第四章

力學(xué)量用算符表達(dá)與表象變換

4.1）設(shè)與為厄米算符，則和也是厄米算符。由此證明，任何一個(gè)算符均可分解為，與均為厄米算符，且

證：?。?/p>

為厄米算符。

ⅱ）

也為厄米算符。

ⅲ）令，則，且定義

（1）

由?。?，ⅱ）得，即和皆為厄米算符。

則由（1）式，不難解得

4.2）設(shè)是的整函數(shù)，證明

整函數(shù)是指可以展開(kāi)成。

證：

（1）先證。

同理，現(xiàn)在，而。

又

而

4.3）定義反對(duì)易式，證明

證：

4.4）設(shè)，為矢量算符，和的標(biāo)積和矢積定義為，為L(zhǎng)evi-civita符號(hào)，試驗(yàn)證

（1）

（2）

（3）

證：

（1）式左端

（1）式右端也可以化成。

（1）式得證。

（2）式左端

（）

（2）式右端

故（2）式成立。

（3）式驗(yàn)證可仿（2）式。

4.5）設(shè)與為矢量算符，為標(biāo)量算符，證明

（1）

（2）

證：（1）式右端

（1）式左端

（2）式右端

（2）式左端

4.6）設(shè)是由，構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明

（1）

證：

（2）

（3）

同理可證，（4）

（5）

將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。

4.7）證明。

證：

利用基本對(duì)易式

即得。

因此

其次，由于和對(duì)易，所以

因此，4.8）證明

（1）

（2）

（3）

（4）

證:

（1）利用公式，有

其中

因此

（2）利用公式，（Δ）

可得

①

②

③

由①②③，則（2）得證。

（3）

（4）就此式的一個(gè)分量加以證明，由4.4）（2），其中

（即）

類(lèi)似地?？梢缘玫椒至亢头至康墓?，故（4）題得證。

4.9）定義徑向動(dòng)量算符

證明：，，證：，即為厄米算符。

據(jù)4.8）（1）。

其中，因而

以左乘上式各項(xiàng)，即得

4.10)利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。

解：一維諧振子能量。

又奇，，（由(3.8)、(3.9)題可知），由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，得。，得

同理有。

諧振子（三維）基態(tài)能量。

4.11)

利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算類(lèi)氫原子中電子的基態(tài)能量。

解：類(lèi)氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)換成（為氫原子系數(shù)）而理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑，在類(lèi)氫原子中變?yōu)椤?/p>

類(lèi)氫原子基態(tài)波函數(shù)，僅是的函數(shù)。

而，故只考慮徑向測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，類(lèi)氫原子徑向能量為：。

而，如果只考慮基態(tài)，它可寫(xiě)為，與共軛，于是，（1）

求極值

由此得（：玻爾半徑；：類(lèi)氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得

基態(tài)能量，運(yùn)算中做了一些不嚴(yán)格的代換，如，作為估算是允許的。

4.12)證明在分立的能量本征態(tài)下動(dòng)量平均值為0。

證：設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有

為求的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符與的對(duì)易關(guān)系：。

這里已用到最基本的對(duì)易關(guān)系，由此

這里用到了的厄米性。

這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符可以表示為兩個(gè)厄米算符和的對(duì)易子，則在或的本征態(tài)中，的平均值必為0。

4.13）證明在的本征態(tài)下。

（提示：利用，求平均。）

證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理有：。

4.14)

設(shè)粒子處于狀態(tài)下，求和

解：記本征態(tài)為，滿(mǎn)足本征方程，，利用基本對(duì)易式，可得算符關(guān)系

將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后兩項(xiàng)對(duì)平均值的貢獻(xiàn)互相抵消，因此

又

上題已證。

同理。

4.15)設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即），求

（a）的可能測(cè)值及平均值;

（b）的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率；

（c）的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。

解：，。

（a）由于已歸一化，故的可能測(cè)值為，0，相應(yīng)的幾率為。平均值。

（b）的可能測(cè)值為，相應(yīng)的幾率為。

（c）若，不為0，則（及）的可能測(cè)值為：，0。

1）在的空間，對(duì)角化的表象中的矩陣是

求本征矢并令，則，得，。

?。┤。?，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。

ⅱ）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。

ⅲ）取，得，歸一化后可得本征矢為。

在態(tài)下，取的振幅為，取的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為；

取的振幅為，相應(yīng)的幾率為?？値茁蕿?。

2）在的空間，對(duì)角化表象中的矩陣

利用，。，本征方程，，。

ⅰ），，本征矢為。在態(tài)下，測(cè)得的振幅為。幾率為；

ⅱ），，，本征矢為。在態(tài)下，測(cè)得的振幅為，幾率為。

ⅲ），，，本征矢為，在態(tài)下，測(cè)得幾率為。

ⅳ），，，本征矢為，在態(tài)下，測(cè)得的振幅為。幾率為；

ⅴ），，，本征矢為，在態(tài)下，測(cè)得的幾率為。

在態(tài)中，測(cè)（和）的可能值及幾率分別為：

4.16）設(shè)屬于能級(jí)有三個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)，和，彼此線形獨(dú)立，但不正交，試?yán)盟鼈儤?gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。

解：，。

是歸一化的。。

它們是正交歸一的，但仍然是簡(jiǎn)并的（可驗(yàn)證：它們?nèi)詫?duì)應(yīng)于同一能級(jí)）。

4.17）設(shè)有矩陣等，證明，，，表示矩陣相應(yīng)的行列式得值，代表矩陣的對(duì)角元素之和。

證：（1）由定義，故上式可寫(xiě)成：，其中是的任意一個(gè)置換。

（2）

（3）

（4）

（5）