第一篇：積分中值定理(開區(qū)間)證明的幾種方法

積分中值定理（開區(qū)間）的幾種證明方法

定理：設(shè)f在[a,b]上連續(xù)，則???(a,b)，使得

?b

af(x)dx?f(?)(b?a)。

[證一]：由積分第一中值定理（P217），???[a,b]，使得

于是

b?baf(x)dx?f(?)(b?a)。?[f(x)?f(?)]dx?0.a

由于函數(shù)F(x)?f(x)?f(?)在[a,b]上連續(xù)，易證（可反證）：

(這還是書上例2的結(jié)論)

???(a,b)，使得F(?)?f(?)?f(?)?0，即f(?)?f(?)。

[證二]：令F(x)??x

af(t)dt，則F(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故

???(a,b)，使得F(b)?F(a)?F?(?)(b?a)，即結(jié)論成立。

（注：書上在后面講的微積分基本定理）

[證三]：反證：假設(shè)不???(a,b)，使得 ?b

af(x)dx?f(?)(b?a)，由積分第一中值定理，知?只能為a或b，不妨設(shè)為b，即

?x?(a,b),f(x)?f(b)?1bf(x)dx。?ab?a)f(x)?f(b)）由于f連續(xù)，故?x?(a,b),f(x)?f(b（或，（這一點是不是用介值定理來說明）

這樣

（上限x改為b）xb?af(x)dx??f(b)dx?f(b)(b?a).a

（這個嚴格不等號不太顯然要用書上例2結(jié)論來說明）

矛盾。

[證四]：設(shè)f在[a,b]上的最大值為M，最小值為m。若m?M，則f?c，?可任取。

若m?M，則?x1?[a,b]，有M?f(x1)?0，故

?[M?f(x)]dx?0，即 ab?b

af(x)dx?M(?b).a

同理有

m(b?a)??f(x)dx.ab

由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理知：???(a,b)，使得 f(?)?1bf(x)dx.。?ab?a

注：以上方法有的能推廣到定理9.8的證明，有的不能，再思考吧！

第二篇：有關(guān)中值定理的證明題

中值定理證明題集錦

1、已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，試證：在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少x存在一點?，使得f??(?)?0.證：由limf(x)，由此又得?0?0，可得limf(x)?0，由連續(xù)性得f(0)x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)f?(0)?lim?lim?0，由f(0)?f(1)?0及題設(shè)條件知f(x)在[0,1]x?0x?0x?0x上滿足羅爾中值定理條件，因此至少存在一點 c?(0,1)，使得f?(c)?0，又因為f?(0)?f?(c)?0，并由題設(shè)條件知f?(x)在[0,c]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點?，使得f??(?)?0.2、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.證：分析：要證結(jié)論即為：[xf(x)]?x???0.令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)?F(a)?0，因此故存在一點??(0,a)，使得F?(?)?0，F(xiàn)(x)?xf(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，即f(?)??f?(?)?0.注1：此題可改為：

設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得

nf(?)??f?(?)?0.)?nf??(?)（0給分析：要證結(jié)論nf(??)??f(??)等價于n?n?1f(??nn?1n，而n?f(?)??f?(?)?0即為[xf(x)]?x???0.nf(??)??f(??)兩端同乘以?n?1）故令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結(jié)論.注2：此題與下面例題情況亦類似：

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，?x?(0,1)，有f(x)?0，證：n?n?N?，???(0,1)，使得

nf?(?)f?(1??)?成立.f(?)f(1??)分析：要證結(jié)論可變形為nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0，它等價于nfn?1(?)f?(?)f(1??)?fn(?)f?(1??)?0(給nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0兩端同乘以fn?1(?))，而nfn?1(?f)??f(??)?(fn1?f?)???(即)為(1)0[fn(x)?f?x??1?(x，用羅爾中值定理)]0.以上三題是同類型題.3、已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?0，f()?1，證明：（1）存在一點??(,1)，使f(?)??.（2）存在一點??(0,?)，使f?(?)?1.（3）存在一點x0?(0,?)，使f?(x0)?1??(f(x0)?x0).證：（1）分析：要證結(jié)論即為：f(?)???0.12121211111顯然F(x)在[,1]上連續(xù)，且F()?f()???0，F(xiàn)(1)?f(1)?1??1?0，2222211因此F(x)在[,1]上滿足零點定理的條件，由零點定理知，存在??(,1)，使F(?)?0，22令F(x)?f(x)?x，則只需證明F(x)在(,1)內(nèi)有零點即可。即f(?)??.（2）又因為F(0)?f(0)?0?0，由(1)知F(?)?0，因此F(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，故存在一點??(0,?)，使F?(?)?0，即f?(?)?1?0，即f?(?)?1.（3）分析：結(jié)論f?(x0)?1??(f(x0)?x0)即就是F?(x0)??F(x0)或F?(x0)??F(x0)?0，F(xiàn)?(x0)??F(x0)?0?e??x0[F?(x0)??F(x0)]?0，即[e??xF(x)]?x?x0?0.故令G(x)?e??xF(x)，則由題設(shè)條件知，G(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且G(0)?e0F(0)?0，G(?)?e???F(?)?0,則G(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，命題得證.4、設(shè)f(x)在[0,x]上可導(dǎo)，且f(0)?0，試證：至少存在一點??(0,x)，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f(x)?f(0)?(1??)[ln(1?x)?ln1]f?(?),也就是f(x)?f(0)f?(?)，因此只需對函數(shù)f(t)和ln(1?t)在區(qū)間[0,x]上應(yīng)用柯西中值定理?1ln(1?x)?ln11??即可.5、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，且g(x)?0，證明：至少存在一點??(a,b)，使得f?(?)g(?)?f(?)g?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0,等價于

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0，2g(?)即就是[即可.f(x)f(x)在區(qū)間[a,b]上應(yīng)用羅爾中值定理]?x???0，因此只需驗證函數(shù)F(x)?g(x)g(x)

6、設(shè)f(x)在[x1,x2]上可導(dǎo)，且0?x1?x2，試證：至少存在一點??(x1,x2)，使得x1f(x2)?x2f(x1)???f?(?)?f(?).x1?x2f(x2)f(x1)f(x)?()?x??x2x1x證：分析：要證結(jié)論即為： ,因此只需對函???f?(?)?f(?)?111?()?x??x2x1x數(shù)f(x)1和在區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用柯西中值定理即可.xx此題亦可改為：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若0?a?b，試證：至少存在一點??(a,b)，使得af(b)?bf(a)?[f(?)??f?(?)](a?b).7、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，試證：（1）???(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0；（2）???(a,b)，使得?f(?)?f?(?)?0.證:（1）令F(x)?xf(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.（2）分析：?f(?)?f?(?)?0?e[?f(?)?f?(?)]?0?[e?22x22f(x)]?x???0，因此令F(x)?ex22f(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.8、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?1，試證：??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.[exf(x)]?x??e?[f(?)?f?(?)]證：分析：要證結(jié)論即為?1，即就是?1.?xe(e)?x??令F(x)?ef(x)，令G(x)?e，則F(x)和G(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)?eaf(a)eb?ea?，即就是e[f(?)?f?(?)]?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?aeb?eaeb?ea?，即就是e?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?ae?[f(?)?f?(?)]因此，有?1，即就是e???[f(?)?f?(?)]?1.?e9、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，試證：???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?0.證：分析：要證結(jié)論即為[f(x)?g(x)]??x??令F(x)?f(x)?g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的同一點處取得相同的最大值，不妨設(shè)都在c點處取得最大值，則F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，則F(x)分別在[a,c]、[c,b]上滿足羅爾中值定理條件，故??1?(a,c)，??2?(c,b)使得F?(?1)?0，F(xiàn)?(?2)?0.由題設(shè)又知，F(xiàn)?(x)在[?1,?2]上滿足洛爾定理條件，故存在???(?1,?2)，使得F??(?)?0，即就是f??(?)?g??(?)].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的不同的點處取得相同的最大值，不妨設(shè)f(x)在p點處、g(x)在q點處取得最大值，且p?q，則F(p)?f(p?)g(?p)，F(xiàn)(q)?f(q)?g(q)?0，由零點定理知，?c?(p,q)?(0,1)，使得F(c)?0，由此得 F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，后面證明與（1）相同.10、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)?0，若極限lim?x?af(2x?a)存在，x?a試證：（1）存在一點??(a,b)，使得

b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)22?b（2）在(a,b)內(nèi)存在異于?的點?，使得f?(?)(b?a)?f(x)dx.；

??a?a證：（1）令F(x)??xaf(t)dt，G(x)?x2，則F(x)、G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理

b2?a2ba條件，故存在一點??(a,b)，使得

?b2?a2af(t)dt??f(t)dta?2?成立，即就是f(?)?bab2?22成立，即就是2??f(x)dx?(b?a)f(?)成立.?af(x)dxf(?)（2）由（1）知，2??ba22因此要證f?(?)(b?a)?f(x)dx?(b2?a2)f(?)，2?bf(x)dx.，?a??a即要證f?(?)(b?a)?221??a(b2?a2)f?(，)即要證f?(?)(??a)?f(?，)由已知

x?alim?f(2x?a)f(2x?a)?0，可得，lim從而得f(a)?0，因此要證f?(?)(??a)?f(?)，x?a?x?a即要證f?(?)(??a)?f(?)?f(a)，顯然只需驗證f(x)在[a,?]上滿足拉格朗日中值定理條件即可。

第三篇：中值定理超強總結(jié)

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1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與 g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x ?g(x)dx

f?(x)f(x)兩邊積分?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce ?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e?③一階線性齊次方程解法的變形法 ?g(x)dx對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）pdxpdx可引進函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?分析：把所證式整理一下可得：f?(?)? ?[f(?)?f(a)]??1b?a1f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)b?a?0[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型xx－?－b?adx 引進函數(shù)u(x)?e＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點 ①湊拉格朗日

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例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。?eb?e

第四篇：中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應(yīng)用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應(yīng)用中，給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區(qū)間的中點、已知區(qū)間的兩端點、函數(shù)的極值點或最值點、已知區(qū)間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好的運用泰勒中值定理證明不等式.并對柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應(yīng)用問題作簡單介紹.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結(jié)束語 ……………………………………………………………………………（18）參考文獻 …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實用的方法.人們對中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態(tài).此外，在極值問題中有重要的實際應(yīng)用.微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對它的研究時有出現(xiàn).特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對中值定理的基礎(chǔ)及靈活性要求較高.我們在日常教學(xué)中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類問題單獨拿出來進行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)研究工作的開展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，文學(xué)家）.拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當(dāng)f?a??f?b?時的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構(gòu)造一個輔助函數(shù)f?x?；a 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間.b 運用拉格朗日公式來判斷.證明 設(shè)f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因為 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評注 此題如果單純地應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法來證明，會難以得出結(jié)論，而應(yīng)用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡單知識，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關(guān)知識，構(gòu)造一個輔助函數(shù)f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設(shè)f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因為1?1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設(shè)函數(shù)，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日定理條件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因為xp當(dāng)p?1時為單調(diào)增函數(shù)，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個相似函數(shù)，f?x??lnx和定義區(qū)間?a,b?.（2）利用對數(shù)的四則運算法則，將對數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設(shè)f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評注 解此題關(guān)健在于觀察要證明的不等式中把對數(shù)式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對數(shù)的有關(guān)知識，構(gòu)造了一個輔助函數(shù)lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當(dāng)h?0時，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當(dāng)-1?h?0時，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評注 證明此種不等式的關(guān)健是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識來證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當(dāng)x?0時，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因為e??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當(dāng)x?0時，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因為此時0?e??1，三邊同時乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當(dāng)x?0時，ex?x成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“a,b”的取值，不僅可使證明過程簡單，有時甚至是解題的關(guān)鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法

例2.6[4] 設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數(shù)．證明至少存在一點?（a???b）證明 做輔導(dǎo)函數(shù)

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數(shù)．

因為f(x)不為形如Ax?B的函數(shù)，所以至少存在一點c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因為?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因為?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內(nèi)至少有一點?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應(yīng)用定理進行證明．利用拉格朗日中值定理證明問題時，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關(guān)鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間?a,b?內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則對任一點x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開點x?(a,b)的不同情況來證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點取值法

選區(qū)間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ㄟ^兩式相加，并對某些項進行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式.下面以實例說明.例3.1[5] 設(shè)在區(qū)間?a,b?內(nèi)，f''(x)> 0，試證：對于?a,b?內(nèi)的任意兩個不同點x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因為f''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結(jié)論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：

對?a,b?內(nèi)任意n個不同點x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個值.因為f(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點取值法

當(dāng)條件中出現(xiàn)f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現(xiàn)廠f(a),f(b),f''(?)，展開點常選為區(qū)間兩端點a,b,然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的項，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內(nèi)至少存在一點?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項，展開點常選為該函數(shù)的極值點或最

值點.例3.4[6] 設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間?a,b?內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當(dāng)x0??a,?時，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當(dāng)x0??a,?時，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續(xù)性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當(dāng)題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時，結(jié)論可改為在?a,b?內(nèi)至少存在一點，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當(dāng)題中條件添加maxf(x)?0時，結(jié)論可改為：在?a,b?內(nèi)至少存在一點

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點取值法

當(dāng)題中結(jié)論考察f(x),f'(x),f''(x)的關(guān)系時，展開點常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，并對某些項作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負常數(shù)，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數(shù)f(x)在區(qū)問?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點出發(fā)，應(yīng)用實際范例給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區(qū)間的中點，已知區(qū)間的兩端點，函數(shù)的極值點或最值點，已知區(qū)間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對任一x??a,b?有g(shù)?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在?-1,1?內(nèi)可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內(nèi)，f?x??1.證明 引入輔助函數(shù)g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應(yīng)用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因為f?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉(zhuǎn)化為f?x??g?x??x?0?.由于上應(yīng)用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉(zhuǎn)化為f'????g'???.因為

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當(dāng)x???0時，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實際上只需證

cosx1?cosx2設(shè)f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理條件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調(diào)增加函數(shù).sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一點?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且g?x?在?a,b?上不變號，則在?a,b?至少存在一點?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因為

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區(qū)間?0,2?上求函數(shù)f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也常考慮用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時，可以根據(jù)估計定積分的值在證明比較簡單方便.結(jié)束語

深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學(xué)思想，對于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要 意義.偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系” ．?dāng)?shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系乃是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個重要思想．實際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認識和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說，數(shù)學(xué)的真正任務(wù)就在于揭示數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務(wù)的解決不斷推動數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達的意思去證明.今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應(yīng)用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻

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從2008年9月到現(xiàn)在，我在黃淮學(xué)院已經(jīng)渡過接近四年的時光．在論文即將完成之際，回想起大學(xué)生活的日日夜夜，百感交集.在大學(xué)學(xué)習(xí)的四年時間里，正是老師們的悉心指導(dǎo)、同學(xué)們的熱情關(guān)照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學(xué)業(yè)．在此對他們表示誠摯的謝意!本論文是在導(dǎo)師鐘銘的悉心指導(dǎo)下完成的.導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠.他對數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟，金融領(lǐng)域中的應(yīng)用的想法和建議，使學(xué)生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！

感謝數(shù)學(xué)科學(xué)系其他老師講授的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，為我夯實了數(shù)學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數(shù)學(xué)系全體領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)創(chuàng)造了一個寬松，自由的學(xué)習(xí)環(huán)境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對我的論文完成過程中給我的指導(dǎo)，她們深厚的數(shù)學(xué)功底以及對數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件操作等方面的知識給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠摯的感謝送給他們，感謝他們無微不至的關(guān)心和支持，感謝他們的無私奉獻以及為我所做的一切．

第五篇：高等數(shù)學(xué)中值定理總結(jié)

咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請注明，謝謝！

中值定理一向是經(jīng)濟類數(shù)學(xué)考試的重點（當(dāng)然理工類也常會考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個總結(jié)，希望能對各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān)

①觀察法與湊方法

例 1設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0

2f?(?)試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?1??

分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)

由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口

因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下：

f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0

這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)

②原函數(shù)法

例 2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù)

求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)

分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法

現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

兩邊積分f?(x)g(x)dx?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?

f(x)

?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了

F(x)?f(x)e??g(x)dx

③一階線性齊次方程解法的變形法

對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）

可引進函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdxpdx

例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0

f(?)?f(a)

b?a

f(?)?f(a)分析：把所證式整理一下可得：f?(?)??0b?a

1?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型b?a求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?

?－dx－引進函數(shù)u(x)?eb?a＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)]

注：此題在證明時會用到f?(c)?

2、所證式中出現(xiàn)兩端點

①湊拉格朗日 1xxf(b)?f(a)?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論b?a

例 3設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)b?a

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么可以試一下，不妨設(shè)

F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一下

F?(?)?f(?)??f?(?)?

②柯西定理 bf(b)?af(a)b?a

例 4設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在(x1,x2)至少存在一點c，使得

ex1?ex2e1e2?f(c)?f?(c)(x1)f(x2)

e1f(x2)?e2f(x1)

ex1x2xxxx分析：先整理一下要證的式子?e

這題就沒上面那道那么容易看出來了

xx?f(c)?f?(c)x1?x2發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，變換一下，分子分母同除一下e

f(x2)f(x1)

ex2?e

ex11x2e

③k值法 ?1x1于是這個式子一下變得沒有懸念了用柯西定理設(shè)好兩個函數(shù)就很容易證明了

仍是上題

分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是很好上面那題該怎么辦呢？

在老陳的書里講了一個方法叫做k 值法

第一步是要把含變量與常量的式子分寫在等號兩邊

以此題為例已經(jīng)是規(guī)范的形式了，現(xiàn)在就看常量的這個式子

設(shè) e1f(x2)?e2f(x1)

ex1x2xx?e

很容易看出這是一個對稱式，也是說互換x1x2還是一樣的記得回帶k，用羅爾定理證明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k]那么進入第二步，設(shè)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知F(x1)?F(x2)

④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η

①兩次中值定理

例 5f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1

試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1

分析：首先把?與?分開，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e?

一下子看不出來什么，那么可以先從左邊的式子下手試一下

很容易看出e[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?exf(x)??

ebf(b)?eaf(a)利用拉格朗日定理可得F?(?)?再整理一下b?a

eb?eaeb?ea

e[f(?)?f?(?)]?只要找到與e?的關(guān)系就行了b?ab?a?

這個更容易看出來了，令G(x)?ex則再用拉格朗日定理就得到

eb?ea

G?(?)?e??e?[f(?)?f?(?)]b?a?

②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。