第一篇：常規(guī)數(shù)列求和之錯位相減法教案

常規(guī)數(shù)列求和之錯位相減法

例

1、已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn．

(1)證明數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)求數(shù)列{n·an}的前n項和Tn．

例

2、已知數(shù)列{an}滿足Sn＝2an＋3n－12．

(1)證明數(shù)列{an－3}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)求數(shù)列{n·an}的前n項和Tn．

第二篇：《數(shù)列求和之錯位相減法》教學(xué)設(shè)計

《數(shù)列求和之錯位相減法》教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標：

讓學(xué)生能夠理解錯位相減法，并能夠應(yīng)用錯位相減法求數(shù)列的前n項和。教學(xué)重點： 錯位相減法的應(yīng)用 教學(xué)難點：

錯位相減法的計算過程 教學(xué)內(nèi)容：

一、課前復(fù)習(xí)

回顧等比數(shù)列前n項和的求和公式：

設(shè)計意圖：由于應(yīng)用錯位相減法解題時必定會使用等比數(shù)列前n項和的通項公式求和，因此有必要做好復(fù)習(xí)鋪墊工作。

二、問題探究

數(shù)列{an}的通項公式an?n，數(shù)列{bn}的通項公式bn?2n，求數(shù)列{an?bn}的前n項和。設(shè)計意圖：由具體問題引入課題，引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中所求數(shù)列通項的特點，即“等差×等比”型。

解決方法：展示并敘述“錯位相減法”的具體操作步驟，具體如下：

由此歸納“錯位相減法”核心要領(lǐng)：乘公比，錯位，相減。設(shè)計意圖：整個過程的完整展示，幫助學(xué)生建立一個清晰的計算步驟，以此學(xué)會解決此類型的數(shù)列求和問題，主要體現(xiàn)設(shè)計的實用性。

三、當堂練習(xí)

設(shè)計意圖：為了鞏固復(fù)習(xí)錯位相減法，讓學(xué)生對不同“長相”，但都屬于“等差×等比”型題目能熟悉，從而確信并有意識強化學(xué)習(xí)。

四、歸納小結(jié)

1、首先進行使用“錯位相減法”時易出錯的4點進行歸納強調(diào)。

2、再整體上對此段的學(xué)習(xí)進行小結(jié)，再次提升

設(shè)計意圖：有學(xué)習(xí)必有總結(jié)。任何一種解題方法都有其使用條件、適用范圍，以及易錯點等等。學(xué)生通過學(xué)習(xí)，也能自覺感知并總結(jié)，由此深化數(shù)學(xué)解題方法的學(xué)習(xí)。

五、作業(yè)布置

設(shè)計意圖：課下練習(xí)，進一步鞏固掌握“錯位相減法”

第三篇：錯位相減法畢業(yè)論文素材

導(dǎo)語：錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法。應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。下面是小編收集整理的錯位相減法畢業(yè)論文素材，歡迎參考！

【錯位相減法畢業(yè)論文素材一】

一、問題的提出

a1(1-qn)我們都知道，高一課本第一冊(上)在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式Sn= 1-q，隨即在書中的第137頁復(fù)習(xí)參考題三B(q≠1)的過程中運用了著名的“錯位相減法”。

組中出現(xiàn)了運用該方法來解決的求和問題：

6、S=1+2x+3x2+??+nxn-1。這類數(shù)列的主要特征是：已知數(shù)列{Cn}滿足Cn=an?bn其中{an}等差，{bn}等比且公比不等于1，老師們形象地稱這類數(shù)列{Cn}為“等差乘等比型”數(shù)列。求這類數(shù)列前n項的和時通常在和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法即所謂的“錯位相減法”。而且近年來的各地乃至全國高考的試卷中頻頻出現(xiàn)此類型的數(shù)列的求和問題，解法當然是不變的“錯位相減法”，而且老師在平時的講題中也一再強調(diào)該類型的前n項和只能用錯位相減法來解決，似乎成了“自古華山一條道”的絕法。難道真的沒有其他的解決方法了嗎?這的確沒有讓我墨守成規(guī)，反而激起了我無限的探索欲。

二、特例解決帶來的啟發(fā)

當q≠1時等比數(shù)列{an}通項an=a1qn-1可變形為an=a1qn-1?a1-q=1(qn-1-qn)1-q1-q

于是前n項和Sn=a1a[(1-q1)+(q1-q2)+?+(qn-1-qn)]=1(1-qn)1-q1-q

受到上面變形的啟發(fā)，我想既然等比數(shù)列的通項可以裂成兩項的差的形式，那么公比不為1的“等差乘等比型”數(shù)列的通項如果也能裂成類似的形式，那么讓我苦思冥想的那個求和方法不就神奇的找到了嗎?在此之前，我們老師還一再強調(diào)此類數(shù)列的求和不能用裂項相消，如果這一設(shè)想成功的話，算不算是觀念和方法上的一次突破。

三、一個方法的發(fā)現(xiàn)

裂項求和也是數(shù)列求和中最常用的一種方法，它的本質(zhì)是將數(shù)列中的每一項都化為兩項之差，并且前一項的減數(shù)恰好與后一項被減數(shù)相同，求和時中間項相抵消。

【錯位相減法畢業(yè)論文素材二】

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)行高中教材中，只對等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行了計算推導(dǎo)，而數(shù)列種類繁多，形式復(fù)雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。很多同學(xué)遇到數(shù)列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學(xué)把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯位相減是一個比較重要的內(nèi)容，也是一個及其有效的解決數(shù)列求和的簡便方法，但是由于它的計算量比較大，同時要反復(fù)列出幾個式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導(dǎo)致一些同學(xué)放棄或者只計算其中的一部分。實際上，通過分層次練習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗，并找到規(guī)律，這類問題的求解會變得相當?shù)暮唵巍?/p>

一、錯位相減理論分析

錯位相減是高中數(shù)學(xué)教材中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的一種思想方法，它在解決由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積所構(gòu)成的數(shù)列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨特性與實用性，并且與課本知識緊密結(jié)合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以把它轉(zhuǎn)化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯位相減，就得到了一個含有等比數(shù)列的等式，細心計算，便不難求解。

二、錯位相減題目舉例

首先，我們先看一道最簡單的例題，從簡單題中得到啟發(fā)。

例1.已知數(shù)列an=nλnλ，求數(shù)列的和。

解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①

兩邊同時乘以λ，得

λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②

①-②，得

JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).這是一個最簡單的錯位相減，同時也是解決錯位相減問題的一個基礎(chǔ)題目。

下面，我們來看一道有些麻煩的題目。

例二.an=1-2n)2n，求Sn.解：由題意知，JZan=(1-2n)2n，JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，即

DKSn=(1-2)2+(1-4)22+(1-6)23+…+(1-2n)2nDK)JY①

①×2得

DK2Sn=(1-2)22+(1-4)23+…+(3-2n)2n+(1-2n)2n+1DK)JY②

②-①得

JZSn=2+222+23+…+22n-(2n-1)2n+

1JZ=2+2SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1

JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6

例二是一個具體化的錯位相減問題，對于這些直接列出的題目，大多數(shù)的學(xué)生都可以做出來，出錯率也比較的低，但是，在如今這樣一個考驗學(xué)生綜合素質(zhì)=的社會中，我們遇到的大多都是多個知識點結(jié)合的題目。下面我們通過一道高考題來進一步認識一下錯位相減。

例三.已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為-4.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求數(shù)列的前n項和.解：(1)設(shè){an}的公差為d，則由已知得

JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)

解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.(2)由(1)知，bn=nqn-1，于是JZSn=1q0+2q1+3q2+…+nqn-1，若q≠1，上式兩邊同時乘以q.JZqSn=1q1+2q2+3q3+…+nqn-1，兩式相減得：

JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-nqn=SX1-qn1-qSX)-nqn.JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXnqn1-qSX)=SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)

SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)

針對這個問題，許多同學(xué)容易忽視對于q的討論致使題目出錯。這個問題的關(guān)鍵是對于等比數(shù)列的定義的認識，若是忽視了等比數(shù)列定義中對于公比的界定，則很容易導(dǎo)致問題出錯。我們回顧例一可以發(fā)現(xiàn)，在例一中我們對公比進行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進行討論。

三、方法總結(jié)

A.分析題型，確定類型。錯位相減問題具有很強的規(guī)律性，當然也適應(yīng)特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯位相減法是否使用。首先，確定是否為數(shù)列類型的題目;其次再確定是否為求和問題;最后，通過觀察通項的類型，確定是否可以使用錯位相減法解決問題。錯位相減法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的有效結(jié)合，即

JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列。

B.錯位相減的做題方法

以例1為例，即

Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①

λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②

(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒數(shù)，解題方法類似);

2.①-②得③(③式為：留①頭，減②尾，中間對應(yīng)次數(shù)相減的同系數(shù));

3.③里面含有n+1項;

4.按照等比數(shù)列求和方法求③式的前n項的和，減去第n-1項;

5.③式兩邊同時除以SX1λ-1SX)得最后的結(jié)果。

在使用錯位相減求和時，一定要善于識別這類題目，準確的識別是正確解題的關(guān)鍵。同時要十分注意等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形，此外，一定要注意在書寫的時候注意將①②兩式的“錯項對齊”，即將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子(即式①)前面空出一項，另外一個式子(即式②)后面就會多出一項，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項和最后一項，剩下的n-1項是一個等比數(shù)列。當然認真細致，悉心體會，記住規(guī)律，耐住性子也是相當重要的。

“知行統(tǒng)一”的重要性大家應(yīng)該都知道，當我們記住了理論的知識，勤加練習(xí)，反復(fù)運用才會使我們事倍功半，恰巧，錯位相減正需要我們的大量練習(xí)，在不斷的練習(xí)，反復(fù)的刺激我們的記憶細胞下才有可能使我們在做題的時理論練習(xí)實際，減少出錯率。

第四篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯位相減：適用于數(shù)列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項相消：適用于數(shù)列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習(xí)1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習(xí)2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習(xí)3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設(shè)f(x)?4x4x?2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項；

（Ⅱ）設(shè)bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數(shù)列{an}的前n項和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第五篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學(xué)目標

（一）知識與技能目標

數(shù)列求和方法．

（二）過程與能力目標

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)重點：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學(xué)難點：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)過程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結(jié): 對某些前后具有對稱性的數(shù)列,可運用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設(shè)正項等比數(shù)列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設(shè)數(shù)列的通項為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結(jié)：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數(shù)列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數(shù)列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產(chǎn)生相消為零的項的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學(xué)案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10