第一篇：【考研數(shù)學(xué)】中值定理總結(jié)

中值定理一向是經(jīng)濟類數(shù)學(xué)考試的重點（當然理工類也常會考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個總結(jié)，希望能對各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

f?(x)兩邊積分x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?g(x)dxf(x)?g(x)?lnf(?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）可引進函數(shù)u(x)?e?pdx，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdx例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)?f(a)b?a分析：把所證式整理一下可得：f?(?)?f(?)?f(a)b?a?0 ?[f(?)?f(a)]??1b?a[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型1x 引進函數(shù)u(x)?e?－－xb?adx＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點 ①湊拉格朗日 例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

?eb?e

一、高數(shù)解題的四種思維定勢

1、在題設(shè)條件中給出一個函數(shù)f(x)二階和二階以上可導(dǎo)，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。

2、在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達式時，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

3、在題設(shè)條件中函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4、對定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

二、線性代數(shù)解題的八種思維定勢

1、題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行（列）展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

2、若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

3、若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。

4、若要證明一組向量a1,a2,?,as線性無關(guān)，先考慮用定義再說。

5、若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

6、若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

7、若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

8、若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。

第二篇：2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

在考研數(shù)學(xué)中，有關(guān)中值定理的證明題型是一個重要考點，也是一個讓很多同學(xué)感到比較困惑的考點，不少同學(xué)在讀完題目后不知從何下手，不會分析證明，找不到思路，之所以會出現(xiàn)這樣的情況，主要是因為這些同學(xué)對中值定理證明題型的特點缺乏清晰的認識，對其分析和證明方法沒有完全理解和掌握，為了協(xié)助這樣的同學(xué)克服這方面的困難，下面本文對這類題的特點和證明方法做些分析總結(jié)，供各位考生參考。

一、中值定理證明題的特點

中值定理證明題主要有以下一些特點：

1.中值定理證明題常常需要作輔助函數(shù)；

2.中值定理證明題經(jīng)常在一個題中需要結(jié)合運用三個知識點，分別是：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（包括最大值和最小值定理、零點定理和介質(zhì)定理），微分中值定理和積分中值定理；

3.中值定理證明題可能需要在一個問題的證明中反復(fù)運用同一個微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；

4.從歷年考研數(shù)學(xué)真題變化規(guī)律來看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。

二、中值定理證明題的常用方法

中值定理證明題有不同的類型，對不同的類型需要運用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：

1.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)值的等式，而函數(shù)是連續(xù)的，則可能需要運用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)進行證明；對導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的情況也可以對導(dǎo)函數(shù)運用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

2.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于定積分的等式，則可能需要運用積分中值定理；

3.對于以下這類問題一般使用羅爾中值定理進行證明：

6、如果是要證明兩函數(shù)差值比的中值等式，或證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進行證明。

對于上面總結(jié)介紹的各種證明方法，在實際問題中要根據(jù)具體情況靈活運用，另外，對于需要作輔助函數(shù)的證明題，常常通過還原法分析找出需要的輔助函數(shù)，對于含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數(shù)作為輔助函數(shù)，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結(jié)希望對大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最后預(yù)祝各位考研成功、金榜題名！

第三篇：2018考研數(shù)學(xué)重點：中值定理證明題解題技巧

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)重點：中值定理證明題解

題技巧

考研數(shù)學(xué)中證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及，在此著重說說應(yīng)用拉格朗日中值定理來證明不等式的解題方法與技巧。

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機構(gòu)

根據(jù)以上的攻關(guān)點撥和典例練習(xí)，相信同學(xué)們對該題型的解題訓(xùn)練有了一定的掌握。

需要提醒考生們，數(shù)學(xué)題目多，而且考查的知識點很綜合，很多人擔(dān)心自己做的少，碰到的知識點就會少一些，從而加快了解題速度，實際上考生最重要的是要注重對題目的理解，對基本知識的概括和各種題型解題技巧的能力訓(xùn)練，因此大家可以根據(jù)以上的攻關(guān)點撥和典例練習(xí)，這樣加以積累練習(xí)，為以后的快速準確解題打下基礎(chǔ)。

另外，數(shù)學(xué)試題切忌眼高手低，實踐出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的復(fù)習(xí)程度，疏漏的內(nèi)容，如果題目確實做不出來，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己再把題目獨立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知識點。

頁 共 2 頁

第四篇：中值定理超強總結(jié)

咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請注明，謝謝！

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與 g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x ?g(x)dx

f?(x)f(x)兩邊積分?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce ?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e?③一階線性齊次方程解法的變形法 ?g(x)dx對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）pdxpdx可引進函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?分析：把所證式整理一下可得：f?(?)? ?[f(?)?f(a)]??1b?a1f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)b?a?0[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型xx－?－b?adx 引進函數(shù)u(x)?e＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點 ①湊拉格朗日

咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請注明，謝謝！

例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請注明，謝謝！

例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。?eb?e

第五篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點的弦是水平的，則曲線上至少有一點的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

//

?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關(guān)）。其中當x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

有

Cauchy

余

項的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

?gkx0n!gn?1?k

?x?x0?g?x??? ?

k！k?0?

n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5?。?1

????

2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx?1???????1???x????1???x2n

2n2k2！4??！k?0

????

kn

xx2xnk?1xn

e?1???????x????1???xn

1！2！n！k！k?0x

????

??

nkn

x2x3n?1xk?1xn

ln?1?x??x???????1???x????1???xn

23nkk?1

??

?1?x?

?

n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

?1??x?x???x???x??1??C?x???xn?2！n！k?1

⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

k?1

x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

x2kn?1cos?x

cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

2k2n?2！k?0

k

xke?x

e???xn?1,?0???1?

！k?0k！n?1x

n

ln?1?x?????1`?

k?1

n

k?1

xkxn?1n

???1?,?x?1,0???1?n?1kn?11??x

?1?x?

?

kk

?1??C?x?

k?1

n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數(shù)方法求極限時還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。