第一篇：2017考研：考研數(shù)學(xué)證明題知識(shí)點(diǎn)歸納

2017考研：考研數(shù)學(xué)證明題知識(shí)點(diǎn)歸納

高等數(shù)學(xué)題目中比較困難的是證明題，今天凱程老師給大家整理了在整個(gè)高等數(shù)學(xué)，容易出證明題的地方。

一、數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明是數(shù)一、二的重點(diǎn)，特別是數(shù)二最近幾年考的非常頻繁，已經(jīng)考過(guò)好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數(shù)列極限的證明，用到的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則。

二、微分中值定理的相關(guān)證明

微分中值定理的證明題歷來(lái)是考研的重難點(diǎn)，其考試特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，涉及到知識(shí)面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：

1.零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理； 2.微分中值定理；

包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來(lái)處理高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，考查頻率底，所以以前兩個(gè)定理為主。

3.微分中值定理

積分中值定理的作用是為了去掉積分符號(hào)。

在考查的時(shí)候，一般會(huì)把三類定理兩兩結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，所以要總結(jié)到現(xiàn)在為止，所考查的題型。

三、方程根的問(wèn)題

包括方程根唯一和方程根的個(gè)數(shù)的討論。

四、不等式的證明

五、定積分等式和不等式的證明

主要涉及的方法有微分學(xué)的方法：常數(shù)變異法；積分學(xué)的方法：換元法和分布積分法。

六、積分與路徑無(wú)關(guān)的五個(gè)等價(jià)條件

這一部分是數(shù)一的考試重點(diǎn)，最近幾年沒(méi)涉及到，所以要重點(diǎn)關(guān)注。

以上是容易出證明題的地方，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)的時(shí)候重點(diǎn)歸納這類題目的解法?？佳胁欢牡胤?，可以關(guān)注凱程微信公眾號(hào)“凱程考研”，第一時(shí)間發(fā)布考研資訊，精心推送考研經(jīng)驗(yàn)，匯聚考研正能量，提供權(quán)威擇校擇專業(yè)指導(dǎo)，答疑、求罵醒，你需要的都在這里。

第二篇：考研證明題

翻閱近十年的數(shù)學(xué)真題，同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會(huì)有一道證明題，而且基本上都可以用中值定理來(lái)解決，重點(diǎn)考察同學(xué)的邏輯推理分析能力，但是參加研究生數(shù)學(xué)考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致你們數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，根本不想去想，以致簡(jiǎn)單的證明題得分率卻極低。下面給同學(xué)們總結(jié)了一些方法步驟或思路，以后在遇到證明題時(shí)不妨試一試。

第一步：首先要記住零點(diǎn)存在定理，介值定理，中值定理、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論，中值定理最好能記住他們的推到過(guò)程，有時(shí)可以借助幾何意義去記憶。因?yàn)橹阑驹硎亲C明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。再比如2009年直接讓考生證明拉格朗日中值定理；但是像這樣直接可以利用基本原理的證明題在考研真題中并不是很多見，更多的是要用到第二步。

第二步：可以試著借助幾何意義尋求證明思路，以構(gòu)造出所需要的輔助函數(shù)。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：從要證的結(jié)論出發(fā)，去尋求我們所需要的構(gòu)造輔助函數(shù)，我們稱之為“逆推”如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。

第三篇：2018考研數(shù)學(xué)：易出證明題的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

http://004km.cn/kaoyan/ 考研數(shù)學(xué)：易出證明題的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

要命的考研數(shù)學(xué)每年都會(huì)難倒一大批考研黨，各位2018考研黨可得在數(shù)學(xué)上多下功夫了。今天文都網(wǎng)?？佳蓄l道整理了一下容易出證明題的知識(shí)點(diǎn)與小伙伴兒們分享，希望對(duì)大家有所幫助。

考試難題一般出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)，對(duì)高等數(shù)學(xué)一定要抓住重難點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)。高等數(shù)學(xué)題目中比較困難的是證明題，在整個(gè)高等數(shù)學(xué)，容易出證明題的地方如下：

一、數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明是數(shù)一、二的重點(diǎn)，特別是數(shù)二最近幾年考的非常頻繁，已經(jīng)考過(guò)好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數(shù)列極限的證明，用到的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則。

二、微分中值定理的相關(guān)證明

微分中值定理的證明題歷來(lái)是考研的重難點(diǎn)，其考試特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，涉及到知識(shí)面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：

1.零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理;

2.微分中值定理;

包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來(lái)處理高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，考查頻率底，所以以前兩個(gè)定理為主。

3.微分中值定理

積分中值定理的作用是為了去掉積分符號(hào)。

http://004km.cn/kaoyan/ 在考查的時(shí)候，一般會(huì)把三類定理兩兩結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，所以要總結(jié)到現(xiàn)在為止，所考查的題型。

三、方程根的問(wèn)題

包括方程根唯一和方程根的個(gè)數(shù)的討論。

四、不等式的證明

五、定積分等式和不等式的證明

主要涉及的方法有微分學(xué)的方法：常數(shù)變異法;積分學(xué)的方法：換元法和分布積分法。

六、積分與路徑無(wú)關(guān)的五個(gè)等價(jià)條件

這一部分是數(shù)一的考試重點(diǎn)，最近幾年沒(méi)設(shè)計(jì)到，所以要重點(diǎn)關(guān)注。

以上是容易出證明題的地方，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)的時(shí)候重點(diǎn)歸納這類題目的解法。

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第四篇：考研數(shù)學(xué)證明題題目11

今天還是討論關(guān)于不等式的問(wèn)題。

這次的這個(gè)不等式大家看見了一定不會(huì)陌生，因?yàn)樗悸泛苋菀拙湍贸鰜?lái)了。就是轉(zhuǎn)化成求一個(gè)函數(shù)的極值問(wèn)題。然后解法一就誕生了。

上面的方法估計(jì)是絕大多數(shù)人都會(huì)采用的方法，算是一種通法了。也是必須得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是這個(gè)題目除了這種方法就沒(méi)有其他的辦法來(lái)做了呢？答案是否定的。

注意到需要證明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左邊的式子要和冪函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，很容易想到的就是馬克勞林展開。于是可以嘗試著看看是否能夠利用這個(gè)來(lái)做。

首先可以試著將e^x展開到二階的，然后看看是否能夠證明需要的不等式。發(fā)現(xiàn)不行，然后再繼續(xù)多展開一階。于是，解法二橫空出世。

說(shuō)句實(shí)話，就這道題而言，這種方法確實(shí)挺復(fù)雜的，而且還沒(méi)有求導(dǎo)的方法精確。不過(guò)，這種思想方法對(duì)于一些題目來(lái)說(shuō)，卻可能是重要的突破口！下面看看一道習(xí)題吧。

由于這道題目比較難，所以直接給出解答。

這個(gè)題目可以說(shuō)相當(dāng)于反用冪級(jí)數(shù)的展開，然后利用馬克老林余項(xiàng)的估值最后證明出結(jié)論。這個(gè)看似很一般的題目，中間卻蘊(yùn)含著無(wú)限的思想，需要大家細(xì)細(xì)品味！

第五篇：考研數(shù)學(xué)證明題三步走

數(shù)學(xué)證明三步走

縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會(huì)有一個(gè)證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來(lái)解決問(wèn)題的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡(jiǎn)單的證明題得分率卻極低。除了個(gè)別考研輔導(dǎo)書（如蔡子華老師的《歷年真題精析》對(duì)真題中的證明題的解析及講評(píng)）中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導(dǎo)書在這一方面沒(méi)有花太大力氣，本人自認(rèn)為在推理證明方面有不凡的效績(jī)，在此給大家簡(jiǎn)單介紹一些解決數(shù)學(xué)證明題的入手點(diǎn)，希望對(duì)有此隱患的同學(xué)有所幫助。

我把這樣的方法稱為證明題三步走。

第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度（即就是對(duì)定理理解的深入程度）不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)（正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn)）之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F（x）=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。