第一篇：考研高數(shù)證明題的解題方法

分析法，綜合法，反證法，都是歐氏分析方法。歐氏分析方法起自于歐氏幾何，早在公元前400年左右即為人類總結運用。

構造法是微積分學，代數(shù)學自身的方法。

分析法——盡可能由已知條件挖掘信息，并以此為起點作邏輯推理。

一元微積分講究條件分析。要用分析法，就需要對各個概念理解準確，強弱分明；推理有序，因果清晰。為了彌補非數(shù)學專業(yè)學生的“短板”，我建議大家把考研題目中出現(xiàn)頻率較高的典型條件，預先推個滾瓜爛熟。比如

已知條件“f（x）連續(xù)，且x趨于0時，lim(f（x）/x)= 1”的推理。

（見講座（9）基本推理先記熟。）

已知條件“f（x）在點x0可導，且f ′(x0)> 0 ”的推理。

（這是闡述“一點可導且導數(shù)大于0與一段可導且導數(shù)大0的差別；證明洛爾定理（費爾瑪引理），達布定理，……，等的關鍵。

見講座（11）洛爾定理做游戲；講座（17）論證不能憑感覺。）

已知條件“非零矩陣AB = 0”的推理。

（見講座（42）矩陣乘法很愜意。）

已知“含參的三階方陣A能與對角陣相似，且A有二重特征值。計算參數(shù)。”的推理。

（見講座（48）中心定理路簡明。）

“已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)或隨機向量（X，Y）的密度函數(shù)，求函數(shù)型隨機變量U = φ(x)或U =φ(x，y)”的推理計算

（見講座（78）分布函數(shù)是核心。）

一個嫻熟的推導就是一條高速路啊。你非常熟練了嗎？！

綜合法 —— 由題目要證明的結論出發(fā)，反向邏輯推理，觀察我們究竟需要做什么。

最典型的范例是考研數(shù)學題目“證明有點ξ，滿足某個含有函數(shù)及其導數(shù)的關系式”。

例設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導，且f(0)= 0，則區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一點ξ，使得

f(ξ)f ′(1―ξ)= f ′(ξ)f(1―ξ)

分析（綜合法）即要證明

f(ξ)f ′(1―ξ)― f[b′(ξ)f(1―ξ)= 0

點ξ是運用某個定理而得到的客觀存在。用x替換ξ，就得到剛運用了定理，還沒有把點ξ代入前的表達式。即

f(x)f ′(1―x)― f′(x)f(1―x)= 0

（在點 x =ξ 成立）

聯(lián)想到積函數(shù)求導公式，即（f(x)f(1―x)）′= 0

（在點 x =ξ 成立）

這就表明應該作輔助函數(shù)F(x)= f(x)，證明其導數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一零點。

易知F(0)= F(1)= 0，且F(x)在 [a, b] 連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導，可以應用洛爾定理證得本題結論。當然，題型多種多樣，但這總是一條基本思路。如果關系式中有高階導數(shù)，那要考慮試用泰勒公式。反證法 —— ……。

這是大家都較為熟悉的方法。但是你也許沒有注意到，用反證法簡單可證的一個小結論，在微積分中有著很廣的應用。粗糙地說，這就是

“A極限存在（或連續(xù)，或可導）+ B極限不存在（或不連續(xù)，或連續(xù)不可導）= ？”

隨便選一說法用反證法，比如

如果，“連續(xù)A + 不連續(xù)B = 連續(xù)C”

則“ 連續(xù)C-連續(xù)A = 不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結論： 連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。不過要注意，證明是在“同一個點”進行的。

作為簡單邏輯結論，自然類似有：

（同一過程中）A極限存在 + B極限不存在 = C極限一定不存在（同一個點處）A可導 + B連續(xù)不可導 = C一定連續(xù)不可導

還可以在級數(shù)部份有：

收斂 + 發(fā)散 = 發(fā)散，絕斂 + 條斂 = 條斂

對于乘法，由于分母為0時逆運算除法不能進行，必須首先限定以確保用反證法獲得結論。比如

“若f（x）在點x0可導，且f（x0）≠ 0，g（x）在點x0 連續(xù)不可導，則 積函數(shù)y = f（x）g（x）在點x0一定連續(xù)不可導?！?/p>

（見講座（8）求導熟練過大關。）

對于積函數(shù)y = f（x）g（x）求極限，我們由此得到了一個小技術。即

“非零極限因式可以先求極限。”（見講座（16）計算極限小總結。）

（畫外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要極限非0，就先給出極限，再“騎驢看唱本”……。）構造法 ——（難以“言傳”，請多意會。）

老老實實地寫，實實在在地描述，水到渠成有結論。這是微積分自家的方法 ——“構造法”。但是在構造法思維過程中，往往也綜合運用著分析法，綜合法，反證法。

“證明有界性”，也許最能顯示“構造”手段，即把變量的“界”給構造出來。*例

已知函數(shù) f（x）在 x≥a 時連續(xù)，且當x → +∞ 時f（x）有極限A，試證明此函數(shù)有界。

分析本題即證，∣f（x）∣≤ C

討論有界性，我們只學了一個定理，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界。本題中如何“管住”那個無窮的尾巴呢？那就看你能否體驗條件“x → +∞ 時f（x）有極限A”，即

“我們一定可以取充分大的一點x0，使得x > x0時，總有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”

把半直線x≥a分成 [a，x0] 與 x > x0兩部分，就能“構造”得∣f（x）∣≤ C

（（祥見講座（9）基本推理先記熟。）

在講座（11）“洛爾定理做游戲”中講的“壘寶塔”游戲，在講座（13）“圖形特征看單調(diào)”中講的“逐階說單調(diào)”，都是構造法的討論方式。

每完成一個題目，不妨想想用的什么方法。你也許提高得更快。

第二篇：考研數(shù)學證明題三大解題方法

考研數(shù)學證明題三大解題方法

縱觀近十年考研數(shù)學真題，大家會發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學數(shù)學統(tǒng)一考試的同學所學專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學們在大學學習數(shù)學的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠柧毚蠖嗍遣粔虻模@就導致數(shù)學考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個別考研輔導書中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導書在這一方面沒有花太大力氣，本人自認為在推理證明方面有不凡的效績，在此給大家簡單介紹一些解決數(shù)學證明題的入手點，希望對有此隱患的同學有所幫助。

一、結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。

知道基本原理是證明的基礎，知道的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會導致不同的推理能力。如2006年數(shù)學一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

二、借助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點（正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點）之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數(shù)學一第18題（1）是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數(shù)y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

三、逆推

從結論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發(fā)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導數(shù)的符號判定一階導數(shù)的單調(diào)性，再用一階導的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結果。該題中可設F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要證的不等式。

對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數(shù)的白白流失。

第三篇：考研數(shù)學證明題三大解題方法

考研數(shù)學證明題三大解題方法

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縱觀近十年考研數(shù)學真題，大家會發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學數(shù)學統(tǒng)一考試的同學所學專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學們在大學學習數(shù)學的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠柧毚蠖嗍遣粔虻?，這就導致數(shù)學考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個望對有此隱患的同學有所幫助。

2006年數(shù)學一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明

2007年數(shù)學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系F（x）=f（x）-g（x）有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數(shù)學一第18題（1）是關于零點存在y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

三、逆推

從結論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發(fā)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導數(shù)的符號判定一階導數(shù)的單調(diào)性，再用一階導的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結果。該題中可設F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要證的不等式。對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數(shù)的白白流失。

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第四篇：數(shù)學證明題解題方法

數(shù)學證明題解題方法

第一步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數(shù)學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數(shù)學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發(fā)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數(shù)的符號判定一階導數(shù)的單調(diào)性，再用一階導的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

第五篇：離散數(shù)學證明題解題方法

離散數(shù)學是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，是計算機科學中基礎理論的核心課程。離散數(shù)學以研究離散量的結構和相互間的關系為主要目標，其研究對象一般地是有限個或可數(shù)個元素，因此他充分描述了計算機科學離散性的特點。

1、定義和定理多。

離散數(shù)學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科。因而對概念的理解是我們學習這門學科的核心。在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的實體則是大量的定理和性質(zhì)。

●證明等價關系：即要證明關系有自反、對稱、傳遞的性質(zhì)。

●證明偏序關系：即要證明關系有自反、反對稱、傳遞的性質(zhì)。（特殊關系的證明就列出來兩種，要證明剩下的幾種只需要結合定義來進行）。

●證明滿射：函數(shù)f：XY，即要證明對于任意的yY，都有x

或者對于任意的f(x1)=f(x2)，則有x1=x2。

●證明集合等勢：即證明兩個集合中存在雙射。有三種情況：第一、證明兩個具體的集合等勢，用構造法，或者直接構造一個雙射，或者構造兩個集合相互間的入射；第二、已知某個集合的基數(shù)，如果為?，就設它和R之間存在雙射f，然后通過f的性質(zhì)推出另外的雙射，因此等勢；如果為?0，則設和N之間存在雙射；第三、已知兩個集合等勢，然后再證明另外的兩個集合等勢，這時，先設已知的兩個集合存在雙射，然后根據(jù)剩下題設條件證明要證的兩個集合存在雙射。

●證明群：即要證明代數(shù)系統(tǒng)封閉、可結合、有幺元和逆元。（同樣，這一部分能夠作為證明題的概念更多，要結合定義把它們?nèi)扛阃笍兀?/p>

●證明子群：雖然子群的證明定理有兩個，但如果考證明子群的話，通常是第二個定理，即設是群，S是G的非空子集，如果對于S中的任意元素a和b有a*b-

1是的子群。對于有限子群，則可考慮第一個定理。

●證明正規(guī)子群：若是一個子群，H是G的一個子集，即要證明對于任意的aG，有aH=Ha，或者對于任意的hH，有a-1 *h*aH。這是最常見的題目中所使用的方法?！褡C明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣，證明集合中任意兩個元素的最大元和最小元都在集合中。

圖論雖然方法性沒有前幾部分的強，但是也有一定的方法，如最長路徑法、構造法等等 下面講一下離散證明題的證明方法：

1、直接證明法

直接證明法是最常見的一種證明的方法，它通常用作證明某一類東西具有相同的性質(zhì)，或者符合某一些性質(zhì)必定是某一類東西。

直接證明法有兩種思路，第一種是從已知的條件來推出結論，即看到條件的時候，并不知道它怎么可以推出結論，則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件（這一步可能是沒有目的的，要看看從已知的條件中能夠推出些什么），接著，選擇可以推出結論的那個條件繼續(xù)往下推演；另外一種是從結論反推回條件，即看到結論的時候，首先要反推一下，看看S,則X，使得f(x)=y?！褡C明入射：函數(shù)f：XY，即要證明對于任意的x1、x2X，且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

從哪些條件可以得出這個結論（這一步也可能是沒有目的的，因為并不知道要用到哪個條件），以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時進行的。

2、反證法

反證法是證明那些“存在某一個例子或性質(zhì)”，“不具有某一種的性質(zhì)”，“僅存在唯一”等的題目。

它的方法是首先假設出所求命題的否命題，接著根據(jù)這個否命題和已知條件進行推演，直至推出與已知條件或定理相矛盾，則認為假設是不成立的，因此，命題得證。

3、構造法

證明“存在某一個例子或性質(zhì)”的題目，我們可以用反證法，假設不存在這樣的例子和性質(zhì)，然后推出矛盾，也可以直接構造出這么一個例子就可以了。這就是構造法，通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是，有一些題目其實也是本類型的題目，只不過比較隱蔽罷了，像證明兩個集合等勢，實際上就是證明“兩個集合中存在一個雙射”，我們即可以假設不存在，用反證法，也可以直接構造出這個雙射。

4、數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有關的題目，而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時候，要注意一點就是所要歸納內(nèi)容的選擇。

學習離散數(shù)學的最大困難是它的抽象性和邏輯推理的嚴密性。在離散數(shù)學中，假設讓你解一道題或證明一個命題，你應首先讀懂題意，然后尋找解題或證明的思路和方法，當你相信已找到了解題或證明的思路和方法，你必須把它嚴格地寫出來。一個寫得很好的解題過程或證明是一系列的陳述，其中每一條陳述都是前面的陳述經(jīng)過簡單的推理而得到的。仔細地寫解題過程或證明是很重要的，既能讓讀者理解它，又能保證解題過程或證明準確無誤。一個好的解題過程或證明應該是條理清楚、論據(jù)充分、表述簡潔的。針對這一要求，在講課中老師會提供大量的典型例題供同學們參考和學習。

在學習離散數(shù)學中所遇到的這些困難，可以通過多學、多看、認真分析講課中所給出的典型例題的解題過程，再加上多練，從而逐步得到解決。在此特別強調(diào)一點：深入地理解和掌握離散數(shù)學的基本概念、基本定理和結論，是學好離散數(shù)學的重要前提之一。所以，同學們要準確、全面、完整地記憶和理解所有這些基本定義和定理。

學好高數(shù)＝基本概念透＋基本定理牢＋基本網(wǎng)絡有＋基本常識記＋基本題型熟。數(shù)學就是一個概念＋定理體系(還有推理)，對概念的理解至關重要，比如說極限、導數(shù)等

再快樂的單身漢遲早也會結婚,幸福不是永久的嘛！

愛就像坐旋轉(zhuǎn)木馬，雖然永遠在你愛人的身后，但隔著永恒的距離。

相互牽著的手,永不放開,直到他的出現(xiàn),你離開了我.時光就這樣靜靜的流淌,那些在躺在草地上曬太陽的時光,那些拂面吹來的風.明知道是讓對方痛苦的愛就不要讓它繼續(xù)下去，割舍掉。如果不行就將它凍結在自己內(nèi)心最深的角落。