第一篇：難點31數(shù)學歸納法解題（定稿）

中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

難點31數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(an2+bn+c).1

2●案例探究

·a.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?

3111}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.SnS12技巧與方法：求通項可證明{

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11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)2

22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 3

212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?12?同理可得：a

=－,由此可推出：a=.具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()

A.30B.26C.36D.6

2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=

4二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納出_________.22342323

44.(★★★★)已知a1=

三、解答題 3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.an?

325.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.與13

S2n＜那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12

(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)

?f(k+1)能被36整除

∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.11713 ???2?12?21224

11113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k246.證明：(1)當n=2時，則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1

131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?2

13113???242(2k?1)(k?1)24

?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2)與?k?1(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1

111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立 43k?23k?1

由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 33

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－9, 2

an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－1nq(n=1,2,3,…)

第二篇：高考數(shù)學難點之數(shù)學歸納法解題.doc

高考數(shù)學難點之數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=

n(n?1)(an2+bn+c).12b,c=bq(q＞0且q≠1)qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

222

22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，241k+1k+1k1(a+c+a·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

222＞［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論；

用心

愛心

專心

1成等比數(shù)列.2(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通錯解分析：(2)中，Sk=－SnS12項公式.解：∵an,Sn,Sn－12成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－12)(n≥2)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23 由a1=1，a2=－23,S3=13+a3代入(*)式得：a3=－215 ?1(n?1)同理可得：a4=－235,由此可推出：a?n=?2???(2n?3)(2n?1)(n?1)(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.②假設n=k(k≥2)時，a2k=－(2k?3)(2k?1)成立

故S2k2=－(2k?3)(2k?1)·(Sk－12)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=112k?1,Sk??2k?3(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－12),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－12)?1(2k?1)2?a2k?1?2ak?12k?1?a2k?1?ak?12k?1?12ak?1?a?2

k?1?[2(k?1)?3][2(k?1)?1],即n?k?1命題也成立.?1(n?1)由①②知，a?n=?2對一切n∈N成立.???(2n?3)(2n?1)(n?2)用心

愛心

專心

(*)

(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=●錦囊妙記

(1)數(shù)學歸納法的基本形式

1,∴S=limSn=0.n??2n?1設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應用

具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30 A.n=1 B.26 B.n=2

C.36 C.n=3

D.6 D.n=4 2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）

二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納2234232343an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想

a?32n

11113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+較Sn與

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比bn1logabn+1的大小，并證明你的結論.38.(★★★★★)設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，用心

愛心

專心 又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點磁場

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(3n2?11n?10)12k(k?1)(3k2+11k+10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設n=k時上式成立，即Sk=那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2===k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2(k?1)(k?2)(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.用心

愛心

專心 答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當n=1時，42

×1+1

+31+2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.6.證明：(1)當n=2時，11713 ???2?12?2122411113 ?????k?1k?22k24(2)假設當n=k時成立，即則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)d?310b?d?145?1?2?用心

愛心

專心(2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+而(1+11)+…+loga(1+)43n?211)…(1+)］ 43n?2111logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341)與33n?1的大小.3n?2取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+3k?233k?1

3k?13k?23?(3k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)?3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

用心

愛心

專心 兩式相除，得an1?,即an+2=q·an an?2q于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k

?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－

－1

則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.1kq,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k

當n?2k時(k?N)??q ?2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－1(q+q2+…+qn)22(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知

4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5用心

愛心

專心

第三篇：教案-設數(shù)解題法

君子欲訥于言而敏于行

敏行教育-設數(shù)法解題

一、知識要點

在競賽中，常常會遇到一些看起來缺少條件的題目，按常規(guī)解法似乎無解，但仔細分析就會發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件對于答案并無影響，這時就可以采用“設數(shù)代入法”，即對題目中“缺少”的條件，隨便假設一個數(shù)代入（當然假設的這個數(shù)要盡量的方便計算），然后求出解答。

二、精講精練

【例題1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）個△?！窘馕觥?由第一個等式可以設△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號內(nèi)應填4。

練習1：已知△＝□□，△○＝□□，☆＝□□□，問△□☆＝（）個○。

【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5，問一張門票降價多少元？

【解析】初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個條件，實際上觀眾人數(shù)于答案無關，我們可以隨便假設一個觀眾數(shù)。為了方便，假設原來只有一個觀眾，收入為15元，那么降價后有兩個觀眾，收入為15×（1+1/5）＝18元，則降價后每張票價為18÷2＝9元，每張票降價15－9＝6元。即：

15－15×（1+1/5）÷2＝6（元）答：每張票降價6元。

說明：如果設原來有a名觀眾，則每張票降價： 15－15a×（1+1/5）÷2a＝6（元）

練習2：某班一次考試，平均分為70分，其中3/4及格，及格的同學平均分為80分，那么不及格的同學平均分是多少分？

君子欲訥于言而敏于行

【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200米，求小王的平均速度。

【解析】題中四個速度的最小公倍數(shù)是1200，設一個單程是1200米。則（1）四個單程的和：1200×4＝4800（米）（2）四個單程的時間分別是；

1200÷200＝6（分）

1200÷240＝5（分）1200÷200＝6（分）1200÷150＝8（分）

（3）小王的平均速度為：4800÷（6+5+8+6）＝192（米）

練習3：小華上山的速度是每小時3千米，下山的速度是每小時6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。

【例題4】某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，這個班男孩平均身高是多少？

【解析】題中沒有男、女孩的人數(shù)，我們可以假設女孩有5人，則男孩有6人。（1）總身高：115×【5+5×（1+1/5）】＝1265（厘米）

（2）由于女孩平均身高是男孩的（1+10％），所以5個女孩的身高相當于5×（1+10％）＝5.5個男孩的身高，因此男孩的平均身高為：

1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米）

練習4：某班男生人數(shù)是女生的2/3，男生平均身高為138厘米，全班平均身高為132厘米。問：女生平均身高是多少厘米？

【例題5】狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問狗再跑多遠，馬可以追到它？

【解析】馬跑一步的距離不知道，跑3步的時間也不知道，可取具體數(shù)值，并不影響解題結果。

設馬跑一步為7，則狗跑一步為4，再設馬跑3步的時間為1，則狗跑5步的時間為1，推知狗的速度為20，馬的速度為21。那么，20×【30÷（21－20）】＝600（米）

君子欲訥于言而敏于行

練習5：獵狗前面26步遠的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗只跑5步，但兔跑9步的距離僅等于狗跑4步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？

課后作業(yè)：

周天練習：

1.五個人比較身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲與戊誰高，高幾厘米？

2．甲、乙、丙三個倉庫原有同樣多的貨，從甲倉庫運60噸到乙倉庫，從乙倉庫運45噸到丙倉庫，從丙倉庫運55噸到甲倉庫，這時三個倉庫的貨哪個最多？哪個最少？最多的比最少的多多少噸？

周一練習：

1．游泳池里參加游泳的學生中，小學生占30％，又來了一批學生后，學生總數(shù)增加了20％，小學生占學生總數(shù)的40％，小學生增加百分之幾？

2．五年級三個班的人數(shù)相等。一班的男生人數(shù)和二班的女生人數(shù)相等，三班的男生是全部男生的2/5，全部女生人數(shù)占全年級人數(shù)的幾分之幾？

周二練習：

君子欲訥于言而敏于行

1．張師傅騎自行車往返A、B兩地。去時每小時行15千米，返回時因逆風，每小時只行10千米，張師傅往返途中的平均速度是每小時多少千米？

2．小王騎摩托車往返A、B兩地。平均速度為每小時48千米，如果他去時每小時行42千米，那么他返回時的平均速度是每小時行多少千米？

周三練習：

1．某班男生人數(shù)是女生的4/5，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？

2．一個長方形每邊增加10％，那么它的周長增加百分之幾？它的面積增加百分之幾？

周四練習：

1．獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。已知獵狗跑2步的時間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠，獵狗可以追到它？

2．狗和兔同時從A地跑向B地，狗跑3步的距離等于兔跑5步的距離，而狗跑2步的時間等于兔跑3步的時間，狗跑600步到達B地，這時兔還要跑多少步才能到達B地？

第四篇：數(shù) 列 教 學 重 難點

數(shù) 列 教 學 重 難點

一、重 點：

1、概念，通項公式，會運用歸納法猜測數(shù)列的通項公式，已知數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的任意一項；

2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。

3、等差數(shù)列的概念，通項公式；性質；會進行知三求二的基本量的運算，能運用定義和通項公式推出等差數(shù)列的相關性質并能準確應用；同時會用類比方法得到等比數(shù)列的相關定義，通項，性質，并能比較鑒別；

4、等差數(shù)列n項和公式。要明白公式的推導過程，特別是將方法上升到理論；能熟練運用求和公式進行基本量的運算；知道等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)解析式間的關系，并能利用其中的關系研究等差數(shù)列的性質，如最值問題；

5、等比數(shù)列的定義及通項公式，等比中項的理解與應用。

6、等比數(shù)列的前n項和公式推導，進一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式

二、數(shù)列教學的難點：

1、根據(jù)數(shù)列的前n項觀察、歸納數(shù)列的一個通項公式。

2、理解遞推公式與通項公式的關系。

3、等差數(shù)列的性質，靈活應用等差數(shù)列的定義及性質解決一些相關問題。

4、靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題。

5、靈活應用求和公式解決問題，靈活應用定義式及通項公式解決相關問題。

6、靈活應用等比數(shù)列定義、通項公式、性質解決一些相關問題。三：認識

1、數(shù)列，特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，有著較為廣泛的實際應用。如各種產(chǎn)品尺寸常要分成若干等級，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級，比如鞋的尺碼；當其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(這種情況是多數(shù))，常按等比數(shù)列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等。

2、數(shù)列在整個中學數(shù)學教學內(nèi)容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而數(shù)列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用。

3、由于不少關于恒等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數(shù)學問題都與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關，學習這一章便于對學生進行綜合訓練，從而有助于培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題的能力。

第五篇：〓高考物理 〓難點25 數(shù)形結合思想與圖象法解題

難點25 數(shù)形結合思想與圖象法解題 數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想方法，在物理解題中有著廣泛的應用，圖象法解題便是一例.在高考命題中屢次滲透考查.●難點磁場

1.（★★★）(1999年全國高考)為了安全，在公路上行駛的汽車之間應保持必要的距離.已知某高速公路的最高限速v＝120 km／ｈ.假設前方車輛突然停止，后車司機從發(fā)現(xiàn)這一情況，經(jīng)操縱剎車，到汽車開始減速所經(jīng)歷的時間(即反應時間)t＝0/.50ｓ.剎車時汽車受到的阻力大小f為汽車重力的0.40倍.該高速公路上汽車間的距離ｓ至少應為多少?（取重力加速２度g＝10 m/s.）

2.（★★★★）一列簡諧橫波，在t=0時刻的波形如圖25-1所示，自右向左傳播，已知在t1=0.7 s時，P點出現(xiàn)第二次波峰（0.7 s內(nèi)P點出現(xiàn)兩次波峰），Q點的坐標是（-7，0），則以下判斷中正確的是

A.質點A和質點B在t=0時刻的位移是相等的

B.在t=0時刻，質點C向上運動 C.在t2=0.9 s末，Q點第一次出現(xiàn)波峰 D.在t3=1.26 s末，Q點第一次出現(xiàn)波峰

圖25-1 ●案例探究 ［例1］（★★★★）一顆速度較大的子彈，水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊，設木塊對子彈的阻力恒定，則當子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

A.木塊獲得的動能變大

B.木塊獲得的動能變小

C.子彈穿過木塊的時間變長

D.子彈穿過木塊的時間變短 命題意圖：考查對物理過程的綜合分析能力及運用數(shù)學知識靈活處理物理問題的能力.B級要求.錯解分析：考生缺乏處理問題的靈活性，不能據(jù)子彈與木塊的作用過程作出v-t圖象，來作出分析、推理和判斷.容易據(jù)常規(guī)的思路依牛頓第二定律和運動學公式去列式求解，使計算復雜化，且易出現(xiàn)錯誤判斷.解題方法與技巧：子彈以初速v0穿透木塊過程中，子彈、木塊在水平方向都受恒力作用，子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運動，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25-2中實線所示，圖中OA、圖25-2 v0B分別表示子彈穿過木塊過程中木塊、子彈的運動圖象，而圖中梯形OABv0的面積為子彈相對木塊的位移即木塊長l.當子彈入射速度增大變?yōu)関0′時，子彈、木塊的運動圖象便如圖25-2中虛線所示，梯形OA′B′v0′的面積仍等于子彈相對木塊的位移即木塊長l，故梯形OABv0與梯形OA′B′v0′的面積相等，由圖可知，當子彈入射速度增加時，木塊獲得的動能變小，子彈穿過木塊的時間變短，所以本題正確答案是B、D.［例2］（★★★★）用伏安法測一節(jié)干電池的電動勢和內(nèi)電阻，伏安圖象如圖25-3所示，根據(jù)圖線回答：（1）干電池的電動勢和內(nèi)電阻各多大？

（2）圖線上a點對應的外電路電阻是多大？電源此時內(nèi)部熱耗功率是多少？

（3）圖線上a、b兩點對應的外電路電阻之比是多大？對應的輸出功率之比是多大？

（4）在此實驗中，電源最大輸出功率是多大？

命題意圖：考查考生認識、理解并運用物理圖象的能力.B級要求.圖25-3 錯解分析：考生對該圖象物理意義理解不深刻.無法據(jù)特殊點、斜率等找出E、r、R，無法結合直流電路的相關知識求解.解題方法與技巧：利用題目給予圖象回答問題，首先應識圖（從對應值、斜率、截面、面積、橫縱坐標代表的物理量等），理解圖象的物理意義及描述的物理過程：由U-I圖象知E=1.5 V，斜率表內(nèi)阻，外阻為圖線上某點縱坐標與橫坐標比值；當電源內(nèi)外電阻相等時，電源輸出功率最大.（1）開路時（I=0）的路端電壓即電源電動勢，因此E=1.5 V，內(nèi)電阻r==0.2 Ω

也可由圖線斜率的絕對值即內(nèi)阻，有r=

U1.02.51.5?1.02.5EI短=

1.57.5 Ω

Ω=0.2 Ω

（2）a點對應外電阻Ra=

aIa= Ω=0.4 Ω

此時電源內(nèi)部的熱耗功率Pr=Ia2r=2.52×0.2=1.25 W，也可以由面積差求得Pr=IaE-IaUa=2.5×(1.5-1.0)W=1.25 W（3）電阻之比：RaRb=

1.0/2.50.5/5.0=

輸出功率之比：PaPb=

1.0?2.50.5?5.0=

11（4）電源最大輸出功率出現(xiàn)在內(nèi)、外電阻相等時，此時路端電壓U=E/2，干路電流 I=I短/2，因而最大輸出功率P當然直接用P也可以求出此值.●錦囊妙計

數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學方法，其應用大致可分為兩種情況：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系.圖象法解題便是一例.由于圖象在中學物理中有著廣泛應用：（1）能形象地表述物理規(guī)律；（2）能直觀地描述物理過程；（3）鮮明地表示物理量之間的相互關系及變化趨勢.所以有關以圖象及其運用為背景的命題，成為歷屆高考考查的熱點，它要求考生能做到三會：（1）會識圖：認識圖象，理解圖象的物理意義；（2）會做圖：依據(jù)物理現(xiàn)象、物理過程、物理規(guī)律作出圖象，且能對圖象變形或轉換；（3）會用圖：能用圖象分析實驗，用圖象描述復雜的物理過程，用圖象法來解決物理問題.出m

出m

=

1.52×

7.52 W=2.81 W =E/4r計算或由對稱性找乘積IU（對應于圖線上的面積）的最大值，2通常我們遇到的圖象問題可以分為圖象的選擇、描繪、變換、分析和計算，以及運用圖象法求解物理問題幾大類：

（1）求解物理圖象的選擇（可稱之為“選圖題”）類問題可用“排除法”.即排除與題目要求相違背的圖象，留下正確圖象；也可用“對照法”，即按照題目要求畫出正確草圖，再與選項對照解決此類問題的關鍵就是把握圖象特點、分析相關物理量的函數(shù)關系或物理過程的變化規(guī)律.（2）求解物理圖象的描繪（可稱之為“作圖題”）問題的方法是，首先和解常規(guī)題一樣，仔細分析物理現(xiàn)象，弄清物理過程，求解有關物理量或分析其與相關物理量間的變化關系，然后正確無誤地作出圖象.在描繪圖象時，要注意物理量的單位，坐標軸標度的適當選擇及函數(shù)圖象的特征等.（3）處理有關圖象的變換問題，首先要識圖，即讀懂已知圖象表示的物理規(guī)律或物理過程，然后再根據(jù)所求圖象與已知圖象的聯(lián)系，進行圖象間的變換.（4）在定性分析物理圖象時，要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，要區(qū)分圖象中相關物理量的正負值物理意義，要注意分析各段不同函數(shù)形式的圖線所表征的物理過程.要弄清圖象物理意義，借助有關的物理概念、公式、定理和定律作出分析判斷，而對物理圖象定量計算時，要搞清圖象所揭示的物理規(guī)律或物理量間的函數(shù)關系，要善于挖掘圖象中的隱含條件.明確有關圖線所包圍的面積、圖象在某位置的斜率（或其絕對值）、圖線在縱軸和橫軸上的截距所表示的物理意義.根據(jù)圖象所描繪的物理過程，運用相應的物理規(guī)律計算求解.（5）在利用圖象法求解物理問題（可稱之為“用圖題”）時，要根據(jù)題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理間的代數(shù)關系轉化為幾何關系、運用圖象直觀、簡明的特點，分析解決物理問題.●殲滅難點訓練 1.（★★★）一列橫波在t=0時刻的波形如圖25-4中實線所示，在t=1 ｓ時刻的波形如圖中虛線所示.由此可以判定此波的

A.波長一定是4 cm B.周期一定是4 ｓ

C.振幅一定是2 cm D.傳播速度一定是1 cm/s 2.（★★★★）如圖25-5所示，豎直放置的螺線管與導線abcd構成回路，導線所圍區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強磁場，螺線管下方水平桌面上有一導體圓環(huán)，導線abcd所圍區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應強度按圖25-6中哪一種圖線隨時間變化時，導體圓環(huán)將受到向上的磁場力

圖25-5 圖25-4

圖25-6

3.（★★★★★）如圖25-7所示電路中，S是閉合的，此時流過線圈L的電流為i1，流過燈泡A的電流為i2，且i1＞i2，在t1時刻將S斷開，那么流過燈泡的電流隨時間變化的圖象是圖25-8中的哪一個

圖25-7

圖25-8

4.（★★★★）如圖25-9所示，作入射光線AB的折射光線.圖25-9

5.（★★★★）如圖25-10，一水平飛行的子彈恰能穿過用輕質銷釘銷住，并置于光滑水平面上的A、B兩木塊，且木塊B獲得的動能為Ek1.若拔去銷釘C，仍讓這顆子彈水平射入A、B兩木塊，木塊B獲得的動能為Ek2，則

A.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2

圖25-10 B.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 C.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 D.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 6.（★★★★★）以初速度vA=40 m/s豎直上拋一個小球A，經(jīng)時間Δt后又以初速度vB= 20 m/s豎直上拋另一個小球B.為了使兩球在空中相遇（取g=10 m/s2），試分析Δt應滿足什么條件.難點25 數(shù)形結合思想與圖象法解題

［難點磁場］ 1.1.6×102 m 2.BC ［殲滅難點訓練］ 1.AC 2.CD 3.D 4.如圖25′-1

圖25′-1 圖25′-2

5.拔去銷釘前，子彈剛好穿過木塊，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25′-2所示，三角形OCv的面積即為AB木塊總長度.拔去銷釘后，木塊AB先一起向右加速，設經(jīng)過時間t′后子彈進入木塊B，子彈進入木塊B后，木塊B的加速度比拔去銷釘前的加速度大，故木塊B的運動圖象如圖中OA、AB所示.從圖中不難看出：拔去銷釘后，子彈與木塊B能達到共同速度vB2，相對A和B的總路程為四邊形OABv的面積，由于vB2＞vB1，四邊形OABv的面積小于三角形OCv的面積，故子彈不能穿過B木塊，且Ek1＜Ek2，應選B.6.兩球在空中運動的時間分別為：

tA=2vAg2vBg=8(s）

tB==4(s）

圖25′-3 根據(jù)定性畫出的h-t圖象（如圖25′-3）可以看出：兩球在空中相遇，即h-t圖線交點的縱坐標不為0的條件為 ： tA＞Δt＞tA-tB

8s＞Δt＞4 s