第一篇：高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納

高等數(shù)學(xué)（上）重要知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

一、極限的定義與性質(zhì)

1、定義（以數(shù)列為例）

limxn?a????0,?N,當(dāng)n?N時(shí)，|xn?a|??

n??

2、性質(zhì)

f(x)?A?f(x)?A??(x)，其中?(x)為某一個(gè)無窮小。(1)limx?x0f(x)?A?0，則???0,當(dāng)x?U(x0,?)時(shí)，(2)(保號(hào)性）若limx?x0of(x)?0。

(3)*無窮小乘以有界函數(shù)仍為無窮小。

二、求極限的主要方法與工具

1、*兩個(gè)重要極限公式

(1)lim??0sin?1?

1(2)lim(1?)??e ?????

2、兩個(gè)準(zhǔn)則

(1)*夾逼準(zhǔn)則

(2)單調(diào)有界準(zhǔn)則

3、*等價(jià)無窮小替換法 常用替換：當(dāng)??0時(shí)

（1)sin?~?

（2）tan?~?

（3）arcsin?~?

（4)arctan?~?（5）ln(1??)~?

（6）e??1~?（7）1?cos?~?

2（8）n1???1~

12? n 2

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法

6用定積分定義

三、無窮小階的比較*

高階、同階、等價(jià)

四、連續(xù)與間斷點(diǎn)的分類

1、連續(xù)的定義*

f(x)在a點(diǎn)連續(xù)

?lim?y?0?limf(x)?f(a)?f(a?)?f(a?)?f(a)

?x?0x?a??可去型（極限存在）第一類???跳躍型（左右極限存在但不相等）??

2、間斷點(diǎn)的分類? ?無窮型（極限為無窮大）?第二類?震蕩型（來回波動(dòng)）???其他???

3、曲線的漸近線*(1)水平漸近線：若limf(x)?A,則存在漸近線：y?Ax??(2)鉛直漸近線：若limf(x)??,則存在漸近線：x?ax?a

五、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1、最大值與最小值定理

2、介值定理和零點(diǎn)定理

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

一、導(dǎo)數(shù)的概念

1、導(dǎo)數(shù)的定義* y?|x?a?f?(a)?dy?yf(a??x)?f(a)f(x)?f(a)|x?a?lim?lim?lim?x?0?x?0x?adx?x?xx?a

2、左右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?右導(dǎo)數(shù)f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?

3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義* y?|x?a?曲線f(x)在點(diǎn)（a,f(a))處的切線斜率k

4、導(dǎo)數(shù)的物理意義

若運(yùn)動(dòng)方程：s?s(t)則s?(t)?v(t)(速度）,s??(t)?v?(t)?a(t)(加速度）

5、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:

可導(dǎo)?連續(xù)，反之不然。

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、四則運(yùn)算(u?v)??u??v?

(uv)??u?v?uv?

()??uvu?v?uv?

2vdydydu?u?

2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 設(shè)y?f[?(x)]，一定條件下? ?yuxdxdudx3、反函數(shù)求導(dǎo) 設(shè)y?f(x)和x?f?1(y)互為反函數(shù)，一定條件下：y?x?1 x?y4、求導(dǎo)基本公式*（要熟記）

5、隱函數(shù)求導(dǎo)* 方法：在F(x,y)?0兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，其中要注意到：y是中間變量，然后再解出y?

?x?x(t)

6、參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)* 設(shè)?，一定條件下

?y?y(t)y?(t)?t?dyyt?dy?yt??xt??yt?xt??xxt??（可以不記）y???,y???xx3dxxt?dxxt?(xt?)

7、常用的高階導(dǎo)數(shù)公式（1）sin(n)x?sin(x??),(n?0,1,2...)

n（2）cosx?cos(x??),(n?0,1,2...)

2(n)n2（3）ln(1?x)?(?1)(n)n?1(n?1)!,(n?12...)n(1?x)1n(?1)nn!)?,(n?0,1,2...)（4）(n?11?x(1?x)（5）（萊布尼茨公式）(uv)??Cnku(n?k)v(k)

(n)k?0n

三、微分的概念與運(yùn)算

1、微分定義 * 若?y?A?x?o(?x)，則y?f(x)可微，記dy?A?x?Adx

2、公式：dy?f?(x)?x?f?(x)dx

3、可微與可導(dǎo)的關(guān)系* 兩者等價(jià)

4、近似計(jì)算 當(dāng)|?x|較小時(shí)，?y?dy，f(x)?f(x??x)?f?(x)?x

第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)(2)f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）g(x)?0,則：f?(?)f(b)?f(a)???（a,b),使得：?g?(?)g(b)?g(a)當(dāng)取g(x)?x時(shí)，定理演變成：

2、拉格朗日中值定理*

???（a,b),使得：f?(?)?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

b?a當(dāng)加上條件f(a)?f(b)則演變成：

3、羅爾定理* ???（a,b),使得：f?(?)?0

4、泰勒中值定理 在一定條件下：

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x)

n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1?o((x?x0)n),?介于x0、x之間.其中Rn(x)?(n?1)!當(dāng)公式中n=0時(shí)，定理演變成拉格朗日定理.當(dāng)x0?0時(shí)，公式變成:

f(n)(0)n5、麥克勞林公式 f(x)?f(0)?f?(0)x?...?x?Rn(x)

n!

6、常用麥克勞林展開式

x21n（1）e?1?x??...?x?o(xn)

2!n!xx3x5(?1)n?12n?1x?o(x2n)（2）sinx?x??...?3!5!(2n?1)!x2x4(?1)n2nx?o(x2n?1)（3）cosx?1??...?2!4!(2n)!x2x3(?1)n?1n（4）ln(1?x)?x??...?x?o(xn)

23n

二、羅比達(dá)法則* 記?。悍▌t僅能對(duì),型直接用，對(duì)于0??,???,1?,00,?0,轉(zhuǎn)化后用.冪指函數(shù)恒等式*fg?eglnf

三、單調(diào)性判別*

1、y??0?y?,y??0?y?

2、單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).四、極值求法*

1、極值點(diǎn)來自：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑點(diǎn)）.2、求出可疑點(diǎn)后再加以判別.3、第一判別法：左右導(dǎo)數(shù)要異號(hào)，由正變負(fù)為極大，由負(fù)變正為極小.4、第二判別法：一階導(dǎo)等于0，二階導(dǎo)不為0時(shí)，是極值點(diǎn).正為極小，負(fù)為極大.五、閉區(qū)間最值求法* 找出區(qū)間內(nèi)所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，比較大小.0?0? 7

六、凹凸性與拐點(diǎn)*

1、y???0?y?,y???0?y?

2、拐點(diǎn)：曲線上凹凸分界點(diǎn)(x0,y0).橫坐標(biāo)x0不外乎f??(x0)?0,或f??(x0)不存在，找到后再加以判別x0附近的二階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào).七、曲率與曲率半徑

1、曲率公式K?|y??|(1?y?2)

12、曲率半徑R?

K32

第四章 不定積分

一、不定積分的概念* 若在區(qū)間I上，F(xiàn)?(x)?f(x),亦dF(x)?f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù).稱全體原函數(shù)F(x)+c為f(x)的不定積分，記為?f(x)dx.二、微分與積分的互逆關(guān)系

1、[?f(x)dx]??f(x)?d?f(x)dx?f(x)dx

2、?f?(x)dx?f(x)?c??df(x)?f(x)?c

三、積分法*

1、湊微分法*

2、第二類換元法

3、分部積分法* ?udv?uv??vdu

4、常用的基本積分公式(要熟記).第五章 定積分

一、定積分的定義 ?af(x)dx?limf(?i)?xi ??x?0i?

1二、可積的必要條件

有界.三、可積的充分條件

連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)或單調(diào).四、幾何意義

定積分等于面積的代數(shù)和.bn 9

五、主要性質(zhì)*

1、可加性 ?a??a??c

2、估值 在[a,b]上，m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

3、積分中值定理* 當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí)：?af(x)dx?f(?)(b?a),??[a,b]

4、函數(shù)平均值：?babcbbbf(x)dxb?a

六、變上限積分函數(shù)*

1、若f(x)在[a,b]連續(xù)，則F(x)??af(t)dt可導(dǎo)，且[?af(t)dt]??f(x)

2、若f(x)在[a,b]連續(xù)，?(x)可導(dǎo)，則：[?a

七、牛-萊公式* 若f(x)在[a,b]連續(xù)，則?af(x)dx?[?f(x)dx]|b?F(b)?F(a)

axx?（x）f(t)dt]??f[?(x)]??(x)

b

八、定積分的積分法*

1、換元法

牢記：換元同時(shí)要換限

2、分部積分法

?audv?uv|??avdu

babb3、特殊積分（1）??aa??0,當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)f(x)dx??a

??2?0f(x)dx,當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)（2）當(dāng)f(x)為周期為T的周期函數(shù)時(shí)：

?aa?nTf(x)dx?n?0f(x)dx,n?Z?

?T（3）一定條件下:?0xf(sinx)dx??0f(sinx)dx

2?? 10

?(n?1)！，n是正奇數(shù)時(shí)????（4）?02sinnxdx??02cosnxdx??n!

?(n?1)！?，n是正偶數(shù)時(shí)?!2?n?。?）?0sinxdx?2?02sinnxdx n??

九、反常積分*

1、無窮區(qū)間上

???a?

其他類似 f(x)dx?lim?af(t)dt?F(x)|?a?F(??)?F(a)x?????x2、p積分：?a?p?1時(shí)收斂1 dx(a?0):?px?p?1時(shí)發(fā)散

3、瑕積分：若a為瑕點(diǎn)：

b?則?af(x)dx?limf(t)dt?F(x)|?F(b)?F(a)

其他類似處理

?ax?ax??bb

第六章

定積分應(yīng)用

一、幾何應(yīng)用

1、面積（1）A??（y上-y下）dxaA??（x右-x左）dyabb

??x?x(t),(??t??),則A???|y(t)x?(t)|dt（2）C:??y?y(t)C:???(?),與???，???，（?????)圍成圖形面積（3）1?2A????（?）d?2

2、體積*（1）旋轉(zhuǎn)體體積*Vx???ay2dx

Vy???cx2dy

或Vy?2??axydx（2）截面面積為A?A(x)的立體體積為V??aA(x)dx

bbdb 11

3、弧長

（1）s??a1?y?2dx(a?x?b)（2）s???x?2(t)?y?2(t)dt,(??t??)（3）s????2???2d?,(?????)

二、物理應(yīng)用

1、變力作功

一般地：先求功元素：再積分w??aF(x)dx dw?F(x)dx,x?[a,b]，克服重力作功的功元素dw=體積???g?位移

2、水壓力

dP=水深?面積???g

第七章

微分方程

一、可分離變量的微分方程

dy形式：?f(x)g(y)

dxbb??二、一階線性微分方程*

1、線性齊次：y??p(x)y?0 通解公式*：y?Ce?p(x)dx?

2、線性非齊次

y??p(x)y?q(x)通解公式*：y?e?

?p(x)dxp(x)dx?[?eq(x)dx?C)

第二篇：高等數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)的分布

重要知識(shí)點(diǎn)的分布

第一部分：空間解析幾何（第二章）

1、直線和平面方程

第二部分：無窮級(jí)數(shù)（第八章）

1、級(jí)數(shù)收斂、一致收斂判斷

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)證明

3、冪級(jí)數(shù)的收斂域以及和函數(shù)

4、傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)的收斂性 第三部分：多元微分（第九章）

1、二元函數(shù)極限、連續(xù)性及偏導(dǎo)數(shù)的判斷與計(jì)算

2、梯度的計(jì)算

3、Lagrange乘數(shù)法計(jì)算極值

4、曲線切線與曲面切平面計(jì)算

第四部分：多元積分（第十章至第十三章）

1、重積分計(jì)算，交換積分順序

2、曲線積分與曲面積分的計(jì)算，積分與路徑無關(guān)

3、散度、旋度的計(jì)算

第五部分：常微分方程（第十四章）

1、一階微分方程的求解

2、二階常系數(shù)微分方程的求解

第三篇：2012考研數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)解析之高等數(shù)學(xué)(一)

在考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)開始之前，萬學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家們提醒2012年的考生們要對(duì)考研數(shù)學(xué)的基本命題趨勢(shì)和試題難度有比較深刻的認(rèn)識(shí)，根據(jù)自己對(duì)考研數(shù)學(xué)的定位，要做到有的放矢的復(fù)習(xí)，才能達(dá)到事半功倍的效果。

復(fù)習(xí)備考的主要策略：緊扣考綱，扎實(shí)基礎(chǔ)，注重聯(lián)系，加強(qiáng)訓(xùn)練。

本文萬學(xué)海文輔導(dǎo)老師們主要闡述如何在復(fù)習(xí)當(dāng)中緊扣考綱?？佳袛?shù)學(xué)作為標(biāo)準(zhǔn)化考試，其命題范圍有明確的規(guī)定，2012年考生基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)主要就是依據(jù)考試大綱，詳細(xì)了解考試的基本要求，類別和難度特點(diǎn)，準(zhǔn)確定位。我們以數(shù)一中第一章為例：

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限:

函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).考試內(nèi)容中給考生列出了第一章的考試知識(shí)點(diǎn)，所以考生在復(fù)習(xí)過程中首先要弄懂這些知識(shí)點(diǎn)?？荚囈笾袠?biāo)明了對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握所應(yīng)該能夠達(dá)到的程度，一般分為了解、理解、會(huì)、掌握，幾個(gè)層次。

了解：指對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的含義要很清楚，一般在數(shù)學(xué)中指的是概念、公式、性質(zhì)、定理及推論等知識(shí)內(nèi)容。比如：了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性等。

但是并不是說了解的內(nèi)容就只是了解這些性質(zhì)，知道這些知識(shí)點(diǎn)就行了，有人錯(cuò)誤的認(rèn)為了解的知識(shí)一般不會(huì)考，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，只要是在考試大綱中出現(xiàn)的考試內(nèi)容都有可能考到，甚至對(duì)要求了解的知識(shí)點(diǎn)考的也比較深入。

理解：指要對(duì)知識(shí)點(diǎn)懂且認(rèn)識(shí)的很清楚。在考研數(shù)學(xué)當(dāng)中主要指對(duì)概念、定理、推理的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。在這里萬學(xué)海文輔導(dǎo)老師提醒2012年得考生要注意了解和理解的區(qū)別，了解偏重于知道，理解在了解的基礎(chǔ)上增加了懂得和能夠體會(huì)其深層次的意思;理解也就是從表到里深層遞進(jìn)的含義。在考研數(shù)學(xué)大綱中要求理解的知識(shí)點(diǎn)考查的較多，比如：理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系等幾乎每年必考.會(huì)(求、計(jì)算、建立、應(yīng)用、判斷等)：其含義為理解、懂得，并根據(jù)所學(xué)知識(shí)能夠計(jì)算表達(dá)式結(jié)果、列出方程、畫出圖形、建立數(shù)學(xué)模型等。在考研數(shù)學(xué)大綱中對(duì)知識(shí)點(diǎn)要求會(huì)求、會(huì)計(jì)算、會(huì)建立方程表達(dá)式、會(huì)描繪等，主要指計(jì)算方法、知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用測(cè)試的要求;萬學(xué)海文數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師提醒大家學(xué)習(xí)時(shí)不僅要記住、理解定理還要會(huì)推導(dǎo)，才達(dá)到會(huì)求解的程度。

掌握：了解、熟知并加以運(yùn)用。在考研數(shù)學(xué)大綱中所有知識(shí)點(diǎn)的要求中掌握的層次是最高的，要求掌握的知識(shí)點(diǎn)往往是考試的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，比如：掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法等都是每年真題中涉及的內(nèi)容;萬學(xué)海文建議2012年得考生在學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)于大綱要求掌握的知識(shí)點(diǎn)不僅要掌握知識(shí)點(diǎn)本身還要學(xué)習(xí)它的推理、證明以及解題時(shí)經(jīng)常用到的結(jié)論，同時(shí)還要注意與該知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)及它們之間的關(guān)系。

在了解了考研數(shù)學(xué)大綱內(nèi)容及要求之后我們就可以有的放矢的進(jìn)行復(fù)習(xí)了。古人云：“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”，這為我們下面能夠扎實(shí)復(fù)習(xí)打開了一個(gè)美麗的開端。

第四篇：高等數(shù)學(xué)(上)(工科)

《高等數(shù)學(xué)》（上）課程教學(xué)大綱

一、課程簡(jiǎn)介

（一）課程代碼084020

2（二）課程名稱高等數(shù)學(xué)Higher Mathematics（上）

（三）修讀對(duì)象信工

（三）總學(xué)時(shí)與學(xué)分90學(xué)時(shí)5個(gè)學(xué)分

（四）考核方式

采取平時(shí)考核與期末考試相結(jié)合的考核方式。平時(shí)考核包括作業(yè)、提問、上課發(fā)言等方面的考核，平時(shí)成績(jī)占20%，期末考試成績(jī)占80%,考試要嚴(yán)格要求，實(shí)行考教分離，同一教學(xué)計(jì)劃的班級(jí)，期末考試要統(tǒng)一命題，統(tǒng)一評(píng)分，統(tǒng)一流水閱卷。

（五）相關(guān)課程

本課程是工科類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，課程基礎(chǔ)性、理論性強(qiáng)，與后繼課程密切相關(guān)。

（六）內(nèi)容提要(不超過200字)

《高等數(shù)學(xué)》（上）主要內(nèi)容是一元微積分，包含函數(shù)，函數(shù)極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不定積分，定積分及其應(yīng)用，向量代數(shù)和空間解析幾何。

二、教學(xué)目的和教學(xué)方法

教學(xué)目的高等數(shù)學(xué)是國家教委指定的工科類各專業(yè)核心課程之一，是最重要的一門基礎(chǔ)理論課?！陡叩葦?shù)學(xué)》（指微積分）為研究事物的變化發(fā)展規(guī)律提供了基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和框架，在各種實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用；它具有豐富的內(nèi)容和深刻的思想，是進(jìn)入科學(xué)領(lǐng)域的大門，是高校數(shù)學(xué)教學(xué)的核心課程，也是學(xué)習(xí)后繼課程和科學(xué)技術(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，尤其是工程技術(shù)和計(jì)算科學(xué)等專業(yè)，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握該課程的基本思想和方法，使學(xué)生能用所學(xué)的知識(shí)分析、解決實(shí)際問題，能對(duì)這些問題進(jìn)行定性和定量的分析研究。訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性，使學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，能用數(shù)學(xué)的語言描寫各種概念和現(xiàn)象，能理解其它學(xué)科中所用的數(shù)學(xué)理論與方法。培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維能力，掌握信息與計(jì)算科學(xué)的基礎(chǔ)理論、方法與技巧和技能。使學(xué)生具有使用當(dāng)代的科技成果能力和習(xí)慣.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生形成良好自學(xué)的習(xí)慣，給學(xué)生以后從事科學(xué)研究和工程技術(shù)工作打好基

1礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論和基本方法，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

教學(xué)方法 本課程的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)，思想性強(qiáng)，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課關(guān)系密切，以課堂講授為主，討論法、讀書指導(dǎo)法和練習(xí)法為輔。教學(xué)中應(yīng)注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生掌握重要概念的思想背景，理解概念的本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)微積分的必要性。注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)）的有機(jī)聯(lián)系, 特別是強(qiáng)化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運(yùn)算能力。教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與專業(yè)課學(xué)習(xí)之間的關(guān)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)學(xué)時(shí)分配90個(gè)理論學(xué)時(shí)

四、選用教材和主要教學(xué)參考書

教材

同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（上、下）第五版[M].北京：高等教育出版社2007

主要教學(xué)參考書

1、《數(shù)學(xué)分析》上下冊(cè)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編（第三版），高等教育出版社出版。

2、《微積分》上下冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編（21世紀(jì)教材），高等教育出版社出版。

3.《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》上下冊(cè)，馬知恩、王綿森主編（21世紀(jì)教材），高等教育出版。

4.《高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》 同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編，同濟(jì)大學(xué)出版社。

五、理論教學(xué)內(nèi)容（分章節(jié)編寫，包括主要講授內(nèi)容、學(xué)時(shí)分配、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)、練習(xí)等）

第一章函數(shù)與極限16學(xué)時(shí)

1.教學(xué)內(nèi)容：集合、常量與變量，一元函數(shù)的概念(單值、多值)，函數(shù)的屬性(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)，反函數(shù)，基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖形，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限，無窮小與無窮大，無窮小與極限之間的關(guān)系，無窮小與無窮大之間的關(guān)系，極限的運(yùn)算法則，極限存在的判別法則，兩個(gè)重要

極限，無窮小階的比較，函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

2.教學(xué)要求：理解函數(shù)的概念。了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。了解函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念。熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。能列出簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系。了解極限的??N,???定義(對(duì)于給出?求N或?，不作過高要求)，并能學(xué)習(xí)過程中逐步加深對(duì)極限思想的理解。掌握極限四則運(yùn)算法則。了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則)，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。了解無窮小，無窮大的概念，掌握無窮小的比較。理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型。了解初等函數(shù)的連續(xù)性，知道在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大值、最小值定理)。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)的概念、極限概念、無窮小、極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)，極限的??N、???定義，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）求函數(shù)的反函數(shù)；

（2）求函數(shù)的定義域、值域，建立函數(shù)關(guān)系實(shí)例；

（3）指出復(fù)合函數(shù)的組成；

（4）證明數(shù)列極限（用極限定義）；

（5）求函數(shù)的極限；

（6）討論函數(shù)的連續(xù)性；

（7）指出分段函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型。

第二章導(dǎo)數(shù)與微分14學(xué)時(shí)

1.教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義，函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的和，差、積、商的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，微分的概念及運(yùn)算法則，微分形式不變性、微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用。

2.教學(xué)要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)之間的關(guān)系。能用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則(包括微分形式不變性)和導(dǎo)數(shù)的基本公式。了解高階導(dǎo)數(shù)概念。能熟練地初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。掌握隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法。微分的概念。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的微分法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）導(dǎo)數(shù)幾何意義及應(yīng)用；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)；

（3）求函數(shù)的微分；

（4）微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用16學(xué)時(shí)

1.教學(xué)內(nèi)容：微分中值定理(羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)，羅必塔法則，函數(shù)單調(diào)性的判別、函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)的判別、函數(shù)的極值概念及求法，最大值與最小值及其應(yīng)用，函數(shù)圖形的水平漸近線與鉛直漸近線，函數(shù)作圖，泰勒公式及其應(yīng)用，弧微分、曲率和曲率半徑及計(jì)算、方程近解的二分法和切線法。

2.教學(xué)要求：理解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。會(huì)應(yīng)用拉格朗日定理。理解函數(shù)的極值概念。掌握求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形的凸凹性，求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)等方法。能描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。會(huì)解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用題。掌握羅必塔法則。知道曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。知道求方程近似解的二分法和切線法。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：拉格朗日定理，羅比塔法則、單調(diào)性的判別、極值的求法。

難點(diǎn)：拉格朗日定理的證明和應(yīng)用。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）中值定理的運(yùn)用；

（2）利用羅必塔法則求極限；

（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；

（4）求函數(shù)的極值和最值；

（5）作函數(shù)的曲線圖形；

第四章不定積分14學(xué)時(shí)

.教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，積分基本公式，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)有理式的積分，簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分，積分表的使用。

2.教學(xué)要求： 理解不定積分的概念及性質(zhì)。熟悉不定積分的基本公式，熟練掌握

不定積分的換元積分和分部積分法。掌握較簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分概念。不積分的性質(zhì)，基本積分公式。換元積分法和分部積分法。

難點(diǎn)：不定積分的換元積分法。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）有關(guān)不定積分的概念題；

（2）利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求不定積分；

（3）用換元法求函數(shù)的不定積分；

（4）用分部積分法求函數(shù)的不定積分；

（5）求有理函數(shù)，三角函數(shù)，無理函數(shù)的不定積分；

（6）用積分表求函數(shù)的不定積分。

第五章 定積分13學(xué)時(shí)

1.教學(xué)內(nèi)容：定積分的概念，定積分的基本性質(zhì)、中值定理、微積分基本定理，定積分的換元積分及分部積分法，定積分的近似計(jì)算（矩形法、梯形法、拋物線法），無窮區(qū)間上的廣義積分，被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分。

2.教學(xué)要求：理解定積分的概念及性質(zhì)。熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。理解變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理。熟悉牛頓－萊布尼茲公式。了解廣義積分的概念。知道定積分的近似計(jì)算（矩形法、梯形法、拋物線法）。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：定積分的概念，定積分的中值定理，定積分作為可變上限的函數(shù)及其求定理，牛頓－萊布尼茲公式。

難點(diǎn)：定積分的構(gòu)造型定義。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）用定積分的定義計(jì)算定積分及定積分的幾何意義；

（2）利用牛頓－萊布尼茨公式求定積分；

（3）利用換元積分法和分部積分法求定積分；

（4）廣義積分的計(jì)算；

第六章定積分的應(yīng)用10學(xué)時(shí)

1.教學(xué)內(nèi)容：定積分的元素法，平面圖形的面積（直角坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形），體積（旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積），平面曲線的弧長、功、水壓力、和引力，函數(shù)的平均值、均方根。

2.教學(xué)要求：熟練掌握用元素法建立積分表達(dá)式的方法。掌握面積、體積的計(jì)算方法。會(huì)求平面曲線的弧長、功、水壓力和引力。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：微元法、定積分的幾何、物理應(yīng)用。

難點(diǎn)：微元法。

4.思考題或練習(xí)題：

用定積分的微元法計(jì)算定積分幾何、物理方面的應(yīng)用題。

第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)17學(xué)時(shí)

1.教學(xué)內(nèi)容：空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)間距離公式，向量的概念，向量的加減法，向量與數(shù)的乘積，向量的分解與向量的坐標(biāo)，兩向量之間的關(guān)系（平行、垂直），向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積），平面方程及其求法，直線方程及其求法，曲線與曲面的概念，球面、柱面、投影、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、橢球面、拋物面、雙曲面的方程及圖形、空間曲線的參數(shù)方程及一般方程。

3.教學(xué)要求：

理解向量的概念。掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、點(diǎn)乘法、叉乘法）。掌握兩個(gè)向量夾角的求法與垂直、平行的條件。熟悉單位向量、方向余弦及向量的傳票坐標(biāo)的表達(dá)式。熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算。熟悉平面的方程和直線的方程及其教學(xué)法求法。理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其其圖形、掌握以坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。知道空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：向量的概念，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積和矢量積，平面方程（點(diǎn)法式、一般式、截距式），直線方程（參數(shù)式、對(duì)稱式、一般式），標(biāo)準(zhǔn)二次曲面方程，投影柱面。

難點(diǎn)：矢量積，投影柱面的概念，標(biāo)準(zhǔn)二次曲面的圖形。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）進(jìn)行向量的運(yùn)算；

（2）求平面的方程和直線的方程；

（3）求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

第五篇：高等數(shù)學(xué)上教案

第一章 函數(shù) 1.1集合，1.2函數(shù)，1.3函數(shù)的集中特性，1.4復(fù)合函數(shù)，1.5參數(shù)方程、極坐標(biāo)與復(fù)數(shù)

第二章極限與連續(xù) 2.1數(shù)列的極限，2.2函數(shù)的極限，2.3兩個(gè)重要的極限，2.4無窮

小量與無窮大量，2.5函數(shù)的連續(xù)性，2.6閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第三章 導(dǎo)數(shù)的微分 3.1導(dǎo)數(shù)的概念，3.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，3.3 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，3.4 高階導(dǎo)數(shù)，3.5函數(shù)的微分，3.6高階微分

第四章 微分中值定理及其應(yīng)用 4.1微分中值定理，4.2 L’Hspital法則，4.3 Taylor公式，4.4函數(shù)的單調(diào)性和極值，4.5函數(shù)的凸性和曲線的拐點(diǎn)、漸近線，4.6平面曲線的曲率

第五章 不定積分 5.1不定積分的概念和性質(zhì)，5.2換元積分法，5.3分部積分法，5.4

幾種特殊類型函數(shù)的不定積分

第六章 定積分 6.1定積分的概念，6.2定積分的性質(zhì)與中值定理，6.3微積分基本公式，6.4 定積分的換元法與分部積分法 6.5 定積分的近似計(jì)算6.6廣義積分

第七章 定積分的應(yīng)用 7.1微元法的基本思想，7.2定積分在幾何上的應(yīng)用，7.3 定積分

在物理上的應(yīng)用

第八章 微分方程 8.1 微分方程的基本概念，8.2 幾類簡(jiǎn)單的微分方程，8.3一階微分方

程8.4全微分方程與積分因子8.5二階常系數(shù)線性微分方程，8.6常系數(shù)線性微分方程