【中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題】“二次函數(shù)”?？碱}型總結(jié)[精選]

第一篇：【中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題】“二次函數(shù)”?？碱}型總結(jié)[精選]

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【中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題】“二次函數(shù)”常考題

型總結(jié)

“二次函數(shù)”綜合題往往考察以下幾類，面積啊，周長啊，最值啊，或者與四邊形，圓等結(jié)合考察一些相關(guān)的性質(zhì)等，題目變化靈活，難度有點(diǎn)大，數(shù)姐今天整理了?？嫉念}型，希望對(duì)大家能有幫助！

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第二篇：初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)七大?？碱}型分類解析

首先，二次函數(shù)的考點(diǎn)在歷年的中考當(dāng)中，其變化的形式并非固定不變的。

很多同學(xué)就說唐老師怎么講的題太簡(jiǎn)單了，對(duì)于中考來說并沒有太大的幫助。但是我想說在中考復(fù)習(xí)當(dāng)中，我們并不是每一部分的內(nèi)容只盯著最難的題型來進(jìn)行講解，唐老師講解的每一個(gè)視頻或者是某一部分的內(nèi)容都是針對(duì)該考點(diǎn)近幾年的考察方式進(jìn)行考點(diǎn)的解析，希望能夠全面地幫助同學(xué)們了解考點(diǎn)以及其考察的形式。如果同學(xué)們都能做到將每一個(gè)考點(diǎn)的考察形式和解決該考點(diǎn)問題的方法都能掌握熟練，那么在壓軸題或者是難題當(dāng)中，其丟分也不會(huì)太多。

在每一個(gè)考點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的經(jīng)典的考題，例題解析的背后。針對(duì)該知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)所涉及到的基礎(chǔ)內(nèi)容都進(jìn)行了詳細(xì)的講解，希望通過該例題講解的形式，將其涉及到的知識(shí)點(diǎn)能夠進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，這也是給同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)階段做了很好的例證。這樣復(fù)習(xí)的方式，通過例題結(jié)合知識(shí)考點(diǎn)的方法能夠幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)該考點(diǎn)所涉及到的知識(shí)點(diǎn)和該類型的題型在解題過程中，其基本的思路和思路的突破方法都有哪些？

其次，針對(duì)不同的考點(diǎn)可能涉及的方法都略有不同，那么針對(duì)同一題型有不同的解法，對(duì)于在復(fù)習(xí)階段的同學(xué)來說是非常不錯(cuò)的選擇。不僅能夠解決際的問題，通過以自己方法的比對(duì)進(jìn)行思維的拓展與補(bǔ)充。

從不同的角度去思考這類型的題，會(huì)讓同學(xué)們?cè)谟龅阶约簺]見過的題型時(shí)，從自己學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)和內(nèi)容出發(fā)，一步一個(gè)腳印地去分析題型，那么解決這類題型也將是指日可待。

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)算是二次函數(shù)考點(diǎn)當(dāng)中比較重要，運(yùn)用比較多的考點(diǎn)之一。它要求同學(xué)們對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)有充分的了解，結(jié)合圖形通過數(shù)形結(jié)合的方法，將二次函數(shù)的基本運(yùn)用能夠達(dá)到快速，高效的解題，這個(gè)過程當(dāng)中就需要同學(xué)們結(jié)合實(shí)際的題型進(jìn)行條件的分析以及各個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)，這是我們?cè)趥淇茧A段必須經(jīng)歷的一個(gè)過程，這類題型在選擇的壓軸題當(dāng)中也會(huì)出現(xiàn)。這類題型大多是利用數(shù)形結(jié)合的方法來進(jìn)行解題，很多重要的解題思路和數(shù)據(jù)都是來源于圖像，只需要大家搞清楚這類題型的考察的套路，解決這類題型將會(huì)變得容易得多。

寫

第三篇：第三輪專題復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)常考類型題練習(xí)

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題第三輪專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)

?？碱愋皖}練習(xí)

1、如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

2、如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)

（1）求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得它與B，C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由

（3）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q，當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案)；

3、如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且.（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)在軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在。求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式．

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，能使得以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

6、拋物線y=﹣3x2+bx+c（b，c均是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（4，43），與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，且拋物線對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P．

（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)P作x軸的平行線l，若點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接QB．

①若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)線段AD的長最短時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（直接寫出答案即可）．

7、如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

8、二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的表達(dá)式；

（2）連接BD，當(dāng)t＝時(shí)，求△DNB的面積；

（3）在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（4）當(dāng)t＝時(shí)，在直線MN上存在一點(diǎn)Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（2，0）為圓心的⊙M與y軸相切于原點(diǎn)O，過點(diǎn)B（﹣2，0）作⊙M的切線，切點(diǎn)為C，拋物線y=-33x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)M．

（1）求這條拋物線解析式；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)C是否在（1）中拋物線上；

（3）動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸以每秒1個(gè)單位長的速度向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處．此時(shí)△BOQ與△MCB全等，求t的值．

10、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，過點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，請(qǐng)直接寫出P′點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

11、已知拋物線y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1＜0，x2＞0，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，OB＝2OA．

（1）求拋物線解析式；

（2）已知直線y＝x+2與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為M1、N1，是否存在點(diǎn)P，同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：

①P為拋物線上的點(diǎn)，且在直線MN上方；

②:＝6：35

若存在，則求點(diǎn)P橫坐標(biāo)t，若不存在，說明理由．

12、如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y軸，交拋物線于點(diǎn)D，DE垂直于x軸，垂足為E，直線l是該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求出該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移，使其直角邊OC與對(duì)稱軸l重合，再沿對(duì)稱軸l向上平移到點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，得到Rt△A1O1F，求此時(shí)Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分圖形的面積；

（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個(gè)單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分圖形的面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍．

13、如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（0，2），與x軸交于另一點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為D，E，求四邊形ODPE的周長的最大值；

（3）如圖2，點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為N，交AB于M，連接PB，PA．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)△ABP的面積等于△ABC面積的時(shí)，求t的值．

14、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

15、已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以O(shè)C、OA為邊作矩形AECO．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖2，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí)，求|PM﹣OM|的最大值．

（3）如圖3，將△AOC沿直線AC翻折得△ACD，再將△ACD沿著直線AC平移得△A＇C′D＇．使得點(diǎn)A′、C＇在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)D′，使得△A′ED′為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第四篇：人教版中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)

2021年人教版中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)

二次函數(shù)

（滿分120分；時(shí)間：90分鐘）

一、選擇題

（本題共計(jì)

小題，每題

分，共計(jì)24分，）

1.在下列函數(shù)表達(dá)式中，一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=x+3

B.y=ax2+bx+c

C.y=t2-2t+2

D.y=x2+1x

2.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是3．則關(guān)于的方程有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是()

A.或0

B.或2

C.或3

D.或4

3.函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是（）

A.B.C.D.4.二次函數(shù)y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(-2,?0)

B.(2,?0)

C.(0,?2)

D.(0,?0)

5.小強(qiáng)在一次訓(xùn)練中，擲出的實(shí)心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系大致滿足二次函數(shù)y=-112x2+23x+53，則小強(qiáng)此次成績(jī)?yōu)椋ǎ?/p>

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米

6.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，0)，對(duì)稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有()

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

7.若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，已知該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線過點(diǎn)（）

A.(-3,-6)

B.(-3,?0)

C.(-3,-5)

D.(-3,-1)

8.已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-1,-3)，則代數(shù)式mn+1有（）

A.最小值-3

B.最小值3

C.最大值-3

D.最大值3

二、填空題

（本題共計(jì)

小題，每題

分，共計(jì)24分，）

9.已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-3)，則該函數(shù)的關(guān)系式為________．

10.當(dāng)a-1≤x≤a時(shí)，函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1，則a的值為________.11.用配方法把二次函數(shù)y=12x2+2x-5化成y=a(x-h)2+k的形式為________．

12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象答下列問題：

（1）方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是________；

（2）不等式ax2+bx+c>0的解集是________；

（3）y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍是________．

13.二次函數(shù)y=x2+2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．

14.如圖是函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象，觀察圖象說明：當(dāng)x________（x取何值時(shí)），y<0，當(dāng)x________（x取何值時(shí)），y>0．

15.已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,?0)，與y軸的交點(diǎn)在(0,?2)與(0,?3)之間（不包含端點(diǎn)），有如下結(jié)論：①.2a+b=0②.3a+2c<0③．a(chǎn)+5b+2c>0；④．-1，則結(jié)論正確的有________.16.如圖，是二次函數(shù)?y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c>0．其中正確的命題是________．（只要求填寫正確命題的序號(hào)）

三、解答題

（本題共計(jì)

小題，共計(jì)72分，）

17.已知一拋物線與拋物線y=-12x2+3形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-5,?0)，根據(jù)以上特點(diǎn)，試寫出該拋物線的解析式．

18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如果將此二次函數(shù)的圖象向上平移n個(gè)單位后過點(diǎn)，再將點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位后得點(diǎn)Q，點(diǎn)Q恰好落在原二次函數(shù)的圖象上，求n的值．

19.已知拋物線y=ax2+x+b上的一點(diǎn)為(-1,-7)，與y軸交點(diǎn)為(0,-5)

（1）求拋物線的解析式．

（2）求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

20.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3,?0)、B(1,?0)，過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

(1)直接填寫：a=________，b=________，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為________；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

21.如果將拋物線y=2x2+bx+c沿直角坐標(biāo)平面先向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到了拋物線y=2x2-4x+3．

(1)試確定b，c的值；

(2)求出拋物線y=2x2+bx+c的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

22.已知：如圖，二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使銳角△AOB的面積等于3．求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

23.在數(shù)學(xué)拓展課上，九（1）班同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新函數(shù)y＝x2-2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：

【初步嘗試】求二次函數(shù)y＝x2-2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

【類比探究】當(dāng)函數(shù)y＝x2-2|x|時(shí)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，下表為y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．

…

-52

…

①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)你畫出該函數(shù)圖象的另一部分；

②根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．

【深入探究】若點(diǎn)M(m,?y1)在圖象上，且y1≤0，若點(diǎn)N(m+k,?y2)也在圖象上，且滿足y2≥3恒成立，求k的取值范圍．

第五篇：2018中考數(shù)學(xué)專題二次函數(shù)

2018中考數(shù)專題二次函數(shù)

（共40題）

1．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式；

（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM它的最小值．

2．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．

（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）設(shè)S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求對(duì)應(yīng)拋物線的解析式．

第1頁（共118頁）

3．如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CE+EF的最小值．

4．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A（0，3），與x正半軸相交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線x=1（1）求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN為矩形．

②當(dāng)t＞0時(shí)，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

第2頁（共118頁）

5．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C，作CD垂直X軸于點(diǎn)D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

6．我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對(duì)于這樣的拋物線：（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）和（﹣1，3）時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線y=﹣2x上時(shí)，求b的值；

（3）如圖，現(xiàn)有一組這樣的拋物線，它們的頂點(diǎn)A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，橫坐標(biāo)依次為﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B1、B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點(diǎn)Dn，求此時(shí)滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．

第3頁（共118頁）

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在BC邊上，對(duì)稱軸交BE于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

（3）點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，請(qǐng)問是否存在以點(diǎn)A，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第4頁（共118頁）

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；

②過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個(gè)角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

10．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1，①當(dāng)b=1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程；

②若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？

③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，以AB為直徑的半圓恰好過點(diǎn)M，二次函數(shù)的對(duì)稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點(diǎn)D、E、F，且滿足

=，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

第5頁（共118頁）

11．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 12．拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N．

①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；

②連結(jié)PB，過點(diǎn)C作CQ⊥PM，垂足為點(diǎn)Q，如圖2，是否存在點(diǎn)P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△MBN的面積為S，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；

（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)M（1，m），當(dāng)MB+MD的值最小時(shí)，求m的值；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值；

（4）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)N，E為直線AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥ND交拋物線于點(diǎn)F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

第7頁（共118頁）

15．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿足∠DBA=∠CAO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA分別交BC、y軸于點(diǎn)E、F，若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

16．如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B（﹣1，0），D（﹣2，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，點(diǎn)H是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H的直線PQ⊥x軸，分別交直線AD、拋物線于點(diǎn)Q，P．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使∠APB=90°，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）連接BQ，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BQ以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到Q，再沿線段QD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)t最少？

第8頁（共118頁）

17．如圖1，拋物線C1：y=x2+ax與C2：y=﹣x2+bx相交于點(diǎn)O、C，C1與C2分別交x軸于點(diǎn)B、A，且B為線段AO的中點(diǎn)．（1）求的值；

（2）若OC⊥AC，求△OAC的面積；

（3）拋物線C2的對(duì)稱軸為l，頂點(diǎn)為M，在（2）的條件下：

①點(diǎn)P為拋物線C2對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖2，點(diǎn)E在拋物線C2上點(diǎn)O與點(diǎn)M之間運(yùn)動(dòng)，四邊形OBCE的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

18．如圖，已知直角坐標(biāo)系中，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AB、AC．（1）求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）有一動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交線段CA于點(diǎn)M，連接PA、PB，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出

第9頁（共118頁）

點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

19．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點(diǎn)F，G，試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積；

（4）若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．

20．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），并且經(jīng)過點(diǎn)（4，2），直線y=x+1與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以BD為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)M（t，1），直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：圓C與x軸相切；

（3）過點(diǎn)B作BE⊥m，垂足為E，再過點(diǎn)D作DF⊥m，垂足為F，求BE：MF的值．

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21．如圖1，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣

2，0）、B（0，﹣2）兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，以DE為邊作矩形DEGF，使點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在AC或AC的延長線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將矩形DEGF沿GF所在直線翻折，得矩形D'E'GF，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D'的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在x軸上有一點(diǎn)M（2，0），連接BM、CM，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)矩形DEGF與四邊形ABMC重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段FE的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？

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若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

23．如圖1，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)A右側(cè)，連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，連接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？ ②試說明：無論點(diǎn)C如何移動(dòng)，AD始終與OB平行；

（2）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到使AC2=AE?AD時(shí)，如圖2，經(jīng)過O、B、C三點(diǎn)的拋物線為y1．試問：y1上是否存在動(dòng)點(diǎn)P，使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，將y1沿x軸翻折得y2，設(shè)y1與y2組成的圖形為M，函數(shù)y=的圖象l與M有公共點(diǎn)．試寫出：l與M的公共點(diǎn)為3個(gè)時(shí)，m的取值．

24．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

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（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 25．拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．

（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）如圖1，在（1）的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于D，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E，使S△ACE=S△ACD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)F（﹣1，﹣4），F(xiàn)G⊥y于G，在線段OG上是否存在點(diǎn)P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

26．如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與y軸交于點(diǎn)A．經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)B，以M為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過x軸上點(diǎn)D（2，第13頁（共118頁）

0）和點(diǎn)C（﹣4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：直線l是⊙M的切線；

（3）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且PE與直線l垂直，垂足為E；PF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PEF的面積最?。舸嬖冢?qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

27．如圖，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，并經(jīng)過B（4，4）和C（6，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒

個(gè)單位長度的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線DC運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)E作AB的垂線EF交直線AB于點(diǎn)F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí)，求出t的值；

（3）設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G都與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△BCG的面積為4時(shí)，直接寫出相應(yīng)的t值，并直接寫出點(diǎn)G從出發(fā)到此時(shí)所經(jīng)過的路徑長．28．拋物線y=ax2+bx+c過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點(diǎn)．

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（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖①，拋物線上一點(diǎn)D在線段AC的上方，DE⊥AB交AC于點(diǎn)E，若滿足求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，過A作直線l⊥AB，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABF相似，若存在，求P、Q的坐標(biāo)，并求此時(shí)△BPQ的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

29．如圖，已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣x﹣4與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線y=ax2+x+c上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點(diǎn)F．

=，（1）試求該拋物線表達(dá)式；

（2）如圖（1），過點(diǎn)P在第三象限，四邊形PCOF是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，連接AC． ①求證：△ACD是直角三角形；

②試問當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為何值時(shí)，使得以點(diǎn)P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？ 30．如圖，已知拋物線y=ax2﹣

2ax﹣9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)

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M，N．

（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，+

均為定值，并求出該定值．

31．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：

【問題】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a=

．

【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．【探究】在圖②中，過點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．

【應(yīng)用】P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．

32．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，t）（t＞0），二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）當(dāng)t=12時(shí)，頂點(diǎn)D到x軸的距離等于

；

（2）點(diǎn)E是二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；

（3）矩形OABC的對(duì)角線OB、AC交于點(diǎn)F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）

第16頁（共118頁）的圖象于點(diǎn)M、N，連接DM、DN，當(dāng)△DMN≌△FOC時(shí)，求t的值．

33．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+1交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y=﹣x+1交于點(diǎn)C（4，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)M作ME∥y軸交直線BC于點(diǎn)E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，求△DEM的周長．（3）將△AOB繞坐標(biāo)平面內(nèi)的某一點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1B1，點(diǎn)A，O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1，O1，B1，若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)．

34．已知，拋物線y=ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE=．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；

（3）在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，使S△ACP=S△ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，直接寫出點(diǎn)M

第17頁（共118頁）的坐標(biāo)．

35．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ．（1）填空：b=

，c=

；

（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由；

（3）在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使△PQM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）如圖②，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，0），線段PQ的中點(diǎn)為H，連接NH，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于直線NH的對(duì)稱點(diǎn)Q′恰好落在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)．

36．如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線

y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求拋物線的解析式；

第18頁（共118頁）

個(gè)單位的速度勻速

（2）問：當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；

（3）過點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

37．如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B，C，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線x=2．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)問在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）過S（0，4）的動(dòng)直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，試問拋物線上是否存在定點(diǎn)T，使得不過定點(diǎn)T的任意直線l都有∠MTN=90°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

38．如圖，拋物線C1：y1=ax2+2ax（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)P．

（1）直接寫出拋物線C1的對(duì)稱軸是

，用含a的代數(shù)式表示頂點(diǎn)P的坐標(biāo)

；（2）把拋物線C1繞點(diǎn)M（m，0）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2（其中m＞0），拋物線C2與x軸右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)Q．

第19頁（共118頁）

①當(dāng)m=1時(shí)，求線段AB的長；

②在①的條件下，是否存在△ABP為等腰三角形，若存在請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

③當(dāng)四邊形APBQ為矩形時(shí)，請(qǐng)求出m與a之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出當(dāng)a=3時(shí)矩形APBQ的面積．

39．已知二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）圖象的頂點(diǎn)G在直線AB上，其中 A（﹣，0）、B（0，3），對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+a2+2的關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，且AP平分四邊形GAEP的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）在x軸上方，是否存在整數(shù)m，使得當(dāng)

＜x≤

時(shí)，拋物線y隨x增大而增大？若存在，求出所有滿足條件的m值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

40．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y=x﹣3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)C作直線CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線CD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PE交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，連接AC，過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段MN的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

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（3）在（2）的條件下，連接PC，過點(diǎn)B作BQ⊥PC于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在線段PC上），BQ交CD于點(diǎn)T，連接OQ交CD于點(diǎn)S，當(dāng)ST=TD時(shí)，求線段MN的長．

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參考答案與試題解析

（共40題）

1．（2017?蘭州）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式；

（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM它的最小值．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，∴∴，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點(diǎn)A，B，∴∴，第22頁（共118頁）

，∴直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG=OB=4，∴|﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4|=4，∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣

2，）或（2﹣2，﹣12+12）． ∴G（﹣2，4）或（2+2

（3）①如圖1，﹣12﹣12由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，∴設(shè)E（a，2a+4），∵直線AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），設(shè)H（0，p），∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF為對(duì)角線，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如圖2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點(diǎn)P，∴PE=，第23頁（共118頁）

連接PC交⊙E于M，連接EM，∴EM=EH=，∴∵∴=，=，=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，設(shè)點(diǎn)P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC=即：AM+CM=．

=，第24頁（共118頁）

2．（2017?貴港）如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．

（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）設(shè)S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求對(duì)應(yīng)拋物線的解析式．

第25頁（共118頁）

【解答】解：

（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；

（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如圖，設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=

∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，第26頁（共118頁）

∴k=3；

（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD為直角三角形時(shí)，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，①當(dāng)∠CBD=90°時(shí)，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此時(shí)拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

②當(dāng)∠CDB=90°時(shí)，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣此時(shí)拋物線解析式為y=

x2﹣

2x+

；

x2﹣2

．

（舍去）或a=，綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y=3．（2017?濱州）如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；

（3）若點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CE+EF的最小值．

【解答】解：（1）由題意可得，解得，∴直線解析式為y=x+3；

（2）如圖1，過P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點(diǎn)

第27頁（共118頁）

Q，則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，設(shè)H（m，m+3），則PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+∴d與x的函數(shù)關(guān)系式為d=（x﹣）2+∵＞0，∴當(dāng)x=時(shí)，d有最小值，此時(shí)y=﹣（）2+2×+1=∴當(dāng)d取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；，（3）如圖2，設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，由對(duì)稱的性質(zhì)可得CE=C′E，第28頁（共118頁）

∴CE+EF=C′E+EF，∴當(dāng)F、E、C′三點(diǎn)一線且C′F與AB垂直時(shí)CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（2）可知當(dāng)x=2時(shí)，d=×（2﹣）2+即CE+EF的最小值為

．

=，4．（2017?廣安）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A（0，3），與x正半軸相交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線x=1（1）求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN為矩形．

②當(dāng)t＞0時(shí)，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

第29頁（共118頁）

【解答】解：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c對(duì)稱軸是直線x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵拋物線過A（0，3），∴c=3，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）①由題意可知ON=3t，OM=2t，∵P在拋物線上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四邊形OMPN為矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴當(dāng)t的值為1時(shí)，四邊形OMPN為矩形； ②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，∴當(dāng)t＞0時(shí)，OQ≠OB，∴當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，由題意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ=

=，BQ=

第30頁（共118頁）

=|2t﹣3|，又由題意可知0＜t＜1，當(dāng)OB=QB時(shí)，則有當(dāng)OQ=BQ時(shí)，則有綜上可知當(dāng)t的值為|2t﹣3|=3，解得t=

（舍去）或t=

；

|2t﹣3|，解得t=；

或時(shí)，△BOQ為等腰三角形．

5．（2017?宜賓）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

【解答】解：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，第31頁（共118頁）

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，向右平移了7或9個(gè)單位，∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，∴可設(shè)P（2，t），由（2）可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8），①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為N，如圖，則∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，設(shè)Q（x，y），則QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，當(dāng)x=﹣2或x=6時(shí)，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，第32頁（共118頁）

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，∵B（5，0），E（1，8），∴線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），設(shè)Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；

綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

6．（2017?貴陽）我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對(duì)于這樣的拋物線：

（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）和（﹣1，3）時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線y=﹣2x上時(shí)，求b的值；

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）和（﹣1，3），∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣3x2﹣6x；

（2）∵拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣∴﹣=﹣2×（﹣），﹣），且該點(diǎn)在直線y=﹣2x上，∵a≠0，∴﹣b2=4b，第33頁（共118頁）

解得b1=﹣4，b2=0；

（3）這組拋物線的頂點(diǎn)A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，由（2）可知，b=4或b=0．

①當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，舍去； ②當(dāng)b=﹣4時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=ax2﹣4x．

由題意可知，第n條拋物線的頂點(diǎn)為An（﹣n，2n），則Dn（﹣3n，2n），∵以An為頂點(diǎn)的拋物線不可能經(jīng)過點(diǎn)Dn，設(shè)第n+k（k為正整數(shù)）條拋物線經(jīng)過點(diǎn)Dn，此時(shí)第n+k條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），∴﹣=﹣n﹣k，∴a=

=﹣，x2﹣4x，∴第n+k條拋物線的表達(dá)式為y=﹣∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k條拋物線上，∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，∵n，k為正整數(shù)，且n≤12，∴n1=5，n2=10．當(dāng)n=5時(shí)，k=4，n+k=9；

當(dāng)n=10時(shí)，k=8，n+k=18＞12（舍去），∴D5（﹣15，10），∴正方形的邊長是10．

7．（2017?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

第34頁（共118頁）

【解答】解：

（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，解得，∴PO=PD，此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=∴存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，﹣2）；

（小于0，舍去）或x=，第35頁（共118頁）

∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PBC最大值為8，此時(shí)t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8．

8．（2017?西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在BC邊上，對(duì)稱軸交BE于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

第36頁（共118頁）

【解答】解：

（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），∵拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形．證明：

由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，∴△EDB為等腰直角三角形；（3）存在．理由如下：設(shè)直線BE解析式為y=kx+b，把B、E坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線BE解析式為y=x+1，當(dāng)x=2時(shí)，y=2，∴F（2，2），①當(dāng)AF為平行四邊形的一邊時(shí)，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的第37頁（共118頁）

距離為2，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2或﹣2，在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，∴x＞2，∴x=，2）；，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，∴x＞2，∴x=，﹣2）； ∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵A（4，0），F(xiàn)（2，2），∴線段AF的中點(diǎn)為（3，1），即平行四邊形的對(duì)稱中心為（3，1），設(shè)M（t，﹣t2+3t），N（x，0），則﹣t2+3t=2，解得t=∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，∴x＞2，∴t=，2）；，2）或（，﹣2）．，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（9．（2017?鹽城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

第38頁（共118頁）

（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；

【解答】解：（1）根據(jù)題意得A（﹣4，0），C（0，2），∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；（2）①如圖，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），過D作DM⊥x軸交AC于點(diǎn)M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，第39頁（共118頁）

設(shè)D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴==

（a+2）2+；

∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，的最大值是；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，情況一：如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，第40頁（共118頁）

∴xD=﹣2，情況二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，設(shè)FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=﹣，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2或﹣

．

第41頁（共118頁）

10．（2017?株洲）已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1，①當(dāng)b=1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程；

②若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？

=，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

【解答】解：①二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的對(duì)稱軸為x=，當(dāng)b=1時(shí)，=，∴當(dāng)b=1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為x=． ②二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，∵二次函數(shù)的圖象與x軸相切且c=﹣b2﹣2b，），∴，解得：b=，∴b為，二次函數(shù)的圖象與x軸相切． ③∵AB是半圓的直徑，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°，∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，第42頁（共118頁）

∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OA?OB，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1?x2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點(diǎn)D、E、F，且滿足∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴∴DE=∴，DF=×4，，=，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，∵x1?x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+x+1．

11．（2017?棗莊）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

第43頁（共118頁）

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，解得，設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，第44頁（共118頁）

∴=，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有（﹣1，）；

=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有為（﹣3，﹣）；

=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；

（3）如圖2，設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n），∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+

或n=﹣1﹣，）． ∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣212．（2017?海南）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N．

①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求

第45頁（共118頁）

出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；

【解答】解：

（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），∴，解得，∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2﹣

x+3；

（2）①∵點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，∴可設(shè)P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN=t+3﹣（t2﹣

t+3）=﹣（t﹣）2+

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，第46頁（共118頁）

則CE=t，DF=7﹣t，∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=2PN?CE+PN?DF=PN=[﹣（t﹣）2+

]=﹣（t﹣）+，； ∴當(dāng)t=時(shí)，△PCD的面積有最大值，最大值為②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時(shí)，有∵CQ⊥PM，垂足為Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，∴=，t+3），M（t，0），B（5，0），第47頁（共118頁）

或=兩種情況，∵P（t，t2﹣

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣當(dāng)

t+3）=﹣t2+

t﹣3，時(shí)，則PM=BM，即﹣t2+

t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此時(shí)P（2，﹣）；當(dāng)=時(shí)，則BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+，﹣）；，﹣）．

t﹣3），解得t=

或t=5（舍去），此時(shí)P（綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，﹣）或（13．（2017?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1．（1）求拋物線的解析式；

（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1． ∴A（﹣2，0），把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、點(diǎn)C（0，3），分別代入y=ax2+bx+c（a≠0），得，第48頁（共118頁）

解得，所以該拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+3；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．在Rt△BOC中，BC=

=5．

如圖1，過點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H． ∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即=，∴HN=t．

∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t=﹣當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2，∴當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大=．

；

t2+t=﹣

（t﹣1）2+，答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

（3）如圖2，在Rt△OBC中，cos∠B=

=．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．

當(dāng)∠MNB=90°時(shí)，cos∠B=化簡(jiǎn)，得17t=24，解得t=

=，即，第49頁（共118頁）

=，當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，cos∠B=化簡(jiǎn)，得19t=30，解得t=綜上所述：t=或t=

=，時(shí)，△MBN為直角三角形．

14．（2017?廣元）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)M（1，m），當(dāng)MB+MD的值最小時(shí)，求m的值；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值；

第50頁（共118頁）

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