第一篇：2010年高考數(shù)學(xué)題分類(20)選修4-1：幾何證明選講

2010年全國各地高考數(shù)學(xué)真題分章節(jié)分類匯編

第20部分:選修系列---（選修4-1：幾何證明選講）

一、填空題：

1．(2010年高考天津卷理科14)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P。若PB1PC1BC?，?，則的值為。PA2PD3AD

【解析】因為ABCD四點共圓，所以∠DAB?∠PCB，∠CDA=∠PBC，因為∠P為公共角，所以?PBC∽?PAB，所以

PBPCBCBCxxy????，設(shè)PC=x，PB=y，則有，即x?，所以= AD3y

PDPAAD3y2x26

【命題意圖】本題考查四點共圓與相似三角形的性質(zhì)。

2.(2010年高考湖南卷理科10)如圖1所示，過?O外一點P作一條直線與?O交于A，B兩點，已知PA＝2，點P到?O的切線長PT ＝4，則弦AB的長為________.【答案】6 【解析】根據(jù)切線長定理

2PT2?PA?PB,PB?PT16??8 PA2圖所以AB?PB?PA?8?2?6

【命題意圖】本題考察平面幾何的切線長定理，屬容易題。

3．（2010年高考廣東卷理科14）（幾何證明選講選做題）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，PD=

【答案】2a，∠OAP=30°，則CP＝______.39a 8

【解析】因為點P是AB的中點，由垂徑定理知，OP?AB.在Rt?

OPA中，BP?AP?acos30??.由相交線定理知，BP?AP?CP?

DP92?CP?a，所以CP?a． 8

34．（2010年高考陜西卷理科15）(幾何證明選做題)如圖,已知Rt?ABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點D,則

1BD?__________.DA

A

B C

2【解析】（方法一）∵易知AB?32?42?5，又由切割線定理得BC?BD?AB，∴

42?BD?5?BD?16.5169BD16516?.故所求???.55DA599

2于是，DA?AB?BD?5?（方法二）連CD，∵易知CD是Rt?ABC斜邊上的高，∴由射影定理得BC?BD?AB，BDBD?ABBC24216???2?.AC?DA?AB.故所求2DADA?ABAC932

【試題評析】本題主要考查平面幾何中的直線與圓的綜合，要注意有關(guān)定理的靈活運用.【考點分類】第十六章選考系列.5．（2010年高考北京卷理科12）如圖，?O的弦ED，CB的延長線交

于點A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,則DE＝；CE

＝。

【答案】

5;解析：首先由割線定理不難知道AB?AC?AD?AE，于是AE?8,DE?5，又BD?AE，故

222BE為直徑，因此?C?90?，由勾股定理可知CE?AE?AC?

28，故CE?.二、解答題：

1．（2010年高考江蘇卷試題21）選修4-1：幾何證明選講

（本小題滿分10分）

AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交

AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC。

[解析] 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)OD，則：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。

因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因為DC 是圓O的切線，所以∠CDO=900。

又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

2.(2010年全國高考寧夏卷22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，已經(jīng)圓上的弧

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；

2（Ⅱ）BC=BF×CD。，過C點的圓切線與BA的延長線交于E點，證明：

（22）解：

?,（I）因為?AC?BC所以?BCD??ABC.又因為EC與圓相切于點C，故?ACE??ABC，所以?ACE??BCD.（II）因為?ECB??CDB,?EBC??BCD, 所以?BDC∽?ECB，故BCCD?，BEBC

即BC?BE?CD.2

3．（2010年高考遼寧卷理科22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，?ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E

?ADC（I）證明：?ABE

（II）若?ABC的面積S?

1AD?AE，求?BAC的大小。2

第二篇：2013年高考數(shù)學(xué)試題(20)選修4-1幾何證明選講

2013年全國高考數(shù)學(xué)試題分類解析——幾何證明選講

1.（北京理科第5題）如圖，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G。給出下列三個結(jié)論：

1AD+AE=AB+BC+CA； ○

2AF·AG=AD·AE○③△AFB ～△ADG

其中正確結(jié)論的序號是

（A）①②（B）②③

（C）①③（D）①②③

解：（1）由切線長相等可得AD?AE?AC?CE?AB?BD?AC?CF?AB?BF

2?AB?BC?CA，故①正確；（2）由切割線定理有，AD?AF?AG?AD?AE

2故②正確；（3）?AE?AG?AD?AB?AD 選A

2.（廣東理科）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A,B，且PB?7，C是圓上一點使得BC?5，?BAC??APB，則AB?___________．

5由弦切角定理得?PAB??ACB，又?BAC??APB，則△PAB∽△ACB，則PBO 圖4 PBAB2?，AB?PB?

BC?35，即AB?ABBC

3.（廣東文科）（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥

CD，AB=4，CD=2.E,F分別為AD，BC上點，且EF=3，EF∥AB，則梯

形ABEF與梯形EFCD的面積比為

解:由題意可知，E、F分別為AD、BC的中點，故它們的高相等，則

SABEF(AB?EF)?h

S?7

EFCD

?5

2(EF?CD)?h

4.（湖南理科）如圖2，A,E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC?4，AD?BC,垂足為D, BE與AD相交與點F，則AF的長為

解析：由題可知，?AOB??EOC?60?，OA?OB?2,得OD?BD?

1,DF?，又AD2

?BD?CD?

3，所以AF?AD?DF? 5（遼寧理、文）

如圖，A,B,C,D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC?ED。

（I）證明：CD//AB；

（II）延長CD到F，延長DC到G，使得EF?EG，證明：A,B,G,F四點共圓。

解:(1)?EC?ED,??EDC?ECD,因為A,B,C,D四點在同一圓上

??EDC??EBA,??ECD??EBA，所以CD//AB。

（2）由（1）知AE?BE，?EF?EG,??EFD??EGC,??FED??GEC 連接AF,BG，則?EFA與?EGB全等，故?FAE??GBE，又CD//AB

?EDC??ECD，??FAB??GBA，??AFG??GBA?180?

故A,B,G,F四點共圓。

6（天津理

12、文13）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E

是AB

延長線上一點，且DF?CF?AF:FB:BE?4:2:1.若

CE與圓相切，則線段CE的長為__________.答案：

7解：設(shè)BE?x，則BF?2x,AF?4x，由相交弦定理有CF?DF?BF?FB 即8x?2，所以x?

7117

2，則BE?，AE?，由弦切角定理有CE?BE?AE?

4222

所以CE?

。2

7（全國課標(biāo)理）如圖，D，E分別為?ABC的邊AB，AC上的點，且不與?ABC的頂點重合.已知AE的長為m，AC的長為n,AD，AB的長是關(guān)于x的方程

C

x2?14x?mn?0的兩個根.（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點共圓；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圓的半徑.【解析】（I）連接DE，根據(jù)題意在ED

?ADE和?ACB中，?ADE??ACB

EC

G AD?AB?mn?AE?AC,即

ADAE

?.又?DAE??CAB,從而ACAB

因此?ADE??ACB所以C,B,D,E四點共圓.（Ⅱ）m?4,n?6時，方程x?14x?mn?0的兩根為x1?2,x2?12.F

故AD?2,AB?12.取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC,AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C,B,D,E四點共圓，所以C,B,D,E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.?

由于?A?90，故GH?AB,HF?AC.HF?AG?5,DF?

(12?2)?5.2

故C,B,D,E

四點所在圓的半徑為?

8（陜西理）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，AE?BC，?ACD?90，且AB=6，AC=4，AD=12，則．

【分析】尋找兩個三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解． 【解】因為AE?BC，所以∠AEB=?ACD?90，又因為∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以

?

ACAD

?, AEAB

所以AE?

AB?AC6?

4??2，在Rt△AEB

中，BE

AD12

【答案】?

9（陜西文16）如圖，∠B=∠D，AE?BC，?ACD?90，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE=．

【分析】尋找兩個三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解． 【解】因為AE?BC，所以∠AEB=?ACD?90，又因為∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以

?

ACADAB?AC6?4

???2． ,所以AE?AEABAD12

【答案】2

10（江蘇）如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2（r1?r2）．圓

O1的弦AB交圓O2于點C（O1不在AB上）．

求證：AB:AC為定值．

解：連接AO1并延長分別交兩圓于E、D兩點，連接BD,CE，因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在直線AD上，故AD,AE分別為兩圓的直徑，從而?ABD??ACE?90?，所以BD//CE，于是

ABAD2r1r1

??? ACAE2r2r2

第三篇：選修4-1幾何證明選講練習(xí)題

幾何證明選講專項練習(xí)

1.(2008梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EF//BC，F(xiàn)G//AD，則

EFBC+FG

AD

= 2.(2008廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于 點F，若△AEF的面積為6cm

2，則△ABC的面積為 B cm2．

3.(2007廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(2007深圳二模文)如圖所示，從圓O

作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O若PA=4，PC=5，CD=

3，則∠CBD=__

5.(2008廣東文、理)已知PA是圓OPA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點則圓O的半徑R=_______.6.(2007廣東文、理)如圖所示，圓OAB=6，C圓周上一點，BC=3，過C過A作l的垂線AD，AD分別與直線lD、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

7.(2008韶關(guān)一模理)如圖所示，PC切⊙O于 點C，割線PAB經(jīng)過圓心O，弦CD⊥AB于

點E，PC=4，PB=8，則CD=________.8.(2008深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=，AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.9.(2008東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

10.(2008韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．11.(2007韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

12.(2008廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N 13.（2007湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=250，則∠D=___.14.(2007湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

D

于F，則

BFFC=

15.(2008惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩 條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.16.(2008汕頭一模理)如圖，AB是圓O直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.17.(2008佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為． C

18.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點，EF交BD于G，交AC于H.若

AD=5，BC=7，則GH=________.19.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____ B

20.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且PB=1PA

2BC，則PB的值是________.21.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線 PCD經(jīng)過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____⊙O的半徑是_______.22.已知一個圓的弦切角等于50°，那么這個弦切角 所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)為_______.23.如圖，AB是直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，若CD切⊙O于C點，則∠CAB的度數(shù)

為，∠DCB的度數(shù)為，∠ECA的度數(shù)為___.24.如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為 B、B、D是優(yōu)弧BC

?上的 點，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.25.如圖，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切線，C為 AB

?上任一點，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.26.如圖，PA，PB切⊙ O于 A，B兩點，AC⊥PB，且與⊙ O相交于 D，若∠DBC=220，則∠APB==________.27.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延 長線上，BD=OB，CD與⊙O切于C，那么 ∠CAB==________.28.已知：一個圓的弦切角是50°，那么這個弦 切角所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)為_________.29.已知：如圖，CD是⊙O的直徑，AE切 ⊙O于點B，DC的延長線交AB于點A，∠A =200，則∠DBE=________.30.如圖，△ABC中，∠C=900，⊙O切 AB于D，切BC于E，切AC于F，則∠EDF=________.31.如圖，AB是⊙ O的直徑，C，D是

⊙ O上的點，∠BAC=200，?AD

?DC?，DE是⊙ O的切線，則∠EDC的度數(shù)是____.32.如圖，AB是⊙ O的直徑，PB，PC 分別切⊙ O于 B，C，若 ∠ACE=380，則∠P=_________．

33.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半 圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延 長線于點P，∠PCB＝25°，則∠ADC為 A.105°B.115°C.120°D.125°

34.如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，則AC的長為 A.2B.3

C.D.4

35.如圖，直線 BC切⊙ 0于點 A，則圖中的弦切角共有

A.1個B.2個C.3個D.4個

36.如圖，AB是⊙ O的直徑，AC，BC是

⊙ O的弦，PC是⊙ O的切線，切點為 C，∠BAC=350，那么∠ACP等于

A.350B.550C.650D.1250

37.如圖，在⊙ O中，AB是弦，AC是⊙ O 的切線，A是切點，過 B作BD⊥AC于D，BD交⊙ O于 E點，若 AE平分∠BAD，則 ∠BAD=

A.300B.450C.050D.600

38.如圖，⊙O與⊙O′交于 A，B，⊙O的弦

AC與⊙O′相切于點 A，⊙O′的弦AD與⊙O 相切于A點，則下列結(jié)論中正確的是

A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.無法確定

39.如圖，E是⊙O內(nèi)接四邊形 ABCD兩條對角線的交點，CD延長線與過 A點的⊙ O的切線交于

F點，若∠ABD=440，∠AED=1000，?AD?AB?，則∠AFC的度數(shù)為

C

F

A.780B.920C.560D.1450

第四篇：《選修2-1,幾何證明選講》習(xí)題

東方英文書院2011——2012學(xué)年高二數(shù)學(xué)測試卷（文科）

——《選修2-1，幾何證明選講》

以下公式或數(shù)據(jù)供參考

n

??y?bx?;b??⒈a?xy?nx?yii

i?

1?x

i?1n2i?nx2．

2、參考公式

3、K?

2n(ad?bc)2

(a?

b)(c

?d)(a?c)(b?d)n=a+b+c+d

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(i?1)對應(yīng)的點在（）

A．第一象限

B．第二象限 C

．第三象限 D．第四象限

2．下面4個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是（）

Ａ．①②Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ．③④

3?）

Ａ．2?

2Ｂ．2?

2Ｃ．2?2Ｄ．2?(2

4．已知???11，則下列命題：①?2?；②?2?；③1????2?0；④?3?1．其中真命題的個數(shù)?2是（）

A．1B．2C．3D．

45．否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是（）

Ａ．有一個解Ｂ．有兩個解

Ｃ．至少有三個解Ｄ．至少有兩個解

6．利用獨立性檢驗來考察兩個變量X和Y是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信程度．如果??5.024，那么就有把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的百分比為（）2

A．B．C．D．

7．復(fù)平面上矩形ABCD的四個頂點中，A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2?3i，3?2i，?2?3i，則D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A．?2?3iB．?3?2iC．2?3iD．3?

2i 8．下列推理正確的是（）

Ａ．如果不買彩票，那么就不能中獎；因為你買了彩票，所以你一定中獎 Ｂ．因為a?b，a?c，所以a?b?a?c Ｃ．若a，b?R?，則lga?lgb≥Ｄ．若a?R?，ab?0，則

ab??a?b???????≤???2 baa??b9．如圖，某人撥通了電話，準(zhǔn)備手機充值須進(jìn)行如下操作：

按照這個流程圖，操作步驟是（）

Ａ．1?5?1?1Ｂ．1?5?1?5Ｃ．1?5?2?110．若復(fù)數(shù)z滿足z?3?4i?4，則z的最小值是（）A．

1B．2

C．

3D．4

Ｄ．?5?2?3

二、填空題（每小題5分，共20分）(15選做題，若兩題都做，則以第（1）題為準(zhǔn))

11．如右圖所示的程序框圖中，當(dāng)輸入的a值為0和4時，輸出的值相等，則當(dāng)輸入的a值為3時，則輸出的值為．

2根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得?2的值是，可以判斷種子經(jīng)過處理跟生病之間關(guān)（填“有”或“無”）． 13．用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是． 14．若z1?5，z2?3?4i且z1?z2是純虛數(shù)，則z1? 15.（選作題：，請在下面兩題中選作一題）

（1）.如圖，在?ABC中，DE//BC，EF//CD，若BC?3,DE?2,DF?1，則AB的長為___________．

（2）如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA=3，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑為_____________.第1題圖

三、解答題（共80分．解答題應(yīng)寫出推理、演算步驟）16．已知z1?1?3i，z2?6?8i，若

17.在各項為正的數(shù)列?an?中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn?

1??，求z的值． zz1z

21?1??? a?n??2?an?

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數(shù)列?an?的通項公式；（3）求Sn

?BNA?45?，18、如圖，點B在⊙O上，M為直徑AC上一點，BM的延長線交⊙O于N，若⊙O的半徑為，求MN的長為

B

M

ACO

19．(本小題16分)假設(shè)一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子的成長記錄：

（1）作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；（2）求出這些數(shù)據(jù)的回歸方程．

20．已知關(guān)于x的方程：x2?(6?i)x?9?ai?0（a?R）有實數(shù)根b．（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）若復(fù)數(shù)z滿足z?a?bi?2z?0，求z為何值時，z有最小值，并求出z的最小值．

東方英文書院2011——2012學(xué)年高二數(shù)學(xué)測試卷（文科）

——《選修2-1，幾何證明選講》答案

一、選擇題

二、填空題：

11． 3120.164無13．14． 4?3i或?4?3i 15.1

3三、解答題：

16.解：由z1?1?3i，得

111?3i13????i． z11?3i(1?3i)(1?3i)1010

又由z2?6?8i，得

116?8i34????i． z26?8i(6?8i)(6?8i)5050

那么

111?31??43?1112?11i，??????????i???i??

zz2z1?5010??5010?25550

4225050(2?11i)

???i． ??

552?11i(2?11i)(2?11i)

得z??

19.解：（1）數(shù)據(jù)的散點圖如下：

（2）用y表示身高，x表示年齡，則數(shù)據(jù)的回歸方程為?y?6.317x?71.984．

20.解：（1）b是方程x2?(6?i)x?9?ai?0(a?R)的實根，?(b2?6b?9)?(a?b)i?0，?b2?6b?9?0故?，a?b?

解得a?b?3；

（2）設(shè)z?x?yi(x，y?R)由z?3?3i?2z，得(x?3)2?(y?3)2?4(x2?y2)，即(x?1)2?(y?1)2?8，?Z點的軌跡是以O(shè)1(?11)，為圓心，如圖，當(dāng)Z點為直線OO1與?O1的交點時，z有最大值或最小值．

?

OO1?r?

? 當(dāng)z?1?

i時，z?min

第五篇：2012高考數(shù)學(xué)幾何證明選講

幾何證明選講

模塊點晴

一、知識精要

值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮

6個元素，即三組對應(yīng)角是否分別相等，三組對應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：

（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

形與三角形相似。

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)

條直線平行于三角形的第三邊。

1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。

（1）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

°的圓周角所對的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。的比例中項。

兩條切線的夾角。

二、方法秘笈

⒈幾何證明選講內(nèi)容的考點雖多，主要還是集中在對圓的相關(guān)內(nèi)容的考查，而圓中又主要以與切線有關(guān)的性質(zhì)、圓冪定理、四點共圓這幾個內(nèi)容的考查為主。

⒉雖然本書內(nèi)容主要是由原初三內(nèi)容改編過來，而在初中，相關(guān)內(nèi)容也已經(jīng)刪去，似乎教師教與學(xué)生學(xué)都有一定難度，但是由于學(xué)生經(jīng)過兩年的高中學(xué)習(xí)，邏輯性、嚴(yán)密性都有了較大的提高，只要教學(xué)得法，學(xué)生對這部分的學(xué)習(xí)應(yīng)該并不會感到困難。

⒊緊扣課本中的例習(xí)題進(jìn)行學(xué)習(xí)，重視各個定理的來龍去脈，理解其中滲透的重要的數(shù)學(xué)思想方法，因為高考試題中所采取的一些方法多來自課本中定理的證明方法及例習(xí)題的證明方法；

試題解析

一、選擇題

例1.（2012北京、理科）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于

點E.則()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD 2D.CE·EB=CD 2

【解析】A。在?ACB中，∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，所以CD理的CD

二、填空題

例1.（2012全國、文科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于D.過點C作BD的平行線與圓交于點E,與AB相交于點

F,AF?3,FB?1,EF?

?AD?DB,由切割線定

?CE?CB,所以CE·CB=AD·DB。

32,則線段CD的長為

【解析】如圖連結(jié)BC，BE，則∠1=∠2，∠2=∠A

??A??1，又∠B=∠B，??CBF∽?ABC，CBBFCBCF??,?,代入數(shù)值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行線等分線段定理得解得CD=

ACCD

?

AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如圖2，過點P的直線與圓O相交于A，B兩點.若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于

_______.PO交圓O于C，D，如圖，設(shè)圓的半徑為R，由割線定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?

P

例3.（2012天津、理科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D,過點C作BD的平行線與圓相交于點Ｅ，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

32，則線段CD的長為

【解析】∵AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，?FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

?2=

83，設(shè)CD=x，則AD=4x，再由切

割線定理得BD=CD?AD，即x?4x=（練習(xí)題

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如圖，點D在⊙O的弦AB上移動，AB=4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為_____________。

答案：

22.（2012陜西、文理科）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF?DB，垂足為F，若AB?6，AE?1，則DF?DB?5。

三、解答題

例1(2012年全國新課標(biāo)卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF//AB，證明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BFCF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

O相交例2．（2012遼寧、文理科）如圖，⊙O和⊙

/

于A,B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D

兩點，連接DB并延長交⊙O于點E。

證明

（Ⅰ）AC?BD?AD?AB；（Ⅱ）AC?AE。

例3.（2012江蘇、理科）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)

BD并延長至點C，使BD = DC，連結(jié)AC，AE，DE．

求證：?E??C．

【解析】

21-A題）