第一篇：4-1 幾何證明選講”簡介

“4-1 幾何證明選講”簡介

人民教育出版社 章建躍

幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的最好載體，迄今為止還沒有其他課程能夠替代幾何的這種地位。另外，幾何證明過程包含著大量的直觀、想象、探究和發(fā)現(xiàn)的因素，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識也非常有利。本專題從復(fù)習(xí)相似圖形的性質(zhì)入手，證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理，并通過對圓錐曲線性質(zhì)的進(jìn)一步探索，提高學(xué)生空間想象能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力。

一、內(nèi)容與要求

1．復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。

2．證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理。

3．證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。

4．了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。

5．通過觀察平面截圓錐面的情境，體會圓錐曲線的來歷，并能證明交線為橢圓時的一些幾何性質(zhì)（如橢圓的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率e，等等。）

二、內(nèi)容安排及說明

1．本專題分三講，共18課時，具體分配如下（供參考）：

第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)約６課時

第二講 直線與圓的位置關(guān)系約８課時

第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討約３課時

學(xué)習(xí)總結(jié)報告約１課時

2．知識框圖

3．對內(nèi)容安排的說明

上述內(nèi)容的安排，注重了知識系統(tǒng)性與邏輯性．第一、二、三講的內(nèi)容相對獨(dú)立，每一講的內(nèi)容自成體系，都依托于自身的邏輯起點(diǎn)而展開：第一講以“平行線分線段成比例定理”為起點(diǎn)，給出相似三角形定義后，逐步討論相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等，其中，基本數(shù)學(xué)思想是比例及其性質(zhì)的應(yīng)用；第二講以“圓周角定理”和“圓的切線概念”為起點(diǎn)，采用從特殊到一般的思想方法，得出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定定理的猜想及其證明，圓的切線的性質(zhì)和判定的有關(guān)定理；第三講以“平行射影”為起點(diǎn)，充分利用圖形直觀，對圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行討論，用綜合幾何的方法認(rèn)識圓錐曲線，這是以往教材中沒有涉及的內(nèi)容．

同時，三者之間又有緊密的邏輯聯(lián)系。例如，在討論“與圓有關(guān)的比例線段”（相交弦定理、割線定理、切割線定理）時，用到了相似三角形的判定定理；證明第三講中的定理

1、定理2時，用到了切線長定理．這樣就形成了一個系統(tǒng)的知識體系．這個系統(tǒng)中的知識點(diǎn)，由邏輯關(guān)系相互關(guān)聯(lián)而形成緊密的聯(lián)系．

三、編寫中考慮的幾個問題

幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的一條重要途徑．圍繞訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力、發(fā)展空間想像能力的目標(biāo)，本專題在編寫過程中著重考慮了如下幾個問題。

1．突出數(shù)學(xué)思想方法的滲透和理解

本專題中的主要數(shù)學(xué)思想方法包括：特殊化思想方法、化歸思想方法、分類思想方法、運(yùn)動變化思想方法，涉及到觀察、實驗、猜想等合情推理的方法，也涉及到演繹推理、反證

法、同一法等邏輯推理的方法．

我們知道，數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵于數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理、定義、公理等之中，是一種隱性知識。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)講究的是以知識為載體，在知識的教學(xué)過程中滲透與領(lǐng)悟、形成和發(fā)展．所以，在本專題內(nèi)容的編寫過程中，精心設(shè)計了數(shù)學(xué)思想方法的逐步滲透和理解過程。

例如，在“平行線等分線段定理”“平行線分線段成比例定理”的討論中，教科書安排了如下過程：

首先，通過一組實例，采用“操作確認(rèn)”的方法，讓學(xué)生在觀察、測量的基礎(chǔ)上用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，得出猜想．這個過程滲透了從特殊到一般、化歸等方法。

在獲得“平行線等分線段定理”的猜想后，又分如下步驟進(jìn)行證明：先討論特殊情形——直線構(gòu)成平行四邊形；再討論一般情形——將一般情形化歸為特殊情形。

在獲得“等分”情形下的證明后，再推廣到“非等分”，即“成比例”的情形。而“平行線分線段成比例定理”的證明采用“非等分”化歸謂“等分”的方法。

上述過程，滲透了如下思想方法：先猜后證，猜想的獲得應(yīng)用了“從特殊到一般”的思想方法；化歸——先解決特殊位置關(guān)系下的證明，再把其他情形化歸道特殊情形上。在內(nèi)容的安排上，使合情推理與邏輯推理相得益彰，以使教材更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

又如，“弦切角定理”貌似簡單，但它蘊(yùn)含了非常豐富的數(shù)學(xué)思想方法的教育素材，教科書對此進(jìn)行了充分挖掘。教科書先用運(yùn)動變化的思想，從圓內(nèi)接四邊形運(yùn)動到極端情形（有兩個頂點(diǎn)重合），由“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”猜想“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”；獲得猜想后，應(yīng)用分類思想，把弦切角分為三類（以弦過圓心為分界點(diǎn)），先證明弦過圓心時命題成立，再把其他兩種情形化歸為弦過圓心時的情形?？梢钥吹剑谙仪薪嵌ɡ淼膬?nèi)容展開過程中，滲透和明確了運(yùn)動變化思想、特殊化思想、分類討論思想、化歸思想。這樣一個定理的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生接觸和體會到如此眾多的思想方法，說明弦切角定理內(nèi)涵的數(shù)學(xué)思想方法的豐富性，它在數(shù)學(xué)思想方法教育中的地位的重要性。

2．強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)生發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力

我們知道，正確的數(shù)學(xué)結(jié)論的形成一般都需要經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”和“證明”兩個主要階段，這兩個階段都具有“過程性”。為此，教科書在幾何定理的引入和證明中都突出了其發(fā)生發(fā)展過程。教科書在融合知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的認(rèn)知過程的基礎(chǔ)上，通過展示“過程”，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟定理產(chǎn)生的背景，經(jīng)歷知識發(fā)展的過程，從而提高學(xué)生觀察問題、提出問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。

例如，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理，教科書安排了這樣的過程：首先通過“思考”，類比“任意三角形都有外接圓”，提出“任意四邊形是否都有外接圓”的問題，再引導(dǎo)學(xué)生從正方形、矩形等特殊四邊形出發(fā)，考察內(nèi)接于圓的四邊形會有怎樣的共同特征，從而得出圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的猜想和證明。在得出性質(zhì)定理后，再考察其逆命題是否成立，即證明圓內(nèi)接四邊形的判定定理。在證明過程中，應(yīng)用分類思想對對角互補(bǔ)的四邊形與圓的位置關(guān)系進(jìn)行討論，在每一種情形中都運(yùn)用了反證法。這一過程的展示與以往教科書的編寫有很大的不同：首先，知識的發(fā)生是在類比“任意三角形都有外接圓”而提出的，做到了自然而水到渠成；其次，從性質(zhì)到判定，因為有較多的條件可以使用，使學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)四邊形內(nèi)接于圓時的特征，再考察其“逆定理”——判定定理，就有更好的方向了，這就使認(rèn)知臺階適合于學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)；再次，性質(zhì)定理的考察中，運(yùn)用了從特殊到一般的思路，因為正方形、矩形等特例中包含了更強(qiáng)、更突出的信息，使學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的特點(diǎn)，為圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)奠定了很好的基礎(chǔ)，再推廣到一般情形就容易了；第四，因為判定定理的證明中要同時用到分類討論和反證法，這對學(xué)生來說比較困難，因此教科書采取啟發(fā)式講授法，先講解定理的證明，再歸納總結(jié)思想方法；最后，讓學(xué)生獨(dú)立證明判定定理的推論。可以相信，在教科書的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠比較牢固地掌握圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)定理。

3．加強(qiáng)推理能力的培養(yǎng)

由于義務(wù)教育階段在幾何證明方面的要求降低，所以他們的推理能力的發(fā)展需要通過本專題的學(xué)習(xí)進(jìn)行適當(dāng)加強(qiáng)。如何在不進(jìn)行大運(yùn)動量的推理訓(xùn)練的前提下，用“課程標(biāo)準(zhǔn)”規(guī)定的內(nèi)容訓(xùn)練學(xué)生的推理技能，提高他們的推理能力，也是教材編寫過程中重點(diǎn)考慮的一個問題。

這里的“推理”即包含邏輯推理，也包含合情推理。眾所周知，學(xué)習(xí)幾何的主要目的之一是對學(xué)生進(jìn)行比較嚴(yán)格的邏輯演繹法訓(xùn)練，還要使他們學(xué)會使用綜合性的思維方法。幾何問題的處理，不僅要用到許多幾何概念、定理等專門知識，而且還要用到各種不同的推理形式、思維策略，還要使用“添加輔助線”之類的技巧性較高的方法。在幾何學(xué)習(xí)中，除了運(yùn)用邏輯推理以外，還要應(yīng)用觀察、比較、類比、直覺、猜想、歸納、概括等合情推理。所以集合學(xué)習(xí)中的思維是綜合性的。也是如此，使得幾何學(xué)習(xí)具有特殊的魅力，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力中發(fā)揮了很重要的作用。

為了培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教科書采取了如下措施：

首先，加強(qiáng)幾何定理的產(chǎn)生過程，使合情推理的成分得到有效滲透，使學(xué)生在得到幾何定理的猜想中訓(xùn)練合情推理能力；

其次，給出證明幾何定理的嚴(yán)格的邏輯推理過程的示范，讓學(xué)生有學(xué)習(xí)和模仿的范例；

再次，及時總結(jié)推理方法，概括推理思想，如分析法、綜合法、反證法、同一法等，以及分類思想、化歸思想、猜想與證明、從特殊到一般等等。

總之，本專題一方面在幾何定理的呈現(xiàn)上突出過程性和探究性，讓學(xué)生體會定理發(fā)現(xiàn)過程中的合情推理方法；另一方面在定理的證明、例題乃至一些習(xí)題中，積極滲透邏輯推理與合情推理相結(jié)合的思想，使學(xué)生有更多的機(jī)會應(yīng)用綜合思維進(jìn)行推理的訓(xùn)練。

4．加強(qiáng)幾何直觀能力的培養(yǎng)

幾何學(xué)有幾何直觀作為基礎(chǔ)，因此，發(fā)現(xiàn)和證明幾何定理需要依賴圖形直觀，而且學(xué)生的幾何直觀（空間想象）能力也能在這個過程中得到鍛煉和提高。

為了培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，教科書采取了如下幾條措施：

首先，強(qiáng)調(diào)在直觀圖形背景中的直觀思考，給學(xué)生提供觀察圖形、建立聯(lián)系、獲得幾何定理猜想的基礎(chǔ)。例如，在學(xué)習(xí)習(xí)近平行線等分線段定理時，首先給出一組圖形，通過直觀可以明顯感知到“等分”的特征，從而為形成猜想打下基礎(chǔ)。

其次，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動變化過程中的圖形直觀，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)動過程中圖形的不變性。例如，在“與圓有關(guān)的比例線段”中，通過平移、旋轉(zhuǎn)等，觀察圖形變化過程中的特征，把相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理等統(tǒng)一在圖形的變化過程中，不僅獲得了定理，而且形成了聯(lián)系，使學(xué)生建立起結(jié)構(gòu)功能良好的“與圓有關(guān)的比例線段”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

再次，在從平面到空間的推廣過程中，通過圖形的變異提供圖形直觀的機(jī)會，加強(qiáng)空間想象能力的培養(yǎng)。例如，在熟悉了平行線分線段成比例定理后，引導(dǎo)學(xué)生觀察它的“空間推廣圖形”，其目的就是要求學(xué)生觀察、想象出空間兩條直線“共面”和“異面”兩種可能位置關(guān)系對“等比”的影響。這個過程對學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力的培養(yǎng)是很有好處的。

四、教學(xué)建議

1．把握教學(xué)要求，控制教學(xué)難度

本專題的教學(xué)目的是通過證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理，以及對圓錐曲線性質(zhì)的探索，提高學(xué)生空間想像能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力，并不是要對幾何證明進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)和提高，因此，教學(xué)中一定要注意控制難度，不在幾何難題上做文章。應(yīng)當(dāng)把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探索教科書中給出的平行截割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理、相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理等幾何定理的探究和證明上，使學(xué)生通過這些定理的探究，進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何證明的基本方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。

2．加強(qiáng)“過程性”，使數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)落在實處

“過程性”包含幾何定理的發(fā)現(xiàn)過程和證明過程兩個方面。一般來說，幾何教學(xué)中教師比較習(xí)慣直接給出命題讓學(xué)生證明，或教師給出定理的證明而讓學(xué)生通過模仿進(jìn)行定理的應(yīng)用。這樣雖然能使學(xué)生知道定理的證明方法，學(xué)生也能獨(dú)立地解答一些幾何題，但是他們對定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的體會將受到局限。前已指出，數(shù)學(xué)定理，特別是那些處于核心地位的數(shù)學(xué)定理，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷它們的發(fā)生過程，不僅要求他們進(jìn)行邏輯演繹而得出定理的證明，而且要使他們有獨(dú)立發(fā)現(xiàn)定理的機(jī)會，對于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法、提高分析和解決問題的能力，都是至關(guān)重要的。所以，在本專題的教學(xué)中，要注意根據(jù)教科書安排的學(xué)習(xí)線索，使學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程和證明過程，并要適時地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和概括相應(yīng)的思想方法。特別要注意在“研究什么問題”和“如何研究這些問題”上多做引導(dǎo)。一定要避免為了讓學(xué)生多做幾個幾何證明題而忽視定理的發(fā)現(xiàn)過程的做法。

第二篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎(chǔ)知識填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.二、經(jīng)典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，F(xiàn)G//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點(diǎn)，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn) D、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(韶關(guān)一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點(diǎn)C，割線

PAB經(jīng)過圓心O，弦CD⊥AB于 點(diǎn)E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一

點(diǎn)C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．5.(韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點(diǎn)E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

BF=于F，則

FC

第2頁

9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線

PCD經(jīng)過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經(jīng)典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁

第三篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點(diǎn)，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點(diǎn)，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3

第四篇：幾何證明選講專題)

幾何證明選講專題1.了解平行線截割定理，會證直角三角形射影定理.2.會證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.會證相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.一、基礎(chǔ)知識填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段 推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_________________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90o的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長____；圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.二、經(jīng)典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EF//BC，F(xiàn)G//AD，則

EFBC+FG

AD

= D

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

2． B

第1頁

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)

如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點(diǎn)，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線

AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn) D、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.(韶關(guān)一模理)如圖所示，PC切⊙O于

點(diǎn)C，割線PAB經(jīng)過圓心O，弦CD⊥AB于

點(diǎn)E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)A

引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=，AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一

點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．

5.(韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點(diǎn)E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段

N 7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=250，則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

D

于F，則

BFFC=.9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩 條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.C

10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=2，則線段AC的長度為． C

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.若

AD=5，BC=7，則GH=________.BC

13.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.AD=2，AC= 2，則AB=______,CD=_____.14.如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的第2頁

割線，且PB=12BC，則PA

PB的值是________.15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線

PCD經(jīng)過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____⊙O

3的半徑是_______.答 案

二、經(jīng)典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.245.3.5.4.4，2.5.3.6.21

5.7.115o.8.12.9.99O.10.4?.11.30.12.1.13.10，4.14.3.15.4, 8.1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3過C作 圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC =()A.15?B.30?C.45?D.60?

2.在Rt?ABC中,CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線,是該圖中共有x個三角形與?ABC相似,則x?()A.0B.1C.2 D.33.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,則另一弦的長為()A.11cmB.33cmC.66cmD.99cm

4.如圖,在?ABC和?DBE中,ABDB?BCBE?ACDE?53,若?ABC與

?DBE的周長之差為10cm,則?ABC的周長為()A.20cmB.254cmC.50

cm D.25cm

E 第4題圖 5.O的割線PAB交O于A,B兩點(diǎn),割線PCD經(jīng)過圓心,已知

PA?6,PO?12,AB?2

2,則O的半徑為()

A.4B

.6C.612.如圖,用與底面成30?角的平面截圓柱得一橢圓截線, D.8

6.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半圓上,CD?AB于點(diǎn)D, 且AD?3DB,設(shè)?COD??,則tan2?

＝()

A.13

B.1C.4?D.3

7.在?ABC中,D,E分別為AB,AC上的點(diǎn),且DE//BC,?ADE的面積是2cm2,梯形

DBCE的面積為6

cm,則DE:BC的值為()

A.B.1:2C.1:3D.1:

48.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作()個.A.2B.3C.4D.5 9.如圖甲,四邊形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4個這樣的 等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形, 則四邊形ABCD中?A度數(shù)為()

第9題圖

A.30?B.45?C.60?D.75?

10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力

把一個高強(qiáng)度鋼珠壓向該種材料的表面,在材料表面 留下一個凹坑,現(xiàn)測得凹坑直徑為10mm,若所 用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為()

A.1mmB.2 mmC.3mmD.4 mm

第10題圖

11.如圖,設(shè)P,Q為?ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且AP?2AB?1

5AC,AQ＝

23AB＋1

AC,則

?ABP的面積與?ABQ的面積之比為()

1A.5B.45C.11

4D.3

第11題圖

第3頁

則該橢圓的離心率為()A．1

B

2．3C．2

D．非上述結(jié)論 第12題圖

13.一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是_______;它截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀是

________

14.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O過A、B兩點(diǎn)且與BC相切于點(diǎn)B,與AC

O ?

D

交于點(diǎn)D,連結(jié)BD,若BC＝5?1,則AC＝B

C

第 15.如圖,14 題圖

AB為O的直徑,弦AC、BD交于點(diǎn)P,若AB?3,CD?1,則sin?APD=16.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值是

第15題圖

第16題圖

17.如圖:EB,EC是O的兩條切線,B,C是切點(diǎn),A,D是

O上兩點(diǎn),如果?E?46?,?

DCF?32?,試求?A的度數(shù).18.如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P,E為⊙O

上一點(diǎn),AE?AC,DE交AB于點(diǎn)F,且AB?2BP?4,求PF的長度.E

A FB O

C

D

P

第18題圖

第17題圖 19.已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,過點(diǎn)D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點(diǎn)E．

求證：(1)△ABC≌△DCB(2)DE·DC＝AE·BD．

20.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點(diǎn),CF∥AB，BP延長線交AC、CF于E、F,求證: PB2=PE?PF．

E

C

第19題圖

第20題圖

21.如圖,A是以BC為直徑的O上一點(diǎn),AD?BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點(diǎn)E，G 是AD的中點(diǎn),連結(jié)CG并延長與BE相交于 點(diǎn)F,延長AF與CB的延長線相交于點(diǎn)P.C

(1)求證:BF?EF；(2)求證:PA是O(3)若FG?BF,且O的半徑長為求BD第21題圖

第4頁

22.如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩．

部分,如果ACAB?BC

AC,那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割

線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為SS11,S2,如果S?S2

S,那么稱直線l為該圖形的黃1

金分割線.(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎?為什么?

(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E,再過點(diǎn)D作直線DF∥CE,交AC于點(diǎn)F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．(4)如圖4，點(diǎn)E是ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是ABCD的黃金分割線.請你畫一條ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過ABCD各邊黃金分割點(diǎn).第22題圖

第五篇：幾何證明選講習(xí)題

幾何證明選講

已知正方形ABCD，E、F分別為BC、AB邊上的點(diǎn)，且BE=BF，BH⊥CF于H，連結(jié)DH.求證：DH⊥EH.已知AD⊥BC于D，AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F，求證：AF⊥CF.已知正方形ABCD，E為對角線AC上一點(diǎn)，AE=3CE，F(xiàn)為AB邊中點(diǎn)，求證：DE⊥EF.F

B

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，?BAC??AGF?90，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點(diǎn)

?

A旋轉(zhuǎn)，AF，AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE?m，CD?n．

（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明；（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

（3）以△ABC的斜邊BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD?CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計算

驗證BD?CE?DE．

（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，（3）中的等量關(guān)系BD?CE?DE是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

A

C G

2F 圖

1圖2

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF． 解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．

F

E

A

E

C

B

圖乙

FEC

B圖甲

圖丙

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長的最大值．

已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．（1）求證：①BE?CD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；

△PBD∽△AMN．（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點(diǎn)P．求證：

C

B

D

B

E

圖② A

?

如圖，已知：Rt△ABC中，?C?90?，AC?BC?2，將一塊三角尺的直角頂點(diǎn)與斜邊

A 圖①

AB的中點(diǎn)M重合，當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，兩直角邊始終保持分別與邊BC，AC交于D，E兩點(diǎn)（D，E不與B，A重合）．（1）求證：MD?ME；

（2）求四邊形MDCE的面積；

（3）若只將原題目中的“AC?BC?2”改為“BC?a，AC?b(a?b)”其它都不變，請你探究：MD和ME還相等嗎?如果相等，請證明；如果不相等，請求出MD:ME的值．B

D

M

C

E

A