第一篇：人教A版高中數(shù)學(xué)必修2空間立體幾何知識點(diǎn)歸納

第一章空間幾何體知識點(diǎn)歸納

圍成的多面體叫做棱柱。

1：中心投影平行投影

（1）定義：幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。（2）三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點(diǎn)：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”

2、空間幾何體的直觀圖（表示空間圖形的平面圖）.觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫出的圖形.3、斜二測畫法的基本步驟：

①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）

②建立斜坐標(biāo)系?xOy，使?xOy=450（或1350），注意它們確定的平面表示水平平面；

③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

‘

''''''

S側(cè)面???r?l ⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面?2??r?l⑵圓錐側(cè)面積：

⑶圓臺側(cè)面積：S側(cè)面??(r?R)l ⑷體積公式：

V柱體?S?h；V錐體?

⑸球的表面積和體積：

3V臺體?S?h；

hS上?

?

S下

?

S球?4?R，V球?

243

?R.一般地，面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。

3第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其論證

?A?l,B?

l

?l?? ?

?A??,B??

公理1的作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

若A，B，C不共線，則A，B，C確定平面?

若A?l，則點(diǎn)A和l確定平面?

推論2：過兩條相交直線有且只有一個平面

若m?n?A，則m,n確定平面?

推論3：過兩條平行直線有且只有一個平面

若m?n，則m,n確定平面?

n

公理2及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據(jù)。

P??,P???????l且P?l

公理3作用：（2）證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等。

4.a?b,c?b?a?c 5

a?a?,b?b?且?1與?2方向相同??1＝?2 b

a'

22b'

'

a?a?,b?b?且?1與?2方向相反??1??2＝180?

方向相同則

∠1＝∠2

a?b?A,a,b異面

方向相反則

∠1+∠2＝180°

6a?b,（1）沒有任何公共點(diǎn)的兩條直線平行（2）有一個公共點(diǎn)的兩條直線相交

（3）不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線

a

(2)

(1)

a??a??

a

???A

9（即直線與平面無任何公共點(diǎn)）

⑴判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（只需在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行就可以）

a???

?

b????a//?

a//b??

證明兩直線平行的主要方法是：

①三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；②平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊分別平行；

③線面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線

和它們的交線平行；

?

?

a????a?b

?????b?

④平行線的傳遞性：a?b,c?b?a?c

⑤面面平行的性質(zhì)：如果一個平面與兩個平行平面相交，那么它們的交線平行；

a??

??

????a??a?b

?????b?

???

線和它們的交線平行；（上面的③）

⑥垂直于同一平面的兩直線平行；

a???

??a?b

b???

⑵直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直

10（即兩平面無任何公共點(diǎn)）

（1）判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。a??,b???

?

a?b?A?????

a??,b????

（2）兩平面平行的性質(zhì)：

性質(zhì)Ⅰ：如果一個平面與兩平行平面都相交，那么它們的交線平行；

??

????a??a?b

????b??

性質(zhì)Ⅱ：平行于同一平面的兩平面平行；

???

????

?????????

性質(zhì)Ⅲ：夾在兩平行平面間的平行線段相等；

??A,C???

??AC?BD

B,D???AB?CD? ?

性質(zhì)Ⅳ：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行；

???

????????

??a??或??a??

a???a???

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

?

?

l?n?

??l??

m?n?A?m,n??? ?

⑶性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

l?m

a???

??a?b

b???

性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行12

??l?

????? ??l?

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

l???

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。

????? l???

（只需在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線就可證明面面垂直）

⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

證明兩直線垂直和主要方法：

①利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

②利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直； ③利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）；

④利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”）

如圖：PO???OA是PA在平面?上的射影?又直線a??,且a?OA即：線影垂直?線斜垂直，反之也成立。

??

?a?PA

???

空間角及空間距離的計算

1.異面直線所成角：使異面直線平移

線中的一條上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作另一條直線線，圖：直線a與b異面，b//b?，直線a與直線b?的夾角為兩異 如

?

?????m?

??l??

l???

?l?m?

后相交形成的夾角，通常在兩異面直

平

行

直線 面a與b所成的角，異 面直線所成角取值范圍是（0?，90?]

2.斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：

PA是平面?的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面?上射影，?PAO為線面角。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角

??l??，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

二面角的平面角分

如圖：在二面角?-l-?中，O棱上一點(diǎn)，OA??，OB??，且OA?l,OB?l,則?AOB為二面角

?-l-?的平面角。

別在兩個半平面內(nèi)且角的兩邊與二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是：

①

第二篇：高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)--立體幾何

【高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)】立體幾何學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)建議.txt

一 逐漸提高邏輯論證能力

立體幾何的證明是數(shù)學(xué)學(xué)科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴(yán)密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準(zhǔn)確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論。其次，在論證問題時，思考應(yīng)多用分析法，即逐步地找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(“推出法”)形式寫出。

二 立足課本，夯實基礎(chǔ)

直線和平面這些內(nèi)容，是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)好這部分的一個捷徑就是認(rèn)真學(xué)習(xí)定理的證明，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內(nèi)容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的闡述。但定理的證明在初學(xué)的時候一般都很復(fù)雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點(diǎn)好處：

(1)深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培養(yǎng)空間想象力。

(3)得出一些解題方面的啟示。

在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對后面的學(xué)習(xí)也打下了很好的基礎(chǔ)。

三 “轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如：

1.兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。

2.異面直線的距離可以轉(zhuǎn)化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉(zhuǎn)化。而面面距離可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離又可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離。

3.面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直。

4.三垂線定理可以把平面內(nèi)的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條直線垂直。

以上這些都是數(shù)學(xué)思想中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化可以使問題得以大大簡化。

四 培養(yǎng)空間想象力

為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學(xué)習(xí)時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系。通過模型中的點(diǎn)、線、面之間的位臵關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。

五 總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓(xùn)練

立體幾何解題過程中，常有明顯的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負(fù)值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉(zhuǎn)換。不斷總結(jié)，才能不斷高。還要注重規(guī)范訓(xùn)練，高考中反映的這方面的問題十分嚴(yán)重，不少考生對作、證、求三個環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯誤，符號語言不會運(yùn)用等。這就要求我們在平時養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學(xué)的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對于即將參加高考的同學(xué)來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。六 典型結(jié)論的應(yīng)用

在平時的學(xué)習(xí)過程中，對于證明過的一些典型命題，可以把其作為結(jié)論記下來。利用這些結(jié)論可以很快地求出一些運(yùn)算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對于一些解答題雖然不能直接應(yīng)用這些結(jié)論，但其也會幫助我們打開解題思路，進(jìn)而求解出答案。

第三篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何初步知識點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)立體幾何初步知識點(diǎn)

高中幾何是高中的一個難點(diǎn)。大家只要記住下面這幾點(diǎn)相信你成績一定會突飛猛進(jìn)的！立體幾何初步:①柱、錐、臺、球及其簡單組合體等內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)，也是研究空間問題的基本載體，是高考考查的重要方面，在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意這些幾何體的概念、性質(zhì)以及對面積、體積公式的理解和運(yùn)用。②三視圖和直觀圖是認(rèn)知幾何體的基本內(nèi)容，在高考中，對這兩個知識點(diǎn)的考查集中在兩個方面，一是考查三視圖與直觀圖的基本知識和基本的視圖能力，二是根據(jù)三視圖與直觀圖進(jìn)行簡單的計算，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。③幾何體的表面積和體積，在高考中有所加強(qiáng)，一般以選擇題、填空、簡答等形式出現(xiàn)，難度不大，但是常與其他問題一起考查④平面的基本性質(zhì)與推理主要包括平面的有關(guān)概念，四個公理，等角定理以及異面直線的有關(guān)知識，是整個立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時應(yīng)加強(qiáng)對有關(guān)概念、定理的理解。⑤平行關(guān)系和垂直關(guān)系是立體幾何中的兩種重要關(guān)系，也是解決立體幾何的重要關(guān)系，要重點(diǎn)掌握。跟幾何說886吧，只要用心去學(xué)，相信成績上不會再因為幾何而丟大量的分?jǐn)?shù)！

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)：第一章 空間幾何體

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下 2 畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3 空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和圓柱的表面積S?rl?2 ? r23 圓錐的表面積S2 ?圓臺的表面積S??rl??r2 ??rl??r2??Rl??R25 球的表面積S?4?R2

（二）空間幾何體的體積

1V?S底?h2錐體的體積V?S底?h 3

1433臺體的體積V?S上?S上S下?S下)?h4球體的體積V??R 331柱體的體積

第五篇：人教A版數(shù)學(xué)必修2立體幾何測試題及詳細(xì)答案

高一數(shù)學(xué)必修二立體幾何測試題

一 ：選擇題（5分?10題=50分）

1.下面四個條件中，能確定一個平面的條件是（）

A.空間任意三點(diǎn)B.空間兩條直線C.空間兩條平行直線D.一條直線和一個點(diǎn)2．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()．

A．l1?l2，l2?l3?l1//l

3B．l1?l2，l2//l3?l1?l3

D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面

C．l2//l3//l3?l1，l2，l3共面

3．已知m，n是兩條不同的直線，?,?,?是三個不同的平面，下列命題中正確的是：

A．若???,???，則?∥?B．若m??,n??，則m∥n C．若m∥?，n∥?，則m∥nD．若m∥?，m∥?，則?∥? 4.在四面體P?ABC的四個面中，是直角三角形的面至多有（）

A.0 個B.1個C.3個D.4個 5,下列命題中錯誤的是()．．

A．如果平面??平面?，那么平面?內(nèi)一定存在直線平行于平面? B．如果平面α不垂直于平面?，那么平面?內(nèi)一定不存在直線垂直于平面? C．如果平面??平面?，平面??平面?，????l，那么l?平面? D．如果平面??平面?，那么平面?內(nèi)所有直線都垂直于平面?

?

6.如圖所示正方體AC1,下面結(jié)論錯誤的是（）A.BD//平面CB1D1B.AC1?BD

C.AC1?平面CB1D1 D.異面直線AD與CB1角為60

A.120B.150C.180D.240

8.把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角后，下列命題正確的是（）

?

?

?

?

7.已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是（）

A.AB?BCB.AC?BD C.CD?平面ABC D.平面ABC?平面ACD 9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A

P

A.180B.200C.220D.240

左視圖

A

10.如上圖所示點(diǎn)P為三棱柱ABC?A1B1C1側(cè)棱AA1上一動點(diǎn)，若四棱錐P?BCC1B1的體積為V,則三棱柱ABC?A1B1C1的體積為（）

A.2VB.3VC.二．填空題（5分?5題=25分）

4V3VD.3

211.如圖所示正方形O'A'B'C'的邊長為2cm，它是一個水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是______,面積是_________.12．已知m,l 是直線，?,?是平面，給出下列命題正確的是________________.(1)若l垂直于?內(nèi)的兩條相交直線，則l??(2)若l平行于?，則l平行于?內(nèi)所有直線；(3)m??,l??,且l?m,則???；(4)若l??,且l??,則???；(5)m??,l??,且?//?，則m//l.13.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=1，PB?PC?個點(diǎn)到這四個點(diǎn)距離相等，則這個距離是 ___________.14.一正方體內(nèi)接于一個球，經(jīng)過球心作一個截面，則截面的可能圖形為________(只填寫序號)．

2，已知空間中有一

15．已知圓臺的上下底面半徑分別為2,6，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，則它的側(cè)面積_______,體積_______ 三．解答題

16.某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐P－EFGH,下半部分是長方體ABCD－EFGH.圖

5、圖6分別是該標(biāo)識墩的正(主)視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)(左)視圖;（2）求該安全標(biāo)識墩的體積（3）證明:直線BD?平面

PEG

17．如圖，已知PA?圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，AB?2,C是圓O上的一點(diǎn)，且

AC?BC,PC與圓O所在的平面成45?角，E是PC中點(diǎn)，F(xiàn)為PB的中點(diǎn).(1)求證：EF//面ABC;(2)求證：EF?面PAC;(3)求三棱錐B?PAC的體積

18如圖，在三棱錐S?ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS?AB，過A 作AF?SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：（1）平面EFG//平面ABC；（2）BC?SA.19.如圖1，在Rt?ABC中，?C?90，D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)

F圖

1C

A

F為線段CD上的一點(diǎn)，將?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，使A1F?CD，如圖2。（Ⅰ）求證：DE//平面ACB； 1（Ⅱ）求證：A1F?BE；

圖

220.如圖3所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，AB?2，BC?

1，AA1?（Ⅰ）證明：AC1

?平面AB1C1；（Ⅱ）若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結(jié)論．

21.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且

AEAC?AF

AD

??(0???1).（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？(14分)

A

F

B

D

高一立體幾何測試參考答案

一：1-5;CBBDD6-10;DCBDD

二:11._16cm_;82cm2____12._1,4____13.;14.①②③

215.母線長為5，側(cè)面積為40?，高為3，體積為52?.16．(1)

解：(1)側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.（２）該安全標(biāo)識墩的體積為：V?VP?EFGH?VABCD?EFGH?

?402?60?402?20?32000?32000?64000?cm2?

3（３）如圖,連結(jié)EG, HF及 BD，EG與HF相交于O,連結(jié)PO.由正四棱錐的性質(zhì)可知,PO?平面EFGH , HF?平面EFGH?PO?HF又EG?HF PO

EG?O PO?平面PEG EG?平面PEG

?HF?平面PEG又 BD//HF?BD?平面PEG；

17.(1)證明：在?PBC中，EF為中位線，所以EF//BC,EF?平面ABC,BC?平面ABC所以EF//平面ABC.(2)?AB是圓O的直徑，?BC?CA;

?PA?面ACB,BC?面ACB,?PA?BC;BC?CA?C,?BC?面PAC,又?BC//EF, ?EF?面PAC.(3)由第2問知BC?面PAC,?BC是三棱錐B?PAC的高；AC?BC?PA?2,1112?VB?PAC?(S?PAC)?BC?(?2?2)?2?

3323

18．證：（1）

SA?BA，AF?SB，?SF?BF，由題SE?EA，?EF//AB，EF?平面

ABCAB?平面ABC，?EF//平面ABC，同理EG//平面ABC，兩條相交直線，∴平面EFG//平面ABC，（2）

EF與EG為平面EFG內(nèi)的平面SAB?平面SBC于SB，AF?平面SAB，?AF?平面SBC，?AF?BC，又AB?BC且AB與AF為平面SAB內(nèi)的兩條相交直線，?BC?SA。

19．（1）因為D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因為DE?平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F ?平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE

20證明：（Ⅰ）∵?ACB?90，∴BC?AC．

∵三棱柱ABC?A1B1C1為直三棱柱，∴BC?CC1．

∵AC

CC1?C，∴BC?平面ACC1A1．

∵AC?平面ACC1A1，∴BC?AC1，1∵BC∥B1C1，∥則B1C1?AC1．在Rt?ABC中，AB?2，BC?

1，∴AC?

∵AAACC1A1為正方形． 1?∴AC?AC1． ∵B1C11

?平面AB1C1．

AC1?C1，∴AC1

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時，DE//平面AB1C1．證明如下：

如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連EF、FD、DE，∵D、E、F分別為CC1、AB、BB1的中點(diǎn)，∴EF∥AB1∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1．同理可證FD∥平面AB1C1． ∵EF

FD?F，∴平面EFD∥平面AB1C1．∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1．

21.證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.3分

又?AE?AF??(0???1),ACAD

∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF,∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF平面ACD=EF

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴BD?

A

B

F

D

2,AB?2tan60??6,11分

AC

?AC?AB2?BC2?7,由AB=AE·AC 得AE?6,???AE?6,13分

故當(dāng)??

時，平面BEF⊥平面ACD.14分 7