第一篇：2.1曲線與方程 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

[1]了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系 [2]初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的涵義 [3]強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉化的思想

2.教學重點/難點

教學重點：理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的涵義 教學難點：利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程式曲線的方程

3.教學用具

多媒體設備

4.標簽

教學過程

教學過程設計

復習引入

【師】在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系：在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線，請思考下面問題： 【板演/PPT】

思考1 直線y＝x上任一點M到兩坐標軸距離相等嗎？

思考2 到兩坐標軸距離相等的點都在直線y＝x上，對嗎？

思考3 到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是什么？為什么？ 【生】學生思考交流 2 新知介紹

[1]結合具體實例，引入曲線方程和方程曲線概念 【師】：引導學生發(fā)言總結 【板演/PPT】 答 y＝±x.理由：在直角坐標系中，到兩坐標軸距離相等的點M的坐標(x0，y0)滿足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；

反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)為坐標的點到兩坐標軸距離相等． 【師】思考下面問題：

思考4 曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解，能否說f(x，y)＝0是曲線C的方程？

思考5 判斷下列命題是否正確．

(1)以坐標原點為圓心，半徑為r的圓的方程是y＝(2)過點A(2,0)平行于y軸的直線l的方程為|x|＝2.【生】思考總結 【板演/PPT】

解(1)不正確．設(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.兩邊開平方取算術平方根，得的解，則y0＝，即

；

＝r即點(x0，y0)到原點的距離等于r，點(x0，y0)是這個圓上的點．因此滿足以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．但是，以原點為圓心、半徑為r的圓上的一點如點在圓上，卻不是y＝的解，這就不滿足曲線上的點的坐標都，是方程的解．所以，以原點為圓心，半徑為r的圓的方程不是y＝而應是y＝±

.(2)①、直線上的點的坐標都滿足方程︱x︱=2

②、滿足方程︱x︱=2的點不一定在直線上 結論：過A（2，0）平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=2 【師】引導學生交流思想總結曲線方程的概念 【板演/PPT】

曲線的方程、方程的曲線

一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線． 【師】 引導學生深入理解定義，從充要條件來理解這個定義 【板演/PPT】

定義中的兩個條件是判定一個方程是否為所定曲線的方程，一條曲線是否為所定方程的曲線的依據(jù)，缺一不可． 從邏輯知識來看：

第一個條件表示f(x，y)＝0是曲線C的方程的必要條件，第二個條件表示f(x，y)＝0是曲線C的方程的充分條件．因此，在判斷或證明f(x，y)＝0為曲線C的方程時，必須注意兩個條件同時成立． 【板演/PPT】 從集合角度理解為：

定義的實質是平面曲線的點集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之間的一一對應關系．

由曲線和方程的這一對應關系，既可以通過方程研究曲線的性質，又可以求曲線的方程 [2]概念應用

【師】下面我們看屏幕上的例題 【板演/PPT】 例1：若命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題為真命題的是()．

A．不是曲線C上的點的坐標，一定不滿足方程f(x，y)＝0 B．坐標滿足方程f(x，y)＝0的點均在曲線C上 C．曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線

D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲線C上的點.【師】從定義入手，考慮充要條件 【生】思考回答 【板書/PPT】

解析 ∵題設命題只說明“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都是曲線C上的點”，∴A，B，C都是假命題，如曲線C：平面直角坐標系一、三象限角平分線上的點，與方程f(x，y)＝x2－y2＝0，滿足題設條件，但卻不滿足選項A，B，C的結論，根據(jù)逆否命題是原命題的等價命題知，D是正確的． 【師】規(guī)律方法

(1)判斷方程是否是曲線的方程，要從兩個方面著手，一是檢驗點的坐標是否適合方程，二是檢驗以方程的解為坐標的點是否在曲線上．從而建立方程的解與曲線上點的坐標的一一對應關系．

(2)定義中的兩個條件是判定一個方程是否為指定曲線的方程，一條曲線是否為所給定方程的曲線的準則，缺一不可．因此，在證明f(x，y)＝0為曲線C的方程時，必須證明兩個條件同時成立．

【師】為了深刻的理解方程與曲線，我們來看下列一個問題 【板書/PPT】

[例2] 下列方程表示如圖所示的直線，對嗎？為什么？不對請改正．

【生】分析各個方程所表示的曲線是否與圖中圖象符合 【板書/PPT】 解：不對，應為y=x 【師】引導學生反思總結 【板書/PPT】 反思與感悟

判斷方程表示什么曲線，必要時要對方程適當變形，變形過程中一定要注意與原方程等價，否則變形后的方程表示的曲線就不是原方程的曲線． 【板書/PPT】

【師】引導學生思考 【板書/PPT】

方法點撥(1)判斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標是否是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上．

解：帶入驗證知P點在此方程所表示的曲線上，Q點不在?！景鍟?PPT】(2)若點在此方程表示的曲線上，求m的值． 解：將點帶入方程后解方程得：

遷移訓練（12分）若曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(a，－a)，a∈R，求k的取值范圍．

【師】引導學生思考

【板書/PPT】

[3] 新知應用

【師】為了深刻的理解本節(jié)內容，我們來看下列一個問題 【板書/PPT】

1.曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點中在曲線C上的是（）

A.(0,0)B.(1,5)

C.(4,4)

C.(4,2)2.已知坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么（）A.曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)＝0 B.凡坐標不適合f(x，y)＝0的點都不在C上 C.不在C上的點的坐標必不適合f(x，y)＝0 D.不在C上的點的坐標有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0 3.下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是

【師】 能否根據(jù)引例中的檢驗方式進行相關分析 4.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲線為（）

A.一條直線

B.一條射線

C.一條線段

D.不能確定 5.方程x2＋xy＝x表示的曲線是（）

A.一個點

B.一條直線 C.兩條直線

D.一個點和一條直線 6.“點M在曲線y2＝4x上”是“點M的坐標滿足方程y＝－2

”的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 7.請說出下列方程表示什么曲線？

答案：CCDBCB

課堂小結

1.曲線的方程和方程的曲線必須滿足兩個條件： ①曲線上點的坐標都是方程的解，②以方程的解為坐標的點都在曲線上． 2.點(x0，y0)在曲線C上的充要條件是點(x0，y0)適合曲線C的方程． 3.曲線和方程質檢一一對應的確立，進一步把“曲

線”與“方程”統(tǒng)一了起來，在此基礎

上，我們就可以更多地用代數(shù)的方法研究幾何問題.板書

第二篇：“曲線與方程”教學設計

“曲線與方程”教學設計

深圳中學 郭慧清

一、教學內容與內容解析 1．內容：

（1）曲線的方程與方程的曲線的概念；（2）求曲線的方程；（3）坐標法的基本思想與簡單應用.2．內容解析：

“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學課程標準》規(guī)定的教學內容．在教學時，不少人認為只是為后面學習橢圓、雙曲線、拋物線做準備．盡管學習這一內容是學生體會并理解圓錐曲線與其方程的基礎，但人們將碰得的曲線遠非這些．因此，教學時不僅要讓學生學習如何求曲線的方程，而且要通過這一內容培養(yǎng)學生的坐標法思想，使學生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉化為數(shù)量關系，并通過代數(shù)運算等方便手段，處理已得到的數(shù)量關系,進而得出曲線的幾何性質，并達到利用曲線為人們服務的目的．因此，學習這一部分內容可以加深學生對數(shù)學中的代數(shù)方法的認識，也能夠讓學生更好地體會數(shù)學的本質．

在平面直角坐標系建立以后，任何曲線都有唯一的方程，任何方程也都有唯一確定的曲線(或點集)．因此，曲線的方程是曲線的唯一表示．這種表示，為人們表達自己的思想認識提供了一種規(guī)范，這是人們應該具備的基本素養(yǎng)．

二、教學目標與目標解析 1．目標：

（1）通過實例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學習過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關系；

（2）通過實例體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程；

（3）通過實例體會不同的平面直角坐標系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當”地建立平面直角坐標系.（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會坐標法的基本思想及簡單應用． 2．目標解析：

教學目標（1）和（2）是本節(jié)課的教學重點，教學時落實好目標（1）、（2）和（3）是實現(xiàn)教學目標（4）的前提與保證.學生通過函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學習，對曲線的方程與方程的曲線這些概念有了初步認識，但這只是一種意會，我們現(xiàn)在的任務是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學生能從“定義”的角度去理解這些概念.教學目標（3）是學生初學時不易達到的目標，教學時要提供學生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標系中的方程的簡潔程度，讓學生體會建立坐標系時應該關注的要點．

對許多與曲線有關的具體問題而言，原本是沒有坐標系的．因此，通過這樣的問題，可以使學生體會如何建立坐標系，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，這應該是實現(xiàn)教學目標（4）的一種較好的方法．

三、教學問題診斷分析 1．如何理解曲線與其方程之間的關系？學生可以很流利地背出曲線與其方程應該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關系”，這是學生學習時可能遇到的第一個教學問題.這個問題可以結合“直線與其方程”、“圓與其方程”進行說明．

2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角坐標系？這是學生會遇上的第二個教學問題，也是本節(jié)課的教學難點之一．教學時，應通過實例，幫助學生總結出建立坐標系的基本要點，并用具體問題讓學生練習進行體會．

3．在將曲線上的點應該滿足的幾何特征轉化為點的坐標應滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對于有些復雜的等式，化簡是一個學生不易把握的問題，學生在此極易出錯，這是第三個教學問題.教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，因而宜使用信息技術工具解決這個問題.4．學生學習時，可能會因更多地關注代數(shù)運算而忽略數(shù)學思想的提煉，這個教學問題的解決，需要教師有目的地進行引領.四、教學支持條件

1．在進行本節(jié)課的教學時，學生已經(jīng)在數(shù)學必修1中學習了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學必修2中學習了直線的方程與圓的方程，這些內容是學生理解曲線與方程概念的重要基礎，因此教學時應充分注意這一教學條件，引導學生多進行歸納與概括.2．曲線與方程是數(shù)形結合的典范，教學這一內容時會涉及大量圖形的繪制與方程的簡化等代數(shù)運算，因此，TI圖形計算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學中充分利用這一條件，不僅可以節(jié)省大量時間用于學生思考，而且可以對實際問題中的數(shù)據(jù)不加“修飾”地進行分析.五、教學過程設計

引子：如果你邀請朋友在你所在城市的某餐館聚會，你會怎樣告訴他（她）聚會地點？例如，如果聚會地點在“深圳市筍崗路南，寶安路東的澳葡街”（如圖一），你會怎樣說？

（圖一）

（圖二）

意圖：通過建立平面直角坐標系，用坐標來刻畫點的位置，為后面用點與坐標的對應關系來研究曲線與方程的關系作準備，同時讓學生體會坐標法思想。

師生活動：教師提出問題讓學生思考，然后通過建立平面直角坐標系，給出聚會地點的坐標（如圖二）。[問題1] 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線（航行方向與東向西方向的夾角的正切值為4/7），那么它是否會受到臺風的影響？

這是同學們在學習數(shù)學必修2時曾經(jīng)研究過的問題，你能說說你現(xiàn)在會怎樣解決這個問題？ 意圖：體會坐標法的思想，強調研究曲線與方程的概念的必要性，讓學生體會數(shù)學方法的好處.師生活動：教師提出問題后讓學生交流并回答他們的想法，在此基礎上，教師歸納并演示過程：如圖建立直角坐標系，得出船的航線的方程為4x+7y-28=0，圓形區(qū)域的邊界圓的方程為x+y=9.聯(lián)解上面兩個方程所成的方程組有一定的困難，可以通過TI圖形計算器求解，如下列圖示：

2由此可見讓船按原定航線航行不會出現(xiàn)危險．

進一步問學生：如果沒有坐標法，沒有直線的方程與圓的方程，但要確定能否讓船按原定航線航行，你會怎樣做？

[問題2]我們知道，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點(x0,y0)，且方向向量為確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？

意圖：為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.師生活動：讓學生嘗試求直線的方程，在得出直線的方程后，教師介紹怎樣說明所得的方程就是直線的方程．

[問題3] 你能說明中心在(a,b)，半徑為的圓的方程是(x-a)+(y-b)=r嗎？

2的直線是唯一意圖：讓學生體會教師在[問題2]中介紹的“說明所得方程是直線的方程”的方法，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準備.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生完成說明過程.[問題4] 對一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程與方程的曲線的概念.最后問學生：

[問題5] 給定命題A：“方程f(x,y)=0是曲線曲線”，請問命題A與命題B是否互為充要條件？

意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念的認識.師生活動：學生回答，教師評析．學生完成教材P37練習第1題，并將題中的“中線AO（O為原點）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點）的方程”后，提問學生結論有無改變？學生完成P37練習第2題． 的方程”；命題B：“曲線C是方程f(x,y)=0的 [問題6] 你能畫出函數(shù)的圖象嗎？圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點都在圖象C上？

意圖：理解用解析式表示的函數(shù)與其圖象之間的關系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C（可以利用信息技術工具）；（2）學生思考“圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征”，利用信息技術工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象C上的點到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學生思考“到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)的點都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)k的點的軌跡方程是”；（5）證明所得結論，完成教材P35例1．

[問題7] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內容，你能得出什么結論？ 意圖：明確解析幾何研究的基本內容.師生活動：學生閱讀教材并提煉回答內容，請學生回答，教師點評．

[問題8]已知平面上的線段BC的長為所張的角恒為，動點A位于線段BC所在直線的同一側，且向線段BC，動點A的軌跡是否有有限長度？若有，你能求出其長度嗎？

意圖：歸納求曲線的方程的步驟，體會坐標法的基本思想． 師生活動：

（1）教師講解：以BC所在的直線為x軸，以線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則，．設點A在x軸的上方，坐標為(x,y)(y>0)，則點A的集合為

．

由于

因為所以

所以，點A的坐標滿足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反過來，由于上述的步驟均可逆，所以方程①的解作為坐標的點都在集合P中．

所以，點A的軌跡方程是①，點A的軌跡是一段以2為半徑的圓弧，它的長度是整個圓的．因此，動點A的軌跡的長度為

（2）教師根據(jù)上述過程總結求曲線的方程的步驟（見教材P36）.（3）提問學生，有無其它建立坐標系的方法使點A的軌跡方程更簡單，更簡單的原因是什么？教師歸納總結建立坐標系的一般要點．

（4）提問學生思考：為什么不能把x+(y-1)= 4作為點A的軌跡方程？（5）學生練習教材P37練習第3題．

[問題9] 已知一條直線和一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線上面的點到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當?shù)淖鴺讼?，求出這條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.師生活動：（1）師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標系．

（2）讓學生按步驟求出曲線的方程．

（3）師生一起討論如何避免軌跡中出現(xiàn)多余的點或方程中出現(xiàn)多余的解．（4）簡化求解步驟．

[問題10]建立坐標系后，是否存在一條曲線有兩個不同的方程？你能以[問題1]和[問題8]為例，歸納一下你本節(jié)課學得的東西嗎？

意圖：歸納總結本節(jié)內容.師生活動：學生思考交流，教師幫助總結.五、目標檢測設計

1．教材P37，習題2.1：A組第3、4題；B組第1題．

2．已知平面上的線段BC的長為的軌跡的長度嗎？ 2009-03-25 人教網(wǎng)，動點A向線段BC所張的角恒為，你能求出動點A運動

第三篇：曲線與方程的概念的教學設計

曲線與方程的概念的教學設計

一、教學分析 1． 教材地位

曲線的方程和方程的曲線是解析幾何的最基本的概念，是坐標法的基礎。2． 教學重點難點

重點：曲線的方程和方程的曲線的概念 難點：兩者的辯證關系

二、學情分析

教學班為實驗班，學生思維較為活躍，理解能力較強；但在概念細節(jié)的理解上比較不在意，容易造成對概念認識的漏洞。

三、教學目標

1． 理解曲線與方程的對應關系。

2． 通過對已知事例的比較，學生能從中學會判斷曲線與方程的方法。3． 教學中學生能感受到曲線與方程的辯證關系。

四、教學手段：PPT

五、教學過程

問題引入：圓是如何定義的？并說出圓的標準方程 新課題：曲線與方程的概念

探究問題：求直角坐標系下一三象限的角分線方程，下列方法是否正確？

? 方法1：設一三象限的角分線上的點為P（x,y）,根據(jù)角平分線的性質得：

?

?

因此一三象限角平分線的方程為

方法2：設一三象限的角分線上的點為P（x,y）,根據(jù)角平分線的性質得：

?

因此一三象限角平分線的方程為 ? 方法3：設一三象限的角分線上的點為P（x,y）,根據(jù)角平分線的性質得：

?

因此一三象限角平分線的方程為

小結：

? 方法3中兩個集合的元素之間建立了一一對應關系，人們規(guī)定把具有這種關系的曲線C和方程f(x,y)=0，分別稱為方程的曲線和曲線的方程

? 一般我們所求的曲線（或軌跡）的方程都必須滿足這樣的條件

定義：

? 一般地，在直角直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程 F(x, y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系

? ?

?

?

（1）曲線上的點的坐標都是這個方程 的解

（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 曲線的方程常稱為滿足某種條件的動點的軌跡方程

例題辨析

? 那么曲線C叫做方程F(x, y)=0的曲線；方程F(x, y)=0叫做曲線C的方程

例1

判斷曲線與方程的關系

? ?（1）曲線：過點A(2，0)且與y軸的距離等于2的點的軌跡l；

方程：|x|=2

?

（2）曲線C：拋物線（如圖）

?

?

方程：

（3）曲線C：等腰⊿ABC底邊BC的中線（如圖）

?

方程：x=0 例2 甲：“曲線C上的點的坐標都是方程 f(x，y)=0 的解”，乙：“曲線C是方程f(x，y)=0 的曲線”，則甲是乙的（）(A)充分非必要條件

(B)必要非充分條件

(C)充要條件

(D)非充分也非必要條件

例3 求證：與兩條坐標軸的距離的積等于1的點的軌跡方程是|xy|=1

課堂練習

? 題1 圖示曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？

?

（1）曲線C：過點A(1，1)，B(-1，1)的折線

?

?

方程：(x-y)(x+y)=0

（2）曲線C：頂點在原點的拋物線

?

?

方程：

（3）曲線C：Ⅰ, Ⅱ象限內到x軸，y軸的距離乘積為1的點的軌跡

?

?

方程：

題2 已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求證：三角形內角A的平分

線方程是

思考：已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求到角A的兩邊的距離之比為1：

2的點的軌跡方程

課堂小結

第四篇：曲線與方程的教學設計

曲線與方程的教學設計

一、教學內容與內容解析 1．內容：

（1）曲線的方程與方程的曲線的概念；（2）求曲線的方程；（3）坐標法的基本思想與簡單應用.2．內容解析：

“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學課程標準》規(guī)定的教學內容．在教學時，不少人認為只是為后面學習橢圓、雙曲線、拋物線做準備．盡管學習這一內容是學生體會并理解圓錐曲線與其方程的基礎，但人們將碰得的曲線遠非這些．因此，教學時不僅要讓學生學習如何求曲線的方程，而且要通過這一內容培養(yǎng)學生的坐標法思想，使學生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉化為數(shù)量關系，并通過代數(shù)運算等方便手段，處理已得到的數(shù)量關系,進而得出曲線的幾何性質，并達到利用曲線為人們服務的目的．因此，學習這一部分內容可以加深學生對數(shù)學中的代數(shù)方法的認識，也能夠讓學生更好地體會數(shù)學的本質．

在平面直角坐標系建立以后，任何曲線都有唯一的方程，任何方程也都有唯一確定的曲線(或點集)．因此，曲線的方程是曲線的唯一表示．這種表示，為人們表達自己的思想認識提供了一種規(guī)范，這是人們應該具備的基本素養(yǎng)．

二、教學目標與目標解析 1．目標：

（1）通過實例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學習過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關系；

（2）通過實例體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程；

（3）通過實例體會不同的平面直角坐標系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當”地建立平面直角坐標系.（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會坐標法的基本思想及簡單應用． 2．目標解析：

教學目標（1）和（2）是本節(jié)課的教學重點，教學時落實好目標（1）、（2）和（3）是實現(xiàn)教學目標（4）的前提與保證.學生通過函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學習，對曲線的方程與方程的曲線這些概念有了初步認識，但這只是一種意會，我們現(xiàn)在的任務是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學生能從“定義”的角度去理解這些概念.教學目標（3）是學生初學時不易達到的目標，教學時要提供學生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標系中的方程的簡潔程度，讓學生體會建立坐標系時應該關注的要點．

對許多與曲線有關的具體問題而言，原本是沒有坐標系的．因此，通過這樣的問題，可以使學生體會如何建立坐標系，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，這應該是實現(xiàn)教學目標（4）的一種較好的方法．

三、教學問題診斷分析

1．如何理解曲線與其方程之間的關系？學生可以很流利地背出曲線與其方程應該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關系”，這是學生學習時可能遇到的第一個教學問題.這個問題可以結合“直線與其方程”、“圓與其方程”進行說明．

2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角坐標系？這是學生會遇上的第二個教學問題，也是本節(jié)課的教學難點之一．教學時，應通過實例，幫助學生總結出建立坐標系的基本要點，并用具體問題讓學生練習進行體會．

3．在將曲線上的點應該滿足的幾何特征轉化為點的坐標應滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對于有些復雜的等式，化簡是一個學生不易把握的問題，學生在此極易出錯，這是第三個教學問題.教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，因而宜使用信息技術工具解決這個問題.4．學生學習時，可能會因更多地關注代數(shù)運算而忽略數(shù)學思想的提煉，這個教學問題的解決，需要教師有目的地進行引領.四、教學支持條件

1．在進行本節(jié)課的教學時，學生已經(jīng)在數(shù)學必修1中學習了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學必修2中學習了直線的方程與圓的方程，這些內容是學生理解曲線與方程概念的重要基礎，因此教學時應充分注意這一教學條件，引導學生多進行歸納與概括.2．曲線與方程是數(shù)形結合的典范，教學這一內容時會涉及大量圖形的繪制與方程的簡化等代數(shù)運算，因此，TI圖形計算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學中充分利用這一條件，不僅可以節(jié)省大量時間用于學生思考，而且可以對實際問題中的數(shù)據(jù)不加“修飾”地進行分析.五、教學過程設計 引子：

(1)寫出表示下列圖形(實線部分)的方程

(2)作下列方程所表示的圖形

(i)

;(ii)意圖：通過建立平面直角坐標系，用坐標來刻畫點的位置，為后面用點與坐標的對應關系來研究曲線與方程的關系作準備，同時讓學生體會坐標法思想。

[問題1] 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線（航行方向與東向西方向的夾角的正切值為4/7），那么它是否會受到臺風的影響？

這是同學們在學習數(shù)學必修2時曾經(jīng)研究過的問題，你能說說你現(xiàn)在會怎樣解決這個問題？ 意圖：體會坐標法的思想，強調研究曲線與方程的概念的必要性，讓學生體會數(shù)學方法的好處.師生活動：教師提出問題后讓學生交流并回答他們的想法，在此基礎上，教師歸納并演示過程：如圖建立直角坐標系，得出船的航線的方程為4x+7y-28=0，圓形區(qū)域的邊界圓的方程為x+y=9.聯(lián)解上面兩個方程所成的方程組有一定的困難，可以通過TI圖形計算器求解，如下列圖示：

2由此可見讓船按原定航線航行不會出現(xiàn)危險．

進一步問學生：如果沒有坐標法，沒有直線的方程與圓的方程，但要確定能否讓船按原定航線航行，你會怎樣做？

[問題2]我們知道，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點(x0,y0)，且方向向量為確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？

意圖：為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.師生活動：讓學生嘗試求直線的方程，在得出直線的方程后，教師介紹怎樣說明所得的方程就是直線的方程．

[問題3] 你能說明中心在(a,b)，半徑為的圓的方程是(x-a)+(y-b)=r嗎？

2的直線是唯一意圖：讓學生體會教師在[問題2]中介紹的“說明所得方程是直線的方程”的方法，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準備.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生完成說明過程.[問題4] 對一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程與方程的曲線的概念.最后問學生：

[問題5] 給定命題A：“方程f(x,y)=0是曲線曲線”，請問命題A與命題B是否互為充要條件？

意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念的認識.師生活動：學生回答，教師評析．學生完成教材P37練習第1題，并將題中的“中線AO（O為原點）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點）的方程”后，提問學生結論有無改變？學生完成P37練習第2題． 的方程”；命題B：“曲線C是方程f(x,y)=0的 [問題6] 你能畫出函數(shù)的圖象嗎？圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點都在圖象C上？

意圖：理解用解析式表示的函數(shù)與其圖象之間的關系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C（可以利用信息技術工具）；（2）學生思考“圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征”，利用信息技術工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象C上的點到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學生思考“到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)的點都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)k的點的軌跡方程是”；（5）證明所得結論，完成教材P35例1．

[問題7] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內容，你能得出什么結論？ 意圖：明確解析幾何研究的基本內容.師生活動：學生閱讀教材并提煉回答內容，請學生回答，教師點評．

[問題8] 已知一條直線和一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線上面的點到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當?shù)淖鴺讼担蟪鲞@條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.師生活動：

（1）師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標系．

（2）讓學生按步驟求出曲線的方程．（3）師生一起討論如何避免軌跡中出現(xiàn)多余的點或方程中出現(xiàn)多余的解．（4）簡化求解步驟．

[問題9]建立坐標系后，是否存在一條曲線有兩個不同的方程？你能以[問題1]和[問題8]為例，歸納一下你本節(jié)課學得的東西嗎？

意圖：歸納總結本節(jié)內容.師生活動：學生思考交流，教師幫助總結.五、目標檢測設計

1．教材P37，習題2.1：A組第3、4題；B組第1題．

2．已知平面上的線段BC的長為的軌跡的長度嗎？，動點A向線段BC所張的角恒為，你能求出動點A運動

第五篇：高中數(shù)學曲線和方程教案(改)

各位老師，大家好！

我叫韓楊，今天我說課的課題是《曲線和方程》的第一課時。下面我將從教材分析、教學目標、教學重難點、教法和學法、教學過程和教學效果等六個方面加以分析和說明。

一、教材分析

《曲線和方程》是人教版高中數(shù)學第二冊上冊第七章第五小節(jié)的內容。本節(jié)課的主要內容是了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，學會求解曲線的方程，因為學生已有了用方程表示曲線的感性認識，特別是二元一次方程表示直線，現(xiàn)在要進一步研究平面內的曲線和含有兩個變量的方程之間的關系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程。它既是對前一節(jié)線性規(guī)劃知識的延伸和發(fā)展，也為下一節(jié)圓的方程打下了基礎，起到了承上啟下的作用。

二、教學目標

根據(jù)教學大綱的要求和高中學生的認知規(guī)律，以及新課標對教育目標的定位，我將本節(jié)課的教育目標確定為以下三點：

?知識與技能目標：初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；學會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉化的思想方法。?過程與方法目標

（1）通過直線方程的復習引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關系的直觀認識；

（2）在形成曲線和方程概念的過程中，學生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學活動過程，探索出結論并能有條理的闡述自己的觀點；

（3）能用所學知識理解新的概念，并能運用概念解決實際問題，從中體會轉化化歸的思想方法，提高思維品質，發(fā)展應用意識。

?情感態(tài)度與價值觀目標；課堂中，通過對問題的自主探究，培養(yǎng)學生的獨立意識和獨立思考能力；在問題逐步深入的研究中喚起學生追求真理，樂于創(chuàng)新的情感需求，引發(fā)學生強烈的求知欲。

三、教學的重難點

根據(jù)數(shù)學新課標標準，我確定本節(jié)課的重點是“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。為強化其認識，決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應關系，并以此為工具來分析實例，這將有助于學生的理解，有助于學生通其法、知其理。

教學難點是怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。因為學生在作 業(yè)中容易犯想當然的錯誤，通常在已知曲線建立方程的時候，不驗證方程的解為坐標的點在曲線上，就斷然得出所求的是曲線的方程。為了突破難點，本節(jié)課將通過例題讓學生體會“二者”缺一不可的性質。四：教法和學法分析

數(shù)學是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學科。因此，在教學中，不僅要讓學生“知其然”，還要“知其所以然”，這也是我小學數(shù)學老師經(jīng)常給我們說的一句話。新課標指出，學生是教學的主體，教師的教應從學生的認知規(guī)律出發(fā)，以學生活動為主線，在原有知識的基礎上，構建新的知識體系。學是中心，會學是目的。本節(jié)課主要板書的形式，教給學生“動手畫、動腦想、善分析、善總結”的研討式學習方法，教給學生主動思考問題、主動解決問題的方法，這樣才能使學生產(chǎn)生一種成就感，從而提高學習數(shù)學的興趣。五：教學過程

對于45分鐘的課堂，我做了以下時間安排: 課題引入約5分鐘，講授新課約20分鐘，練習鞏固約13分鐘，課堂小結約5分鐘，作業(yè)布置約2分鐘。

因為還沒有正式的成為老師，沒有教學經(jīng)驗，對課堂的時間把握不是很準確，所以擬定了時間安排，希望對教學過程有所幫助，做到合理安排時間，下面我從六個方面介紹一下我的教學過程。

1、設置情境——提出課題

在本節(jié)課之前，學生已經(jīng)學習過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系。所以這節(jié)課首先讓學生先畫出方程x?y?0表示的直線，借助圖形讓學生再一次從直觀上深刻體會方程的解與直線上的點一一對應關系。在鞏固已有知識的前提下再提出：對任意曲線和二元方程是否都能建立這種等價關系呢？從而引出本節(jié)課的內容：曲線和方程。通過提問的方式有助于吸引學生的注意力，激發(fā)他們強烈的好奇心和求知欲，給學生搭建起一個探究和實踐的平臺． 2.講授新課

通過前面已經(jīng)學過的圓、拋物線、再推廣到任意曲線，借助圖形讓學生體會到對任意曲線的解和方程的解都能建立一一對應關系，從而得出“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義。

問題2：如果概念中的兩點少一點，是否也滿足曲線上的點與方程的解的一一對應關系呢？

通過提問，引導學生對得到的結論要給予更多的思考，幫助他們提高認識，這也是概念 教學中學生理解概念的要點，給學生較多的時間互相探究問題和討論解決問題。

找一下不同時滿足兩個條件的反例，通過反例的講解，讓學生自己總結得出: 要想滿足曲線上的點與方程的解的一一對應關系，概念中的兩點缺一不可。在概念教學中，通過反例的反襯，常常起著幫助學生理解概念的作用。

3、練習鞏固

找一些典型例題讓學生進行練習，做題過程中，要求學生獨立思考，抽點幾位學生到黑板上寫出自己的答題過程，其他學生也獨立完成，完成后，再抽點幾個同學上臺進行檢查，錯誤的地方加以修改。這樣既能讓學生積極參與，增強學生的注意力，也能對解答中容易出錯的地方加深印象。

4、課堂小結

本節(jié)課通過對實例的研究，掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領會定義時，要牢記定義中（1）、（2）兩點缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。小結時才提出“必要性”與“充分性”的問題，使學生的認識再上一個臺階，另一點意在建立“解析幾何”的基本思想，使之逐步轉變?yōu)閷W生的思想。5.布置作業(yè)

書本習題7.5第2題、第3題、第5題、第6題。

作業(yè)要求：允許學生對不會做的題目可以不做，但要分析出不會做的癥結所在，這樣做的目的在于既可以避免抄襲現(xiàn)象的產(chǎn)生，也可以讓學生自己分析出知識的薄弱點，由被動學習變成主動學習，增強學習興趣。

6、板書設計

力求簡明清楚，重點突出，加深學生對重點知識的理解和掌握，有利于提高教學效果。

曲線與方程

公式推導 例題 練習六．教學效果分析

本節(jié)課在引導學生探究的過程中，關注學生的認知心理過程，重視學生學習過程中的參與度、自信心以及獨立思考能力。教學過程中注重層次性，對基礎薄弱的學生多給他們創(chuàng)造機會，力爭每一個層次的學生都能有機會得到積極的評價，因為這是讓他們保持自信，愛好數(shù)學的最佳培養(yǎng)時機。

以上是我的教學設計，肯定存在很多不足的地方，但是我一定會積極改進，請各位老師批評指正！謝謝！