第一篇：高等數(shù)學(xué)中值定理總結(jié)

咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請注明，謝謝！

中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點（當(dāng)然理工類也常會考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個總結(jié)，希望能對各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?02f?(?)試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x 兩邊積分f?(x)g(x)dx ?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?f(x)

?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdxpdx例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)分析：把所證式整理一下可得：f?(?)??0b?a1 ?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型b?a 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)??－dx－ 引進(jìn)函數(shù)u(x)?eb?a＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?

2、所證式中出現(xiàn)兩端點 ①湊拉格朗日 1xxf(b)?f(a)?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論b?a

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例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)b?a

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一下 F?(?)?f(?)??f?(?)?②柯西定理

bf(b)?af(a)b?a例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在(x1,x2)至少存在一點c，使得 1ex1?ex2e1e2?f(c)?f?(c)f(x1)f(x2)e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xxxx分析：先整理一下要證的式子?e 這題就沒上面那道那么容易看出來了xx?f(c)?f?(c)

x1?x2 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，變換一下，分子分母同除一下ef(x2)f(x1)ex2?eex11x2e③k值法 ?1x1于是這個式子一下變得沒有懸念了 用柯西定理設(shè)好兩個函數(shù)就很容易證明了仍是上題分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個方法叫做k 值法 第一步是要把含變量與常量的式子分寫在等號兩邊 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范的形式了，現(xiàn)在就看常量的這個式子 設(shè)

e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xx?e 很容易看出這是一個對稱式，也是說互換x1x2還是一樣的 記得回帶k，用羅爾定理證明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k] 那么進(jìn)入第二步，設(shè)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知F(x1)?F(x2)④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e? 一下子看不出來什么，那么可以先從左邊的式子下手試一下 很容易看出e[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?exf(x)??ebf(b)?eaf(a)利用拉格朗日定理可得F?(?)?再整理一下b?aeb?eaeb?ea e[f(?)?f?(?)]?只要找到與e?的關(guān)系就行了b?ab?a?

這個更容易看出來了，令G(x)?ex則再用拉格朗日定理就得到eb?ea G?(?)?e??e?[f(?)?f?(?)]b?a?②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

第二篇：高等數(shù)學(xué)中值定理總結(jié)

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中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點（當(dāng)然理工類也常會考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個總結(jié)，希望能對各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān)

①觀察法與湊方法

例 1設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0

2f?(?)試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?1??

分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)

由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口

因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下：

f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0

這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)

②原函數(shù)法

例 2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù)

求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)

分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法

現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

兩邊積分f?(x)g(x)dx?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?

f(x)

?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了

F(x)?f(x)e??g(x)dx

③一階線性齊次方程解法的變形法

對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）

可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdxpdx

例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0

f(?)?f(a)

b?a

f(?)?f(a)分析：把所證式整理一下可得：f?(?)??0b?a

1?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型b?a求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?

?－dx－引進(jìn)函數(shù)u(x)?eb?a＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)]

注：此題在證明時會用到f?(c)?

2、所證式中出現(xiàn)兩端點

①湊拉格朗日 1xxf(b)?f(a)?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論b?a

例 3設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)b?a

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么可以試一下，不妨設(shè)

F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一下

F?(?)?f(?)??f?(?)?

②柯西定理 bf(b)?af(a)b?a

例 4設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在(x1,x2)至少存在一點c，使得

ex1?ex2e1e2?f(c)?f?(c)(x1)f(x2)

e1f(x2)?e2f(x1)

ex1x2xxxx分析：先整理一下要證的式子?e

這題就沒上面那道那么容易看出來了

xx?f(c)?f?(c)x1?x2發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，變換一下，分子分母同除一下e

f(x2)f(x1)

ex2?e

ex11x2e

③k值法 ?1x1于是這個式子一下變得沒有懸念了用柯西定理設(shè)好兩個函數(shù)就很容易證明了

仍是上題

分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是很好上面那題該怎么辦呢？

在老陳的書里講了一個方法叫做k 值法

第一步是要把含變量與常量的式子分寫在等號兩邊

以此題為例已經(jīng)是規(guī)范的形式了，現(xiàn)在就看常量的這個式子

設(shè) e1f(x2)?e2f(x1)

ex1x2xx?e

很容易看出這是一個對稱式，也是說互換x1x2還是一樣的記得回帶k，用羅爾定理證明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k]那么進(jìn)入第二步，設(shè)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知F(x1)?F(x2)

④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η

①兩次中值定理

例 5f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1

試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1

分析：首先把?與?分開，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e?

一下子看不出來什么，那么可以先從左邊的式子下手試一下

很容易看出e[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?exf(x)??

ebf(b)?eaf(a)利用拉格朗日定理可得F?(?)?再整理一下b?a

eb?eaeb?ea

e[f(?)?f?(?)]?只要找到與e?的關(guān)系就行了b?ab?a?

這個更容易看出來了，令G(x)?ex則再用拉格朗日定理就得到

eb?ea

G?(?)?e??e?[f(?)?f?(?)]b?a?

②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

第三篇：高等數(shù)學(xué) 極限與中值定理 應(yīng)用

(一)1.x??sin?limx??limxsin2xx?1 22xx?1(洛必達(dá)法則)1x2

=lim2x22x??x?1

?2

2.x????x ?limx??limsinxcosx?1

?1

3.x?0sinx?limcosxx?0limtanx?sinxx3

?sinx3?limx sinx(1?cosx)x?0xcosx3

x3?lim23x?0x1?2

4.limx?sinx3x?0?lim?16x1?cosx3x2 x?0

（二）1.若

limsinxe?axx?0(cosx?b)?5，求常數(shù)a，b

lim(cosx?b)xe?a sinx(cosx?b)?limxx?0e?a x?0sinx由等價無窮小可得a=1

=lim(cosx?b)?xsinxexx?0?5

b??4

2.若x?0,?(x)?kx,?(x)?21?xarcsinx?cosx

是等價無窮小，求常數(shù)K lim1?xarcsinx?kx2cosxx?0?1

?lim1?xarcsinx?cosxkx(1?xarcsinx?1?xarcsinx?cosx2kx2x?02cosx)

?limx?0

x2arcsinx??limx?0?sinx1?x4kx1x)?cosx'?lim31?x2?(x?01?x4k2

4k3k?4??1

3.證明當(dāng)X>02

時，(x?1)lnx?(x?1)222

f(x)?(x?1)lnx?(x?1)則f(x)?2xlnx?x??2xlnx?x?'''

1x?2(x?1)1x?2

1x2f(x)?2(lnx?1)?1?

?2lnx???ln1x21x?2?11

x2?1?0'再倒推可得：f(x)?0

22f(x)?0f(x?0)，所以(x?1)lnx?(x?1)

（三）1.設(shè)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)?0，證明：???(0,a)，使得f(?)??f(?)?0。

'求原函數(shù)F(x)?xf(x)

F(0)?F(a)?0滿足羅爾定律，所以F(x)?0

'即 f(?)??f(?)?0'

2.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）上可導(dǎo)。且

f(0)?0,f(1)?1，證明

（1）?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）''

（1）F(x)?f(c)?c?1

F(0)??1,F(1)?1

由零點定理得?c?(0,1)有F(c)=0

所以?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）設(shè)??(o,c),??(c,1)得

f(?)?f(?)?''f(c)?f(0)c?0f(1)?f(c)1?c??1?ccc1?c'

'所以 ??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）

第四篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點的弦是水平的，則曲線上至少有一點的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準(zhǔn)確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當(dāng)?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

//

?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關(guān)）。其中當(dāng)x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

有

Cauchy

余

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(Taylor)

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式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

?gkx0n!gn?1?k

?x?x0?g?x??? ?

k！k?0?

n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5！！k?1

????

2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx?1???????1???x????1???x2n

2n2k2！4?。?0

????

kn

xx2xnk?1xn

e?1???????x????1???xn

1！2！n！k！k?0x

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nkn

x2x3n?1xk?1xn

ln?1?x??x???????1???x????1???xn

23nkk?1

??

?1?x?

?

n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

?1??x?x???x???x??1??C?x???xn?2！n！k?1

⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

k?1

x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

x2kn?1cos?x

cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

2k2n?2！k?0

k

xke?x

e???xn?1,?0???1?

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n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數(shù)方法求極限時還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。

第五篇：中值定理超強(qiáng)總結(jié)

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1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與 g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x ?g(x)dx

f?(x)f(x)兩邊積分?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce ?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e?③一階線性齊次方程解法的變形法 ?g(x)dx對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）pdxpdx可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?分析：把所證式整理一下可得：f?(?)? ?[f(?)?f(a)]??1b?a1f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)b?a?0[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型xx－?－b?adx 引進(jìn)函數(shù)u(x)?e＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點 ①湊拉格朗日

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例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進(jìn)入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。?eb?e