第一篇：相似復習教案

相似復習教案

教學目標：

知識與技能目標：

1.加深了解比例的基本性質、線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質； 2.理解相似圖形的性質與判定、位似的性質與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的坐標的變化規(guī)律.過程與方法目標：1.經歷知識探究的過程，使學生將實際問題轉化為相似三角形這一數(shù)學模型，達到熟練、靈活運用；在解決實際問題的過程中,提高學生建立數(shù)學模型的能力.2.經歷對圖形的觀察、探究、交流、歸納的的過程，提高同學們的畫圖能力和對圖形的感知意識．

情感態(tài)度與價值觀：在教學活動中發(fā)展學生的轉化意識和探究合作交流的習慣；更進一步地體會相似三角形的實際應用價值；讓學生深刻地體會到數(shù)學來源于生活,又應用到生活中, 增加學生應用數(shù)學知識解決實際問題的經驗和感受；提高學生對圖形的感知水平，發(fā)展學生的審美意識． 教學重點：利用相似三角形性質和判定的知識解決實際的問題；位似的應用及在平面直角坐標系中作位似圖形

教學難點：如何把實際問題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學模型.教學過程：

一、教師引入本節(jié)課課題，學生自主復習，然后小組內自主交流總結知識點。教師深入學生中查看完成的情況．記錄下所出現(xiàn)的問題，以便集中處理．找學生展示學習成果．

教師給與點評和分析，同時就剛才檢查過程中發(fā)現(xiàn)的問題處理好，就本單元所用知識一并總結．

根據(jù)學生的復習情況，師生共同總結本章重要知識點并多媒體展示。

二、銜接中考，強調重要知識點一，即對應角相等，對應邊成比例。

知識點一：

并提出例題，及時強化。給予學生充分的思考時間。學生自主思考，完成練習。

練習：如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求∠ D、∠G的大小和EH的長度。

知識點二：相似三角形的性質和判定

多媒體出示重要知識點，給予學生充分地時間，把自己整理的知識點有遺漏的補充完整。對于5號6號學生給予時間對其進行強化記憶。

多媒體出示相似三角形性質和判定的中考題，學生自主思考，小組討論，教師行間巡視，及時解決問題，及時了解學生的出錯點和難點。

教師提出問題，學生開始解答． 對于問題6，學習小組可展開討論，最后小組推舉出代表敘述解答本題的思路．

教師聽取后，及時地補充、完善、鼓勵，最后給出題目的詳細講解．

教師出示，點撥解決思路，學生書寫解題的過程，并總結解決此題所用到的知識點有哪些.知識點三：位似

1、兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，這樣的相似叫做位似,點O叫做位似中心．

2、利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小 位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律: 在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k.知識點出示后，及時出示中考題進行練習。

教師出示例題，學生嘗試獨立完成；教師展示個別同學的成果

三、課堂小結：這節(jié)課你學會了什么？你的收獲是什么？

四、達標檢測：

2.如圖，矩形ABCD中，m為BC上一點.DE⊥Am于E，若AB=6，AD=20，Bm=8，求DE的長．

3.（2015德州）

如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD?BC=AP?BP．

（2）探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．（3）應用 請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A，設點P的運動時間 為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

當堂達標在課堂上要及時進行反饋，尤其第三題是2015德州中考題，很具有代表性，學生自主思考，小組合作后，學生如有困難，教師可給予思路的引導和適當?shù)膸椭?，此題需要做出重點講解。

五、作業(yè)布置 作業(yè)布置：

必做題：導訓52頁：

1、8題

53頁14題

選做題：

57頁16題

學生認真完成作業(yè)，進一步鞏固知識．

第二篇：相似三角形復習教案

相似三角形復習教案

教學目標: 本課為相似三角形專題復習課，是對本章基本內容復習基礎上的深化，通過對一個題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個基本模型展開，由淺入深對相似三角形進行，同時結合數(shù)學中的方程思想，分類思想，模型思想，數(shù)形結合思想等拓展深化.教學重點:相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復習.教學難點: 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學過程: 練習:1.如圖，AB＞AC，過D點作一直線與AB相交于 點E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動點，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關系為____________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過找相似三角形，讓學生體會基本圖形的應用。并通過對這個題目的演變，將本課內容提要呈現(xiàn)出來.例1：在平面直角坐標系中，兩個全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點A、C’在y軸上，點A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請簡要說明理由 在上述條件下，設點B、C’ 的坐標分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點O逆時針旋轉90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過C、A、A’，求此拋物線的解析式及對稱軸；

（2）設拋物線的對稱軸交x軸與點M，P為對稱軸上的一動點，求當∠APC=90°時的點P坐標.本題主要是應用一線三直角這個基本圖形，從而利用相似三角形的對應邊關系求解，在教學過程中對P點的位置應作說明，可借助于幾何畫板演示.【變一變】線段BM上是否存在點P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點P坐標，如不存在，請說明理由.本例讓學生進一步應用基本圖形，同時體會到數(shù)學思想——分類思想的應用.【拓展一】若點N是第一象限內拋物線上的一動點，當

∠NAA’=90°時，求N點坐標.通過添加一條輔助線構造一線三直角來提升對學生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學生提高解題的能力.【拓展二】點N是拋物線的頂點，點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線繞Q點旋轉180°后得到新拋物線的頂點為M，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點M、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

/本例難度較大，通過引導讓學生知道本題仍然可通過構造一線三直角的模型來解決，因為要添加較多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來，從而讓學生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節(jié):對本節(jié)課復習模型的整理;相似應用的技巧梳理;學生疑惑的交流.

第三篇：相似三角形復習課教案

《相似三角形》復習課教案

城區(qū)二中 章松巖

目的：使學生掌握相似三角形的判定和性質和應用，并能靈活運用。重點：相似三角形的判定和性質和應用。難點：相似三角形的靈活運用。教法：三疑三探。教具：多媒體。過程：

課前熱身：時間為3分鐘

1、根據(jù)下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21

(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°

2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比為，則△ABC 與△A′B′C′的周長比為＿＿對應高的比為＿＿對應中線的比為＿＿對應角平分線的比為＿＿面積比為＿＿。提問學生后教師簡單總結,并讓學生說說本單元的復習任務是什么？ 相似三角形的判定

（1）兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似。（2）三邊對應成比例，兩個三角形相似。（3）兩角對應相等，兩個三角形相似。相似三角形的性質

（1）相似三角形對應邊成比例，對應角相等。（2）相似三角形的周長比等于相似比。

（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的對應邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比。要求學生讀幾遍。介紹相似三角形的應用： 相似三角形的應用：

１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）； ２、利用三角形相似，求線段的長等；

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。課堂搶答：

１、D是△ABC的邊AB上的點, 請你添加一個條件，使△ACD與△ABC相似, 這個條件是（）

２、如果一個三角形三邊長分別為5、12、13,與其相似的三角形最大邊長是39，則該三角形最短的邊長為（）

３、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延長線上的一點，ＤＥ交ＢＣ于點Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，則△ＢＥＦ與△ＣＤＦ的周長比為（）；若△ＢＥＦ的面積為８平方厘米，則△ＣＤＦ的面積為（）

４、如圖，鐵道口的欄桿的短臂長1米，長臂長16米，當短臂端點下降0.8米時，長臂端點升高（）（桿的寬度忽略不計）

５、如圖，身高為1.6m的某同學想測量一棵大樹的高度，她沿樹影BA由B向A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹高為（）

A、4.8m

B、6.4m

C、8m

D、10m 競賽角

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點，ED交CB的延長線于F。求證：BD·CF=CD·DF 證明：∵CD⊥AB，E為AC的中點

∴ DE=AE

∴∠EDA=∠A

∵ ∠EDA=∠FDB

∴∠A=∠FDB

∵∠ACB= Rt ∠

∴ ∠A=∠FCD

∴ ∠FDB=∠FCD

∵ △FDB∽△FCD

∴ BD：CD=DF：CF

∴ BD·CF=CD·DF 中考鏈接：

在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？

大膽質疑：

通過本節(jié)課的學習同學們還有什么疑問或新的發(fā)現(xiàn)請大膽提出來？ 教師預設：

某社區(qū)擬籌資金2000元，計劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖）他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元 ／米2的太陽花，當△AMD地帶種滿花后，已經花了500元，請你算一下，若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽花，資金是否夠用？并說明理由。

小結：

通這一節(jié)的復習之后你有哪些收獲？

（1）掌握相似三角形的判定方法及性質；

（2）能靈活運用相似三角形的判定方法及性質進行計算或證明；（3）利用相似解決一些實際問題

（4）分類討論思想： 遇到沒有明確指明對應關系的三角形相似時，要注意考慮對位相似和錯位相似兩種情況，采取分類討論的方法解決問題.作業(yè)：

1、必做題：學習指導第82頁2,3,5題。

2、選做題： 板書設計： 教后記：

相似三角形復習課教案

城區(qū)二中

章松巖

2013年1月8日

教后反思

結合上課時的感受及課后評課，我對這節(jié)課作出如下反思： 成功地方：

1．能科學運用三疑三探模式上課。

2．能有效開展小組活動。充分發(fā)揮小組協(xié)作功能。

3．注重學生動口動手能力的培養(yǎng)，教師只起輔助引導作用。不足地方：

1.課前可創(chuàng)設問題情境，結合日常生活實際設計一個問題。2.課前熱身習題可設計成學案的形式。3.學生評價素質有待于進一步提高。

4.部分習題處理過快影響了中差生的學習。5.中招鏈接題因為時間關系為處理。6.竟賽角題目設計過難。7.教師未使用普通話。整改措施：

1.復習期間認真?zhèn)浜脧土曊n。2.注重發(fā)揮教研組集體協(xié)作功能。

3.注重數(shù)學思想方法的教學，注重講題的效果，注重總結歸納解題方法。4.精選習題，不搞題海戰(zhàn)術。5.注重批改，反饋，考后總結。6.注意培優(yōu)補差，努力降低過差率。

第四篇：相似三角形復習教案

設計意圖：

1、通過學生對一道中考題的解答，讓學生認識到有時利用相似三角形解決問題較簡便。

2、以小題目的形式來回顧梳理相似三角形的基本圖形，并重點得到“三垂直型”；

使學生熟練掌握基本題型。

3、通過變式訓練讓學生感受圖形從一般到特殊的變化；感受到題目的多解性；提高培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。

4、通過拓展訓練讓學生感受圖形從特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加強學生對圖形的感覺。

5、通過課堂及作業(yè)訓練學生會用分類思想解決問題；鞏固“三垂直型”和 “三角相等型”。設計方案：

一、情境：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）

A．1 B．

C． D．2（檢查學生做的情況，大部分學生利用勾股定理計算。）

這道題目也可以利用相似三角形來計算。有時利用相似三角形解決問題較簡便。今天我們復習相似三角形。（出示課題）

二、梳理相似三角形基本圖形： 在我們學習相似三角形這一章時同學們做了許多題目，今天我們來回顧一下，看看他們之間有沒有聯(lián)系，同時檢驗一下同學們對圖形的感覺。

1、如圖（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，則DE=____(2)如圖（2）若CE=，則DE=____.2、如圖（3），在⊿ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，則CD的長為（）

，（A）1（B）2（C）（D）

3、如圖（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，則BD的長為（）

（A）36（B）16（C）6（D）

4、如圖，F(xiàn)、C、D共線，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，F(xiàn)C=9,則EF的長為（）

（A）6（B）16（C）26（D）

（這四道題目先留時間給學生在下面做，再讓一個學生上黑板講解。）由這四條題目讓學生感受圖形從一般到特殊的變化。

歸納小結相似三角形的基本圖形：

“A”型 公共角型 公共邊角型 雙垂直型 三垂直型

（母子型）（母子、子子型）

“X”型 蝴蝶型

（老師在黑板上逐一畫出基本圖形）

三、學生探究：

1、在△ ABC中，AB>AC，過AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.變式：在Rt△ABC中，∠C=90?，?SPAN>AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.（先讓學生在下面畫，再讓一個學生上黑板畫、其他學生上黑板補充）讓學生感受圖形從一般到特殊變化時，題目的答案從四解減少到三解。

2．如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，則圖中與△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF

變式：如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，若使圖中△BEF與△ABE相似，需添加條件：。

（讓學生感受三垂直型）

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點P在BC邊上，若△ABP與△DCP相似?！鰽PD一定是（）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形 變式： 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若點P在BC邊上，則△ABP與△DCP相似的點P有 個。

（進一步讓學生感受“三垂直型”，并提醒學生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD

（將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。）

2、如圖，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點P，作射線PE⊥PD，與線段AB交于點E.（1）試確定CP=3時點E的位置；

（2）若設CP=x，BE=y，試寫出y關于自變量x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍.（作輔助線：過點D作DH⊥BC于H。構造“三垂直型”）

五、課堂小結：

我們要善于在題目中發(fā)現(xiàn)和構造基本圖形，利用相似三角形解決問題。從“三垂直型”到“三角相等型”我們會發(fā)現(xiàn)有很多題目中都隱藏著到“三角相等型”，只要我們善于歸納總結，就不難發(fā)現(xiàn)題目之間的聯(lián)系，就會將題目歸類。在解題時我們還要注意到特殊情況和多解的情況。

六、作業(yè)：

1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，點P在AB上滑動。若△DAP與△PBC相似，且 AP= 求PB的長。

（本題有兩解）

，2、已知：點D是等邊三角形ABCBC邊上任一點，∠EDF=60啊?/SPAN> 求證：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．（本題有兩解）

教學后記：

本節(jié)課用一道中考題做引例既說明有時利用相似三角形解決問題較簡便，同時又提高了學生的關注度。前面放了足夠的時間讓學生做、學生講基本題，照顧了差生，但由于節(jié)奏慢了一點點，后面拓展中的第2題（構造“三垂直型”）課上沒有時間講了（一點遺憾）。在學生探究中，這三條題目以及它們的變式每個學生都積極去思考了，尤其在第2題的變式中，當學生添加了有關角的條件后，我再問：可以添加有關線段的條件嗎？當學生添加了有關比例線段的條件后，我又追問：可以添加角和比例線段以外的條件嗎？幾個學生又能想到：添點E是AD的中點。（是這節(jié)課的一個高潮）。第3題，我在課件上將選擇題改成了填空題，學生異口同聲地回答：直角三角形。這時我再給出選擇，學生一看，又想到了等腰三角形時△ABP與△DCP全等，是相似的特殊情況。（這樣的設計學生的印象深刻）。在最后的拓展中，將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。（是這節(jié)課的又一亮點）?？傊?，本節(jié)課有相似三角形的基本圖形的梳理；通過圖形的不斷變化，讓學生感受到圖形之間的聯(lián)系、題目之間的聯(lián)系?！叭怪毙汀钡奶岢鍪菍W生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型” 讓學生感受到數(shù)學的學習從薄到厚，又從厚到薄的過程。培養(yǎng)學生善于歸納總結，將題目歸類，會用數(shù)學思想解決問題。教學目標基本達到。

教學心得： 我認為，數(shù)學復習課沒有一個基本公認的課堂教學模式。復習課并非單純的知識的重述，而應是知識點的重新整合、深化、升華。復習課更應重視發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，鞏固舊知，是為了獲取新知，同時，要盡可能兼顧每一位不同學習層次的學生，要讓每一個學生都有所得。讓不會的學生會，讓會的學生熟，讓熟的學生精，讓學生逐步走出“以題論題”的困境，達到“以題論法”，從而實現(xiàn)“以題論道”。在課堂上，我們不僅要考慮到老師怎么講，還要考慮到學生怎么學。讓學生感覺到復習課不僅僅是知識的回顧、題目的重復，還要感覺到自己站得更高了，以前做過的題目有好多都是有聯(lián)系的，題目由多變少了。讓我們根據(jù)不同的內容、不同的學生設計出更加有效的復習課，提高學生的綜合素質。

第五篇：相似教案

相似

1．成比例線段

用同一長度單位度量兩條線段所得量數(shù)的比叫做這兩條線段的比．

如果線段a和b的比等于線段c和d的比，那么線段a，b，c，d叫做成比例線段，記作ac?或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前項，b，d叫做比的后項，b，c叫做比例內bd若項，a，d叫做比例外項，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形周長比等于相似比；

(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 6．相似多邊形的性質

(1)相似多邊形的對應角相等；

(2)相似多邊形對應邊的比等于相似比；(3)相似多邊形周長的比等于相似比；

(4)相似多邊形面積的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例線段

如圖13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，則(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三對相似三角形)；

圖13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用時要證明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用時要證明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用時要證明)8．位似

(1)如果兩個多邊形相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這兩個多邊形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

(2)如果兩圖形F與F′是位似圖形，它們的位似中心是點O，相似比為k，那么

①設A與A′是一對對應點，則直線AA′過位似中心O點，并且②設A與A′，B與B′是任意兩對對應點，則

OA?k.OA'AB?k若直線AB，A′B′不通過位A?B?似中心O，則AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以將一個圖形放大或縮?。?/p>

(4)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k． ．．．．9．相似圖形的應用

二、例題分析

例

1已知：如圖13－2，點P是邊長為4的正方形ABCD內一點，PB＝3，BF⊥BP于點B，試在射線BF上找一點M，使得以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，作圖并指出相似比k的值．

圖13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，只要使夾∠ABP及∠CBF的兩邊對應成比例．

解

如圖13－3．

圖13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即?，BM1＝3時，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． ?3BPAB44BM2BCBM2416當即??,BM2?時，△CBM2∽△PBA．相似比k?? 4ABBP33316∴當BM＝3或BM?時，以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，相似比分

3當4別為1和?

3說明

(1)對于探究三角形相似的條件這類問題，可從“角的關系在先、邊的關系在后”的思維順序入手，由于題目條件中只有一組對應角相等，因此就考慮這組對應角的四條線段何時對應成比例，由于點C可以與點A對應(此時點M與點P對應)，點C也可以與點P對應(此時點M與點A對應)，因此有兩種情形．

(2)注意當相似比k＝1時，兩個相似圖形全等，因此，全等圖形是相似圖形的特例． 例

2已知：如圖13－4，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q

圖13－4

(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

?PB?PR,PC1?? RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵點R是DE中點，∴DR＝RE．

?PQPCPC1???,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 說明

(1)如圖13－5，“若DE∥BC，則△ADE∽△ABC”．這是用平行線截得三角形構成相似三角形，得到成比例線段常見的基本圖形結構．

圖13－5(2)對于例2，還可進一步思考研究其他問題，例如，在已知條件不變的前提下，若△PCQ的面積為S，你能用含S的代數(shù)式分別表示圖13－4中其他各圖形的面積嗎?并說明你的理由．

(1)△BPC的面積＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面積＝______．理由是__________________________________________；(3)四邊形PCER的面積＝______．理由是____________________________________；(4)四邊形APRD的面積＝______．理由是____________________________________； ??

例3 如圖13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為下底BC上一點(不與B，C重合)，連接AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

圖13－6(1)你認為圖中哪兩個三角形相似，為什么?(2)當點P在底邊BC上自點B向C移動的過程中，是否存在一點P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“兩角對應相等，兩三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BC?AD?2，腰長AB＝CD＝2CF＝4，這樣原2問題轉化為在底邊BC上是否存在一點P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假設存在P點，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CE?CEPC＝6．

設BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

當BP＝1或BP＝6時，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如圖13－7，正方形ABCD的邊長為4，M，N分別是BC，CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．

圖13－7(1)求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)設BM＝x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

(3)當M點運動到什么位置時，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，?ABBM4x，即???

MCCN4?xCN?x2?4x?CN??

4?y?S梯形ABCN1?x2?4x??4(?4)2411??x2?2x?8??(x?2)2?10.22當x＝2時，y取最大值，最大值為10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB?? MNBMAMAB?? MNMC∴BM＝MC．

∴當點M運動到BC的中點時，△ABM∽△AMN，此時x＝2．

例5 如圖13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，點E是邊CD上的動點(點E不與端點C，D重合)，AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P．

圖13－8

(1)設DE＝m(0＜m＜12)，試用含m的代數(shù)式表示(2)在(1)的條件下，當

FH的值； HGFH1?時，求BP的長． HG2解

(1)如圖13－9，過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N點．在正方形ABCD中，圖13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH ?HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中點． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中點． ?11DE?x.22由已知，不難得出四邊形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． ?MH??HN?12?1x.21mFHMHm2????，1HGHN24?m12?m2其中0＜m＜12．

FH1m1?時，?，解得m＝8． HG224?m2欲求BP的長，只要求AP的長．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2? ?AE?413,AH?213,sin?EAD?13(2)當∵FP⊥AE于點H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH?13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

說明

(1)在解

(2)在解

圖13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

?DEEF?? HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即ab?a?,得ac＝(b－a)(b－c)． b?cc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈爾濱市)已知菱形ABCD的邊長是6，點E在直線AD上，DE＝3，連接BE，與對角線AC相交于點M，則解

MC的值是______． AM2? 3提示

注意題中給出的“點E在直線AD上”這個條件，因此有兩種情況．

MCBC??2；(2)AMAEMCBC2??? 點E在AD的延長線上時，如圖13－13(b)，△CMB∽△AME，?AMAE3(1)點E在線段AD上時，如圖13－13(a)，△CBM∽△AEM．?

圖13－13

四、課標考試達標題(一)選擇題

1．如圖13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，F(xiàn)D分別交BC于點G，H，則圖中共有相似三角形（）．

圖13－14 A．4對

B．5對 C．6對

D．7對

2．如圖13－15所示，小剛身高AB為1.7m，測得他站立在陽光下的影子AC長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子AD長為1.1m，那么小剛舉起的手臂BE超出頭頂

（）．

圖13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如圖13－16，在△ABC中，AB＞AC，過AC邊上一點D作直線與AB相交，使得構成的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）．

圖13－16 A．1條

B．2條 C．3條

D．4條

4．如圖13－17，王華同學晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，他繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）．

圖13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如圖13－18，在8×8正方形的網格上，若使△ABC∽△PBD，則點P應在（）．

圖13－18 A．P1處

B．P2處 C．P3處

D．P4處

6．如圖13－19，把△PQR沿著PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它們重疊部分的面積是△PQR面積的一半，若PQ＝2，則此三角形移動的距離PP′是（）．

圖13－19 A．1 2B．

C．1

D．2?1

(二)填空題

7．已知：如圖13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面積等于81，則四邊形BCED的面積為______．

圖13－20 8．如圖13－21，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，點G，H在DC邊上，BC＝12，GH?1DC.若AB＝10，則圖中陰影部分的面積為______． 2

圖13－21 9．如圖13－22，△ABC與△A′B′C′的位似中心為點O，若AB＝2，A′B′＝5，則△ABC與△A′B′C′的面積比是______，AC與A′C′的比是______．

圖13－22 10．如圖13－23，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作

11．如圖13－24，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，連接DE并延長交BC的延長線于點F，連接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，寫出圖中三對相似三角形(注意：不得加字母和線)；請在你所找出的相似三角形中選取一對，說明它們相似的理由．

圖13－24

12．如圖13－25，在□ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點，且∠BFE＝∠C．

圖13－25(1)求證：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的長；

(3)在(1)、(2)的條件下，若AD＝3，求BF的長．(計算結果可含根號)

13．如圖13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．

圖13－26(1)求梯形ABCD的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值；

(3)試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，寫出正方形MEFN的面積．

參考答案