第一篇：相似證明

1、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中點(diǎn)，AG的延長(zhǎng)線交BC于E，求BE:EC

E2、□ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AF=C

B E A3、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BA延長(zhǎng)線于E，求證：DE?DC?EA?BDD

1FD，連接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C C4、△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交2AC于E，交CF于F，求證：BP?PE?PF

F

C D5、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線DF，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E．求證：BC2＝4DE·DF．

A E C

F

第二篇：《相似三角形的證明——K字型相似》教案

課題：相似三角形的證明——K型相似（教案）

學(xué)校：茶陵思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校 教師姓名：段中明

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過(guò)習(xí)題引入，了解“K型圖”的特征與其中兩個(gè)三角形相似的條件，并掌握其中兩個(gè)相似三角形的性質(zhì)；

2、利用“K型圖”中兩個(gè)三角的相似性解決一些計(jì)算、證明等簡(jiǎn)單問(wèn)題；

3、在“K型圖”變化的過(guò)程中經(jīng)歷圖形動(dòng)態(tài)思考，積累做“K型圖”相似解題的特點(diǎn)與經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

1、在已知圖形中觀察關(guān)鍵特征——“K型”；

2、在非“K型”圖形中畫(huà)輔助線，得到“K型”圖形；

3、在“K型”圖的兩個(gè)三角形中，探索其相似條件。學(xué)情分析：

學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)完湘教版九上數(shù)學(xué)第三章圖形的相似，復(fù)習(xí)完本章各知識(shí)點(diǎn)后，進(jìn)行一些思維拓展延伸，教師已引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形中的基本圖形，如 “A”字型、“X”字型、“母子”型、“雙垂直”型等。結(jié)合中考試題探究“K型圖”相似這個(gè)問(wèn)題，本課將在此基礎(chǔ)上展開(kāi)學(xué)習(xí)。教學(xué)過(guò)程：

一、課前寄語(yǔ)：

學(xué)生在老師的心里就是自己的孩子，所以老師祝福天下所有的孩子健康成長(zhǎng)，快樂(lè)學(xué)習(xí)！

二、復(fù)習(xí)與回顧：

1.相似三角形的判定3條定理；

2.相似三角形的基本圖形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、雙垂直型??

3.圖形演變：雙垂直型變?nèi)怪毙?，三垂直型變K字型。

三、新課講解：

（一）.呈現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）.能利用k形圖證明三角形相似；（2）.能構(gòu)造k形圖解決相關(guān)問(wèn)題（3）.體會(huì)“分類討論”的數(shù)學(xué)思想

（二）.輕松一刻：（突出快樂(lè)學(xué)習(xí)）

同學(xué)們，這幅畫(huà)美嗎？看到這幅畫(huà)我就想起小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的一首小詩(shī)，一首富有詩(shī)情畫(huà)意的詩(shī)，哪位同學(xué)能把這首詩(shī)讀出來(lái)嗎？

對(duì)，是《小池》。它句句是詩(shī)，句句是畫(huà)，描繪了明媚的初夏風(fēng)光，自然樸實(shí)又真切感人。今天我們邊欣賞古詩(shī)邊學(xué)習(xí)新課。下面我們跟著這首古詩(shī)走進(jìn)今天的例題探究。

（三）.例題探究：

1.如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結(jié)BF，已知AE=4，ED=2，AB=3則DF=__________ 2.在等邊△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),E為AC邊上一點(diǎn),且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 則△ABC的邊長(zhǎng)為.A

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，(1)若DE⊥EF，求證：△ADE∽△BEF；

(2)若BF=1，當(dāng)△ADE與△BEF相似時(shí)，求AE的長(zhǎng)。

4.如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4∥l5 ∥l6，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在平行直線上相鄰兩條平行直線間的距離相等且為1，AB與l4交于點(diǎn)G.(1)求正方形的面積；(2)求CG的長(zhǎng)

一、課堂練習(xí)：

1.如圖，折疊矩形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的長(zhǎng)。（一題多解）

BFCEADEBDCDL1L2L3AGCL4L5L6B2.在直角梯形ABCF中，CB=14，CF=4, AB=6，CF∥AB,在邊CB上找一點(diǎn)E,使以E、A、B為頂點(diǎn)的三角形和以E、C、F為頂點(diǎn)的三角形相似，則CE=_______（分類討論）

二、課后拓展：

1.如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點(diǎn)分別在直線l1、l3上并與l2相交于點(diǎn)E，①AE與BE的長(zhǎng)度大小關(guān)系為

； ②若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點(diǎn)恰好分別在直線l2、l4上，則sinα=

2.如圖，正△ABC邊長(zhǎng)為6cm，P,Q同時(shí)從A,B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB,BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ.五、課堂小結(jié)：

我們今天這堂課收獲了什么呢？

（1）學(xué)習(xí)了K型相似的證明；（2）我們要快樂(lè)學(xué)習(xí)。

六、作業(yè)布置：

ADCEB

第三篇：相似教案

相似

1．成比例線段

用同一長(zhǎng)度單位度量?jī)蓷l線段所得量數(shù)的比叫做這兩條線段的比．

如果線段a和b的比等于線段c和d的比，那么線段a，b，c，d叫做成比例線段，記作ac?或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前項(xiàng)，b，d叫做比的后項(xiàng)，b，c叫做比例內(nèi)bd若項(xiàng)，a，d叫做比例外項(xiàng)，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比；

(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 6．相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；

(2)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比；(3)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比；

(4)相似多邊形面積的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例線段

如圖13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，則(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三對(duì)相似三角形)；

圖13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用時(shí)要證明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用時(shí)要證明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用時(shí)要證明)8．位似

(1)如果兩個(gè)多邊形相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這兩個(gè)多邊形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．

(2)如果兩圖形F與F′是位似圖形，它們的位似中心是點(diǎn)O，相似比為k，那么

①設(shè)A與A′是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則直線AA′過(guò)位似中心O點(diǎn)，并且②設(shè)A與A′，B與B′是任意兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則

OA?k.OA'AB?k若直線AB，A′B′不通過(guò)位A?B?似中心O，則AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小．

(4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k． ．．．．9．相似圖形的應(yīng)用

二、例題分析

例

1已知：如圖13－2，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PB＝3，BF⊥BP于點(diǎn)B，試在射線BF上找一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，作圖并指出相似比k的值．

圖13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以點(diǎn)B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，只要使夾∠ABP及∠CBF的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

解

如圖13－3．

圖13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即?，BM1＝3時(shí)，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． ?3BPAB44BM2BCBM2416當(dāng)即??,BM2?時(shí)，△CBM2∽△PBA．相似比k?? 4ABBP33316∴當(dāng)BM＝3或BM?時(shí)，以點(diǎn)B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，相似比分

3當(dāng)4別為1和?

3說(shuō)明

(1)對(duì)于探究三角形相似的條件這類問(wèn)題，可從“角的關(guān)系在先、邊的關(guān)系在后”的思維順序入手，由于題目條件中只有一組對(duì)應(yīng)角相等，因此就考慮這組對(duì)應(yīng)角的四條線段何時(shí)對(duì)應(yīng)成比例，由于點(diǎn)C可以與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)(此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)P對(duì)應(yīng))，點(diǎn)C也可以與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)(此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)A對(duì)應(yīng))，因此有兩種情形．

(2)注意當(dāng)相似比k＝1時(shí)，兩個(gè)相似圖形全等，因此，全等圖形是相似圖形的特例． 例

2已知：如圖13－4，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于點(diǎn)P，Q

圖13－4

(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

?PB?PR,PC1?? RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵點(diǎn)R是DE中點(diǎn)，∴DR＝RE．

?PQPCPC1???,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 說(shuō)明

(1)如圖13－5，“若DE∥BC，則△ADE∽△ABC”．這是用平行線截得三角形構(gòu)成相似三角形，得到成比例線段常見(jiàn)的基本圖形結(jié)構(gòu)．

圖13－5(2)對(duì)于例2，還可進(jìn)一步思考研究其他問(wèn)題，例如，在已知條件不變的前提下，若△PCQ的面積為S，你能用含S的代數(shù)式分別表示圖13－4中其他各圖形的面積嗎?并說(shuō)明你的理由．

(1)△BPC的面積＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面積＝______．理由是__________________________________________；(3)四邊形PCER的面積＝______．理由是____________________________________；(4)四邊形APRD的面積＝______．理由是____________________________________； ??

例3 如圖13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為下底BC上一點(diǎn)(不與B，C重合)，連接AP，過(guò)P點(diǎn)作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

圖13－6(1)你認(rèn)為圖中哪兩個(gè)三角形相似，為什么?(2)當(dāng)點(diǎn)P在底邊BC上自點(diǎn)B向C移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BC?AD?2，腰長(zhǎng)AB＝CD＝2CF＝4，這樣原2問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假設(shè)存在P點(diǎn)，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CE?CEPC＝6．

設(shè)BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

當(dāng)BP＝1或BP＝6時(shí)，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如圖13－7，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M，N分別是BC，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直．

圖13－7(1)求證：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；

(2)設(shè)BM＝x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN．(2)∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，?ABBM4x，即???

MCCN4?xCN?x2?4x?CN??

4?y?S梯形ABCN1?x2?4x??4(?4)2411??x2?2x?8??(x?2)2?10.22當(dāng)x＝2時(shí)，y取最大值，最大值為10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB?? MNBMAMAB?? MNMC∴BM＝MC．

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△ABM∽△AMN，此時(shí)x＝2．

例5 如圖13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重合)，AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點(diǎn)F，H，G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

圖13－8

(1)設(shè)DE＝m(0＜m＜12)，試用含m的代數(shù)式表示(2)在(1)的條件下，當(dāng)

FH的值； HGFH1?時(shí)，求BP的長(zhǎng)． HG2解

(1)如圖13－9，過(guò)點(diǎn)H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N點(diǎn)．在正方形ABCD中，圖13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH ?HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中點(diǎn)． 又∵M(jìn)H∥DE，∴M是AD的中點(diǎn)． ?11DE?x.22由已知，不難得出四邊形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． ?MH??HN?12?1x.21mFHMHm2????，1HGHN24?m12?m2其中0＜m＜12．

FH1m1?時(shí)，?，解得m＝8． HG224?m2欲求BP的長(zhǎng)，只要求AP的長(zhǎng)．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2? ?AE?413,AH?213,sin?EAD?13(2)當(dāng)∵FP⊥AE于點(diǎn)H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH?13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

說(shuō)明

(1)在解

(2)在解

圖13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

?DEEF?? HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即ab?a?,得ac＝(b－a)(b－c)． b?cc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈爾濱市)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是6，點(diǎn)E在直線AD上，DE＝3，連接BE，與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則解

MC的值是______． AM2? 3提示

注意題中給出的“點(diǎn)E在直線AD上”這個(gè)條件，因此有兩種情況．

MCBC??2；(2)AMAEMCBC2??? 點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖13－13(b)，△CMB∽△AME，?AMAE3(1)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，如圖13－13(a)，△CBM∽△AEM．?

圖13－13

四、課標(biāo)考試達(dá)標(biāo)題(一)選擇題

1．如圖13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，F(xiàn)D分別交BC于點(diǎn)G，H，則圖中共有相似三角形（）．

圖13－14 A．4對(duì)

B．5對(duì) C．6對(duì)

D．7對(duì)

2．如圖13－15所示，小剛身高AB為1.7m，測(cè)得他站立在陽(yáng)光下的影子AC長(zhǎng)為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測(cè)得影子AD長(zhǎng)為1.1m，那么小剛舉起的手臂BE超出頭頂

（）．

圖13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如圖13－16，在△ABC中，AB＞AC，過(guò)AC邊上一點(diǎn)D作直線與AB相交，使得構(gòu)成的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）．

圖13－16 A．1條

B．2條 C．3條

D．4條

4．如圖13－17，王華同學(xué)晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，他繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）．

圖13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如圖13－18，在8×8正方形的網(wǎng)格上，若使△ABC∽△PBD，則點(diǎn)P應(yīng)在（）．

圖13－18 A．P1處

B．P2處 C．P3處

D．P4處

6．如圖13－19，把△PQR沿著PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它們重疊部分的面積是△PQR面積的一半，若PQ＝2，則此三角形移動(dòng)的距離PP′是（）．

圖13－19 A．1 2B．

C．1

D．2?1

(二)填空題

7．已知：如圖13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面積等于81，則四邊形BCED的面積為_(kāi)_____．

圖13－20 8．如圖13－21，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H在DC邊上，BC＝12，GH?1DC.若AB＝10，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____． 2

圖13－21 9．如圖13－22，△ABC與△A′B′C′的位似中心為點(diǎn)O，若AB＝2，A′B′＝5，則△ABC與△A′B′C′的面積比是______，AC與A′C′的比是______．

圖13－22 10．如圖13－23，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作

11．如圖13－24，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，寫(xiě)出圖中三對(duì)相似三角形(注意：不得加字母和線)；請(qǐng)?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x取一對(duì)，說(shuō)明它們相似的理由．

圖13－24

12．如圖13－25，在□ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C．

圖13－25(1)求證：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的長(zhǎng)；

(3)在(1)、(2)的條件下，若AD＝3，求BF的長(zhǎng)．(計(jì)算結(jié)果可含根號(hào))

13．如圖13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．

圖13－26(1)求梯形ABCD的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值；

(3)試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，寫(xiě)出正方形MEFN的面積．

參考答案

第四篇：幾何證明選講第一講：相似三角形

幾何證明選講

<<幾何證明選講>>知識(shí)框圖

第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

一．考綱要求

掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理。

二．知識(shí)梳理

1.平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

推理1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2.平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3.相似三角形的判定及性質(zhì)

(1)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。AA

判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。SAS

判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比

1例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

(3)相似三角形的性質(zhì)：

相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比； 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。三．診斷練習(xí)

1．如圖1，ΔABC中，∠1=∠B，則Δ∽Δ．此時(shí)若AD=3，BD=2，則AC=． 2.如圖2，CD是RtΔABC的斜邊上的高．

（1）若AD=9，CD=6，則BD=；（2）若AB=25，BC=15，則BD=．

┐

D

B

C圖1 圖

23．兩個(gè)三角形相似，它們的周長(zhǎng)分別是12和18，周長(zhǎng)較小的三角形的最短邊長(zhǎng)為3，則另

一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為． 4.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于點(diǎn)F，B 若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為cm2． E

5.如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

DBF

于F，則=.FCF四．范例導(dǎo)析

1.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC的中線，P是AD上一點(diǎn)，CF//AB，BP的延長(zhǎng)線分別交AC、CF于點(diǎn)E、F，求證：BP2＝PE·PF

D

C

2．在?ABC中，CD?AB于D，DE?AC于E，DF?BC于F,求證：?CEF∽?CBA

五．練習(xí)鞏固

1.（2011安徽）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分別為

B

AD，BC上點(diǎn)，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為

2.(2011年高考陜西卷理科15)（幾何證明選做題）如圖?B??D,AE?BC,?ACD?90,且AB?6,AC?4,AD?12,則BE?0

3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?b,CD?a,E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF

∥AB，且EF交BC于點(diǎn)F，某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

DEAEDEAEDE

?1時(shí)，有EF??2時(shí)，有EF??3時(shí)，有EF?

a?b2a?2b3a?3b

①當(dāng)②當(dāng)③當(dāng)

； ； ．

4AE

DE當(dāng)?k時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用k表示EF的一般結(jié)論是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求證：三角形ABC為等腰三角形

第五篇：添平行線、利用相似三角形證明

平行線分線段成比例(添輔助線)

一、知識(shí)要點(diǎn)：

1、平行線分線段成比例的基本圖形；

2、構(gòu)造基本圖形來(lái)解題。

二、例題簡(jiǎn)析及練習(xí)：

例

1、已知FD與△ABC的邊AB交于F，與AC交于E，與BC的延長(zhǎng)線交于D，且

DEAB?AF=CD，求證： EFBC

B C D

1EF2AF?練習(xí)

1、已知如圖BD=CD，求證： 2BEAC

C例

2、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中點(diǎn)，AG的延長(zhǎng)線交BC于E，求BE:EC

C E

練習(xí)

2、△ABC中D是BC上的一點(diǎn)，AE∶EC=3∶4，BD∶DC=2∶3，求BF∶FE

E

C D 1例

3、□ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AF=FD，連接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C

B E A

練習(xí)

3、已知，如圖，△ABC中，E、F分別為BC的三等分點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，BD分別與AE、AF交于點(diǎn)M、N，求BM:MN:ND

DE F C

三、鞏固練習(xí)：

1、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AP=PD。求證：1）PB=3PF；2）如果AC=13，求

AF的長(zhǎng)。

F

C D

2、如圖，D、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3 連DF交BC的延長(zhǎng)線于E.求EF∶FD.3、已知OM∶MP=ON∶NR，求證：△PQR為等腰三角形。O4、直線截△ABC的邊AB、BC、AC或其延長(zhǎng)線于D、E、F，求證：

5、在△ABC中AC=BC，F(xiàn)為底邊AB上的一點(diǎn)，的中點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于E。1）求

R

ADBECF

???1 DBECFA

F

E

D

C

BFm

?，（m,n為正數(shù)）。取CFAFn

BE的值；2）如果BE=2EC，那么CFEC

所在的直線與邊AB有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論。3）E點(diǎn)能否為BC的中

m

點(diǎn)？如果能，求出相應(yīng)的值，如果不能，說(shuō)明理由。

n

利用相似三角形的證明

1、已知菱形ABCD中，F(xiàn)是BD上的一點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于G，A

求證：CF?FE?FG

D

練習(xí)、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn), E、F分別在AB、AC上，∠BDE＝∠CFD.試說(shuō)明 : BD·DC = BE·CF

練習(xí)、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BA延長(zhǎng)線于E，求證：DE?DC?EA?BD

D

C2、已知如圖，∠A=90°，D是AB上任意一點(diǎn)，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB，求證：AD=BF3、已知等腰直角△ABC中，BD?

B

D

A

1AB,AE?AC，求證：∠ADE=∠EBC。3

3練習(xí)、已知等腰直角△ABC中，AM∶MN∶NC=3∶1∶2，求證：∠CBN=∠ABM

E

C

B4、已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在CB和CB的延長(zhǎng)線上，∠BAE＝∠ADB．求證：AB2＝CD·BE．

B

C

E

練習(xí)、已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長(zhǎng)線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

5、已知如圖，△ABC中AD是∠A的平分線，E是AB的中點(diǎn)，EF⊥AD交BC延長(zhǎng)線于F，求證：DF?CF?BF

F D C

練習(xí)、△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP

交AC于E，交CF于F，求證：BP?PE?PFF

D C6、已知如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，求證：BC2?2AC?CD

C

練習(xí)

3、已知：在△ABC中，∠

BAC＝90°，點(diǎn)D為BC上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線DF，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E．求證：BC2＝4DE·DF．

A CE

鞏固練習(xí)

F1、如圖△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°，D、B、C、E共線，則圖中有相似三角形的個(gè)數(shù)至少為（）(A)一對(duì)(B)二對(duì)(C)三對(duì)(D)四對(duì)

?

?ABC，?C?90,CD?AB于D，延長(zhǎng)CB到E，使BE?CB。

2、已知：如圖，求證：?BAE??BED。

3、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE為AC的中線，延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)于F，求證：AB·AF=AC·DF。

4、已知：如圖，D、E是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC，求證：BD:BA=DE:EC5、已知：如圖，在△ABC中EF是BC的垂直平分線，AF、BE交于一點(diǎn)D，AB=AF。求證：AD=DF。

6、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一點(diǎn)，CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB7、如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連接并延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F，連接DC、BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°。⑴寫(xiě)出圖中3對(duì)相似三角形（注意：不得添加字母和線）⑵請(qǐng)?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x取1對(duì)，說(shuō)明它們相似的理由。A、如圖，在△ABC中，DF經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，連接EF，如果BC=5，AC=2AB.求證:△DEF∽△ABC

F