?0，即：F?(x)?0，即F(x)當(dāng)x?0時(shí)單調(diào)遞增。