第一篇：北師大版初中數(shù)學(xué)代數(shù)難題歸納

求證：相鄰兩個(gè)自然數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和。

已知：x?2)(x?3)?

已知：a、b、c為三角形的三邊，滿足a+b+c=20a+16b+12c-200,試判斷三角形的形狀。

解方程：

已知：實(shí)數(shù)X滿足x2?

小明的媽媽給他35元錢(qián)，要他去買(mǎi)面值1元的、2元的、5元的郵票共18枚，小明按要求買(mǎi)回了郵票，并且1元郵票和2元郵票的總面值相同，小明買(mǎi)的5元郵票是多少枚？

某市中學(xué)生足球比賽共賽15輪（每支參賽隊(duì)均要賽15場(chǎng)），記分規(guī)則是：贏一場(chǎng)得3分，輸一場(chǎng)得0分，平一場(chǎng)得1分，某校足球隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)是輸?shù)膱?chǎng)數(shù)的2倍，共得24分，這個(gè)球隊(duì)輸、贏、平各幾場(chǎng)？(涵、彤)

已知：1?x?12222?x?x?3，求X的取值范圍。x?8x?9x?5x?4??? x?7x?8x?6x?5x2x=0，求x?1x的值。x?bx?a?2?，其中a、b為實(shí)數(shù)，且a+b?0，化簡(jiǎn)后求值：ab

(x?1?x)(?1?)?1?(?1?x)(?1?x)?1

x2?2x?1x2?x1???1,試說(shuō)明在右邊代數(shù)式有意義的條件已知：y=2x?1xx?1

下，不論X取何值，Y的值不變。

若6+1的整數(shù)部分為X，小數(shù)部分為Y，求X、Y,以及X+1的算數(shù)平方根。計(jì)算： 計(jì)算： 計(jì)算：

若abc=1,求 化簡(jiǎn)：

分解因式：（xy-1）-（x+y-2xy）（2-x-y）

分解因式：x-3x+1

已知：x-x-1=0,求代數(shù)式-x+2x+2006的值。

已知：a+a-2=0,求a+3a+2001的值。

已知：2=5=10,求

a

b

11?

?

11?

?

11?

11?

?

13?

?

15?

????

1?

200

5b?cc?aa?b

??

(a?b)(a?c)(a?b)(b?c)(a?c)(b?c)

abc

??的值。

ab?a?1bc?b?1ca?c?1

n?2?n?2?

n2?4n?

4?

n?2?n?2?

n2?4n?4

（n>2）

32a

?

b的值。

已知：m>n>0,m+n=4mn,求

m2-n2

mn的值。

已知：

已知：正整數(shù)a、b、c滿足不等式a+b+c+43?ab+9b+8c,求a+b+c的值。

若x+y-2是整式x+axy+by-5x+y+6的一個(gè)因式，求a+b的值。

若x+y=8，xy=4 ,求 x+y的值。已知：m+

關(guān)于x 的方程

若關(guān)于x的分式方程

已知：an=

1(n?1)

2xyx?y

??2,yzy?z

?

4zx4xyz,??,求的值。3z?x3xy?xz?yz

m

=3,求m+

m4的值。

x2?x

?

k?5k?1?有增根，求k的值。22

x?xx?1

x?a3??1無(wú)解，求a的值。

x?1x

（1-a1）,b2=2（1-a1）(1-a2)，…，(n?1,2,3,...)記b1=2

bn=2（1-a1）(1-a2)…（1-an），則通過(guò)計(jì)算得出bn的表達(dá)式。（用含n的代數(shù)式表示）

設(shè)s1=1+

?

122,s2=1+

122

?

132,s3=1+

132

?

142,...,sn=1+

n

?

1(n?1),設(shè)S=1?2?...?n，求S的值。（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）（彤、涵）

已知：X是整數(shù)，求使

3x?2y?1

已知：關(guān)于X,Y的方程組3x?2y?m的解都不大于1，10x?2的值是整數(shù)的X的值。（藝）

2x?1

?

（1）求m的取值范圍。（2）x2?2x?1?

（藝）

解方程：4x-5x+1=0。

y2?2y?1?m?3?m?5?x?y?

2已知：x?y?1?x?y?5??b?2003?2003?a?b，求a+b+5x-7y的值。

已知：x? 已知：

計(jì)算：（1+2）（1+2）（1+2）（1+2）......（1+2）

4x

?1,求

x4

x2的值。2

?x?

1a

?

b

?

c

?0，a+b+c=1,求a+b+c-3的值。

222

計(jì)算：

1111

?????? 1?22?33?42007?2008

11111???????計(jì)算： ***

3111)（藝）計(jì)算：(1?2)(1?2)?(1?2

43450

分解因式：-4x+4x-x

分解因式：1-mn(1+mn)+mn（藝）已知：

n+1

n

n-1

（藝）

x

?

y

?

z，求分式

xy?yz?zx的值。（藝）222

x?y?z

已知：m+n=5,x+y=1,求多項(xiàng)式（mx+ny）+（nx-my）（藝）

已知：a-3a+1=0,求3a-8a+a+

a?1的值。（藝）

x2?ax?y?b2?ac?0

已知：a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，若方程組ax?y?bc?0只有一組解，試判斷這個(gè)三角形的形狀。

已知：方程x+2ax+b=0與x+2cx-b=0有一個(gè)相同的根，且a、b、c都是互不相等的正數(shù)，求證：以a、b、c為邊的三角形是直角三角形。

?

對(duì)于每個(gè)非0 自然數(shù)n，拋物線y=x

2n?11

x?與X軸交于An、n(n?1)n(n?1)

Bn兩點(diǎn)，以AnBn表示兩點(diǎn)間的距離，求A1B1+A2B2+……A2009B2009的值。

已知：a+b+c=3,a+b+c=3,求a

2004

+b2004+c2004的值。（涵、藝、燦）

第二篇：初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、基本知識(shí)

（一）、數(shù)與代數(shù)A、數(shù)與式：

1、實(shí)數(shù)

有理數(shù)：①整數(shù)→正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)

②分?jǐn)?shù)→正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)

數(shù)軸：①畫(huà)一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较颍偷玫綌?shù)軸。

②任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。

③如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)距離相等。

④數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

絕對(duì)值：①在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。

②正數(shù)的絕對(duì)值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)、0的絕對(duì)值是0。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小。

有理數(shù)的運(yùn)算：

加法：①同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，把絕對(duì)值相加。

②異號(hào)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

③一個(gè)數(shù)與0相加不變。

減法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。

②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。除法：①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

②0不能作除數(shù)。

乘方：求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里的。

2、實(shí)數(shù)

無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)

平方根：①如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于A，那么這個(gè)正數(shù)X就叫做A的算術(shù)平方根。

②如果一個(gè)數(shù)X的平方等于A，那么這個(gè)數(shù)X就叫做A的平方根。

③一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根/0的平方根為0/負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

④求一個(gè)數(shù)A的平方根運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中A叫做被開(kāi)方數(shù)。

立方根：①如果一個(gè)數(shù)X的立方等于A，那么這個(gè)數(shù)X就叫做A的立方根。

②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

③求一個(gè)數(shù)A的立方根的運(yùn)算叫開(kāi)立方，其中A叫做被開(kāi)方數(shù)。

實(shí)數(shù)：①實(shí)數(shù)分有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。

②在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的意義完全一樣。

③每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。

3、代數(shù)式

代數(shù)式：?jiǎn)为?dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

合并同類(lèi)項(xiàng)：①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng)。

②把同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。

③在合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，我們把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。4、整式與分式

A、整式：①數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式。

②一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

③一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

整式運(yùn)算：加減運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)。

冪的運(yùn)算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=ANMN

（A/B）N=AN/BN

除法一樣。

整式的乘法：①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。

②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式

/

完全平方公式

整式的除法：①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

方法：提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法。分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么這個(gè)就是分式，對(duì)于任何一個(gè)分式，分母不為0。

②分式的分子與分母同乘以或除以同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運(yùn)算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。

除法：除以一個(gè)分式等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù)。

加減法：

①同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。

②使方程的分母為0的解稱(chēng)為原方程的增根。

B、方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：①在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。

②等式兩邊同時(shí)加上或減去或乘以或除以（不為0）一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。

二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程的解。解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

一元二次方程：只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的最高系數(shù)為2的方程

1）一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系

大家已經(jīng)學(xué)過(guò)二次函數(shù)（即拋物線）了，對(duì)他也有很深的了解，好像解法，在圖象中表示等等，其實(shí)一元二次方程也可以用二次函數(shù)來(lái)表示，其實(shí)一元二次方程也是二次函數(shù)的一個(gè)特殊情況，就是當(dāng)Y的0的時(shí)候就構(gòu)成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點(diǎn)。也就是該方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函數(shù)有頂點(diǎn)式（-b/2a,4ac-b2/4a），這大家要記住，很重要，因?yàn)樵谏厦嬉呀?jīng)說(shuō)過(guò)了，一元二次方程也是二次函數(shù)的一部分，所以他也有自己的一個(gè)解法，利用他可以求出所有的一元二次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程變?yōu)橥耆椒焦剑谟弥苯娱_(kāi)平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的時(shí)候也一樣，利用這點(diǎn)，把方程化為幾個(gè)乘積的形式去解

(3)公式法

這方法也可以是在解一元二次方程的萬(wàn)能方法了，方程的根X1={-b+

√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步驟：

（1）配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式(3)公式法：

就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a，一次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c

4）韋達(dá)定理

利用韋達(dá)定理去了解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a

也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達(dá)定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用

5）一元二次方程根的情況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書(shū)面上可以寫(xiě)為“△”，△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：

I當(dāng)

△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

II當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；

III當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（在這里，學(xué)到高中就會(huì)知道，這里有2個(gè)虛數(shù)根）

2、不等式與不等式組

不等式：①用符號(hào)〉，=，〈號(hào)連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。

③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號(hào)方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號(hào)是不變的，他是隨著你加或乘的運(yùn)算改變。

在不等式中，如果加上同一個(gè)數(shù)（或加上一個(gè)正數(shù)），不等式符號(hào)不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果減去同一個(gè)數(shù)（或加上一個(gè)負(fù)數(shù)），不等式符號(hào)不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)改向；例如：A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號(hào)改為等號(hào)

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不能為0，否則不等式不成立；

3、函數(shù)

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

一次函數(shù)：

①若兩個(gè)變量X，Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B（B為常數(shù)，K不等于0）的形式，則稱(chēng)Y是X的一次函數(shù)。

②當(dāng)B=0時(shí)，稱(chēng)Y是X的正比例函數(shù)。

一次函數(shù)的圖象：①把一個(gè)函數(shù)的自變量X與對(duì)應(yīng)的因變量Y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)Y=KX的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)K〈0，B〈O，則經(jīng)234象限；當(dāng)K〈0，B〉0時(shí)，則經(jīng)124象限；當(dāng)K〉0，B〈0時(shí)，則經(jīng)134象限；當(dāng)K〉0，B〉0時(shí)，則經(jīng)123象限。

④當(dāng)K〉0時(shí)，Y的值隨X值的增大而增大，當(dāng)X〈0時(shí)，Y的值隨X值的增大而減少。

第三篇：初中數(shù)學(xué)應(yīng)用難題

1、甲乙兩個(gè)小組合作完成一件工作，乙組單獨(dú)做1天后，由甲乙兩組合作了2天就完成了全部工作．問(wèn)甲乙兩組單獨(dú)完成此項(xiàng)工作，各需多少天？

2、公共汽車(chē)每隔x分鐘發(fā)車(chē)一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開(kāi)過(guò)來(lái)一輛公共汽車(chē)，而每隔4

鐘。2分鐘迎面開(kāi)來(lái)一輛公共汽車(chē)。如果公共汽車(chē)與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x等于分73、在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時(shí)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)。已知甲于第10秒鐘時(shí)追上乙，在第30秒時(shí)追上丙，第60秒時(shí)甲再次追上乙，并且在第70秒時(shí)再次追上丙，問(wèn)乙追上丙用了多少時(shí)間？

4、今有一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字均不相同，如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列，必得一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，且此兩數(shù)之差恰為原來(lái)的那個(gè)三位數(shù)，求原來(lái)的三位數(shù)。

5、甲、乙兩個(gè)同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為每小時(shí)3千米，乙步行的速度為每小時(shí)5千米，兩人騎自行車(chē)的速度都是每小時(shí)15千米?，F(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車(chē)，兩人同時(shí)出發(fā)。走了一段路程后，乙放下車(chē)步行，甲走到乙放車(chē)處改騎自行車(chē)，以后不斷交替行進(jìn)，兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地。甲走全程的平均速度是千米/小時(shí)。

6、一只狗追一只兔子，在狗跳6次的時(shí)間內(nèi)，兔子跳了5次，狗跳了4次的距離和兔子跳7次的距離相等。問(wèn)：兔子跳出5.5米后，狗開(kāi)始在后面追，兔子在跑多少路程就被狗追上了？

7、游泳者在河中逆流而上,與橋A下面將水壺遺失被水沖走,他繼續(xù)向前游20分鐘后,才發(fā)現(xiàn)水壺走失,于是立即返回追尋水壺,在橋A下游距橋A2千米處追到了水壺,那么,該河水的水流速度為多少千米每小時(shí)?

8、草原上的一片青草，到處長(zhǎng)得一樣密一樣快，70頭牛24天可以吃完，30頭牛60天可以吃完，20頭牛吃多少天?

第四篇：初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)心得

學(xué)習(xí)《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》的心得

通過(guò)學(xué)習(xí)《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》的課程，我對(duì)這部分內(nèi)容有了更深入的體會(huì)。

1、初中代數(shù)的三大部分內(nèi)容“數(shù)與式”、“方程與不等式”、“函數(shù)”是緊密相聯(lián)系的?！皵?shù)與式”是“方程與不等式”及“函數(shù)”的基礎(chǔ)，一次式對(duì)應(yīng)著一元一次方程、二元一次方程及一次函數(shù)，二次式對(duì)應(yīng)著一元二次方程和二次函數(shù)，分式對(duì)應(yīng)著分式方程和反比例函數(shù)。而“方程”與“函數(shù)”又是緊密相連，一元一次方程對(duì)應(yīng)著一次函數(shù)，分式方程對(duì)應(yīng)著反比例函數(shù)，一元二次方程對(duì)應(yīng)著二次函數(shù)。認(rèn)識(shí)到了這點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)特別是初三中考的復(fù)習(xí)就可以有的放矢了，在教學(xué)中應(yīng)該抓住這三者的聯(lián)系進(jìn)行，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有個(gè)系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)。而要很好地實(shí)現(xiàn)這三者的聯(lián)系教學(xué)，我覺(jué)得可以以變式練習(xí)的形式進(jìn)行，比如利潤(rùn)問(wèn)題的解決，當(dāng)利潤(rùn)已知時(shí)，往往是用一元二次方程解決，而當(dāng)利潤(rùn)未知時(shí)，往往要建立二次函數(shù)來(lái)解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進(jìn)行變式練習(xí)。

2、對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力應(yīng)該要十分重視。很多學(xué)生的運(yùn)算能力較差，有些還依靠計(jì)算器，所以運(yùn)算能力下降。而在實(shí)際教學(xué)中，有很多學(xué)生又會(huì)發(fā)出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯(cuò)”這就是運(yùn)算能力的問(wèn)題，所以我們要重視運(yùn)算能力的提高。首先要讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)則認(rèn)識(shí)清楚，其次在實(shí)際教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生的訓(xùn)練，不要讓他們養(yǎng)成依賴(lài)思想。

第五篇：初中數(shù)學(xué)難題解決策略

初中數(shù)學(xué)錯(cuò)誤原因及解決策略

日常教學(xué)中，我們經(jīng)常能聽(tīng)到這樣的對(duì)話：“計(jì)算怎么還能出錯(cuò)？”“我不是不會(huì)，只是太粗心了！”對(duì)于學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤，大多數(shù)教師顯得很無(wú)奈。

講練并不少，學(xué)生的錯(cuò)誤為什么還是該怎么犯就怎么犯？甚至教師越強(qiáng)調(diào)不要犯某類(lèi)錯(cuò)誤，學(xué)生好像與你對(duì)著來(lái)，偏偏“故意”犯這一類(lèi)錯(cuò)誤。學(xué)生也很委屈，明明知道這道題會(huì)做，為什么總是這么“粗心”呢？ 經(jīng)過(guò)多年的實(shí)踐我發(fā)現(xiàn)，計(jì)算錯(cuò)誤并非粗心使然，而是伴隨教的過(guò)程產(chǎn)生的，與教師的“教”有密切的關(guān)系。那么，初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤究竟有哪些？

1、“程序跳躍”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

通過(guò)觀察計(jì)算能力較好的學(xué)生，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們邏輯清晰、步驟明確，第一步做什么，第二步做什么，從不含糊；而計(jì)算能力較弱的學(xué)生，有時(shí)題目倒也會(huì)做，但讓他說(shuō)出這道題的解題基本步驟，他竟啞口無(wú)言。過(guò)去我們常常認(rèn)為，學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤都是粗心導(dǎo)致的，而實(shí)際上可能是學(xué)生的大腦缺少了基本的計(jì)算程序，也就是說(shuō)缺少了程序性知識(shí)。所有計(jì)算其實(shí)都有科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算程序。比如，“解一元一次方程”有5個(gè)基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為一。實(shí)踐中我發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格按照這些步驟計(jì)算的學(xué)生，犯錯(cuò)的幾率就會(huì)很小。

因此，我的策略是：對(duì)于初中所涉及的所有運(yùn)算，教師在教學(xué)中應(yīng)該對(duì)各種計(jì)算進(jìn)行具體拆解，歸納出基本程序，盡量統(tǒng)一用第一、第二、第三等來(lái)描述，要求學(xué)生按基本程序逐步計(jì)算。尤其是初始教學(xué)，教師應(yīng)該盡量要求學(xué)生不能隨意省略或合并基本步驟，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯思維習(xí)慣。比如，我們可以歸納出“有理數(shù)加法運(yùn)算”的基本程序：第一，確定加法運(yùn)算的類(lèi)型；第二，確定結(jié)果的符號(hào)；第三，確定結(jié)果的絕對(duì)值（絕對(duì)值相加還是相減）。同時(shí)，要避免計(jì)算成為機(jī)械的模仿，要重視算理教學(xué)（計(jì)算的原理或者道理）。學(xué)生只有理解了算理，才能克服“做而不思”“會(huì)而不對(duì)”的現(xiàn)象。我們可以參考幾何證明初始教學(xué)的經(jīng)典做法——每一個(gè)步驟后面描述推理依據(jù)，以此讓學(xué)生養(yǎng)成 “為什么這么做”“這樣做的依據(jù)是什么”的思維習(xí)慣，從而強(qiáng)化算法與算理的聯(lián)系。

2、“疏漏”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)大量因疏漏而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。比如：利用乘法分配律時(shí)漏乘，移項(xiàng)時(shí)忘記變號(hào)，去負(fù)括號(hào)時(shí)忘記某項(xiàng)變號(hào)，不等式變形時(shí)忘記改變不等號(hào)的方向，解方程去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)，提公因式時(shí)漏掉某一公因式，開(kāi)平方時(shí)漏解，解分式方程忘記檢驗(yàn)，利用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)忽略△≥0……這些錯(cuò)誤反映出學(xué)生學(xué)習(xí)不扎實(shí)，對(duì)某一計(jì)算法則或概念只是關(guān)注重要的操作層面，或者只是關(guān)注字面含義而忽略其本質(zhì)。比如對(duì)于移項(xiàng)，有的學(xué)生只是關(guān)注從等式一邊移到另一邊，忽略了移項(xiàng)是基于等式的基本性質(zhì)，需要變號(hào)后才能移動(dòng)。疏漏性錯(cuò)誤與教師過(guò)多強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的模仿及過(guò)早地讓學(xué)生進(jìn)入機(jī)械訓(xùn)練有很大關(guān)系，因此教師需要在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生真正感悟而不是直接強(qiáng)調(diào)。教師在教學(xué)過(guò)程中要注重揭示算法的本質(zhì)，要旗幟鮮明地給出運(yùn)算的操作要點(diǎn)、應(yīng)用范圍、使用前提、特殊情形、拓展情形等。對(duì)于疏漏性錯(cuò)誤，教師首先要有預(yù)見(jiàn)性，并且要基于這種預(yù)見(jiàn)性精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程。比如，教師可以從學(xué)生的角度出發(fā)，讓學(xué)生解答一些易錯(cuò)題，學(xué)生若出錯(cuò)則進(jìn)行糾正反思，也可以把典型錯(cuò)誤當(dāng)作重要的警示資源直接展示給學(xué)生，讓學(xué)生找錯(cuò)、改錯(cuò)、分析錯(cuò)因。教師設(shè)置這些“陷阱”，讓學(xué)生在真實(shí)情境中接受考驗(yàn)，這樣他們的選擇、辨析、批判能力將會(huì)得到很大的提高。

3、“負(fù)遷移”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

錯(cuò)誤不是憑空出現(xiàn)的，其中必然帶有其它所學(xué)知識(shí)的影子，有一類(lèi)計(jì)算錯(cuò)誤就是前后所學(xué)知識(shí)相互干擾而產(chǎn)生混淆所致。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)與中垂線性質(zhì)時(shí)，很容易把點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離混淆；學(xué)習(xí)分式時(shí)，會(huì)把分式通分與解分式方程去分母混淆；學(xué)習(xí)乘法分配律后，就會(huì)產(chǎn)生“除法分配律”的負(fù)遷移；學(xué)習(xí)方程的多種解法時(shí)，受先入為主的影響，最后所學(xué)的方法會(huì)受到先前方法的干擾；學(xué)習(xí)完全平方公式，會(huì)與平方差公式混淆；所學(xué)知識(shí)的一般情況與特殊情況，因?yàn)椴煌木幣彭樞蛞矔?huì)互相干擾……這就是受解方程去分母的影響，在分式通分計(jì)算中采用了去分母的方法，破壞了分式計(jì)算的等值變形。“負(fù)遷移”錯(cuò)誤主要是由于學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中不注重區(qū)別與聯(lián)系，容易孤立理解數(shù)學(xué)結(jié)論，不能從本質(zhì)上看待數(shù)學(xué)問(wèn)題所致。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展變化的眼光去看待問(wèn)題，要注意“瞻前顧后”“縱橫比對(duì)”，要關(guān)注所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征。同時(shí)，這一類(lèi)錯(cuò)誤也可能與教材的編排順序有關(guān)。所以，教師要站在學(xué)生的立場(chǎng)去研究教材，研究學(xué)生是怎么學(xué)習(xí)的，學(xué)生的思維到底是如何發(fā)展的……只有明白學(xué)生是怎么想的，才能有的放矢。教師要整體駕馭教材，適當(dāng)調(diào)整教材中相關(guān)易混知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)方式，避免這類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生。比如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的減法時(shí)，教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)減去一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)，因而3-7中7前面的符號(hào)“-”是減號(hào)。緊接著學(xué)習(xí)“代數(shù)和”，又強(qiáng)調(diào)把3-7看成正 3與負(fù)7之和，“-”又成了負(fù)號(hào)，先前學(xué)習(xí)的有理數(shù)減法運(yùn)算法則就會(huì)對(duì)“代數(shù)和”的理解產(chǎn)生干擾。因?yàn)?，最終所有減法都要轉(zhuǎn)化為加法“代數(shù)和”的形式，所以教學(xué)中可以淡化有理數(shù)減法運(yùn)算的訓(xùn)練，只需要讓學(xué)生明白減法轉(zhuǎn)化為加法“代數(shù)和”的道理，快速過(guò)渡到加減混合運(yùn)算的“代數(shù)和”形式。這樣既節(jié)省了課時(shí)，又有效避免了減法法則對(duì)“代數(shù)和”的負(fù)遷移影響。

4、“運(yùn)算順序顛倒”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

學(xué)生做題不注重從整體觀察算式結(jié)構(gòu)，容易導(dǎo)致計(jì)算中顛倒運(yùn)算順序。這主要是由于學(xué)生審題意識(shí)不強(qiáng)、整體結(jié)構(gòu)感缺失所致。有的學(xué)生拿到計(jì)算題，還沒(méi)有看清楚題目包含哪些運(yùn)算和括號(hào)，這道題分為幾個(gè)層級(jí)，就匆忙下手，極易出現(xiàn)只注意題目細(xì)節(jié)而忽略整體結(jié)構(gòu)導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤的現(xiàn)象。比如，在計(jì)算：8-23÷（-4）×（-7＋5）時(shí)，學(xué)生錯(cuò)解為：原式=8-8÷（-4）×（-7＋5）=0÷（-4）×（-7＋5），看上去這道題的錯(cuò)誤是不能正確運(yùn)用“先算乘除，后算加減”的運(yùn)算規(guī)則，本質(zhì)上是對(duì)題目缺乏整體認(rèn)知。運(yùn)算順序錯(cuò)誤屬于“無(wú)意識(shí)”錯(cuò)誤，學(xué)生非常清楚運(yùn)算順序的規(guī)則，但仍不知不覺(jué)犯錯(cuò)，主要原因是沒(méi)有養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，教師要在解題規(guī)范上進(jìn)行嚴(yán)格要求。比如，要求先分清運(yùn)算、看清符號(hào)、厘清順序，明確整體與部分關(guān)系后再進(jìn)行計(jì)算。對(duì)初學(xué)者或辨別能力較差的學(xué)生，可以要求其使用“圈畫(huà)標(biāo)注法”辨別題目中的運(yùn)算：一級(jí)運(yùn)算可以使用豎線分割，二級(jí)運(yùn)算可以使用橫線或方框標(biāo)注。其實(shí)，在標(biāo)注過(guò)程中就落實(shí)了仔細(xì)審題的要求，同時(shí)把復(fù)雜的算式結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解，降低了題目的復(fù)雜程度。比如，上述算式整體上可以看作兩部分代數(shù)和的形式（見(jiàn)下圖），第二部分是3個(gè)有理數(shù)的乘除結(jié)構(gòu)，通過(guò)這樣的劃分，題目結(jié)構(gòu)清晰了，運(yùn)算順序明了了，分塊處理簡(jiǎn)單了。蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷斯基曾指出：“對(duì)各種現(xiàn)象進(jìn)行研究的真正科學(xué)途徑，是把它們分解為一些比較簡(jiǎn)單的成分?！睂?duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算也是如此。

5、“方法單一僵化”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

學(xué)生在計(jì)算訓(xùn)練中容易形成慣性思維，同一個(gè)算式可能有多種計(jì)算方法，學(xué)生往往只是隨便找到其中一種，而不管這種方法是否簡(jiǎn)便。選取過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算方法時(shí)，就容易導(dǎo)致中途出錯(cuò)或用時(shí)太多。比如，計(jì)算：（a+b）2（a-b）2。此題的簡(jiǎn)單算法是先把（a+b）2（a-b）2轉(zhuǎn)化為［（a+b）（a-b）］2。如果直接轉(zhuǎn)化為（a2+2ab+b2）（a2-2ab+b2），在復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程中容易出錯(cuò)或者選擇放棄，而簡(jiǎn)單的算法則會(huì)讓學(xué)生運(yùn)算起來(lái)更為快速便捷。在教學(xué)中，教師要隨時(shí)隨地培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算優(yōu)化能力，這不僅是運(yùn)算的準(zhǔn)確性、敏捷性要求，也是學(xué)生思維深刻性的需要。教師在運(yùn)算教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多方向、全面地思考問(wèn)題，并堅(jiān)持做好從多種方法中選擇最佳方法的示范，這種最優(yōu)化策略的示范，必然會(huì)影響學(xué)生思考問(wèn)題的方式。

6、“不良習(xí)慣”導(dǎo)致錯(cuò)誤及其策略

有些計(jì)算錯(cuò)誤與學(xué)生不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣有密切關(guān)系，比如書(shū)寫(xiě)潦草，做題不喜歡用草稿紙，需要?jiǎng)庸P計(jì)算卻用口算；有的學(xué)生對(duì)計(jì)算存在畏難情緒或排斥心理，當(dāng)看到計(jì)算題數(shù)據(jù)較大、運(yùn)算步驟過(guò)多時(shí)，就會(huì)失去解題信心與耐心，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤出現(xiàn)；有的學(xué)生計(jì)算后不反思、不驗(yàn)算，甚至出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤后不認(rèn)真糾正，導(dǎo)致再次犯同樣的錯(cuò)誤。針對(duì)這類(lèi)現(xiàn)象，教師可以對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣提出明確要求并監(jiān)督落實(shí)。比如，要求學(xué)生在計(jì)算時(shí)一氣呵成并記錄完成時(shí)間，中途不東張西望、左顧右盼；要求每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)草稿本，打草稿時(shí)要書(shū)寫(xiě)工整，不定時(shí)檢查學(xué)生的草稿本；培養(yǎng)學(xué)生做題時(shí)自我監(jiān)控、做完后自我反省的意識(shí)；同時(shí)，為了促使學(xué)生養(yǎng)成驗(yàn)算的良好習(xí)慣，教師可以在教學(xué)中把驗(yàn)算作為運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)步驟來(lái)要求，在評(píng)價(jià)中把驗(yàn)算作為評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行嚴(yán)格規(guī)范。此外，教師可以適當(dāng)開(kāi)展一些計(jì)算競(jìng)賽活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，達(dá)到提高計(jì)算準(zhǔn)確率的目的。美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納說(shuō)：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的。”錯(cuò)誤，是一種寶貴的教學(xué)資源。不同的學(xué)生有不同的知識(shí)背景、認(rèn)知方式和表達(dá)方式，也有參差不齊的思維水平，難免會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。上述錯(cuò)誤類(lèi)型雖然難以囊括所有種類(lèi)，但或許可以給我們一些啟發(fā)，讓我們總結(jié)出更多方法教給學(xué)生。