第一篇：經(jīng)典初中數(shù)學(xué)難題 網(wǎng)絡(luò)上唯一解法

在平行四邊形abcd中，角BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，、、、、、、、、、、、、、、、、答案如下： 第一種方法：：

第一步：：連接GE，GC交EF與點(diǎn)h。EC平行Gf且相等，GFCE是平行四邊形，因?yàn)榻茿BC=120，所以角DAB=60，AE是角平分線，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四邊形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：證明△DGC全等△BGE 延長GE到ad邊交與點(diǎn)M。因?yàn)?角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因?yàn)榻荂EG=60，EC=EG 所以△EGC是等邊三角形 即EG=CG 邊角邊全等。

第三步：: 證明△DGC全等△BDM △AbM是等邊三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 邊角邊全等

第四步：：因?yàn)槿人浴鰾DG是等邊三角形。

答案選C

第二種方法：：

第一步：：連接GE，GC交EF與點(diǎn)h。

EC平行Gf且相等，GFCE是平行四邊形，因?yàn)榻茿BC=120，所以角DAB=60，AE是角平分線，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四邊形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：證明△DGC全等△BGE 延長GE到ad邊交與點(diǎn)M。因?yàn)?角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因?yàn)榻荂EG=60，EC=EG 所以△EGC是等邊三角形 即EG=CG 邊角邊全等。

第三步：: 證明△DGC全等△BDM △AbM是等邊三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 邊角邊全等

第四步：：因?yàn)槿人浴鰾DG是等邊三角形。答案選C

第二篇：初中數(shù)學(xué)應(yīng)用難題

1、甲乙兩個(gè)小組合作完成一件工作，乙組單獨(dú)做1天后，由甲乙兩組合作了2天就完成了全部工作．問甲乙兩組單獨(dú)完成此項(xiàng)工作，各需多少天？

2、公共汽車每隔x分鐘發(fā)車一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔4

鐘。2分鐘迎面開來一輛公共汽車。如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x等于分73、在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時(shí)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。已知甲于第10秒鐘時(shí)追上乙，在第30秒時(shí)追上丙，第60秒時(shí)甲再次追上乙，并且在第70秒時(shí)再次追上丙，問乙追上丙用了多少時(shí)間？

4、今有一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字均不相同，如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列，必得一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，且此兩數(shù)之差恰為原來的那個(gè)三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。

5、甲、乙兩個(gè)同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為每小時(shí)3千米，乙步行的速度為每小時(shí)5千米，兩人騎自行車的速度都是每小時(shí)15千米?，F(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時(shí)出發(fā)。走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以后不斷交替行進(jìn)，兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地。甲走全程的平均速度是千米/小時(shí)。

6、一只狗追一只兔子，在狗跳6次的時(shí)間內(nèi)，兔子跳了5次，狗跳了4次的距離和兔子跳7次的距離相等。問：兔子跳出5.5米后，狗開始在后面追，兔子在跑多少路程就被狗追上了？

7、游泳者在河中逆流而上,與橋A下面將水壺遺失被水沖走,他繼續(xù)向前游20分鐘后,才發(fā)現(xiàn)水壺走失,于是立即返回追尋水壺,在橋A下游距橋A2千米處追到了水壺,那么,該河水的水流速度為多少千米每小時(shí)?

8、草原上的一片青草，到處長得一樣密一樣快，70頭牛24天可以吃完，30頭牛60天可以吃完，20頭牛吃多少天?

第三篇：初中數(shù)學(xué)難題解決策略

初中數(shù)學(xué)錯(cuò)誤原因及解決策略

日常教學(xué)中，我們經(jīng)常能聽到這樣的對話：“計(jì)算怎么還能出錯(cuò)？”“我不是不會(huì)，只是太粗心了！”對于學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤，大多數(shù)教師顯得很無奈。

講練并不少，學(xué)生的錯(cuò)誤為什么還是該怎么犯就怎么犯？甚至教師越強(qiáng)調(diào)不要犯某類錯(cuò)誤，學(xué)生好像與你對著來，偏偏“故意”犯這一類錯(cuò)誤。學(xué)生也很委屈，明明知道這道題會(huì)做，為什么總是這么“粗心”呢？ 經(jīng)過多年的實(shí)踐我發(fā)現(xiàn)，計(jì)算錯(cuò)誤并非粗心使然，而是伴隨教的過程產(chǎn)生的，與教師的“教”有密切的關(guān)系。那么，初中數(shù)學(xué)常見的計(jì)算錯(cuò)誤究竟有哪些？

1、“程序跳躍”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

通過觀察計(jì)算能力較好的學(xué)生，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們邏輯清晰、步驟明確，第一步做什么，第二步做什么，從不含糊；而計(jì)算能力較弱的學(xué)生，有時(shí)題目倒也會(huì)做，但讓他說出這道題的解題基本步驟，他竟啞口無言。過去我們常常認(rèn)為，學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤都是粗心導(dǎo)致的，而實(shí)際上可能是學(xué)生的大腦缺少了基本的計(jì)算程序，也就是說缺少了程序性知識。所有計(jì)算其實(shí)都有科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算程序。比如，“解一元一次方程”有5個(gè)基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為一。實(shí)踐中我發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格按照這些步驟計(jì)算的學(xué)生，犯錯(cuò)的幾率就會(huì)很小。

因此，我的策略是：對于初中所涉及的所有運(yùn)算，教師在教學(xué)中應(yīng)該對各種計(jì)算進(jìn)行具體拆解，歸納出基本程序，盡量統(tǒng)一用第一、第二、第三等來描述，要求學(xué)生按基本程序逐步計(jì)算。尤其是初始教學(xué)，教師應(yīng)該盡量要求學(xué)生不能隨意省略或合并基本步驟，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯思維習(xí)慣。比如，我們可以歸納出“有理數(shù)加法運(yùn)算”的基本程序：第一，確定加法運(yùn)算的類型；第二，確定結(jié)果的符號；第三，確定結(jié)果的絕對值（絕對值相加還是相減）。同時(shí)，要避免計(jì)算成為機(jī)械的模仿，要重視算理教學(xué)（計(jì)算的原理或者道理）。學(xué)生只有理解了算理，才能克服“做而不思”“會(huì)而不對”的現(xiàn)象。我們可以參考幾何證明初始教學(xué)的經(jīng)典做法——每一個(gè)步驟后面描述推理依據(jù)，以此讓學(xué)生養(yǎng)成 “為什么這么做”“這樣做的依據(jù)是什么”的思維習(xí)慣，從而強(qiáng)化算法與算理的聯(lián)系。

2、“疏漏”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)大量因疏漏而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。比如：利用乘法分配律時(shí)漏乘，移項(xiàng)時(shí)忘記變號，去負(fù)括號時(shí)忘記某項(xiàng)變號，不等式變形時(shí)忘記改變不等號的方向，解方程去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)，提公因式時(shí)漏掉某一公因式，開平方時(shí)漏解，解分式方程忘記檢驗(yàn)，利用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)忽略△≥0……這些錯(cuò)誤反映出學(xué)生學(xué)習(xí)不扎實(shí)，對某一計(jì)算法則或概念只是關(guān)注重要的操作層面，或者只是關(guān)注字面含義而忽略其本質(zhì)。比如對于移項(xiàng)，有的學(xué)生只是關(guān)注從等式一邊移到另一邊，忽略了移項(xiàng)是基于等式的基本性質(zhì)，需要變號后才能移動(dòng)。疏漏性錯(cuò)誤與教師過多強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的模仿及過早地讓學(xué)生進(jìn)入機(jī)械訓(xùn)練有很大關(guān)系，因此教師需要在教學(xué)過程中讓學(xué)生真正感悟而不是直接強(qiáng)調(diào)。教師在教學(xué)過程中要注重揭示算法的本質(zhì)，要旗幟鮮明地給出運(yùn)算的操作要點(diǎn)、應(yīng)用范圍、使用前提、特殊情形、拓展情形等。對于疏漏性錯(cuò)誤，教師首先要有預(yù)見性，并且要基于這種預(yù)見性精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程。比如，教師可以從學(xué)生的角度出發(fā)，讓學(xué)生解答一些易錯(cuò)題，學(xué)生若出錯(cuò)則進(jìn)行糾正反思，也可以把典型錯(cuò)誤當(dāng)作重要的警示資源直接展示給學(xué)生，讓學(xué)生找錯(cuò)、改錯(cuò)、分析錯(cuò)因。教師設(shè)置這些“陷阱”，讓學(xué)生在真實(shí)情境中接受考驗(yàn)，這樣他們的選擇、辨析、批判能力將會(huì)得到很大的提高。

3、“負(fù)遷移”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

錯(cuò)誤不是憑空出現(xiàn)的，其中必然帶有其它所學(xué)知識的影子，有一類計(jì)算錯(cuò)誤就是前后所學(xué)知識相互干擾而產(chǎn)生混淆所致。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)與中垂線性質(zhì)時(shí)，很容易把點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離混淆；學(xué)習(xí)分式時(shí)，會(huì)把分式通分與解分式方程去分母混淆；學(xué)習(xí)乘法分配律后，就會(huì)產(chǎn)生“除法分配律”的負(fù)遷移；學(xué)習(xí)方程的多種解法時(shí)，受先入為主的影響，最后所學(xué)的方法會(huì)受到先前方法的干擾；學(xué)習(xí)完全平方公式，會(huì)與平方差公式混淆；所學(xué)知識的一般情況與特殊情況，因?yàn)椴煌木幣彭樞蛞矔?huì)互相干擾……這就是受解方程去分母的影響，在分式通分計(jì)算中采用了去分母的方法，破壞了分式計(jì)算的等值變形?！柏?fù)遷移”錯(cuò)誤主要是由于學(xué)生學(xué)習(xí)過程中不注重區(qū)別與聯(lián)系，容易孤立理解數(shù)學(xué)結(jié)論，不能從本質(zhì)上看待數(shù)學(xué)問題所致。因此，教師在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展變化的眼光去看待問題，要注意“瞻前顧后”“縱橫比對”，要關(guān)注所學(xué)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征。同時(shí)，這一類錯(cuò)誤也可能與教材的編排順序有關(guān)。所以，教師要站在學(xué)生的立場去研究教材，研究學(xué)生是怎么學(xué)習(xí)的，學(xué)生的思維到底是如何發(fā)展的……只有明白學(xué)生是怎么想的，才能有的放矢。教師要整體駕馭教材，適當(dāng)調(diào)整教材中相關(guān)易混知識點(diǎn)的呈現(xiàn)方式，避免這類錯(cuò)誤的發(fā)生。比如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的減法時(shí)，教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)減去一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)，因而3-7中7前面的符號“-”是減號。緊接著學(xué)習(xí)“代數(shù)和”，又強(qiáng)調(diào)把3-7看成正 3與負(fù)7之和，“-”又成了負(fù)號，先前學(xué)習(xí)的有理數(shù)減法運(yùn)算法則就會(huì)對“代數(shù)和”的理解產(chǎn)生干擾。因?yàn)?，最終所有減法都要轉(zhuǎn)化為加法“代數(shù)和”的形式，所以教學(xué)中可以淡化有理數(shù)減法運(yùn)算的訓(xùn)練，只需要讓學(xué)生明白減法轉(zhuǎn)化為加法“代數(shù)和”的道理，快速過渡到加減混合運(yùn)算的“代數(shù)和”形式。這樣既節(jié)省了課時(shí)，又有效避免了減法法則對“代數(shù)和”的負(fù)遷移影響。

4、“運(yùn)算順序顛倒”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

學(xué)生做題不注重從整體觀察算式結(jié)構(gòu)，容易導(dǎo)致計(jì)算中顛倒運(yùn)算順序。這主要是由于學(xué)生審題意識不強(qiáng)、整體結(jié)構(gòu)感缺失所致。有的學(xué)生拿到計(jì)算題，還沒有看清楚題目包含哪些運(yùn)算和括號，這道題分為幾個(gè)層級，就匆忙下手，極易出現(xiàn)只注意題目細(xì)節(jié)而忽略整體結(jié)構(gòu)導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤的現(xiàn)象。比如，在計(jì)算：8-23÷（-4）×（-7＋5）時(shí)，學(xué)生錯(cuò)解為：原式=8-8÷（-4）×（-7＋5）=0÷（-4）×（-7＋5），看上去這道題的錯(cuò)誤是不能正確運(yùn)用“先算乘除，后算加減”的運(yùn)算規(guī)則，本質(zhì)上是對題目缺乏整體認(rèn)知。運(yùn)算順序錯(cuò)誤屬于“無意識”錯(cuò)誤，學(xué)生非常清楚運(yùn)算順序的規(guī)則，但仍不知不覺犯錯(cuò)，主要原因是沒有養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，教師要在解題規(guī)范上進(jìn)行嚴(yán)格要求。比如，要求先分清運(yùn)算、看清符號、厘清順序，明確整體與部分關(guān)系后再進(jìn)行計(jì)算。對初學(xué)者或辨別能力較差的學(xué)生，可以要求其使用“圈畫標(biāo)注法”辨別題目中的運(yùn)算：一級運(yùn)算可以使用豎線分割，二級運(yùn)算可以使用橫線或方框標(biāo)注。其實(shí)，在標(biāo)注過程中就落實(shí)了仔細(xì)審題的要求，同時(shí)把復(fù)雜的算式結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解，降低了題目的復(fù)雜程度。比如，上述算式整體上可以看作兩部分代數(shù)和的形式（見下圖），第二部分是3個(gè)有理數(shù)的乘除結(jié)構(gòu)，通過這樣的劃分，題目結(jié)構(gòu)清晰了，運(yùn)算順序明了了，分塊處理簡單了。蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷斯基曾指出：“對各種現(xiàn)象進(jìn)行研究的真正科學(xué)途徑，是把它們分解為一些比較簡單的成分?！睂τ趶?fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算也是如此。

5、“方法單一僵化”導(dǎo)致錯(cuò)誤及策略

學(xué)生在計(jì)算訓(xùn)練中容易形成慣性思維，同一個(gè)算式可能有多種計(jì)算方法，學(xué)生往往只是隨便找到其中一種，而不管這種方法是否簡便。選取過于復(fù)雜的計(jì)算方法時(shí)，就容易導(dǎo)致中途出錯(cuò)或用時(shí)太多。比如，計(jì)算：（a+b）2（a-b）2。此題的簡單算法是先把（a+b）2（a-b）2轉(zhuǎn)化為［（a+b）（a-b）］2。如果直接轉(zhuǎn)化為（a2+2ab+b2）（a2-2ab+b2），在復(fù)雜的計(jì)算過程中容易出錯(cuò)或者選擇放棄，而簡單的算法則會(huì)讓學(xué)生運(yùn)算起來更為快速便捷。在教學(xué)中，教師要隨時(shí)隨地培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算優(yōu)化能力，這不僅是運(yùn)算的準(zhǔn)確性、敏捷性要求，也是學(xué)生思維深刻性的需要。教師在運(yùn)算教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多方向、全面地思考問題，并堅(jiān)持做好從多種方法中選擇最佳方法的示范，這種最優(yōu)化策略的示范，必然會(huì)影響學(xué)生思考問題的方式。

6、“不良習(xí)慣”導(dǎo)致錯(cuò)誤及其策略

有些計(jì)算錯(cuò)誤與學(xué)生不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣有密切關(guān)系，比如書寫潦草，做題不喜歡用草稿紙，需要?jiǎng)庸P計(jì)算卻用口算；有的學(xué)生對計(jì)算存在畏難情緒或排斥心理，當(dāng)看到計(jì)算題數(shù)據(jù)較大、運(yùn)算步驟過多時(shí)，就會(huì)失去解題信心與耐心，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤出現(xiàn)；有的學(xué)生計(jì)算后不反思、不驗(yàn)算，甚至出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤后不認(rèn)真糾正，導(dǎo)致再次犯同樣的錯(cuò)誤。針對這類現(xiàn)象，教師可以對學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣提出明確要求并監(jiān)督落實(shí)。比如，要求學(xué)生在計(jì)算時(shí)一氣呵成并記錄完成時(shí)間，中途不東張西望、左顧右盼；要求每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)草稿本，打草稿時(shí)要書寫工整，不定時(shí)檢查學(xué)生的草稿本；培養(yǎng)學(xué)生做題時(shí)自我監(jiān)控、做完后自我反省的意識；同時(shí)，為了促使學(xué)生養(yǎng)成驗(yàn)算的良好習(xí)慣，教師可以在教學(xué)中把驗(yàn)算作為運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)步驟來要求，在評價(jià)中把驗(yàn)算作為評分標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行嚴(yán)格規(guī)范。此外，教師可以適當(dāng)開展一些計(jì)算競賽活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，達(dá)到提高計(jì)算準(zhǔn)確率的目的。美國教育心理學(xué)家布魯納說：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的。”錯(cuò)誤，是一種寶貴的教學(xué)資源。不同的學(xué)生有不同的知識背景、認(rèn)知方式和表達(dá)方式，也有參差不齊的思維水平，難免會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。上述錯(cuò)誤類型雖然難以囊括所有種類，但或許可以給我們一些啟發(fā)，讓我們總結(jié)出更多方法教給學(xué)生。

第四篇：初中數(shù)學(xué)難題集錦

．(9分)如圖8，禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行．我漁政船迅速沿北偏東30°方向前去攔截，經(jīng)歷4小時(shí)剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留根號)．

如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75°方向以每小時(shí)10海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間．

10．(2016南充)如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M，N． 給出下列結(jié)論：

①∠AME＝108°；

2②AN＝AM·AD； ③； ④．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

[2015·四川南充]關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

解：①兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，兩個(gè)根同號，由韋達(dá)定理有，x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，這兩個(gè)方程的根都為負(fù)根，①正確；

②由根判別式有：

△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正確；

③由根與系數(shù)關(guān)系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均為負(fù)整數(shù)，故（y1+1）?（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正確．

[2015·四川南充]如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，給出如下結(jié)論：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正確結(jié)論是（填寫序號）

解：正確結(jié)論是①②④．

提示：①連接OQ，OD，如圖1．

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．

結(jié)合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，則有DQ=DA=1．

故①正確；

②連接AQ，如圖2．

則有CP=，BP=易證Rt△AQB∽Rt△BCP，=． 運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得BQ=，則PQ=﹣=，∴=．

故②正確；

③過點(diǎn)Q作QH⊥DC于H，如圖3．

易證△PHQ∽△PCB，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得QH=，∴S△DPQ=DP?QH=××=故③錯(cuò)誤；

．

④過點(diǎn)Q作QN⊥AD于N，如圖4．

易得DP∥NQ∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例可得==，則有=，解得：DN=．

由DQ=1，得cos∠ADQ=故④正確．

=．

綜上所述：正確結(jié)論是①②④．

（2014?天津）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實(shí)數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3

?

? ①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac＞0，故①正確； ②∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對稱軸x=-b 2a ? ＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正確；

③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實(shí)數(shù)根，∴y=ax2+bx+c和y=m沒有交點(diǎn)，由圖可得，m＞2，故③正確． 故選：D．

.（2015?四川攀枝花第10題3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：

①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD

解答： 解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)（如圖2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，CG=CG2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

∴FP：BE=FP：=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；

④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC與△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項(xiàng)正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)，故選B．

? 如圖，矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為（）

A． B． C． D．

? B【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．

【分析】過F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根據(jù)勾股定理得到AF=

=

=

2，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性質(zhì)得到====，求得AM=，求得AN=

AF=AF=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．

【解答】解：過F作FH⊥AD于H，交ED于O，則FH=AB=2 ∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，F(xiàn)C=HD=1，∴AF=∵OH∥AE，∴==，=

=2，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，=，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=故選B．

﹣=，（2014?揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA． ①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；

（3）如圖2，在（1）的條件下擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

24．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生在5×5的正方形ABCD網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1）畫直角三角形，要求三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，而且三邊與AB或AD都不平行．畫四種圖形，并直接寫出其周長（所畫圖象相似的只算一種）．

【考點(diǎn)】作圖—相似變換．

【分析】在圖1中畫等腰直角三角形；在圖2、3、4中畫有一條直角邊為邊分別為3，4，2，另一條直角的直角三角形，然后計(jì)算出四個(gè)直角三角形的周長．

+

； 【解答】解：如圖1，三角形的周長=2如圖2，三角形的周長=4如圖3，三角形的周長=5如圖4，三角形的周長=

3+2++；

；

．

? 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）兩點(diǎn)．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

? 【解答】解：），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，（1）∵A（1，3∴∴拋物線解析式為y=﹣，解得x2+

4x；，（2）存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，∵A（1，3），∴D坐標(biāo)為（1，0）；

當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)D（0，d），則AD2=1+（31）2+（3）2=36，﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）；

綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0）或（0，）或（0，）；

（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點(diǎn)F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴∴MF=3==3PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，設(shè)BC=a，則CN=在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，a，∴tan∠PNF=∴FN=PF，=，∴MN=MF+FN=4∵S△BCN=2S△PMN，PF，∴∴a=2∴NC=a2=2××4PF2，PF，a=2PF，∴∴MN==NC=

=×+

+，a=）a，）a），（4﹣a）2+4

（4﹣a）=（+）a，a，∴MC=MN+NC=（∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣a，（又M點(diǎn)在拋物線上，代入可得﹣解得a=3﹣OC=4﹣a=或a=0（舍去），+1，MC=

2+1，2

+，+）． ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（? 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的有

（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①△CMP∽△BPA；

②四邊形AMCB的面積最大值為10；

③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段NP的中垂線； ④線段AM的最小值為2⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP=4

；

﹣4．

? 【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確，設(shè)PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴=，∴CM=x（4﹣x），∴S四邊形AMCB= [4+x（4﹣x）]×4=﹣x2+2x+8=﹣∴x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí)，設(shè)ND=NE=y，x﹣2）2+10，（在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y=∴NE≠EP，故③錯(cuò)誤，作MG⊥AB于G，∵AM=∴AG最小時(shí)AM最小，=，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣∴x=1時(shí)，AG最小值=3，∴AM的最小值=∵△ABP≌△ADN時(shí)，x（4﹣x）=（x﹣1）2+3，=5，故④錯(cuò)誤．

∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=∴z+∴z=4∴PB=4z=4，﹣4，﹣4故⑤正確．

z，故答案為①②⑤．

如圖，在Rt△ABC中，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且．⊙O是△BEF的外接圓，的平分線交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接BD，F(xiàn)H．

（1）求證：△ABC≌△EBF；

（2）試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若正確答案為：

（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC與△EBF中，求的值．，∴△ABC≌△EBF；

（2）解：BD與⊙O相切，如圖1，連接OB，理由：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD與⊙O相切；

（3）如圖2，連接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=∴BF=，BF，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF=∵BH平分∠CBF，∴

∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴∴，.

第五篇：初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-旋轉(zhuǎn)難題

1.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

圖13－1

A（G)

B（E)

C

O

D（F)

圖13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

圖13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

2.（10河北|A

B

C

E

F

G

圖15-2

D

A

B

C

D

E

F

G

圖15-3

A

B

C

F

G

圖15-1）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖15-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）在圖15-1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖15-2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條

直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BA于

點(diǎn)E．此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平

移到圖15-3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否

仍然成立？（不用說明理由）

3.(2010

梅州)用兩個(gè)全等的正方形和拼成一個(gè)矩形，把一個(gè)足夠大的直角三角尺的直角頂點(diǎn)與這個(gè)矩形的邊的中點(diǎn)重合，且將直角三角尺繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形的兩邊相交于點(diǎn)時(shí)，如圖甲，通過觀察或測量與的長度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論．

（2）當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與的延長線，的延長線相交于點(diǎn)時(shí)（如圖乙），你在圖甲中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由．

A

B

G

C

E

H

F

D

圖甲

A

B

G

C

E

H

F

D

圖乙

4.（09煙臺市）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.（1）求證：△BDE≌△BCF；

（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；

（3）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍.5.如圖①，四邊形和都是正方形，它們的邊長分別為（），且點(diǎn)在上（以下問題的結(jié)果均可用的代數(shù)式表示）．

（1）求；

（2）把正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖②，求圖②中的；

（3）把正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．

D

C

B

A

E

F

G

G

F

E

A

B

C

D

①

②

（第28題）

6.如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)．

（1）試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有△≌△；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△的面積是正方形面積的；

（3）若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再繼續(xù)在上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△恰為等腰三角形．

1.解：（1）BM=FN。

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立。

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，∴∠MBO=∠NFO=135°，又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN。

2.3.解：（1）BG=EH．

∵四邊形ABCD和CDFE都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，∴∠CDG=∠FDH，∴△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BG=EH．

（2）結(jié)論BG=EH仍然成立．

同理可證△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，∴BG=EH．

4.5.6.