第一篇：2018考研數(shù)學(xué)之高數(shù)考點(diǎn)預(yù)測(cè)：中值定理證明_斃考題

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2018考研數(shù)學(xué)之高數(shù)考點(diǎn)預(yù)測(cè)：中值定理證明

中值定理證明是高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)，今年很有可能會(huì)考到，沖刺時(shí)間不多，小編帶大家來把這些考點(diǎn)回顧鞏固下： 中值定理是考研數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，這一類型的問題，從待證的結(jié)論入手，首先看結(jié)論中有無導(dǎo)數(shù)，若無導(dǎo)數(shù)則采用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)來證明(介值或零點(diǎn)定理)，若有導(dǎo)數(shù)則采用微分中值定理來證明(羅爾、拉格朗日、柯西定理)，這個(gè)大方向首先要弄準(zhǔn)確，接下來就待證結(jié)論中有無導(dǎo)數(shù)分兩塊來講述。

一、結(jié)論中無導(dǎo)數(shù)的情況

結(jié)論中無導(dǎo)數(shù)，接下來看要證明的結(jié)論中所在的區(qū)間是閉區(qū)間還是開區(qū)間，若為閉區(qū)間則考慮用介值定理來證明，若為開區(qū)間則考慮用零點(diǎn)定理來證明。

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第二篇：考研高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)解讀：中值定理就得這么學(xué)_斃考題

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考研高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)解讀：中值定理就得這么學(xué)

中值定理是考研數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，考查考生的邏輯推理能力，在考研數(shù)學(xué)中以證明題形式出現(xiàn)，難度相對(duì)較大。在31年考研真題中數(shù)一查過16次，數(shù)二考查過18次，數(shù)學(xué)三考過14次，考查的重點(diǎn)是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理。雖然中值定理是一大難點(diǎn)，但卻有規(guī)律可循，為了方便考生復(fù)習(xí)，邊一老師就中值定理給考生們做出詳細(xì)解讀，為你們暑期正確復(fù)習(xí)本章做好鋪墊。

針對(duì)高數(shù)中的這一難點(diǎn)，我們2018年的考生在暑期的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意以下：

研究真題總結(jié)出題規(guī)律

中值定理可以通過研究考研數(shù)學(xué)真題總結(jié)出解題規(guī)律，做完真題之后要總結(jié)一下，要找大量不同的題做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻課本。真題至少要做三遍以上。只要做了，做錯(cuò)的地方一定要反復(fù)看，如果后期有時(shí)間我建議大家再看看全書，切忌沒有仔細(xì)研讀課本直接看復(fù)習(xí)全書的孩子們。

做過的題一定要會(huì)

對(duì)于數(shù)學(xué)，大量做題是必不可少的，但是更重的是做過的題一定要會(huì)，這就需要反復(fù)做錯(cuò)的題，做錯(cuò)題的過程很痛苦，很打擊你的積極性，但是你一定要不斷的提醒自己，做錯(cuò)題才是讓自己的復(fù)習(xí)升華的王道。考生在備考時(shí)還要多做講義例題，而不僅僅是練習(xí)題。做例題時(shí)應(yīng)遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先認(rèn)真做;無論做出與否都要把自己的思路詳記于空白處，尤其是做不出的，一定把自己真實(shí)的思考方式記錄在案，留待日后分析，而不是對(duì)了答案就萬事大吉，這樣做可以迅速的找到做題的感覺。

注重解題思路與技巧培養(yǎng)

總之，考生在做題目時(shí)，要養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣，做一個(gè)有心人，認(rèn)真地將遇到的解答中好的或者陌生的解題思路以及自己的思考記錄下來，平時(shí)翻看，久而久之，自己的解題能力就會(huì)有所提高。對(duì)于那些具有很強(qiáng)的典型性、靈活性、啟發(fā)性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，其知識(shí)結(jié)構(gòu)卻基本相同，題型也相對(duì)固定，往往存在明顯的解題套路，熟練掌握后既能提高解中值定理題的針對(duì)性，又能提高中值定理解題速度和正確率。

鞏固基礎(chǔ)，熟悉自己的解題體系

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當(dāng)然，一味的靠做題來提高中值定理的數(shù)學(xué)能力也是不足取的。曾有一個(gè)考生，平時(shí)的解題能力很高，但最后的考試成績(jī)卻不是很理想，談到自己失利的原因時(shí)，他說，自己平時(shí)幾乎全部靠做題來提高水平，而對(duì)知識(shí)點(diǎn)缺乏更高層次上的把握和運(yùn)用，導(dǎo)致遇到陌生的題目時(shí)，得分率嚴(yán)重下降。所以考生不能為做題而做題，要在做題時(shí)鞏固基礎(chǔ)，提高自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)更高層次上的把握和運(yùn)用。要善于歸納總結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題最好能形成自己熟悉的解題體系，也就是對(duì)各種題型都能找到相應(yīng)的解題思路，從而在最后的實(shí)考中面對(duì)陌生的試題時(shí)能把握主動(dòng)，從而將考研數(shù)學(xué)中的中值定理這個(gè)難點(diǎn)拿下來。

以上是跨考數(shù)學(xué)教研室對(duì)考生暑期熟悉中值定理考點(diǎn)的建議，希望大家引以為鑒。

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第三篇：【考研數(shù)學(xué)】中值定理總結(jié)

中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)（當(dāng)然理工類也常會(huì)考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個(gè)總結(jié)，希望能對(duì)各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個(gè)式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因?yàn)閇xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時(shí)要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時(shí)不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

f?(x)兩邊積分x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?g(x)dxf(x)?g(x)?lnf(?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對(duì)于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?pdx，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdx例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)?f(a)b?a分析：把所證式整理一下可得：f?(?)?f(?)?f(a)b?a?0 ?[f(?)?f(a)]??1b?a[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型1x 引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?－－xb?adx＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時(shí)會(huì)用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個(gè)結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點(diǎn) ①湊拉格朗日 例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點(diǎn)，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗(yàn)證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點(diǎn)②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個(gè)式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個(gè)函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對(duì)于數(shù)四，如果對(duì)柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個(gè) 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號(hào)的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個(gè)式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個(gè)對(duì) 那么進(jìn)入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗(yàn)證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時(shí)，泰勒法往往是可行的，而且對(duì)于有些題目，泰勒法反而會(huì)更簡(jiǎn)單。

3、所證試同時(shí)出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個(gè)更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時(shí)遇到ξ和η同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)候還需要多方考慮，可能會(huì)用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

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一、高數(shù)解題的四種思維定勢(shì)

1、在題設(shè)條件中給出一個(gè)函數(shù)f(x)二階和二階以上可導(dǎo)，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說。

2、在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達(dá)式時(shí)，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對(duì)該積分式處理一下再說。

3、在題設(shè)條件中函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4、對(duì)定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡(jiǎn)單形式f(u)再說。

二、線性代數(shù)解題的八種思維定勢(shì)

1、題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行（列）展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

2、若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

3、若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。

4、若要證明一組向量a1,a2,?,as線性無關(guān)，先考慮用定義再說。

5、若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

6、若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

7、若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

8、若要證明抽象n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。

第四篇：2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

在考研數(shù)學(xué)中，有關(guān)中值定理的證明題型是一個(gè)重要考點(diǎn)，也是一個(gè)讓很多同學(xué)感到比較困惑的考點(diǎn)，不少同學(xué)在讀完題目后不知從何下手，不會(huì)分析證明，找不到思路，之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，主要是因?yàn)檫@些同學(xué)對(duì)中值定理證明題型的特點(diǎn)缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)其分析和證明方法沒有完全理解和掌握，為了協(xié)助這樣的同學(xué)克服這方面的困難，下面本文對(duì)這類題的特點(diǎn)和證明方法做些分析總結(jié)，供各位考生參考。

一、中值定理證明題的特點(diǎn)

中值定理證明題主要有以下一些特點(diǎn)：

1.中值定理證明題常常需要作輔助函數(shù)；

2.中值定理證明題經(jīng)常在一個(gè)題中需要結(jié)合運(yùn)用三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，分別是：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（包括最大值和最小值定理、零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理），微分中值定理和積分中值定理；

3.中值定理證明題可能需要在一個(gè)問題的證明中反復(fù)運(yùn)用同一個(gè)微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；

4.從歷年考研數(shù)學(xué)真題變化規(guī)律來看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。

二、中值定理證明題的常用方法

中值定理證明題有不同的類型，對(duì)不同的類型需要運(yùn)用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：

1.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)值的等式，而函數(shù)是連續(xù)的，則可能需要運(yùn)用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)進(jìn)行證明；對(duì)導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的情況也可以對(duì)導(dǎo)函數(shù)運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

2.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于定積分的等式，則可能需要運(yùn)用積分中值定理；

3.對(duì)于以下這類問題一般使用羅爾中值定理進(jìn)行證明：

6、如果是要證明兩函數(shù)差值比的中值等式，或證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進(jìn)行證明。

對(duì)于上面總結(jié)介紹的各種證明方法，在實(shí)際問題中要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用，另外，對(duì)于需要作輔助函數(shù)的證明題，常常通過還原法分析找出需要的輔助函數(shù)，對(duì)于含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數(shù)作為輔助函數(shù)，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結(jié)希望對(duì)大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最后預(yù)祝各位考研成功、金榜題名！

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析：一元函數(shù)積分學(xué)_斃考題

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2018考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析：一元函數(shù)積分學(xué)

2018數(shù)學(xué)考試大綱已經(jīng)出來了，記的去年是8月底出的，今年比去年晚了半個(gè)月的時(shí)間。下面我們就考研數(shù)學(xué)中的一元函數(shù)積分學(xué)這一塊來簡(jiǎn)單聊下。

這一部分內(nèi)容與去年比較整體要求沒有什么出入。以下吳方方老師主要是根據(jù)2017年對(duì)定積分這一塊的考查，并結(jié)合今天出來的2018年考試大綱來給2018的同學(xué)們來聊聊，接下來這三個(gè)月，我們?cè)?018年的考研備考中所要注意的問題。

首先，我們結(jié)合剛剛出來的2018年考試大綱來明確這一部分的知識(shí)體系。大綱中要求我們，理解原函數(shù)的概念，理解不定積分的概念，掌握不定積分的的基本公式，掌握不定積分的積分方法，主要是換元法和分部積分法。關(guān)于一元積分學(xué)這章節(jié)還包括：定積分的定義，性質(zhì)；微積分基本定理；反常積分以及定積分的應(yīng)用這幾個(gè)部分。這幾個(gè)部分各有各的側(cè)重點(diǎn)。而其中有關(guān)定積分的定義是要求我們掌握的重點(diǎn)，我們要充分理解微積分基本定理還要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。

至于反常積分這一塊，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的反常積分，了解反常積分的概念并會(huì)判別收斂性，像2016年數(shù)學(xué)一第一道選擇題就是考查反常積分的收斂性問題。去年就是由于很多同學(xué)對(duì)反常積分的斂散性的判別不熟，從而導(dǎo)致了選擇題做的不順，時(shí)間久耽誤了，以至于影響到了后面的大題的解析。

關(guān)于定積分的定義及性質(zhì)。這里要求同學(xué)們一定要理解分割、近似以及求和還有取極限這幾個(gè)步驟。與此同時(shí)還要求同學(xué)們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。早在2016年數(shù)學(xué)

二、數(shù)學(xué)三出了道填空題，是利用定積分定義來做的，而2017年考研數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)三又出了道10分的計(jì)算題，因此希望這一部分能引起同學(xué)們的一定的重視。對(duì)于n項(xiàng)和求極限的問題，我們知道主要是利用夾逼定理和定積分定義兩種常用方法。因此，對(duì)于這一部分的內(nèi)容與數(shù)列極限結(jié)合是我們要重視的。

關(guān)于定積分中的區(qū)間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個(gè)是同學(xué)要掌握的，而對(duì)于微積分基本定理這一塊的知識(shí)點(diǎn)是非常重要的。關(guān)于切線與法線；以及單調(diào)性；極值；凹凸性的應(yīng)用與變上限積分函數(shù)是可以相關(guān)聯(lián)的。關(guān)于變上限積分函數(shù)，我們要掌握變上限積分求導(dǎo)，這一塊知識(shí)與極限結(jié)合，就是我們常見的一種極限形式，即含有變上限積分的極限計(jì)算題。像2017年考研中的第一道極限的計(jì)算題就是有關(guān)變上限積分的極限計(jì)算問題。求導(dǎo)，吳方方老師希望同學(xué)們能夠會(huì)證明，以前考研真題中也出現(xiàn)過此類問題。所以，應(yīng)當(dāng)值得我們重視。

下面我們來聊聊反常積分這一塊內(nèi)容，這塊內(nèi)容在2016年考研數(shù)學(xué)一的第一道選擇題出現(xiàn)了，當(dāng)年很多同學(xué)無從下手。由于對(duì)這一塊知識(shí)的生疏，以至于這一道選擇題就花了二十多分鐘才解決，這個(gè)是不應(yīng)該的。其實(shí)在某種意義上，當(dāng)年2016年考的那題斂散性的選擇

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題，是有些超綱的，而2017年考研對(duì)于這塊的知識(shí)出了道填空題，是關(guān)于反常積分的計(jì)算題。這一塊的內(nèi)容大綱解析要求我們了解反常積分的基本定義，會(huì)計(jì)算反常積分。沒有其他內(nèi)容，所以收斂這一塊應(yīng)該是不會(huì)太為難我們，而關(guān)于反常積分的計(jì)算，同學(xué)們就當(dāng)作定積分來求就可以了。

最后，就是有關(guān)定積分的應(yīng)用部分了。關(guān)于定積分的定義這一塊，吳方方老師希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應(yīng)用，對(duì)于數(shù)一和數(shù)二的同學(xué)還要求掌握物理上面的應(yīng)用。數(shù)學(xué)三的同學(xué)要掌握用定積分求面積及旋轉(zhuǎn)的體積。各種旋轉(zhuǎn)體的體積是要求我們必須掌握的，在真題中確實(shí)出現(xiàn)過定積分幾何應(yīng)用于微分方程結(jié)合出題的，而對(duì)于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二除了平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積外，還要求掌握用定積分求曲線弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積。

對(duì)于一元函數(shù)積分學(xué)這一塊內(nèi)容是我們同學(xué)們要重視的重要部分，一元函數(shù)的積分計(jì)算的二重積分以及三重積分等的基礎(chǔ)，希望同學(xué)們好好努力，都有個(gè)好成績(jī)。加油！

考試使用斃考題，不用再報(bào)培訓(xùn)班

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