第一篇：第71課面面垂直

高考直通車·2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備課手冊

第71課面面垂直

一、考綱要求

理解平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能夠運用兩個定理證明簡單的面面垂直問題．

二、基礎(chǔ)知識回顧與梳理

回顧

1、二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作于棱的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．

注：二面角平面角的范圍：

2、平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的判定方法

①定義法

②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面互相垂直．

符號表示:

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)

如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)的直線垂直于另一個平面．

符號表示:

解析

·兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分別由線面垂直推出面面垂直，以及由面面垂直推出線面垂直，因此在解決有關(guān)問題時，經(jīng)常利用“線線垂直?線面垂直?面面垂直”這種轉(zhuǎn)化思想．

·兩平面垂直時，過第一個平面內(nèi)任一點作第二個平面的垂線，則該垂線必在第一個平面內(nèi)．

1、平面??平面?，????l，點P??，點Q?l，那么PQ?l是PQ??的___________條件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

【教學(xué)建議】幫助學(xué)生復(fù)習(xí)面面垂直性質(zhì)定理和簡易邏輯相關(guān)知識．教學(xué)時，可以要求學(xué)生寫出面面垂直性質(zhì)定理的符號語言，強調(diào)書寫應(yīng)規(guī)范、到位．

2、已知平面??平面?，????a，若a?l，則下列結(jié)論正確的是________．

①l必與?,?中的一個垂直②l不可能與?,?中的一個垂直

③l同時與?,?垂直④l不可能同時與?,?垂直

【教學(xué)建議】本題是在第一題基礎(chǔ)上的加深，主要幫助學(xué)生理解面面垂直性質(zhì)定理中的關(guān)鍵條件，訓(xùn)練學(xué)生思維的完備性．教學(xué)時，可以結(jié)合圖形說明上述各選項的對錯，并再次強調(diào)性質(zhì)定理書寫的規(guī)范．

3、對于直線m,n和平面?,?,???的一個充分條件是________．

①m?n,m//?,n//?②m?n,????m,n??

③m//n,n??,m??④m//n,m??,n??

【教學(xué)建議】通過填空題的形式幫助學(xué)生理解面面垂直判定定理的概念和簡易邏輯相關(guān)知識．教學(xué)時，讓學(xué)生簡述理由，對于正確的選項，可以結(jié)合面面垂直判定定理，強調(diào)定理的書寫規(guī)范；對于不正確的選項，可以讓學(xué)生舉出反例，或若由此條件應(yīng)得到怎樣的結(jié)論．

4、ABCD是正方形，P為平面ABCD外一點，且PA?平面ABCD，則平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD這五個平面中，互相垂直的平面有________對．

【教學(xué)建議】通過常見圖形的研究，復(fù)習(xí)面面垂直的判定定理．幫助學(xué)生加深理解一些常見幾何體中面面垂直的結(jié)論．

三、診斷練習(xí)

1、教學(xué)處理：課上由學(xué)生自主完成4道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學(xué)習(xí)筆記欄．課前抽查批閱部分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的解題思路及主要錯誤．教學(xué)時，對題１，題４點評要充分，對于學(xué)生不正確的解答要求其舉出反例，最好能夠畫出相應(yīng)的圖形，使教學(xué)言而有物．

2、診斷練習(xí)點評

題1、已知m,n是兩條不同的直線，?,?為兩個不同的平面，有下列四個命題：

①若m??,n??,m?n，則???；②若m//?,n//?,m?n，則?//?

③若m??,n//?,m?n，則?//?；④若m??,n//?,?//?，則m?n

其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號）___________．

【分析與點評】直接根據(jù)線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理加以判斷．對于命題②③，要求學(xué)生舉出反例；對于命題①④，可要求學(xué)生畫出圖形，簡述證明．

【交流】要求學(xué)生根據(jù)立體幾何的公理、定理、性質(zhì)，列舉類似命題，并交

流討論．

題2、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?底面ABCD，底面各邊相等，M是

PC上的一點，當(dāng)點M滿足_______________時，平面MBD⊥平面PCD。【分析與點評】BM⊥PC。根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定定理可得結(jié)果．讓D 學(xué)生體會數(shù)學(xué)圖形的對稱美。

題3、設(shè)?,?是空間兩個平面，m,n是平面?,?外的兩條不同的直線，從 C ①m?n；②???；③n??；④m??中選取三個作為條件，余下的一

個作為結(jié)論，寫出一個你認為正確的命題：（用序號表示）．

【分析與點評】①③④?②或②③④?①。因為當(dāng)n??,m??時，平面?及?所成的二面角與直線m,n所成的角相等或互補，所以若m?n，則???，從而由①③④?②；同理若???，則m?n，從而由②③④?①。

本題要求學(xué)生能熟練地將符號語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進而根據(jù)數(shù)學(xué)語言想象出空間圖形，用所學(xué)過的知識得出答案。在研究垂直問題時，要注意應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”的思想，充分利用線線、線面、面面垂直(平行)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，將一個個空間問題化歸到平面內(nèi)去，使問題獲得解決。

題

4、對直線l,m與平面?,?,?滿足????l,l//?,m??和m??,下列命題必定正確的是___________．

①???且m//?;②???且l?m;③m//?且l?m;④?//?且???.【分析與點評】直接根據(jù)線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理加以判斷，可得只有②正確．復(fù)習(xí)線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理．題給條件中線面元素較多，要求學(xué)生根據(jù)符號語言繪制出相應(yīng)的圖形，然后進行判斷．

【交流】一是直線與平面平行，直線作任意平移（只要不在平面內(nèi)）都與該平面平行，在經(jīng)過這條直線與平面平行的平面內(nèi)作任意旋轉(zhuǎn)也與原平面平行；二是直線與平面垂直，直線作任意平移仍然與平面垂直，偏轉(zhuǎn)后不能與平面垂直．

四、范例導(dǎo)析

例

1、如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,A1B1?ACCC1上E分別是棱BC，11,D，的點(點D 不同于點C),且AD?DE，F(xiàn)為B1C1的中點.求證:(1)平面ADE?平面BCC1B1;

(2)直線A1F//平面ADE.【教學(xué)處理】指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形認真審題，看看能得出哪些

垂直的關(guān)系，分析條件與結(jié)論的關(guān)系，建議多提問，讓學(xué)

生主動發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，教師延遲引導(dǎo)．

【啟發(fā)與引導(dǎo)分析】

提問：

1、面面垂直的判定定理是什么？

2、在這兩個平面中能否找到一條直線與另一個面垂直？

教師引導(dǎo)：

1、若在一個平面較難到一條直線與另一個面垂直，則可以在原

圖中先尋找某個平面的其它位置的垂線，然后尋找另一個已知平

面內(nèi)與該垂線平行的直線；

2、要證平面ADE?平面BCC1B1,只要證平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可.它可由已知ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE證得.要證直線A1F//平面ADE,只要證A1F∥平面ADE上的AD即可.例2：在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC,?ABC?90?，平面PAB?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD．

(1)求證：PA?平面ABCD；

（2）若平面PAB?平面PCD?l，問直線l能否與平面ABCD平行？

說明理由．

【教學(xué)處理】

第（1）問應(yīng)讓學(xué)生自行分析、解決，選擇典型錯誤的學(xué)生上黑板板演，糾正并強調(diào)解題過程的規(guī)范性。第（2）問要求學(xué)生認真分析條件與結(jié)論，通過提問引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。

【啟發(fā)與引導(dǎo)分析】

方法一：

提問：

1、在原有圖形中，平面PAB與平面PCD的交線l是否存在？

2、怎樣作出平面PAB與平面PCD的交線l？

教師引導(dǎo)：

1、兩點可以確定一條直線，原圖中平面PAB與平面PCD已有一個公共點P，只需再找到另一個公共點，將其與點P連接，便可得到兩平面的交線l。

2、在同一平面內(nèi)找平面PAB與平面PCD內(nèi)的線的交點。圖中PA?PD?P，PB?PC?，只剩直線PAB與CD。故在平面ABCD中，延長AB與CD，它們的交點即為所求。

方法二：

提問：若不作出平面PAB與平面PCD的交線l，能否有其他方式解決此問題？

教師引導(dǎo)：

1、本題在沒給出平面PAB與平面PCD的交線l，直接證出結(jié)論比較困難的情況下，可采用反證法。提問：反證法的步驟是怎樣的？

教師引導(dǎo)：

1、假設(shè)直線l能與平面ABCD平行，過點P作一條平行于AB的直線，則這條直線就是平面PAB與平面PCD的交線l，且直線l//平面ABCD。

2、由線面平行的性質(zhì)定理，我們不難得出l//AB，同理可得l//CD，則AB//CD。

這與原題中的四邊形ABCD是梯形，AD//BC，這一條件矛盾。故假設(shè)不成立，原結(jié)論正確。

【點評】

1、本題主要考查立體幾何中的線面平行、線面垂直等主要知識。

2、第（2）問中兩平面的交線，是公理2的應(yīng)用。通過探究空間線面關(guān)系，進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力、空間想象能力和推理論證能力。

例3：多面體ABCDE中，AB?BC?AC?AE?1,CD?2,AE?面ABC,AE//CD．

（1）求證：AE//面BCD；

（2）求證：面BED?面BCD．

【教學(xué)處理】

指導(dǎo)學(xué)生審題，標注條件，看看能得出哪些平行與垂直的關(guān)系，讓學(xué)生先嘗試分析思考，教師延遲引導(dǎo)。E E 【啟發(fā)與引導(dǎo)分析】

第（1）問由學(xué)生處理，可由學(xué)生口述證明過程，或讓學(xué)生板演。

第（2）問，C C 提問：

1、證明面面垂直方法是什么？A A2、在這兩個平面中，能否在其中一個平面內(nèi)找一條直線與 圖一 圖二 另一個面垂直？

教師引導(dǎo)：

1、欲證平面?⊥平面?，可在?內(nèi)找一直線垂直于?(也可在?內(nèi)找一直線垂直于?)，若都找不出，可在?內(nèi)任找一條垂直于?的直線l，然后在?內(nèi)找一直線平行于l即可

2、因為?ABC是等邊三角形，因此取某邊中點、作中線。（在等邊三角形中作中線是常用的輔助線做法。）容易得到AF?平面BCD。于是原題轉(zhuǎn)化為在平面BED內(nèi)找一條直線與直線AF平行，即證線面平行。

3、要在平面BED內(nèi)找一條直線與直線AF平行，實際上就是將直線AF平移到平面BED內(nèi)。從圖中容易看出點A平移到了點E，所以不難得出點F平移到了BD的中點G。

【點評】

1、在證明面面垂直的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生，在圖中已有的線中尋找“線面垂直”中的線，如找不到，可以先在平面內(nèi)先找一條線與已知平面垂直，再將其平移到欲證平面內(nèi)。

2、根據(jù)條件仔細觀察所給平面的特點，充分利用等腰、等邊三角形特殊性。作三角形某邊中線是常用的輔助線做法。

五、解題反思

1、對立體幾何中線面垂直（平行）、面面垂直（平行）的判定定理、性質(zhì)定理的內(nèi)容要深刻理解，條件、結(jié)論要清楚。熟練地用符號語言敘述定理，能繪制出對應(yīng)的圖形。

2、處理面面垂直本質(zhì)是由面面垂直?線面垂直?線線垂直化歸下去，將復(fù)雜的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即所謂的“降維”。

3、證明面面垂直的過程就是找垂線的過程。一般是先從一個平面內(nèi)現(xiàn)有的直線中尋找另一個平面的垂線，若平面中這樣的直線不存在，則可以先在原幾何體中找平面的垂線，再證此垂線和另一個平面平行．當(dāng)然也可以選兩面中的一面作它們交線的垂線，選哪個平面，應(yīng)根據(jù)條件決定。題中等腰、等邊三角形、矩形、菱形等都可以和垂直建立聯(lián)系，應(yīng)注意挖掘。

第二篇：面面垂直習(xí)題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設(shè)PC=1,由E是AC的中點，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設(shè)二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點在直二面角??CD??的兩個面內(nèi),且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B

第三篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第四篇：怎么證明面面垂直

怎么證明面面垂直證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成 一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面 然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線 也可以運用兩個面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。

證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內(nèi)的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第五篇：面面垂直學(xué)案

§2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

一、學(xué)習(xí)目標：

1.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用；

2.掌握空間中的垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的方法。

二、學(xué)習(xí)過程：

(一)復(fù)習(xí)引入

1.平面與平面垂直的定義：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）觀察黑板所在的平面和地面，它們是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一條直線是否就一定和地面垂直？

（2）觀察長方體ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D與平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一條直線垂直于平面ABCD？

（三）嚴格證明

已知???,????CD,AB??,AB?CD于B.求證:AB??.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性質(zhì)定理：

兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言表述：

（五）知識應(yīng)用舉例

例

1、已知平面α與β互相垂直，判斷下列命題是否正確：

（1）若b??,則b??。

（2）若???=l,b?l則b??。

（3）若b??,則b垂直于平面?內(nèi)的無數(shù)條直線。

(4)過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線

必垂直于另一個平面。

例

2、平面?與平面?互相垂直，????m,P??,P?m,判斷：

（1）過點P且垂直于?的直線a是否一定在?內(nèi)？

（2）過點P且垂直于?的直線l與?是什么位置關(guān)系？并證明

例

3、如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，(1)求證：BC⊥平面PAC。(2)判斷平面PBC與平面PAC是否垂直，并證明。

A

O B

練習(xí)：如圖,AB是⊙O的直徑,點C是圓上異于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求證:AF⊥平面PBC.C

解題反思：

（六）小結(jié)反思

1.面面垂直的性質(zhì)定理

2..空間垂直關(guān)系有那些？如何實現(xiàn)空間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化？請指出下圖中空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的定理依據(jù)？

①

②

③

④

（七）家庭作業(yè)《同步導(dǎo)學(xué)》