第一篇：考研數(shù)學(xué)證明題三步走

數(shù)學(xué)證明三步走

縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，大家會發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個別考研輔導(dǎo)書（如蔡子華老師的《歷年真題精析》對真題中的證明題的解析及講評）中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導(dǎo)書在這一方面沒有花太大力氣，本人自認(rèn)為在推理證明方面有不凡的效績，在此給大家簡單介紹一些解決數(shù)學(xué)證明題的入手點(diǎn)，希望對有此隱患的同學(xué)有所幫助。

我把這樣的方法稱為證明題三步走。

第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷τ谠擃}中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點(diǎn)外還有一個函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)（正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個點(diǎn)）之間的一個點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F（x）=f(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點(diǎn)的值是異號的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。

第二篇：2018考研數(shù)學(xué)沖刺：教你三步搞定證明題_斃考題

下載斃考題APP

免費(fèi)領(lǐng)取考試干貨資料，還有資料商城等你入駐

2018考研數(shù)學(xué)沖刺：教你三步搞定證明題

考研數(shù)學(xué)中的證明題是考查的重點(diǎn)，證明題使用的幾個基本原理包括零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等，今天我們來看看如何三步搞定考研數(shù)學(xué)證明題。

1、結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。

知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。

只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。

這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷τ谠擃}中的數(shù)列來說，單調(diào)性 與 有界性 都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

2、借助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。

如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點(diǎn)外還有一個函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個點(diǎn))之間的一個點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。

?下面歸納中值定理?？嫉膸讉€類型及解法

考試使用斃考題，不用再報培訓(xùn)班

邀請碼：8806

下載斃考題APP

免費(fèi)領(lǐng)取考試干貨資料，還有資料商城等你入駐

考試使用斃考題，不用再報培訓(xùn)班

邀請碼：8806

下載斃考題APP

免費(fèi)領(lǐng)取考試干貨資料，還有資料商城等你入駐

考試使用斃考題，不用再報培訓(xùn)班

邀請碼：8806

下載斃考題APP

免費(fèi)領(lǐng)取考試干貨資料，還有資料商城等你入駐

再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。

從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點(diǎn)的值是異號的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

3、逆推法

從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。

在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式

考試使用斃考題，不用再報培訓(xùn)班

邀請碼：8806

第三篇：2017考研：考研數(shù)學(xué)證明題知識點(diǎn)歸納

2017考研：考研數(shù)學(xué)證明題知識點(diǎn)歸納

高等數(shù)學(xué)題目中比較困難的是證明題，今天凱程老師給大家整理了在整個高等數(shù)學(xué)，容易出證明題的地方。

一、數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明是數(shù)一、二的重點(diǎn)，特別是數(shù)二最近幾年考的非常頻繁，已經(jīng)考過好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數(shù)列極限的證明，用到的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則。

二、微分中值定理的相關(guān)證明

微分中值定理的證明題歷來是考研的重難點(diǎn)，其考試特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，涉及到知識面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：

1.零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理； 2.微分中值定理；

包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來處理高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題，考查頻率底，所以以前兩個定理為主。

3.微分中值定理

積分中值定理的作用是為了去掉積分符號。

在考查的時候，一般會把三類定理兩兩結(jié)合起來進(jìn)行考查，所以要總結(jié)到現(xiàn)在為止，所考查的題型。

三、方程根的問題

包括方程根唯一和方程根的個數(shù)的討論。

四、不等式的證明

五、定積分等式和不等式的證明

主要涉及的方法有微分學(xué)的方法：常數(shù)變異法；積分學(xué)的方法：換元法和分布積分法。

六、積分與路徑無關(guān)的五個等價條件

這一部分是數(shù)一的考試重點(diǎn)，最近幾年沒涉及到，所以要重點(diǎn)關(guān)注。

以上是容易出證明題的地方，同學(xué)們在復(fù)習(xí)的時候重點(diǎn)歸納這類題目的解法?？佳胁欢牡胤?，可以關(guān)注凱程微信公眾號“凱程考研”，第一時間發(fā)布考研資訊，精心推送考研經(jīng)驗(yàn)，匯聚考研正能量，提供權(quán)威擇校擇專業(yè)指導(dǎo)，答疑、求罵醒，你需要的都在這里。

第四篇：2018考研暑期復(fù)習(xí)計劃：三步走戰(zhàn)略

http://004km.cn/kaoyan/ 考研暑期復(fù)習(xí)計劃：三步走戰(zhàn)略

隨著夏季高溫天氣的帶來，暑期也即將到來，正在備戰(zhàn)2018考研的你有沒有制定一個適合自己的計劃?怎么合理、有效的制定并且執(zhí)行自己的計劃，在馬上要到來的暑假里，你的計劃制定的怎么樣?接下來，跟著文都網(wǎng)校考研小編一起來看看，如何制定出一個行之有效的計劃吧。

1.溫故知新

例如英語，暑期前的復(fù)習(xí)過程中掌握的詞匯，在這個暑期中，要利用零散時間，并抓緊時間，快速溫故一遍。大家要注意一點(diǎn)，也許你會有沒能記牢的詞匯或知識點(diǎn)，但切忌著急、沮喪。這很正常，一般人在整體學(xué)習(xí)一遍或兩遍后，都很難全部掌握。既然“溫故知新”的目的達(dá)到了，那么接下來，你應(yīng)該把這些依舊陌生的“新”知識作為暑期復(fù)習(xí)計劃中強(qiáng)化的重點(diǎn)部分。論問題出現(xiàn)在哪里，切不可自暴自棄。并且，在制定單科復(fù)習(xí)計劃時要本著夯實(shí)基礎(chǔ)，傾向重點(diǎn)。每一個復(fù)習(xí)階段，都應(yīng)該在復(fù)習(xí)計劃中突出重點(diǎn)。

2.以綱為綱，全面細(xì)致復(fù)習(xí)

根據(jù)歷年經(jīng)驗(yàn)，2018考研大綱將在9月初左右面世?？忌鑼Υ缶V進(jìn)行研讀。包括通讀、細(xì)究、對照。在對舊大綱了解的基礎(chǔ)上，全面閱讀新大綱。用筆畫出有變化的部分。并針對變化部分準(zhǔn)備資料，填充復(fù)習(xí)計劃;細(xì)究就是針對今年大綱的命題范圍列出個框架。仔細(xì)思考哪部分是重點(diǎn);列好框架后，在書本和復(fù)習(xí)資料中找到對應(yīng)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。暑期復(fù)習(xí)計劃分兩遍走。第一遍按照書目資料縷清章節(jié)關(guān)系——再次粗讀。然后，第二遍復(fù)習(xí)時，將重點(diǎn)知識針對性展開。

http://004km.cn/kaoyan/ 3.接觸真題

暑期復(fù)習(xí)屬于強(qiáng)化階段。這個階段不能僅停留在復(fù)習(xí)書本上。而應(yīng)該跨上一個更高的臺階。開始初步接觸真題。你不但要準(zhǔn)備近五年至十年的真題集，而且還要準(zhǔn)備一本與之配套的權(quán)威的真題解析資料。把各個科目真題，從題型考查特點(diǎn)到難度熟悉一遍是這個暑期復(fù)習(xí)計劃中的又一個目標(biāo)。

文都網(wǎng)?？佳袝恢迸惆榭忌鷬^戰(zhàn)到最后一刻，相信大家的熱情會比炎熱的夏天更給力。

2018考研學(xué)子想要了解更多考研資訊、復(fù)習(xí)資料與備考經(jīng)驗(yàn)，可以搜索文都網(wǎng)校進(jìn)入考研頻道，查看2018考研輔導(dǎo)課程，咨詢專業(yè)老師考研相關(guān)內(nèi)容。

考研不是你一個人在戰(zhàn)斗，漫漫考研路上，文都網(wǎng)?？佳欣蠋煏恢迸惆樵谕瑢W(xué)們左右。祝2018考研學(xué)子備考順利，考研成功!

第五篇：考研證明題

翻閱近十年的數(shù)學(xué)真題，同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一道證明題，而且基本上都可以用中值定理來解決，重點(diǎn)考察同學(xué)的邏輯推理分析能力，但是參加研究生數(shù)學(xué)考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致你們數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，根本不想去想，以致簡單的證明題得分率卻極低。下面給同學(xué)們總結(jié)了一些方法步驟或思路，以后在遇到證明題時不妨試一試。

第一步：首先要記住零點(diǎn)存在定理，介值定理，中值定理、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論，中值定理最好能記住他們的推到過程，有時可以借助幾何意義去記憶。因?yàn)橹阑驹硎亲C明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷τ谠擃}中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。再比如2009年直接讓考生證明拉格朗日中值定理；但是像這樣直接可以利用基本原理的證明題在考研真題中并不是很多見，更多的是要用到第二步。

第二步：可以試著借助幾何意義尋求證明思路，以構(gòu)造出所需要的輔助函數(shù)。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點(diǎn)外還有一個函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個點(diǎn))之間的一個點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點(diǎn)的值是異號的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：從要證的結(jié)論出發(fā)，去尋求我們所需要的構(gòu)造輔助函數(shù)，我們稱之為“逆推”如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。